2026年中考数学二轮复习：二次函数

**基本信息** 以20道题构建二次函数从概念到综合应用的完整训练体系，通过题组设计实现方法迁移与逻辑递进，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念性质|选择1-6/填空11|定义辨析/对称轴公式/顶点式转化|从二次函数定义出发，通过图象特征推导系数关系，建立"解析式-图象-性质"关联| |综合应用|选择7-10/填空12-15/解答16-20|数形结合/分类讨论/方程思想|以动态问题为载体，融合几何图形与函数最值，形成"性质应用-综合建模-拓展迁移"的能力链|

2026年中考数学二轮复习：二次函数 一．选择题（共10小题） 1．二次函数y＝x2+bx的图象如图，对称轴为直线x＝1，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是（　　） A．t≥﹣1 B．﹣1≤t＜3 C．﹣1≤t＜8 D．3＜t＜8 2．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … ﹣3 ﹣2 ﹣3 ﹣6 ﹣11 … 则该函数图象的对称轴是（　　） A．直线x＝﹣3 B．直线x＝﹣2 C．直线x＝﹣1 D．直线x＝0 3．已知二次函数y＝ax2+bx+c+2的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＝0；③a＞2；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．若二次函数y＝（x﹣m）2﹣1，当x≤3时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（　　） A．m＝3 B．m＞3 C．m≥3 D．m≤3 5．关于二次函数y＝2x2+4x﹣1，下列说法正确的是（　　） A．图象与y轴的交点坐标为（0，1） B．图象的对称轴在y轴的右侧 C．当x＜0时，y的值随x值的增大而减小 D．y的最小值为﹣3 6．关于抛物线y＝x2﹣2x+1，下列说法错误的是（　　） A．开口向上 B．与x轴有两个重合的交点 C．对称轴是直线x＝1 D．当x＞1时，y随x的增大而减小 7．已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣4，则a的值为（　　） A．或4 B．或 C．或4 D．或4 8．已知函数y＝ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（　　） A．当a＝1时，函数图象过点（﹣1，1） B．当a＝﹣2时，函数图象与x轴没有交点 C．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小 D．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大 9．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x＝1，下列结论正确的是（　　） A．b2＜4ac B．ac＞0 C．2a﹣b＝0 D．a﹣b+c＝0 10．已知函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，最小值是，则m的取值范围是（　　） A．m≥﹣2 B．0≤m C．﹣2≤m D．m 二．填空题（共5小题） 11．如果函数y＝（k﹣3）kx+1是二次函数，那么k的值一定是　 　 ． 12．如果函数y＝b的图象与函数y＝x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3的图象恰有三个交点，则b的可能值是　 　 ． 13．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为（4，3），D是抛物线y＝﹣x2+6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值为　 　 ． 14．如图，若抛物线y＝ax2+bx+c上的P（4，0），Q两点关于它的对称轴为直线x＝1对称，则Q点的坐标为　 　 ． 15．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过点（﹣1，0）和（m，0），且1＜m＜2，当x＜﹣1时，y随着x的增大而减小．下列结论：①abc＞0；②a+b＞0；③若点A（﹣3，y1），点B（3，y2）都在抛物线上，则y1＜y2；④a（m﹣1）+b＝0；⑤若c≤﹣1，则b2﹣4ac≤4a．其中结论错误的是　 　 ．（只填写序号） 三．解答题（共5小题） 16．已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（﹣2，5），对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点B（1，7）向上平移2个单位长度，向左平移m（m＞0）个单位长度后，恰好落在y＝x2+bx+c的图象上，求m的值； （3）当﹣2≤x≤n时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 17．如图，抛物线yx2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）． （1）求抛物线的表达式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标． 18．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S． 求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值． （3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝﹣x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标． 19．如图抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），点C（0，3），且OB＝OC． （1）求抛物线的解析式及其对称轴； （2）点D、E是直线x＝1上的两个动点，且DE＝1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小值． （3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，求点P的坐标． 20．如图，在矩形OABC中，OA＝5，AB＝4，点D为边AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在边OA上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系． （1）求OE的长及经过O，D，C三点抛物线的解析式； （2）一动点P从点C出发，沿CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时动点Q从E点出发，沿EC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，DP＝DQ； （3）若点N在（1）中抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．二次函数y＝x2+bx的图象如图，对称轴为直线x＝1，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是（　　） A．t≥﹣1 B．﹣1≤t＜3 C．﹣1≤t＜8 D．3＜t＜8 【考点】二次函数与不等式（组）． 【专题】压轴题． 【答案】C 【分析】根据对称轴求出b的值，从而得到﹣1＜x＜4时的函数值的取值范围，再根据一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解相当于y＝x2+bx与y＝t在x的范围内有交点解答． 【解答】解：对称轴为直线x1， 解得b＝﹣2， 所以二次函数解析式为y＝x2﹣2x， y＝（x﹣1）2﹣1， x＝1时，y＝﹣1， x＝4时，y＝16﹣2×4＝8， ∵x2+bx﹣t＝0的解相当于y＝x2+bx与直线y＝t的交点的横坐标， ∴当﹣1≤t＜8时，在﹣1＜x＜4的范围内有解． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数与不等式，把方程的解转化为两个函数图象的交点的问题求解是解题的关键． 2．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … ﹣3 ﹣2 ﹣3 ﹣6 ﹣11 … 则该函数图象的对称轴是（　　） A．直线x＝﹣3 B．直线x＝﹣2 C．直线x＝﹣1 D．直线x＝0 【考点】二次函数的图象． 【答案】B 【分析】根据二次函数的对称性确定出二次函数的对称轴，然后解答即可． 【解答】解：∵x＝﹣3和﹣1时的函数值都是﹣3相等， ∴二次函数的对称轴为直线x＝﹣2． 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，仔细观察表格数据确定出对称轴是解题的关键． 3．已知二次函数y＝ax2+bx+c+2的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＝0；③a＞2；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】二次函数图象与系数的关系． 【专题】压轴题． 【答案】B 【分析】①首先根据抛物线开口向上，可得a＞0；然后根据对称轴在y轴左边，可得b＞0；最后根据抛物线与y轴的交点在（0，2）的上方，可得c＞0，据此判断出abc＞0即可． ②根据二次函数y＝ax2+bx+c+2的图象与x轴只有一个交点，可得Δ＝0，即b2﹣4a（c+2）＝0，可得b2﹣4ac＝8a＞0，据此解答即可． ③首先根据对称轴为直线x1，可得b＝2a，然后根据b2﹣4ac＝8a，确定出a的取值范围即可． ④根据对称轴是直线x＝﹣1，而且x＝0时，y＞2，可得x＝﹣2时，y＞2，据此判断即可． 【解答】解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵对称轴在y轴左边， ∴b＞0， ∵抛物线与y轴的交点在（0，2）的上方， ∴c+2＞2， ∴c＞0， ∴abc＞0， ∴结论①不正确； ∵二次函数y＝ax2+bx+c+2的图象与x轴只有一个交点， ∴Δ＝0， 即b2﹣4a（c+2）＝0， ∴b2﹣4ac＝8a≠0， ∴结论②错误； ∵对称轴为直线x1， ∴b＝2a， ∵b2﹣4ac＝8a， ∴4a2﹣4ac＝8a， ∴a＝c+2， ∵c＞0， ∴a＞2， ∴结论③正确； ∵对称轴是直线x＝﹣1，而且x＝0时，y＞2， ∴x＝﹣2时，y＞2， ∴4a﹣2b+c+2＞2， ∴4a﹣2b+c＞0． ∴结论④正确． 综上，可得 正确结论的个数是2个：③④． 故选：B． 【点评】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）． 4．若二次函数y＝（x﹣m）2﹣1，当x≤3时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（　　） A．m＝3 B．m＞3 C．m≥3 D．m≤3 【考点】二次函数的性质． 【答案】C 【分析】根据二次函数的解析式的二次项系数判定该函数图象的开口方向、根据顶点式方程确定其图象的顶点坐标，从而知该二次函数的单调区间． 【解答】解：∵二次函数的解析式y＝（x﹣m）2﹣1的二次项系数是1， ∴该二次函数的开口方向是向上； 又∵该二次函数的图象的顶点坐标是（m，﹣1）， ∴该二次函数图象当x＜m时，即y随x的增大而减小； 而已知中当x≤3时，y随x的增大而减小， ∴x≤3， ∴x﹣m≤0， ∴m≥3． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数图象的性质．解答该题时，须熟知二次函数的系数与图象的关系、二次函数的顶点式方程y＝（k﹣h）x2﹣b中的h，b的意义． 5．关于二次函数y＝2x2+4x﹣1，下列说法正确的是（　　） A．图象与y轴的交点坐标为（0，1） B．图象的对称轴在y轴的右侧 C．当x＜0时，y的值随x值的增大而减小 D．y的最小值为﹣3 【考点】二次函数的性质；二次函数的最值． 【专题】函数及其图象． 【答案】D 【分析】根据题目中的函数解析式可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题． 【解答】解：∵y＝2x2+4x﹣1＝2（x+1）2﹣3， ∴当x＝0时，y＝﹣1，故选项A错误， 该函数的对称轴是直线x＝﹣1，故选项B错误， 当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故选项C错误， 当x＝﹣1时，y取得最小值，此时y＝﹣3，故选项D正确， 故选：D． 【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 6．关于抛物线y＝x2﹣2x+1，下列说法错误的是（　　） A．开口向上 B．与x轴有两个重合的交点 C．对称轴是直线x＝1 D．当x＞1时，y随x的增大而减小 【考点】二次函数的性质；二次函数的图象． 【答案】D 【分析】根据抛物线的解析式画出抛物线的图象，根据二次函数的性质结合二次函数的图象，逐项分析四个选项，即可得出结论． 【解答】解：画出抛物线y＝x2﹣2x+1的图象，如图所示． A、∵a＝1， ∴抛物线开口向上，A正确； B、∵令x2﹣2x+1＝0，（﹣2）2﹣4×1×1＝0， ∴该抛物线与x轴有两个重合的交点，B正确； C、∵1， ∴该抛物线对称轴是直线x＝1，C正确； D、∵抛物线开口向上，且抛物线的对称轴为x＝1， ∴当x＞1时，y随x的增大而增大，D不正确． 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数的性质以及二次函数的图象，解题的关键是结合二次函数的性质及其图象分析四个选项．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据二次函数的解析式画出函数图象，利用数形结合来解决问题是关键． 7．已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣4，则a的值为（　　） A．或4 B．或 C．或4 D．或4 【考点】二次函数的性质；二次函数的最值． 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力． 【答案】D 【分析】分两种情况讨论：当a＞0时，﹣a＝﹣4，解得a＝4；当a＜0时，在﹣1≤x≤4，9a﹣a＝﹣4，解得a． 【解答】解：y＝a（x﹣1）2﹣a的对称轴为直线x＝1， 顶点坐标为（1，﹣a）， 当a＞0时，在﹣1≤x≤4，函数有最小值﹣a， ∵y的最小值为﹣4， ∴﹣a＝﹣4， ∴a＝4； 当a＜0时，在﹣1≤x≤4，当x＝4时，函数有最小值， ∴9a﹣a＝﹣4， 解得a； 综上所述：a的值为4或， 故选：D． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据二次函数的性质，在指定的范围内准确求出函数的最小值是解题的关键． 8．已知函数y＝ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（　　） A．当a＝1时，函数图象过点（﹣1，1） B．当a＝﹣2时，函数图象与x轴没有交点 C．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小 D．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大 【考点】二次函数的性质． 【答案】D 【分析】把a＝1，x＝﹣1代入y＝ax2﹣2ax﹣1，于是得到函数图象不经过点（﹣1，1），根据Δ＝8＞0，得到函数图象与x轴有两个交点，根据抛物线的对称轴为直线x1判断二次函数的增减性． 【解答】解：A、∵当a＝1，x＝﹣1时，y＝1+2﹣1＝2，∴函数图象不经过点（﹣1，1），故错误； B、当a＝﹣2时，∵Δ＝42﹣4×（﹣2）×（﹣1）＝8＞0，∴函数图象与x轴有两个交点，故错误； C、∵抛物线的对称轴为直线x1，∴若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大，故错误； D、∵抛物线的对称轴为直线x1，∴若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大，故正确； 故选：D． 【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 9．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x＝1，下列结论正确的是（　　） A．b2＜4ac B．ac＞0 C．2a﹣b＝0 D．a﹣b+c＝0 【考点】二次函数图象与系数的关系． 【答案】D 【分析】根据抛物线与x轴有两个交点有b2﹣4ac＞0可对A进行判断；由抛物线开口向上得a＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴下方得c＜0，则可对B进行判断；根据抛物线的对称轴是直线x＝1对C选项进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），所以a﹣b+c＝0，则可对D选项进行判断． 【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，所以A选项错误； ∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴下方， ∴c＜0， ∴ac＜0，所以B选项错误； ∵二次函数图象的对称轴是直线x＝1， ∴1，∴2a+b＝0，所以C选项错误； ∵抛物线过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x＝1， ∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0）， ∴a﹣b+c＝0，所以D选项正确； 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac＝0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点． 10．已知函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，最小值是，则m的取值范围是（　　） A．m≥﹣2 B．0≤m C．﹣2≤m D．m 【考点】二次函数的最值． 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力． 【答案】C 【分析】先求出二次函数的对称轴，再求得函数在顶点处的函数值，根据已知条件最小值是，得出m；再求得当x＝1时的函数值，发现该值等于已知条件中的最大值，根据二次函数的对称性可得m的下限． 【解答】解：解法一：∵函数y＝x2+x﹣1的对称轴为直线x， ∴当x时，y有最小值，此时y1， ∵函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最小值是， ∴m； ∵当x＝1时，y＝1+1﹣1＝1，对称轴为直线x， ∴当x[1﹣（）]＝﹣2时，y＝1， ∵函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，且m； ∴﹣2≤m． 解法二：画出函数图象，如图所示： y＝x2+x﹣1 ＝（x）2， ∴当x＝1时，y＝1； 当x，y，当x＝﹣2，y＝1， ∵函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，最小值是， ∴﹣2≤m． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数在给定范围内的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 11．如果函数y＝（k﹣3）kx+1是二次函数，那么k的值一定是　0　 ． 【考点】二次函数的定义． 【答案】0 【分析】根据二次函数的定义，列出方程与不等式求解即可． 【解答】解：根据二次函数的定义，得： k2﹣3k+2＝2， 解得k＝0或k＝3； 又∵k﹣3≠0， ∴k≠3． ∴当k＝0时，这个函数是二次函数． 【点评】本题考查二次函数的定义． 12．如果函数y＝b的图象与函数y＝x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3的图象恰有三个交点，则b的可能值是　﹣6、　 ． 【考点】二次函数的性质． 【专题】计算题；压轴题． 【答案】﹣6、 【分析】按x≥1和x＜1分别去绝对值，得到分段函数，确定两函数图象的交点坐标，顶点坐标，结合分段函数的自变量取值范围求出符合条件的b的值． 【解答】解： 当x≥1时，函数y＝x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3＝x2﹣7x， 图象的一个端点为（1，﹣6），顶点坐标为（，）， 当x＜1时，函数y＝x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3＝x2﹣x﹣6， 顶点坐标为（，）， ∴当b＝﹣6或b时，两图象恰有三个交点． 故本题答案为：﹣6，． 【点评】本题考查了分段的两个二次函数的性质，根据绝对值里式子的符号分类，得到两个二次函数是解题的关键． 13．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为（4，3），D是抛物线y＝﹣x2+6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值为　15　 ． 【考点】二次函数的性质；菱形的性质． 【答案】15 【分析】设D（x，﹣x2+6x），根据勾股定理求得OC，根据菱形的性质得出BC，然后根据三角形面积公式得出∴S△BCD5×（﹣x2+6x﹣3）（x﹣3）2+15，根据二次函数的性质即可求得最大值． 【解答】解：∵D是抛物线y＝﹣x2+6x上一点， ∴设D（x，﹣x2+6x）， ∵顶点C的坐标为（4，3）， ∴OC5， ∵四边形OABC是菱形， ∴BC＝OC＝5，BC∥x轴， ∴S△BCD5×（﹣x2+6x﹣3）（x﹣3）2+15， ∵0， ∴S△BCD有最大值，最大值为15， 故答案为15． 【点评】本题考查了菱形的性质，二次函数的性质，注意数与形的结合是解决本题的关键． 14．如图，若抛物线y＝ax2+bx+c上的P（4，0），Q两点关于它的对称轴为直线x＝1对称，则Q点的坐标为　（﹣2，0）　 ． 【考点】二次函数的性质． 【答案】（﹣2，0） 【分析】直接利用二次函数的对称性得出Q点坐标即可． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c上的P（4，0），Q两点关于它的对称轴为直线x＝1对称， ∴P，Q两点到对称轴为直线x＝1的距离相等， ∴Q点的坐标为：（﹣2，0）． 故答案为：（﹣2，0）． 【点评】此题主要考查了二次函数的性质，正确利用函数对称性得出答案是解题关键． 15．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过点（﹣1，0）和（m，0），且1＜m＜2，当x＜﹣1时，y随着x的增大而减小．下列结论：①abc＞0；②a+b＞0；③若点A（﹣3，y1），点B（3，y2）都在抛物线上，则y1＜y2；④a（m﹣1）+b＝0；⑤若c≤﹣1，则b2﹣4ac≤4a．其中结论错误的是　③⑤　 ．（只填写序号） 【考点】二次函数图象与系数的关系． 【专题】压轴题；数形结合． 【答案】③⑤ 【分析】根据题意画出抛物线的大致图象，利用函数图象，由抛物线开口方向得a＞0，由抛物线的对称轴位置得b＜0，由抛物线与y轴的交点位置得c＜0，于是可对①进行判断；由于抛物线过点（﹣1，0）和（m，0），且1＜m＜2，根据抛物线的对称性和对称轴方程得到0，变形可得a+b＞0，则可对②进行判断；利用点A（﹣3，y1）和点B（3，y2）到对称轴的距离的大小可对③进行判断；根据抛物线上点的坐标特征得a﹣b+c＝0，am2+bm+c＝0，两式相减得am2﹣a+bm+b＝0，然后把等式左边分解后即可得到a（m﹣1）+b＝0，则可对④进行判断；根据顶点的纵坐标公式和抛物线对称轴的位置得到c≤﹣1，变形得到b2﹣4ac＞4a，则可对⑤进行判断． 【解答】解：如图， ∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵抛物线的对称轴在y轴的右侧， ∴b＜0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴下方， ∴c＜0， ∴abc＞0，所以①的结论正确； ∵抛物线过点（﹣1，0）和（m，0），且1＜m＜2， ∴0， ∴0，∴a+b＞0，所以②的结论正确； ∵点A（﹣3，y1）到对称轴的距离比点B（3，y2）到对称轴的距离远， ∴y1＞y2，所以③的结论错误； ∵抛物线过点（﹣1，0），（m，0）， ∴a﹣b+c＝0，am2+bm+c＝0， ∴am2﹣a+bm+b＝0， a（m+1）（m﹣1）+b（m+1）＝0， ∴a（m﹣1）+b＝0，所以④的结论正确； ∵c， 而c≤﹣1， ∴1， ∴b2﹣4ac＞4a，所以⑤的结论错误． 故答案为③⑤． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 三．解答题（共5小题） 16．已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（﹣2，5），对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点B（1，7）向上平移2个单位长度，向左平移m（m＞0）个单位长度后，恰好落在y＝x2+bx+c的图象上，求m的值； （3）当﹣2≤x≤n时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 【考点】待定系数法求二次函数解析式；坐标与图形变化﹣平移；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值． 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）依据题意，由二次函数为y＝x2+bx+c，可得抛物线为直线x，可得b的值，再由图象经过点A（﹣2，5），求出c的值，进而可以得解； （2）依据题意，由点B（1，7）向上平移2个单位长度，向左平移m个单位长度（m＞0），进而可得平移后的点为（1﹣m，9），结合（1﹣m，9）在y＝x2+x+3图象上，可得9＝（1﹣m）2+（1﹣m）+3，进而计算可以得解； （3）依据题意，由y＝x2+x+3＝（x）2，可得当x时，y取最小值，最小值为，再根据n、n≤1和n＞1进行分类讨论，即可计算得解． 【解答】解：（1）由题意，∵二次函数为y＝x2+bx+c， ∴抛物线的对称轴为直线x． ∴b＝1． ∴抛物线为y＝x2+x+c． 又图象经过点A（﹣2，5）， ∴4﹣2+c＝5． ∴c＝3． ∴抛物线为y＝x2+x+3． （2）由题意，∵点B（1，7）向上平移2个单位长度，向左平移m个单位长度（m＞0）， ∴平移后的点为（1﹣m，9）． 又（1﹣m，9）在y＝x2+x+3， ∴9＝（1﹣m）2+（1﹣m）+3． ∴m＝4或m＝﹣1（舍去）． ∴m＝4． （3）由题意，当 时， ∴最大值与最小值的差为． ∴，不符合题意，舍去． 当n≤1 时， ∴最大值与最小值的差为，符合题意． 当n＞1时，最大值与最小值的差为 ，解得 n1＝1 或 n2＝﹣2，不符合题意． 综上所述，n的取值范围为n≤1． 【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值问题、坐标与图形变化﹣平移，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 17．如图，抛物线yx2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）． （1）求抛物线的表达式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标． 【考点】二次函数综合题． 【专题】代数几何综合题；压轴题． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由待定系数法建立二元一次方程组求出求出m、n的值即可； （2）由（1）的解析式求出顶点坐标，再由勾股定理求出CD的值，再以点C为圆心，CD为半径作弧交对称轴于P1，以点D为圆心CD为半径作圆交对称轴于点P2，P3，作CE垂直于对称轴于点E，由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论； （3）先求出BC的解析式，设出E点的坐标为（a，a+2），就可以表示出F的坐标，由四边形CDBF的面积＝S△BCD+S△CEF+S△BEF求出S与a的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论． 【解答】解：（1）∵抛物线yx2+mx+n经过A（﹣1，0），C（0，2）． 解得：， ∴抛物线的解析式为：yx2x+2； （2）∵yx2x+2， ∴y（x）2， ∴抛物线的对称轴是直线x． ∴OD． ∵C（0，2）， ∴OC＝2． 在Rt△OCD中，由勾股定理，得 CD． ∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形， ∴CP1＝DP2＝DP3＝CD． 作CM⊥x对称轴于M， ∴MP1＝MD＝2， ∴DP1＝4． ∴P1（，4），P2（，），P3（，）； （3）当y＝0时，0x2x+2 ∴x1＝﹣1，x2＝4， ∴B（4，0）． 设直线BC的解析式为y＝kx+b，由图象，得 ， 解得：， ∴直线BC的解析式为：yx+2． 如图2，过点C作CM⊥EF于M，设E（a，a+2），F（a，a2a+2）， ∴EFa2a+2﹣（a+2）a2+2a（0＜a＜4）． ∵S四边形CDBF＝S△BCD+S△CEF+S△BEFBD•OCEF•CMEF•BN， a（a2+2a）（4﹣a）（a2+2a）， ＝﹣a2+4a（0＜a＜4）． ＝﹣（a﹣2）2 ∴a＝2时，S四边形CDBF的面积最大， ∴E（2，1）． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，二次函数的解析式的运用，勾股定理的运用，等腰三角形的性质的运用，四边形的面积的运用，解答时求出函数的解析式是关键． 18．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S． 求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值． （3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝﹣x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标． 【考点】二次函数综合题；待定系数法求二次函数解析式． 【专题】压轴题． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）先假设出函数解析式，利用三点法求解函数解析式． （2）设出M点的坐标，利用S＝S△AOM+S△OBM﹣S△AOB即可进行解答； （3）当OB是平行四边形的边时，表示出PQ的长，再根据平行四边形的对边相等列出方程求解即可；当OB是对角线时，由图可知点A与P应该重合． 【解答】解：（1）设此抛物线的函数解析式为： y＝ax2+bx+c（a≠0）， 将A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点代入函数解析式得： 解得， 所以此函数解析式为：y； （2）∵M点的横坐标为m，且点M在这条抛物线上， ∴M点的坐标为：（m，）， ∴S＝S△AOM+S△OBM﹣S△AOB 4×（m2﹣m+4）4×（﹣m）4×4 ＝﹣m2﹣2m+8﹣2m﹣8 ＝﹣m2﹣4m， ＝﹣（m+2）2+4， ∵﹣4＜m＜0， 当m＝﹣2时，S有最大值为：S＝﹣4+8＝4． 答：m＝﹣2时S有最大值S＝4． （3）设P（x，x2+x﹣4）． 当OB为边时，根据平行四边形的性质知PQ∥OB，且PQ＝OB， ∴Q的横坐标等于P的横坐标， 又∵直线的解析式为y＝﹣x， 则Q（x，﹣x）． 由PQ＝OB，得|﹣x﹣（x2+x﹣4）|＝4， 解得x＝0，﹣4，﹣2±2． x＝0不合题意，舍去． 如图，当BO为对角线时，知A与P应该重合，OP＝4．四边形PBQO为平行四边形则BQ＝OP＝4，Q横坐标为4，代入y＝﹣x得出Q为（4，﹣4）． 由此可得Q（﹣4，4）或（﹣2+2，2﹣2）或（﹣2﹣2，2+2）或（4，﹣4）． 【点评】本题考查了三点式求抛物线的方法，以及抛物线的性质和最值的求解方法． 19．如图抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），点C（0，3），且OB＝OC． （1）求抛物线的解析式及其对称轴； （2）点D、E是直线x＝1上的两个动点，且DE＝1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小值． （3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，求点P的坐标． 【考点】二次函数综合题． 【专题】压轴题；数形结合；转化思想；面积法；几何直观． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）OB＝OC，则点B（3，0），则抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3）＝ax2﹣2ax﹣3a，即可求解； （2）CD+AE＝A′D+DC′，则当A′、D、C′三点共线时，CD+AE＝A′D+DC′最小，周长也最小，即可求解； （3）S△PCB：S△PCAEB×（yC﹣yP）：AE×（yC﹣yP）＝BE：AE，即可求解． 【解答】解：（1）∵OB＝OC，∴点B（3，0）， 则抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3）＝ax2﹣2ax﹣3a， 故﹣3a＝3，解得：a＝﹣1， 故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3…①， 函数的对称轴为：x＝1； （2）四边形ACDE的周长＝AC+DE+CD+AE，其中AC、DE＝1是常数， 故CD+AE最小时，周长最小， 取点C关于直线x＝1对称点C′（2，3），则CD＝C′D， 取点A′（﹣1，1），则A′D＝AE， 故：CD+AE＝A′D+DC′，则当A′、D、C′三点共线时，CD+AE＝A′D+DC′最小，周长也最小， 四边形ACDE的周长的最小值＝AC+DE+CD+AEA′D+DC′A′C′； （3）如图，设直线CP交x轴于点E， 直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分， 又∵S△PCB：S△PCAEB×（yC﹣yP）：AE×（yC﹣yP）＝BE：AE， 则BE：AE＝3：5或5：3， 则AE或， 即：点E的坐标为（，0）或（，0）， 将点E的坐标代入直线CP的表达式：y＝kx+3， 解得：k＝﹣6或﹣2， 故直线CP的表达式为：y＝﹣2x+3或y＝﹣6x+3…② 联立①②并解得：x＝4或8（不合题意值已舍去）， 故点P的坐标为（4，﹣5）或（8，﹣45）． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图象面积计算、点的对称性等，其中（1），通过确定点A′点来求最小值，是本题的难点． 20．如图，在矩形OABC中，OA＝5，AB＝4，点D为边AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在边OA上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系． （1）求OE的长及经过O，D，C三点抛物线的解析式； （2）一动点P从点C出发，沿CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时动点Q从E点出发，沿EC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，DP＝DQ； （3）若点N在（1）中抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由． 【考点】二次函数综合题． 【专题】压轴题；应用意识． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由折叠的性质可求得CE、CO，在Rt△COE中，由勾股定理可求得OE，设AD＝m，在Rt△ADE中，由勾股定理可求得m的值，可求得D点坐标，结合C、O两点，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）用t表示出CP、BP的长，可证明△DBP≌△DEQ，可得到BP＝EQ，可求得t的值； （3）可设出N点坐标，分三种情况①EN为对角线，②EM为对角线，③EC为对角线，根据平行四边形的性质可求得对角线的交点横坐标，从而可求得M点的横坐标，再代入抛物线解析式可求得M点的坐标． 【解答】解：（1）∵CE＝CB＝5，CO＝AB＝4， ∴在Rt△COE中，OE3， 设AD＝m，则DE＝BD＝4﹣m， ∵OE＝3， ∴AE＝5﹣3＝2， 在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD2+AE2＝DE2，即m2+22＝（4﹣m）2，解得m， ∴D（，﹣5）， ∵C（﹣4，0），O（0，0）， ∴设过O、D、C三点的抛物线为y＝ax（x+4）， ∴﹣5a（4），解得a， ∴抛物线解析式为yx（x+4）x2x； （2）∵CP＝2t， ∴BP＝5﹣2t， ∵BD，DE， ∴BD＝DE， 在Rt△DBP和Rt△DEQ中， ， ∴Rt△DBP≌Rt△DEQ（HL）， ∴BP＝EQ， ∴5﹣2t＝t， ∴t； （3）∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣2， ∴设N（﹣2，n）， 又由题意可知C（﹣4，0），E（0，﹣3）， 设M（m，y）， ①当EN为对角线，即四边形ECNM是平行四边形时， 则线段EN的中点横坐标为1，线段CM中点横坐标为， ∵EN，CM互相平分， ∴1，解得m＝2， 又M点在抛物线上， ∴y222＝16， ∴M（2，16）； ②当EM为对角线，即四边形ECMN是平行四边形时， 则线段EM的中点横坐标为，线段CN中点横坐标为3， ∵EM，CN互相平分， ∴3，解得m＝﹣6， 又∵M点在抛物线上， ∴y（﹣6）2（﹣6）＝16， ∴M（﹣6，16）； ③当CE为对角线，即四边形EMCN是平行四边形时， 则M为抛物线的顶点，即M（﹣2，）． 综上可知，存在满足条件的点M，其坐标为（2，16）或（﹣6，16）或（﹣2，）． 【点评】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、全等三角形的判定和性质、折叠的性质、平行四边形的性质等知识点．在（1）中求得D点坐标是解题的关键，在（2）中证得全等，得到关于t的方程是解题的关键，在（3）中注意分类讨论思想的应用．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中． 学科网（北京）股份有限公司 $