第七章 随机变量及其分布（5类题型）专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

**基本信息** 以“模型识别-方法提炼-综合应用”为主线，系统整合随机变量分布、期望方差等核心概念，通过五大题型构建“概念-方法-交汇”的完整训练体系，发展数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |摸球问题|7题|分类梳理有放回/无放回等5种模型，对应二项分布等|从分布列性质到具体场景模型应用| |比赛问题|6题|归纳三局两胜等3类规则，强调对立事件与变量表示法|基于独立事件概率推导比赛终止条件| |决策问题|6题|明确期望/方差/概率三类决策依据|结合实际情境比较方案优劣| |概率与数列交汇|9题|构建递推关系，利用等比数列求期望|概率分布与数列通项公式融合| |概率与函数交汇|4题|引入函数求导分析期望最值|概率期望与函数单调性综合应用|

第七章 随机变量及其分布 目录 题型1：摸球问题 2 题型2：比赛问题 12 题型3：决策问题 22 题型4：概率与数列交汇的问题 33 题型5：概率与函数交汇的问题 49 1. 离散型随机变量的分布列及其性质 设离散型随机变量的可能取值为,取每一个值的概率，则称表 … … … … 为离散型随机变量的概率分布列，简称分布列.它具有以下性质： ①； ②. 2. 离散型随机变量的数学期望与方差 若离散型随机变量的分布列为 … … … … 则称为随机变量的均值或数学期望.称为随机变量的方差，并称其算术平方根为随机变量的标准差,记为. 3. 均值与方差的性质 ①；. ②. ③如果相互独立，则. ④. 题型1：摸球问题 方法提炼 常见的模型及分布 摸球场景 对应模型 分布列 有放回地抽取，计成功次数 二项分布 次取球中，有次取到红球的概率（每次摸到红球的概率为） 无放回地抽取，计某类个数 超几何分布 假设一批产品共有个, 其中有个次品. 每次从这批产品中随机抽出一件来检查且不放回, 共取次 (相当于一次同时取件产品), 则抽取的件产品中有件是次品的概率. 有放回地抽取，首次成功 几何分布 第次成功， 无放回地抽取，首次成功 条件概率/排列 共个球，其中个“成功球”，第次取到成功球， “相同”的小球 (比如除了颜色不同其他方面完全相同的小球) 古典概型 通常要将“相同的”小球视为“不同的”元素, 再利用排列组合知识进行分子分母的计算. 【例1.1.】 乙两个盒子中分别装有大小及形状完全相同的三个小球，且均各自标号为1、2、3．现分别从这两个盒子中随机取一个球，用表示两球上的数字之和，设的期望为，则________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、计算古典概型问题的概率、均值的性质、求离散型随机变量的均值 【分析】由题意可得，分别求出对应的概率，再求，最后根据求解即可. 【详解】由题意可得， 且， ，， ， 所以， 所以. 【例1.2.】 盒子中有5个除了颜色外完全相同的小球，其中有1个白球，2个黄球，2个红球．现从盒中不放回地取球，每次取一个球，当三种颜色的球都有取到时停止，记停止时取出的球的个数为随机变量，则第二次取出的是黄球的条件下第三次取出的是红球的概率为__________，的数学期望为__________． 【答案】 /0.5 【难度】0.4 【知识点】计算条件概率、求离散型随机变量的均值、计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】①利用条件概率公式求解即可；②求出随机变量可能的取值及对应的概率，即可求解分布列，进而利用数学期望公式求解即可. 【详解】①设事件为“第二次取出的球为黄球”，设事件为“第三次取出的是红球”， 事件可分为“第一次取出的球为黄球”与“第一次取出的球不是黄球”，两种情况，故， 事件为“第二次取出的是黄球且第三次取出的是红球”，可分为“第一次取出的是黄球”或“第一次取出的是白球”或“第一次取出的是红球”， 所以，所以， 所以第二次取出的是黄球的条件下第三次取出的是红球的概率为. ②的可能取值为，，， ， , ， 所以的分布列为： 所以. 【例1.3.】 现有除颜色外都相同的个红球和个白球，随机取个球放入一个不透明的袋中，记袋中红球的个数为．从袋中随机摸出一个球，并放入一个另一种颜色的球，经过次摸球，袋中的红球个数记为． (1)求和； (2)求； (3)当时，求随机变量的分布列和数学期望． 【答案】(1)，； (2)； (3) . 【难度】0.65 【知识点】超几何分布的分布列、利用全概率公式求概率、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）根据超几何分布的概率公式计算对应事件的概率； （2）结合条件概率，通过全概率公式求解； （3）先确定的所有可能取值，根据全概率公式计算相应的概率，进而可得分布列，再根据期望公式计算数学期望. 【详解】（1）因为表示从 个红球和个白球随机取个球的红球个数，所以服从超几何分布， 表示抽取的个球全为白球，故. 表示抽取的个球有个红球、个白球，故. （2）由题意，的所有可能取值为，由（1）知，， 同理得，. 当时，袋中全为白球，摸出白球换为红球后，红球的个数为，则，故； 当时，袋中红白球，摸到红球换白球后，红球的个数为，则， 摸到白球换红球后，红球的个数为，则，故； 当时，袋中红白球，摸到红球换白球后，红球的个数为，则， 摸到白球换红球后，红球的个数为，则，故； 当时，袋中全为红球，摸出红球换为白球后，红球的个数为，则，故； 因此，由全概率公式： （3）当时，袋中红白球， 第一次摸换后的可能取值为，其中（摸出红球换为白球），（摸出白球换为红球）. 第二次摸换后的可能取值为： , 故的分布列为： 因此，数学期望。 【例1.4.】 有一个袋子中装有4个红球，2个黑球，现每次从袋子中随机取出一个球，连续取三次． (1)若每次取出的球放回，记取出黑球的次数为，求的分布列和期望； (2)若每次取出的球不放回，已知第三次取出的是黑球，求此时袋中没有黑球的概率． 【答案】(1)的分布列为： 期望为1 (2) 【难度】0.59 【知识点】计算条件概率、利用二项分布求分布列、有放回与无放回问题的概率、二项分布的均值 【分析】（1）先确定随机变量的取值，再分别计算各取值对应的概率，最后列出分布列并求出期望； （2）方法一：利用概率乘法公式以及条件概率公式求解；方法二：利用古典概型概率公式以及条件概率公式求解即可. 【详解】（1）由题意知，随机变量的取值为， 则，， ，， 所以的分布列为： 由，所以的期望． （2）记第次取出黑球为事件，第三次取出黑球后袋中没有黑球为事件． 方法一：， ， 所以． 方法二：，， 所以． 【例1.5.】 甲、乙两工厂试生产同一型号的零件，经检验，甲工厂试生产的零件的合格率为80%，乙工厂试生产的零件的合格率为90%，若将这些零件混合放在一起且甲乙两厂零件数之比为1:4. (1)从混合放在一起的零件中随机抽取一个： ①抽到合格产品的概率. ②若该零件是合格品，求该零件来自甲工厂的概率； (2)已知这批混合零件共10件，甲厂2件，乙8件，从中不放回随机抽取3件，记这3件来自甲厂的个数为，求的分布列及期望. 【答案】(1)①；②. (2)分布列为： 0 1 2 ，期望为 【难度】0.65 【知识点】求离散型随机变量的均值、利用全概率公式求概率、写出简单离散型随机变量分布列、计算条件概率 【分析】（1）①根据互斥事件、全概率公式计算可得答案；②利用条件概率公式计算即得； （2）求出的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望. 【详解】（1）①事件“任取一个混合放在一起的零件，零件来自甲工厂”， 事件“任取一个混合放在一起的零件，零件来自乙工厂”， 事件“任取一个混合放在一起的零件，零件是合格品”， 则且，有， 根据全概率公式得 ， 所以抽到合格产品的概率为； ②所以所求概率， 所以任取一件，是合格品的条件下该零件来自甲工厂生产的概率为； （2）依题意，的所有可能值为， ， 所以的分布列为： 0 1 2 数学期望. 【例1.6.】 箱内有3个除编号外都相同的小球，编号为1，2，3．游戏规则如下：从箱中取出一个小球，记下编号并放回，重复这个过程，直至某次取到小球的编号小于或等于上一次取到小球的编号时，游戏停止．记游戏停止时，取球次数为X． (1)求第一次取到2号球的条件下，第二次取球后游戏停止的概率； (2)求X的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2) X 2 3 4 P 【难度】0.56 【知识点】求离散型随机变量的均值、写出简单离散型随机变量分布列、计算条件概率 【分析】（1）利用条件概率公式求解即可. （2）X的可能取值为2，3，4，求出对应的概率，结合期望公式即可求解. 【详解】（1）记第一次取到2号球为事件A，第二次取球后游戏停止为事件B， 则，， 所以． （2）X的可能取值为2，3，4 ，，． 所以X的分布列为 X 2 3 4 P 【例1.7.】 一个袋中装有2个红球和4个白球，这些球除了颜色以外完全相同．每次从袋中随机取出一个球，取出的球不放回． (1)求第二次取出的是红球的概率； (2)若第三次取球时发现取出的是红球，求此时袋中没有红球的概率； (3)设2个红球都被取出时，已经取出的白球个数为，求的分布列和期望． 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析， 【难度】0.57 【知识点】计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列、计算条件概率、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）利用分类加法原理以及分步乘法原理计算所求概率 （2）根据条件概率公式求解. （3）先确定随机变量的取值，再分别计算各取值对应的概率，最后列出分布列并求出期望. 【详解】（1）第二次取出的是红球是两个互斥事件的和事件， 分别为第一次取出红球，第二次取出红球；第一次取出白球，第二次取出红球； 所以概率． （2）记第三次取球时发现取出的是红球为事件，第三次取球后袋中无红球为事件， 则， ，所以． （3）由题意，的可能取值为0，1，2，3，4， 则，， ， ， 所以分布列为： 0 1 2 3 4 所以． 题型2：比赛问题 方法提炼 (1) 常见的比赛规则 第一类：局胜制 这种规则的特点为一旦某方获得次胜利即终止比赛，所以若比赛提前结束，则一定在最后一次比赛中某方达到胜. 第二类：连胜制 规定某方连胜场即终止比赛，所以若提前结束比赛，则最后场连胜且之前没有达到场连胜. 第三类：比分差距制 规定某方比对方多分即终止比赛，此时首先根据比赛局数确定比分，在得分过程中要注意使两方的分差小于，结束时分差正好等于. (2) 解决此类问题的方法 ①善于引入变量表示事件：可用“字母＋变量角标”的形式表示事件“第几局胜利”.例如表示“第局比赛胜利”，则表示“第局比赛失败”. ②善于使用对立事件求概率：若所求事件含情况较多，可以考虑求对立事件的概率，再用解出所求事件的概率.在处理离散型随机变量分布列时，也可利用概率和为1的特点，先求出包含情况较少的事件的概率，再间接求出包含情况较多的事件的概率. 【例2.1.】 乙两人进行羽毛球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，若的数学期望为，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值 【分析】根据单局胜率表示出总比赛局数的概率分布，再利用给定的数学期望建立方程即可求解. 【详解】由题意得随机变量可能的取值为2，3， ， 因为比赛必定在2局或3局结束，所以打满3局的概率就是不出现2局结束的对立事件概率， 即， 故的分布列为： 2 3 故， 由，解得. 【例2.2.】 甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛，规定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局的比赛的胜者与轮空者进行下一局对打，负者下一局轮空，如此循环．设甲对乙、丙的胜率均为，乙、丙之间的胜率互为． (1)求甲连续打前四局比赛的概率； (2)前四局中，求在第二局乙获胜的条件下甲轮空两局的概率； (3)如果甲胜一局得2分，输一局不得分，记打完前三局后甲的得分为，求的分布列和期望． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】求离散型随机变量的均值、独立事件的乘法公式、计算条件概率、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）分析甲连续打前四局比赛的情形，利用乘法求出概率即可； （2）利用条件概率求解即可； （3）先分析得分的情况，然后求出对应的概率，列出分布列计算数学期望即可. 【详解】（1）由甲连续打前四局比赛，说明甲在前3局都获胜， 第一局：甲、乙对打，甲胜，概率为， 第二局：甲、丙对打，甲胜，概率为， 第三局：甲、乙对打，甲胜，概率为， 所以甲连续打前四局比赛的概率为：. （2）设事件：前四局中第二局乙获胜，事件：第二局乙获胜，前四局中甲轮空两局， 对于前四局中第二局乙获胜： 即第一局：甲、乙对打，乙胜，概率为， 第二局：乙、丙对打，乙胜，概率为， 所以， 在第二局乙获胜的前提下，甲要轮空两局，只能是第4局甲轮空 第三局：乙、甲对打，乙胜，概率为， 第四局：乙、丙对打，概率为， 所以， 根据条件概率知：. （3）由题意知得分的可能值为：， ， ， ， ， 所以的分布列为： 6 所以得分的数学期望为：. 【例2.3.】 甲、乙两支排球队进行一场比赛，比赛采取5局3胜制，每局比赛甲获胜的概率均为，比赛没有平局，且每局比赛的结果相互独立． (1)求前2局比赛甲、乙两队各胜一局的概率； (2)在甲获得比赛胜利的条件下，求甲在第3局获胜的概率； (3)记比赛结束时所进行的局数为，求的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析， 【难度】0.65 【知识点】计算条件概率、独立事件的乘法公式、写出简单离散型随机变量分布列、独立重复试验的概率问题 【分析】(1)设事件表示甲队第局获胜，那么前局比赛甲、乙两队各胜一局的概率有两种情况： 和 ，使用独立与互斥事件概率计算公式计算即可； (2)利用全概率公式计算出甲获得比赛胜利，再使用条件概率计算公式计算甲获得比赛胜利的条件下，甲在第3局获胜的概率； （3）由于采取5局3胜制，的所有可能取值为，，，使用独立与互斥事件概率计算公式计算出所有可能取值的概率. 【详解】（1）设事件表示甲队第局获胜， 则前局比赛甲、乙两队各胜一局的概率为 ． （2）设事件为甲获得本场比赛的胜利， 则，     ，         故． （3）根据题意得的所有可能取值为，，， 其中，             ，         ，         则的分布列为 所以． 【例2.4.】 甲、乙两名同学进行羽毛球比赛，每局比赛无平局，且各局比赛结果相互独立.已知单局比赛中，甲获胜的概率为. (1)双方进行比赛，先赢得局比赛的一方获胜. （ⅰ）若，求乙获胜的概率； （ⅱ）求在甲获胜的条件下，乙至少获胜一局的概率（用表示）. (2)设双方进行满局比赛（不提前结束），甲赢得至少局的概率；双方进行比赛，采用至少赢局且至少多赢局的规则（例如甲至少赢局，且净胜乙至少局时，甲获胜），甲获胜的概率.比较与的大小. 【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ） (2)当时，；当时，；当时，. 【难度】0.4 【知识点】独立重复试验的概率问题、递推法求概率、计算条件概率 【分析】（1）（i）分析可知乙对甲可以以、、获胜，结合独立事件的概率公式可求得所求事件的概率； （ii）设事件为甲获胜，事件为乙至少获胜一局，求出、，结合条件概率公式求解即可； （2）记，推导出 ，，作差，对和的大小进行分类讨论，即可得出与的大小. 【详解】（1）（ⅰ）因为甲每局获胜的概率为，所以乙每局获胜的概率为， 若乙获胜，则乙对甲可以以、、获胜， 若乙以获胜，则前局全是乙赢； 若乙以获胜，则第局乙赢，前局乙赢局输局； 若乙以获胜，则第局乙赢，前局乙赢局输局. 所以乙获胜的概率为. （ⅱ）设事件为甲获胜，事件为乙至少获胜一局， 若甲获胜，则甲获胜，则甲对乙可以以、、获胜， 若甲以获胜，则前局全是甲赢； 若甲以获胜，则第局甲赢，前局甲赢局输局； 若甲以获胜，则第局甲赢，前局甲赢局输局. 所以. 事件（甲获胜且乙至少获胜一局）等价于“甲以或获胜””，， 所以在甲获胜的条件下，乙至少获胜一局的概率为 . （2）设表示前局中同学甲赢得的局数，记， 则 . 对于，设双方平之后甲获胜的概率为，则，所以， 则. 因此. 因为，可得 ， 又， 所以. 当时，可得，即； 当时，；当时，. 【例2.5.】 为了测试AI象棋软件算法的有效性，棋协组织两位象棋大师甲、乙分别与象棋软件进行比赛.比赛规则如下：在一局比赛中，甲、乙两位象棋大师分别与象棋软件进行一盘比赛，每盘比赛获胜得1分，否则得0分（每盘棋都分胜负、没有平局），每盘棋比赛结果互不影响，各局之间的结果也互不影响.已知象棋大师甲、乙每盘比赛获胜的概率分别为，. (1)设前两局比赛中，两位象棋大师一共得3分为事件，象棋大师甲得2分为事件，求； (2)由于象棋软件受运行时长和散热影响，本次比赛最多进行6局，且当两位象棋大师的总得分与象棋软件的得分相差2分时比赛结束.设比赛结束时共进行了局，求的分布列及数学期望. 【答案】(1) (2) 1 2 3 4 5 6 【难度】0.64 【知识点】独立事件的乘法公式、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、计算条件概率 【详解】（1）已知象棋大师甲、乙每盘比赛获胜的概率分别为， 所以甲连胜两局的概率为，乙两局中胜一局的概率为， 所以， 前两局共得3分分为两种情况： 甲得2分，乙得1分，概率为； 甲得1分，乙得2分，概率为， 所以， 所以 （2）每局结束后，两位大师和AI的总得分可能情况为： 甲乙都输：0分，AI：2分，分差为2分； 甲乙一胜一负：1分，AI：1分，分差为0分； 甲乙都赢：2分，AI：0分，分差为2分； 所以单局结束后继续比赛的情况为，结束比赛的概率为， 所以的可能取值为1,2,3,4,5,6， ， ， 分布列为 1 2 3 4 5 6 . 【例2.6.】 乒乓球作为我国的“国球”，一直以来都深受广大人民群众的喜爱．某学校高三年级将要举办乒乓球比赛，为更好备战，甲、乙、丙三位选手练习打乒乓球，每局均分胜负，第一局甲、乙对打，丙轮空，此后每局的胜者与轮空者进行下一局对打，每局双方获胜的概率相同，每局的结果相互独立． (1)求前五局中甲恰好参与了四局的概率； (2)若至多进行12局练习，且如果有选手先获得6局胜利则提前结束练习，记总共练习局数为，求的分布列与期望． 【答案】(1) (2) 6 7 8 9 10 11 12 . 【难度】0.4 【知识点】独立重复试验的概率问题、求离散型随机变量的均值、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）将前五局中甲恰好参与了四局的情况列出来求解即可； （2）写出的取值并求出它所对应的概率，再列表格代入期望公式即可. 【详解】（1）记＂前五局中甲恰好参与了四局＂为事件，记某选手获胜为＂√＂，失利为＂×＂， 轮空为＂＂，则甲在前五局中恰好参与四局的情况有如下四类： （1），第五局一定参与，概率为； （2），第五局一定参与，概率为； （3），第五局一定参与，概率为； （4），第五局一定轮空，概率为； 故所求概率为． （2）为总共练习局数，则可取， 因为除第一局之外，任何选手轮空之前必为失利，获胜之后必不轮空， 即＂×◯＂在一名选手对局结果中会相邻出现（除第一局为和最后一局为＂×＂之外）. 则丙不会在第局结束之后刚好赢得6局（因为丙第一局为＂＂， 最后一局需要丙自己获胜，则前面的对局过程必会有数对的相邻＂×◯＂）， 同理甲、乙不会在第局结束之后刚好赢得6局，且前11局至多只会有1人胜满6局． 故时是以甲或乙获胜结束（甲、乙情况相同）， （甲在第8局获胜，意味着甲在此前的比赛中胜5场负1场. 因负1场必轮空1场，故甲共参赛7场。甲必须赢得第8局，因此他不能在第7局失利. 所以甲的唯一一场失利发生在第1至第6局中的某一局，共6种情况）， 同理，时是以丙获胜结束， 同理,,， 所以，故的分布列如下： 6 7 8 9 10 11 12 . 题型3：决策问题 方法提炼 常见的决策依据 (1) 数学期望 决策逻辑：追求“总体更有利”选期望更大（收益）或期望更小（成本、时间）. (2) 方差或标准差 决策逻辑：保守决策选方差更小（更稳定）,激进决策可能接受大方差换高期望 (3) 某事件的概率 决策逻辑：关注“把握有多大”选概率更大的方案 【例3.1.】 流行病学调查表明某种疾病是由致病菌和致病菌共同引起的，且至少杀灭其中一种致病菌即可痊愈. (1)若有某种治疗方案，有的概率能杀灭致病菌.若这种治疗方案能杀灭致病菌，则它有的概率能杀灭致病菌.若这种治疗方案不能杀灭致病菌，则它有的概率能杀灭致病菌.求使用治疗方案痊愈的概率； (2)若市面上仅有两款药物和药物对疾病有疗效，且这两种药物的疗程各均为天（假定药物使用时，均按疗程服用天），超过天无效时需换药进行治疗.若使用完两种药物仍不见效，依靠自身的免疫能力再经过天也能痊愈已知药物杀灭致病菌和致病菌的概率分别为、，且对于同一种药物，杀灭两种致病菌的事件相互独立，药物杀灭致病菌和致病菌的概率均为.请问应先使用哪种药物可使得痊愈的平均天数更短？ 【答案】(1) (2)先使用药物可使得痊愈的平均天数更短 【难度】0.54 【知识点】计算条件概率、求离散型随机变量的均值、写出简单离散型随机变量分布列、独立事件的乘法公式 【分析】（1）根据条件概率公式求解即可； （2）分别求药物能治愈疾病的概率，再求出分别使用两种药物痊愈的分布列，再求期望，比较即可得解； 【详解】（1）设使用治疗方案能杀灭致病菌为事件，使用治疗方案能杀灭致病菌为事件，使用治疗方案痊愈为事件 则，， 不能杀灭致病菌的概率为， 不能杀灭致病菌的条件下，不能杀灭致病菌的概率为， 因此，既不能杀灭致病菌也不能杀灭致病菌的概率为， 所以， 即使用治疗方案痊愈的概率为. （2）设表示药物能治愈疾病的概率，表示药物能治愈疾病的概率， 则有，， 设先用药物再用药物来治愈疾病所需的天数为，先用药物再用药物来治愈疾病所需的天数为， 则，，， 所以， 同理得，，， 则有， 从而有，因此需先使用药物可使得痊愈的平均天数更短. 【例3.2.】 某乒乓球比赛采用“三局两胜制”.现有甲、乙两位选手参加比赛，假设每局比赛结果相互独立.已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为. (1)求甲最终赢得比赛的概率； (2)若已知比赛进行了三局才结束，求甲是最终获胜者的概率； (3)比赛中有“赛点”概念：当某位选手再赢一局即可获得整场比赛胜利时，称该选手拥有“赛点”.据统计，当选手拥有“赛点”时，由于其心理压力等因素，其在该局获胜的概率会比其常规单局获胜概率下降10个百分点（例如，若常规胜率为60%，则拥有“赛点”时胜率为50%）.考虑“赛点”效应时，记为比赛的总局数，求的分布列及数学期望.并简要分析此“赛点”效应使得相比于不考虑“赛点”效应时是增大还是减小. 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析，，“赛点”效应使得相比于不考虑“赛点”效应时是增大. 【难度】0.53 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、计算条件概率、独立事件的乘法公式 【分析】设表示第局甲赢，表示比赛进行了两局，表示比赛进行了三局，表示最终甲赢得比赛. （1）由题设可得，据此可得答案； （2）由题设及条件概率公式可得答案； （3）若考虑“赛点”，记比赛总局数为，则可能值为2或3，据此可得对应分布列及期望；若不考虑“赛点”，记比赛总局数为，类似可得对应分布列及期望，比较后可得答案. 【详解】（1）设表示第局甲胜，表示比赛进行了两局，表示比赛进行了三局，表示最终甲赢得比赛.有， 所以； （2），， 所以； （3）若考虑“赛点”，记比赛总局数为， 则， ， 所以的分布列为 2 3 故， 若不考虑“赛点”，记比赛总局数为， 则，， 所以， 则有， 所以“赛点”效应使得相比于不考虑“赛点”效应时是增大. 【例3.3.】 某校举办 “一带一路” 知识竞赛，有 A，B两组题可供选择，两组题都有8道题，每位参赛选手选择一组题，且所选组别的所有题均作答。若参赛选手选择A组题，则答对一道题得3分，答错一道题得分；若参赛选手选择 B 组题，则答对一道题得2分，答错一道题得0分. 已知小明答对每道题的概率均为p (0<p<1)，且每道题的答题情况相互独立. (1)若p，小明选择A组题作答，求他的总得分为正的概率； (2)讨论小明选择哪组题进行答题，能使自己的总得分的期望更高. 【答案】(1) (2)当时选择B组，当时两组得分期望相同，当 时选择A组 【难度】0.62 【知识点】二项分布的均值、建立二项分布模型解决实际问题 【分析】（1）首先建立得分与答对题数的关系，令确定总得分为正的条件，然后分析题目确定X服从二项分布，利用二项分布的概率公式进行求解；（2）利用二项分布期望公式及期望的线性性质分别求出两组题的作答得分期望值，根据期望值的大小关系判断p的范围，得出结论. 【详解】（1）设小明在A组题中答对的题目数为X，则答错道， A组题的总得分为：， 令，解得，因为X是答对题数，所以， 因为小明答对每道题的概率均为p，所以， 所以， . （2）因为，所以， 则， 设小明在B组题中答对Y道，则，B组题的总得分， 同理， 令，，解得， 所以当时，选择B组题总得分期望值更高；当时，选择A组题和B组题的总得分期望相同；当时，选择A组题总得分期望值更高. 【例3.4.】 甲参加围棋比赛，每局比赛甲获胜的概率为，输的概率为，每局比赛的结果独立． (1)当时，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利？ (2)比赛采用3局2胜制，为增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案．方案一：最终获胜者得3分，失败者得分；方案二：最终获胜者得1分，失败者得0分，请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大． 【答案】(1)采用5局3胜制对甲更有利 (2)答案见解析 【难度】0.62 【知识点】求离散型随机变量的均值、独立事件的乘法公式、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）分别计算采用3局2胜制和采用5局3胜制甲最终获胜的概率，比较概率大小即可求解. （2）由（1）可得采用3局2胜制甲最终获胜的概率，分别计算两种方案下甲获得积分的数学期望，通过作差比较其大小即可. 【详解】（1）当采用3局2胜制时：记“甲最终以获胜”为事件，记“甲最终以获胜”为事件，“甲最终获胜”为事件， 于是，与为互斥事件， 由于，， 则， 即采用3局2胜制甲最终获胜的概率为． 当采用5局3胜制时，记“甲最终以获胜”为事件，记“甲最终以获胜”为事件，记“甲最终以获胜”为事件，“甲最终获胜”为事件， 于是，为互斥事件， 由于，， 则， 即采用5局3胜制甲最终获胜的概率为． 显然， 所以采用5局3胜制对甲更有利 （2）由（1）可知，采用3局2胜制甲最终获胜的概率， 若选用方案一，记甲最终获得积分为分，则可取， ， 则的分布列为： 3 则， 若选用方案二，记甲最终获得积分为分，则可取1，0， ， 则的分布列为： 1 0 则， 所以， 由于，则， 于是时，两种方案都可以选， 当时，，应该选第二种方案， 当时，，应该选第一种方案． 【例3.5.】 某个抽奖箱设置（）个白球和8个红球，若一次抽取2个球全是红球的概率为. (1)求的值； (2)某商场为了促进消费，推出购物优惠活动、消费者购物每满300元可参加一次抽奖（例如消费700元可抽两次），在抽奖箱里每次抽取3个球，每抽到一个红球返现30元： ①假设只抽一次，设取出红球的个数为，求的分布列； ②若该商场同时还推出购物享八五折优惠活动，假设某顾客消费900元，应该选择哪种优惠方式更划算，若某顾客消费1000元呢？ 【答案】(1) (2)①的分布列如下： ②消费元时，选择抽奖优惠的平均返现金额更大，消费元时，选择八五折优惠的平均返现金额更大. 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率、求超几何分布的概率、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）由古典概型概率公式列方程即可求解； （2）①先求出随机变量的所有取值，再根据超几何分布求出其概率，从而可求出分布列；②由分布列得到的数学期望，从而得到一次抽奖的期望返现，对于打折和抽奖，分别算出每种情况的优惠，然后对比即可. 【详解】（1）由题可得，抽奖箱内共有个球，一次抽取2个球全是红球的概率为； 即，化简得到， 因为，解得. （2）①的可能取值为，根据超几何分布的概率公式可得： ；； ；； 则的分布列如下： ②由①知的数学期望为， 则单次抽奖的期望返现为：元， 情况1：消费元 抽奖优惠：每满元抽次，可抽次，总期望返现为元， 八五折优惠：节省金额为元， 由于，故消费元时，选择抽奖优惠的方式更划算； 情况2：消费元 抽奖优惠：每满元抽次，可抽次，总期望返现仍然为元， 八五折优惠：节省金额为元， 由于，故消费元时，选择八五折优惠的方式更划算. 【例3.6.】 某生物科技公司研发了一种新型基因编辑技术，用于治疗遗传性疾病，实验数据显示使用第一代技术时单次编辑基因的成功率为，失败率为；使用第二代技术时单次编辑基因的成功率为，失败率为，使用第一代技术与第二代技术编辑的结果相互独立． (1)求使用第一代技术与第二代技术各编辑基因1次，至少成功1次的概率； (2)若该团队采用以下编辑策略：首先使用第一代技术进行最多3次基因编辑，若在此过程中累计成功2次，则整个实验结束；若完成3次编辑后累计成功次数仍少于2次，则再使用第二代技术进行2次编辑，随后实验结束，求整个实验过程中基因编辑成功次数的分布列与期望； (3)在实际实验中，研究团队可以在任意一次基因编辑中使用第一代或第二代技术，且每次只能使用其中某一代技术．已知每次使用第一代技术的成本为1000元，每次使用第二代技术的成本为2000元，编辑一次成功的收益为5000元，编辑一次失败的收益为0元．若某次实验需要进行2次基因编辑，每次基因编辑的结果相互独立，从净收益的数学期望角度分析，第一代技术应选择使用几次？ 【答案】(1) (2) 0 1 2 3 (3)2次 【难度】0.52 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值、均值的实际应用 【分析】（1）利用对立事件，计算两次均失败的概率，再用1减去即得至少一次成功的概率； （2）根据实验流程分类讨论所有可能成功次数，分别计算每种情况的概率，得到分布列后求期望； （3）设使用第一代技术的次数为，写出总成本与期望成功次数的表达式，再求净收益期望关于的线性函数，由单调性确定最优解. 【详解】（1）设使用第一代技术编辑成功为事件,使用第二代技术编辑成功为事件，两次编辑至少成功一次为事件，则， 所以， 所以使用第一代技术与第二代技术各编辑基因1次，至少成功1次的概率为； （2）根据题意，随机变量的可能取值为， 即所有实验均失败，所以； 包含第一阶段恰好成功1次且第二阶段均失败和第一阶段均失败且第二阶段恰好成功1次， 所以； 分为三种互斥情况： ①第一阶段成功2次，实验停止，概率为； ②第一阶段成功0次，第二阶段成功2次，概率为 ； ③第一阶段成功1次，第二阶段成功1次，概率为； 所以； 包含第一阶段恰好成功1次且第二阶段2次均成功， 所以， 所以整个实验过程中基因编辑成功次数的分布列为 0 1 2 3 所以； （3）设2次编辑中使用第一代技术的次数为,所以可能的取值为， 所以使用第二代次数为， 设总成本为，所以， 总成功次数期望， 设净收益为， 所以， 函数值随增大而增大，所以时净收益最大，即两次均使用第一代技术. 题型4：概率与数列交汇的问题 方法提炼 【例4.1.】 B两个箱子中各装有3个产品，其中A箱子中是2个正品和1个次品，B箱子中是3个次品.现从A、B两箱子中各取一个产品交换放入另一箱子中，则第一次交换后，A箱中仍有2个正品一个次品的概率为________，重复n次这样的操作后，记A箱子中正品个数为，的数学期望________.（用n表示） 【答案】 【难度】0.45 【知识点】求离散型随机变量的均值、利用全概率公式求概率、递推法求概率、构造法求数列通项 【分析】根据给定条件，利用相互独立事件的概率公式求出第一次交换后，A箱中仍有2个正品一个次品的概率；利用全概率公式，构造概率递推公式，再利用构造法求出数列通项. 【详解】第一次交换后，A箱中仍有2个正品一个次品的事件是A箱取次品、B箱取次品的事件， 所以第一次交换后，A箱中仍有2个正品一个次品的概率为； A箱子中正品个数为，恰有2个正品的概率为，恰有1个正品的概率为， 则；，， 由全概率公式得， ， 得， 当时，，则， 而，因此数列是首项为，公比为的等比数列， 则，即， 所以. 【例4.2.】 新年伊始，某车间开始生产活动．已知该车间每天被安排生产甲产品或乙产品的概率均为，且要求，两位员工中，每天至少有一人值班．为了公平起见，当某天被安排生产甲产品时，若之前的值班总天数多于，则两者当天均值班，若之前的值班总天数不多于，则值班；同样的，当某天被安排生产乙产品时，若之前的值班总天数多于，则两者当天均值班，若之前的值班总天数不多于，则值班．设刚开始时两人值班总天数均为． (1)分析开工第二天后，两人值班天数的所有情况； (2)求天后，两位员工值班总天数相同的概率； (3)求天后，值班总天数的期望． 参考公式：随机变量，的期望满足公式 【答案】(1)情况有三种：一天，两天；两天，一天；，各一天 (2) (3) 【难度】0.37 【知识点】分类加法计数原理、求离散型随机变量的均值、由定义判定等比数列、求等比数列前n项和 【分析】（1）结合题意列举出符合题意的情况即可. （2）结合题意并且构造等比数列，进而得到即可. （3）结合题意求出每种情况的概率，再得到数学期望，最后结合期望的性质求和即可. 【详解】（1）由题意可知，第一天只有一人值班， 则第二天两人都值班或第一天未值班的人单独值班， 所以开工第二天后，两人的值班天数的情况有三种， 为一天，两天；两天，一天；，各一天； （2）由题意可知，两人值班总天数之差至多为， 且值班总天数较少者下一天单独值班的概率为， 由对称性可知，的值班总天数多于， 与的值班总天数多于的概率相等，均为， 所以， 所以， 又因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 即，所以； （3）设第天值班的天数为随机变量， 则天后总值班天数为，由题意可知，的取值为或， 易知， 即， 所以， 因为， 所以 ． 【例4.3.】 某中学某社团组织知识问答比赛，每名参赛选手都赋予6分的初始积分，每答对一题加1分，每答错一题减1分，已知小王每道题答对的概率为，答错的概率为，且每道题答对与否互不影响. (1)求小王答3道题后积分小于6的概率； (2)设小王答4道题后积分为，求； (3)若小王一直答题，直到积分为0或12时停止，记小王的积分为时，最终积分为12的概率为，请直接写出和的值，并求出的值. 【答案】(1) (2) (3)，， 【难度】0.33 【知识点】求离散型随机变量的均值、独立重复试验的概率问题、递推法求概率 【分析】（1）分小王3题都答错，或答对1题答错2题讨论，再利用独立事件乘法公式和加法公式即可得到答案； （2）设小王答对的题数为，得到关系式，再利用二项分布的均值公式和均值性质即可得到答案； （3）首先需对边界条件进行直接判断，即和，再求出的递推公式，分析可知数列为等比数列，求得，再利用累加法和等比数列求和即可得到答案. 【详解】（1）小王答3道题后积分小于6，有两种情况：3题都答错；答对1题，答错2题. 3题都答错的概率为；答对1题，答错2题的概率为：. 所以小王答3道题后积分小于6的概率为： （2）法一：设小王答对的题数为，则他答错的题数为，所以. 由题意知，所以，所以. 法二：的可能取值为2，4，6，8，10. 则：；；； ； 所以，. （3）当积分已为0时，游戏已停止，无法再达到12分，故； 当积分已为12时，游戏已停止，已是目标状态，故. （i）当小王的积分为时， 若小王接下来一题答对，则积分变为，若小王接下来一题答错，则积分变为. 由全概率公式有，即，整理可得. 又，所以为等比数列. （ii）由（i）可得， 所以， 又，所以. 所以 . 【例4.4.】 某班级开展一次卡片抽奖活动，在一个不透明的箱子中共有6张卡片，其中有4张普通卡片，2张稀有卡片，学生随机从箱子中取出一张卡片，如果取出普通卡片，则把它放回箱子中；如果取出稀有卡片，则该稀有卡片不再放回，并且另补一张普通卡片放到箱子中.重复上述过程次后，箱子中普通卡片的张数记作，的数学期望记为. (1)求随机变量的分布列； (2)设. （ⅰ）用含的式子表示； （ⅱ）证明：是等比数列，并求. 【答案】(1)分布列见解析 (2)（ⅰ）（ⅱ）证明见解析 【难度】0.48 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、由递推关系证明等比数列 【分析】（1）先确定的取值，再根据取球规则计算各取值对应的概率，从而得到分布列. （2）第一问，根据的取值及取球规则，用表示各取值的概率，再代入数学期望公式计算.第二问，先通过构造证明是等比数列，然后求出. 【详解】（1）根据题意，的可能取值为. 即二次抽卡均抽到普通卡片，， 即二次抽卡恰好抽到一普通一稀有卡片，， 即二次抽卡均抽到稀有卡片，， 所以的分布列为 4 5 6 （2）（ⅰ）设第次抽卡抽到稀有卡片为事件， 则， . . （ⅱ）由（ⅰ）及，得， ， 所以，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即. 【例4.5.】 某工业系统内初始装有1个A类部件和2个B类部件.工作人员往系统内增添这两类部件，具体操作如下：每次从系统中随机抽调1个部件，记录类别后将其保留在系统中，同时向系统内增补1个与所抽调部件类别不同的部件.记第次操作抽调到A类部件的概率为，第n次操作后系统内A类部件的数量为. (1)求与的值； (2)求与的关系式； (3)求. 【答案】(1)，； (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】求离散型随机变量的均值、累加法求数列通项、递推法求概率、独立事件的乘法公式 【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式以及全概率公式直接计算即可得； （2）由题意可得，利用期望公式可得，则由计算即可得解； （3）由（2）可得，即可得 ，再利用累加法计算即可得解. 【详解】（1）由题意可得，； （2）第次操作抽到类部件的概率等于第次操作后类部件占比的期望， 第 次操作抽到类部件的概率等于第次操作后类部件占比的期望， 故有，， 若第次操作时，取到类部件，则类部件的数量不变， 若第次操作时，取到类部件，则类部件的数量加， 故， 故， 即； （3）由， 则， 即 ， 则 ，， ，， 则 ， 即，则， 故， 故. 【例4.6.】 在全球化的现代社会中，物流网络已成为支撑经济发展、促进区域协同的关键基础设施.物流能否准时送达，将影响到消费者的购物体验，而物流提前送达往往能够超越客户预期，显著提升满意度.某物流公司每天需要从干线枢纽发送包裹至目的地城市，从干线枢纽到目的地城市，有三种方案供选择：方案A：选择高速支线，物流提前送达的概率为；方案B：选择高速干线，物流提前送达的概率为；方案C：选择国道线路，物流提前送达的概率为. (1)物流公司每次随机选择一种方案，求物流提前送达的概率； (2)物流公司研发了一套智能自适应调度系统，这套系统的核心算法如下：①第1次，随机选择一种方案；②从第2次起，若前一次物流提前送达，则沿用此方案；若前一次未提前送达，则在三种方案中随机选择一种.记第n次选择方案，，的概率分别为，，. （i）求，，并证明：数列为等比数列； （ii）在研发的这套智能自适应调度系统的核心算法下，求物流提前送达的概率；（提示：可构造为等比数列（其中，为常数）） （iii）判断智能自适应调度系统能否提高物流提前送达的概率，并说明理由. 【答案】(1)； (2)（i），，证明见解析；（ii）；（iii）能提高. 【难度】0.4 【知识点】由定义判定等比数列、利用全概率公式求概率、递推法求概率 【分析】（1）由题意，根据全概率公式，即可求得答案. （2）（i）根据条件，代入数据，求出，；分别求出和的表达式，即可得的表达式，化简整理，结合等比数列的定义，即可得证. （ii）由（i）得的通项公式，同理可得的通项公式，联立可得和，求出第n次提前送达的概率； （iii）分析比较，即可得答案. 【详解】（1）每次随机选择一种方案，则三种方案被选中的概率均为， 设物流提前送达为事件D，则. （2）（i）第一次随机选择，则， 若第一次提前送达，概率为，若第一次未提前送达，则概率为， 则，， 由题意得， ，， 则 ， 又， 所以是以为首项，为公比的等比数列. （ii）由（i）得①， 同理 ，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以②， ①②联立得， 设第n次提前送达事件为， 则 ， （iii）随着n增大，逐渐增大，且， 所以当时，， 因此从第2次起，智能自适应调度系统逐步提高物流提前送达的概率. 【例4.7.】 某逃脱关卡游戏的最后一关有3扇外观有细微差异的传送门，其中仅有1扇传送门可通往安全出口，资深玩家可以识别细微差异，新手玩家无法识别这种差异．该关卡的游戏规则为：每位玩家每次仅选1扇传送门尝试，选对且走出安全出口，游戏结束，选错则重新选择．规定每位玩家至多有10次尝试的机会，且每次尝试后传送门的顺序会随机调整．现有新手玩家和资深玩家独立挑战该关卡，玩家每次均从3扇门中等可能随机选择1扇门尝试，各次选择相互独立；玩家每试错1扇门，下次则不重复选择已选错的门．设挑战结束时，随机变量分别为玩家尝试的次数． (1)求； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】错位相减法求和、写出简单离散型随机变量分布列、独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）依题意，分别列出的所有可能的值，求出对应的概率分布列，再由结合独立事件概率乘法公式计算即得； （2）根据（1）的结论求出的表达式，利用错位相减法求其和即可得证. 【详解】（1）由已知得： 所以 设资深玩家B在第i次尝试中选对为事件， 则 所以， 又因为随机变量相互独立， 所以 （2） 当时， 当时， 得 设①，此时， ② ①－②得： 所以 【例4.8.】 某湿地公园有两条散步路线，分别记为路线和路线．湿地附近的居民经常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率均为；前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率分别为和．已知居民第一天选择路线的概率为，选择路线的概率为． (1)若有4位居民连续两天去湿地散步，记其中第二天选择路线散步的人数为，求的分布列和数学期望； (2)若某居民每天都去湿地散步，记他第天选择路线的概率为． （i）证明：数列是等比数列； （ii）设，证明：． 【答案】(1) 0 1 2 3 4 ； (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【难度】0.42 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、求等比数列前n项和、利用全概率公式求概率、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）先求居民第二天路线的概率，然后根据二项分布的概率公式求出概率，可得分布列，利用二项分布期望公式可得期望； （2）（i）分析第n天选择路线A和路线B情况下第n+1天选择路线A的概率，再由全概率公式列式，求出关系式，利用构造法证明数列是等比数列并求出通项公式；（ii）借助放缩法及等比数列前n项和公式推理得证. 【详解】（1）记附近居民第天选择路线分别为事件， 依题意，，， 则由全概率公式，得居民第二天选择路线散步的概率； 记第二天选择路线散步的人数为，则， 则， 则的分布列为： 0 1 2 3 4 故的数学期望； （2）（i）当第天选择路线时，第天选择路线的概率为； 当第天选择路线时，第天选择路线的概率为， 由全概率公式得， 所以，而， 于是数列是首项为，公比为的等比数列， 因此，即； （ii）由（i）知， 当时，， 而，所以； 当时，，而， 所以 所以． 【例4.9.】 如图，已知一个质点每隔相等时长，按随机方向，等可能地沿着正方体的棱从1个顶点移动到另1个顶点．设一个质点从顶点出发，第次运动后，质点回到点的概率为． (1)求和； (2)设第次运动后，质点移动到点的概率分别为、、． ①证明：，； ②求． 【答案】(1)；； (2)①证明见详解；②. 【难度】0.3 【知识点】求等比数列前n项和、由递推关系证明等比数列、递推法求概率、分组（并项）法求和 【分析】（1）通过质点在不同时间的移动路径来确定回到点的概率； （2）①利用正方体的对称性以及质点移动的概率关系即可证明等式； ②通过质点到达各点的概率关系，化简可得，通过对的取值进行奇偶讨论，即可求得. 【详解】（1）质点从出发，第1次运动有3个方向，即、、，概率均为， 第2次要回到，必须从第1次到达的顶点（、、）沿原路返回，每个顶点返回的概率为， 所以； 第3次运动要回到，第二次必须在与相邻的顶点（、、）， 但第2次运动质点不可能出现在顶点、、，所以； （2）①设第次到达，其概率为，则第次一定出现在与相邻的、、，每个顶点到达的概率均为， 因为质点从出发，顶点与顶点为其对称点， 所以第次到达顶点的概率与第次到达顶点的概率相同，均为， 又质点第次到达顶点的概率为, 所以； 同理，设第次到达，其概率为，则第次一定出现在与相邻的、、，每个顶点到达的概率均为， 因为质点从出发，顶点与顶点为其对称点， 所以第次到达顶点的概率与第次到达顶点的概率相同，均为， 又质点第次到达顶点的概率为, 所以； ②根据①的计算，可得，，与，联立， 可得，化简整理得，即， 所以， 又，，，，， 所以，， ， 当为偶数时，数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，即， 所以        ， 当为奇数时，，，，，，， 所以， 即，所以， 所以当为偶数时， ， 所以当为奇数时， ， 综上所述，. 题型5：概率与函数交汇的问题 【例5.1.】 为促进消费，某电商平台和生产商在本周联合推出“有奖闯关”活动．活动规则如下：消费者成功闯过第一关获得基础券（获得元基础券的概率为，获得元基础券的概率为）．闯过第一关后，可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券元，且这两种优惠券可叠加使用抵扣支付金额．已知消费者闯过第一关的概率为，闯过第二关的概率为．某生产商将商品定价元，成本元；优惠券成本由生产商承担基础券面额的，进阶券面额的． (1)若，，记消费者购买一件该商品的实际支付金额为（单位：元），求的分布列和数学期望； (2)设所有消费者均闯过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为，记生产商销售一件该商品的期望利润为（单位：元）．（期望利润购买概率（支付金额的期望商品成本）优惠券成本的期望） （i）求关于的函数表达式； （ii）证明：在内存在唯一极大值点，并求当为何值时，商家期望利润最大？最大期望利润是多少?（结果保留位小数） 【答案】(1)分布列见详解， (2)（i） （ii）证明见详解，时，最大期望利润为 【难度】0.4 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、独立事件的乘法公式、由导数求函数的最值（不含参）、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）分析消费者实际支付金额的所有可能取值，计算每个取值对应的概率，得到分布列，计算； （2）（i）计算消费者支付金额的期望，再计算优惠券成本的期望，分别计算基础券成本期望和进阶券成本期望，再求和，最后根据期望利润的定义，结合购买概率，代入支付金额期望、商品成本、优惠券成本期望，得到的函数表达式； （ii）对求导，得到导函数，分析导函数在内的单调性，找到导函数极大值点，代入计算最大期望利润. 【详解】（1）实际支付金额的所有可能取值为， ， ， ， ， ， 的分布列为： . （2）(i)求的函数表达式已知所有消费者都闯过第一关，按题目期望利润公式分步计算： 支付金额期望：， 商品成本， 优惠券成本期望：基础券成本， 进阶券成本， 总成本期望， 购买概率， 代入公式： . (ii)对求导得： 令，整理得，解得根为，（舍去，不在内）， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 因此在内存在唯一极大值点，且该点为最大值点， 计算最大期望利润：. 【例5.2.】 2026年4月19日，在北京亦庄举办的人形机器人半程马拉松比赛，备受科技圈关注.赛前某机器人厂家对机器人进行比赛前的测试，进一步检验机器人的稳定性.假设机器人从初始点开始移动，每次的结果可能是向前或向后移动一个步（每步步长1米），向前移动的概率为，向后移动的概率为； (1)若，求4次后停在初始点的概率； (2)求机器人移动3次后停在初始点前方的概率； (3)设计测试规则如下：第一轮测试，机器人从初始点开始移动，设置机器人前方移动的概率，若机器人移动3次后停在初始点前方，则进入第二轮测试，否则测试结束；第二轮测试，机器人重新从初始点开始移动，重新设置机器人前方移动的概率，移动3次后，若机器人停在初始点前方，则以机器人停留的位置与初始点的距离作为两轮测试的最终得分.若机器人停在初始点后方或初始点处，则两轮测试的最终得分为0分（规定测试一轮结束的得分也是0分）.记两轮测试最终得分的期望，若存在极大值点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.41 【知识点】独立重复试验的概率问题、写出简单离散型随机变量分布列、函数（导函数）图像与极值点的关系、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）机器人移动4次后停在初始点，那么4次中有两次移动向前，有两次移动向后，根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得； （2）若机器人移动3次后停在初始点前方，则向前移动2次、向后移动1次或向前移动3次、向后移动0次； （3）求出第一轮测试结束进入第二轮测试的概率，设两轮测试最终得分为随机变量，则的所有可能取值为0，1，3，求出，利用导数说明函数的极大值点情况，即可求出参数的取值范围. 【详解】（1）设事件：机器人移动4次后停在初始点，那么 机器人移动4次后停在初始点，那么4次中有两次移动向前，有两次移动向后， . （2）设事件：机器人移动3次后停在初始点前方，那么若机器人移动3次后停在初始点前方，则向前移动2次、向后移动1次或向前移动3次、向后移动0次， 所以，. （3）第一轮测试结束进入第二轮游戏的情况有2种，分别是3次向前；2次向前、1次向后； 则其概率为； 所以，的所有可能取值为0，1，3 ， ，， 所以， 因为，所以， 所以当时，；当时； ，， 由于，所以的符号由决定， 令，那么当时，， 因为，，， 根据零点存在性定理可得，存在使得，存在使得， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，在处取极大值即存在极大值点； 当时，， 因为，，， 根据零点存在性定理可得，存在使得，存在使得， 要使在上存在极大值点， 则， 解得或， 因为，所以； 综上所述. 【例5.3.】 某超市推出一款新玩具，每件玩具内有一张卡片，总共有种不同类型的卡片，且每件玩具内每种类型卡片出现的概率相同，甲每次从中随机购买一件玩具． (1)若，求甲恰好购买3件玩具就集齐2种不同类型的卡片的概率． (2)在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为，用表示事件首次发生时的试验次数，且的分布列为，，则随机变量服从几何分布，该几何分布的期望为．已知甲集齐种不同类型的卡片恰好需要购买的玩具数为． （i）求的数学期望； （ii）证明：． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【难度】0.24 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、用导数判断或证明已知函数的单调性、求离散型随机变量的均值、利用导数证明不等式 【分析】（1）应用独立事件概率乘积公式计算求解； （2）（i）根据数学期望性质计算求解；（ii）先求出导函数，再根据导函数正负得出单调性，再应用累加法计算证明不等式. 【详解】（1）甲第一次一定会得到一张卡片，甲第二次得到的卡片和第一次得到的卡片相同，甲第三次得到的卡片和第一次得到的卡片不同， 则甲恰好购买3件玩具就集齐2种不同类型的卡片的概率为． （2）（i）设表示在甲已获得第种类型的卡片后，获得第种类型卡片需要购买的玩具数，则． 甲第一次购买玩具得到第1种类型的卡片的概率为1， 在甲已获得第1种类型的卡片后，每次试验中获得第2种类型卡片的概率为， 在甲已获得第2种类型的卡片后，每次试验中获得第3种类型卡片的概率为， 依此类推，在甲已获得第种类型的卡片后，每次试验中获得第种类型卡片的概率为，则均服从几何分布， 所以． （ii）证明：． 设，则． 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以，得，当且仅当时，等号成立． 令，得，则．① 设，则． 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以，得， 当且仅当时，等号成立． 令，得，则．② 由①②得， 所以， 即 【例5.4.】 调和级数在工程学、物理学和计算数学中都有广泛的运用．欧拉证明了调和级数，其中被称为欧拉常数，为误差．当足够大时，我们近似的认为，在本题中，调和级数均取这个近似值． (1)证明：当时，； (2)利用（1）证明； (3)某公司因为业务拓展，临时举行一次面试，每一个人面试完后，必须当场决定是否留用该面试者．如果不聘用，面试者会马上转去其它公司．假设每个面试者的水平均不相同，为了选出其中最好的两人，面试官决定采用以下策略：选择前个候选人作为观察期，记录其中最佳者（记为）．在后续候选人中，选择第一个比更优的候选人（记为），并继续寻找第二个比更优者（记为）．如果找到满足条件的、，则录取、，剩下的候选者不再进行面试．如果后续候选人中没有比更好的两个人，则招聘失败．已知有个候选人来参加面试，估计取多少时，招聘到最优秀的两个人的概率最大？（参考数据：） 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【难度】0.2 【知识点】利用导数证明不等式、递推法求概率 【分析】（1）分别构造函数、，利用导数分析这两个函数在上的单调性，可得出、，即可证得结论成立； （2）令，由（1）得，可得：，由此得出，，，利用不等式的可加性以及调和级数可证得结论成立； （3）把候选人的能力由低到高记为，其中，为最优秀的两人．先按“第二个最优秀者出现的位置”分类，求出成功概率，再用调和级数近似和导数分析确定最大概率对应的． 【详解】（1）令，则， 当时，，即在上单调递减， 故，即； 令，则， 当时，，即在上单调递增，故， 即. 综上所述，当时，. （2）令，由（1）得，可得：，，，， 叠加可得，， 由调和级数 可得， ， 由，可得 ，得，故. （3）设共有个候选人，不妨把他们按能力由低到高记为，其中与是最优秀的两人． 设最优秀的两人中较晚出现的一个在第位． 若策略最终成功，则必有，且另一个最优秀者在第位到第位之间，共有种位置选择． 对固定的和另一个最优秀者的位置，两个最优秀者占据这两个位置的概率为． 在第位到第位中，除去这两个最优秀者后还剩个位置． 为了使面试官在第位之前不会把其他人误选为第二个录取者， 这个位置中能力最高者必须出现在前个观察期内，其概率为． 所以成功选出最优秀两人的概率为 因为，所以 又 由调和级数近似可得 所以 令，则，并且 当时，只需研究函数 求导得，设， 再求导得，设，则 因此在上单调递增． 又 结合可知，在上的最大值点满足． 当时，；当时，． 其余整数对应的在这两个值两侧，概率不会更大．下面比较这两个候选值． 由参考数据，得 由参考数据，得 所以，即当时，招聘到最优秀的两个人的概率最大． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 随机变量及其分布 目录 题型1：摸球问题 2 题型2：比赛问题 4 题型3：决策问题 7 题型4：概率与数列交汇的问题 9 题型5：概率与函数交汇的问题 12 1. 离散型随机变量的分布列及其性质 设离散型随机变量的可能取值为,取每一个值的概率，则称表 … … … … 为离散型随机变量的概率分布列，简称分布列.它具有以下性质： ①； ②. 2. 离散型随机变量的数学期望与方差 若离散型随机变量的分布列为 … … … … 则称为随机变量的均值或数学期望.称为随机变量的方差，并称其算术平方根为随机变量的标准差,记为. 3. 均值与方差的性质 ①；. ②. ③如果相互独立，则. ④. 题型1：摸球问题 方法提炼 常见的模型及分布 摸球场景 对应模型 分布列 有放回地抽取，计成功次数 二项分布 次取球中，有次取到红球的概率（每次摸到红球的概率为） 无放回地抽取，计某类个数 超几何分布 假设一批产品共有个, 其中有个次品. 每次从这批产品中随机抽出一件来检查且不放回, 共取次 (相当于一次同时取件产品), 则抽取的件产品中有件是次品的概率. 有放回地抽取，首次成功 几何分布 第次成功， 无放回地抽取，首次成功 条件概率/排列 共个球，其中个“成功球”，第次取到成功球， “相同”的小球 (比如除了颜色不同其他方面完全相同的小球) 古典概型 通常要将“相同的”小球视为“不同的”元素, 再利用排列组合知识进行分子分母的计算. 【例1.1.】 乙两个盒子中分别装有大小及形状完全相同的三个小球，且均各自标号为1、2、3．现分别从这两个盒子中随机取一个球，用表示两球上的数字之和，设的期望为，则________． 【例1.2.】 盒子中有5个除了颜色外完全相同的小球，其中有1个白球，2个黄球，2个红球．现从盒中不放回地取球，每次取一个球，当三种颜色的球都有取到时停止，记停止时取出的球的个数为随机变量，则第二次取出的是黄球的条件下第三次取出的是红球的概率为__________，的数学期望为__________． 【例1.3.】 现有除颜色外都相同的个红球和个白球，随机取个球放入一个不透明的袋中，记袋中红球的个数为．从袋中随机摸出一个球，并放入一个另一种颜色的球，经过次摸球，袋中的红球个数记为． (1)求和； (2)求； (3)当时，求随机变量的分布列和数学期望． 【例1.4.】 有一个袋子中装有4个红球，2个黑球，现每次从袋子中随机取出一个球，连续取三次． (1)若每次取出的球放回，记取出黑球的次数为，求的分布列和期望； (2)若每次取出的球不放回，已知第三次取出的是黑球，求此时袋中没有黑球的概率． 【例1.5.】 甲、乙两工厂试生产同一型号的零件，经检验，甲工厂试生产的零件的合格率为80%，乙工厂试生产的零件的合格率为90%，若将这些零件混合放在一起且甲乙两厂零件数之比为1:4. (1)从混合放在一起的零件中随机抽取一个： ①抽到合格产品的概率. ②若该零件是合格品，求该零件来自甲工厂的概率； (2)已知这批混合零件共10件，甲厂2件，乙8件，从中不放回随机抽取3件，记这3件来自甲厂的个数为，求的分布列及期望. 【例1.6.】 箱内有3个除编号外都相同的小球，编号为1，2，3．游戏规则如下：从箱中取出一个小球，记下编号并放回，重复这个过程，直至某次取到小球的编号小于或等于上一次取到小球的编号时，游戏停止．记游戏停止时，取球次数为X． (1)求第一次取到2号球的条件下，第二次取球后游戏停止的概率； (2)求X的分布列和数学期望． 【例1.7.】 一个袋中装有2个红球和4个白球，这些球除了颜色以外完全相同．每次从袋中随机取出一个球，取出的球不放回． (1)求第二次取出的是红球的概率； (2)若第三次取球时发现取出的是红球，求此时袋中没有红球的概率； (3)设2个红球都被取出时，已经取出的白球个数为，求的分布列和期望． 题型2：比赛问题 方法提炼 (1) 常见的比赛规则 第一类：局胜制 这种规则的特点为一旦某方获得次胜利即终止比赛，所以若比赛提前结束，则一定在最后一次比赛中某方达到胜. 第二类：连胜制 规定某方连胜场即终止比赛，所以若提前结束比赛，则最后场连胜且之前没有达到场连胜. 第三类：比分差距制 规定某方比对方多分即终止比赛，此时首先根据比赛局数确定比分，在得分过程中要注意使两方的分差小于，结束时分差正好等于. (2) 解决此类问题的方法 ①善于引入变量表示事件：可用“字母＋变量角标”的形式表示事件“第几局胜利”.例如表示“第局比赛胜利”，则表示“第局比赛失败”. ②善于使用对立事件求概率：若所求事件含情况较多，可以考虑求对立事件的概率，再用解出所求事件的概率.在处理离散型随机变量分布列时，也可利用概率和为1的特点，先求出包含情况较少的事件的概率，再间接求出包含情况较多的事件的概率. 【例2.1.】 乙两人进行羽毛球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，若的数学期望为，则（    ） A． B． C． D．或 【例2.2.】 甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛，规定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局的比赛的胜者与轮空者进行下一局对打，负者下一局轮空，如此循环．设甲对乙、丙的胜率均为，乙、丙之间的胜率互为． (1)求甲连续打前四局比赛的概率； (2)前四局中，求在第二局乙获胜的条件下甲轮空两局的概率； (3)如果甲胜一局得2分，输一局不得分，记打完前三局后甲的得分为，求的分布列和期望． 【例2.3.】 甲、乙两支排球队进行一场比赛，比赛采取5局3胜制，每局比赛甲获胜的概率均为，比赛没有平局，且每局比赛的结果相互独立． (1)求前2局比赛甲、乙两队各胜一局的概率； (2)在甲获得比赛胜利的条件下，求甲在第3局获胜的概率； (3)记比赛结束时所进行的局数为，求的分布列及数学期望． 【例2.4.】 甲、乙两名同学进行羽毛球比赛，每局比赛无平局，且各局比赛结果相互独立.已知单局比赛中，甲获胜的概率为. (1)双方进行比赛，先赢得局比赛的一方获胜. （ⅰ）若，求乙获胜的概率； （ⅱ）求在甲获胜的条件下，乙至少获胜一局的概率（用表示）. (2)设双方进行满局比赛（不提前结束），甲赢得至少局的概率；双方进行比赛，采用至少赢局且至少多赢局的规则（例如甲至少赢局，且净胜乙至少局时，甲获胜），甲获胜的概率.比较与的大小. 【例2.5.】 为了测试AI象棋软件算法的有效性，棋协组织两位象棋大师甲、乙分别与象棋软件进行比赛.比赛规则如下：在一局比赛中，甲、乙两位象棋大师分别与象棋软件进行一盘比赛，每盘比赛获胜得1分，否则得0分（每盘棋都分胜负、没有平局），每盘棋比赛结果互不影响，各局之间的结果也互不影响.已知象棋大师甲、乙每盘比赛获胜的概率分别为，. (1)设前两局比赛中，两位象棋大师一共得3分为事件，象棋大师甲得2分为事件，求； (2)由于象棋软件受运行时长和散热影响，本次比赛最多进行6局，且当两位象棋大师的总得分与象棋软件的得分相差2分时比赛结束.设比赛结束时共进行了局，求的分布列及数学期望. 【例2.6.】 乒乓球作为我国的“国球”，一直以来都深受广大人民群众的喜爱．某学校高三年级将要举办乒乓球比赛，为更好备战，甲、乙、丙三位选手练习打乒乓球，每局均分胜负，第一局甲、乙对打，丙轮空，此后每局的胜者与轮空者进行下一局对打，每局双方获胜的概率相同，每局的结果相互独立． (1)求前五局中甲恰好参与了四局的概率； (2)若至多进行12局练习，且如果有选手先获得6局胜利则提前结束练习，记总共练习局数为，求的分布列与期望． 题型3：决策问题 方法提炼 常见的决策依据 (1) 数学期望 决策逻辑：追求“总体更有利”选期望更大（收益）或期望更小（成本、时间）. (2) 方差或标准差 决策逻辑：保守决策选方差更小（更稳定）,激进决策可能接受大方差换高期望 (3) 某事件的概率 决策逻辑：关注“把握有多大”选概率更大的方案 【例3.1.】 流行病学调查表明某种疾病是由致病菌和致病菌共同引起的，且至少杀灭其中一种致病菌即可痊愈. (1)若有某种治疗方案，有的概率能杀灭致病菌.若这种治疗方案能杀灭致病菌，则它有的概率能杀灭致病菌.若这种治疗方案不能杀灭致病菌，则它有的概率能杀灭致病菌.求使用治疗方案痊愈的概率； (2)若市面上仅有两款药物和药物对疾病有疗效，且这两种药物的疗程各均为天（假定药物使用时，均按疗程服用天），超过天无效时需换药进行治疗.若使用完两种药物仍不见效，依靠自身的免疫能力再经过天也能痊愈已知药物杀灭致病菌和致病菌的概率分别为、，且对于同一种药物，杀灭两种致病菌的事件相互独立，药物杀灭致病菌和致病菌的概率均为.请问应先使用哪种药物可使得痊愈的平均天数更短？ 【例3.2.】 某乒乓球比赛采用“三局两胜制”.现有甲、乙两位选手参加比赛，假设每局比赛结果相互独立.已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为. (1)求甲最终赢得比赛的概率； (2)若已知比赛进行了三局才结束，求甲是最终获胜者的概率； (3)比赛中有“赛点”概念：当某位选手再赢一局即可获得整场比赛胜利时，称该选手拥有“赛点”.据统计，当选手拥有“赛点”时，由于其心理压力等因素，其在该局获胜的概率会比其常规单局获胜概率下降10个百分点（例如，若常规胜率为60%，则拥有“赛点”时胜率为50%）.考虑“赛点”效应时，记为比赛的总局数，求的分布列及数学期望.并简要分析此“赛点”效应使得相比于不考虑“赛点”效应时是增大还是减小. 【例3.3.】 某校举办 “一带一路” 知识竞赛，有 A，B两组题可供选择，两组题都有8道题，每位参赛选手选择一组题，且所选组别的所有题均作答。若参赛选手选择A组题，则答对一道题得3分，答错一道题得分；若参赛选手选择 B 组题，则答对一道题得2分，答错一道题得0分. 已知小明答对每道题的概率均为p (0<p<1)，且每道题的答题情况相互独立. (1)若p，小明选择A组题作答，求他的总得分为正的概率； (2)讨论小明选择哪组题进行答题，能使自己的总得分的期望更高. 【例3.4.】 甲参加围棋比赛，每局比赛甲获胜的概率为，输的概率为，每局比赛的结果独立． (1)当时，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利？ (2)比赛采用3局2胜制，为增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案．方案一：最终获胜者得3分，失败者得分；方案二：最终获胜者得1分，失败者得0分，请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大． 【例3.5.】 某个抽奖箱设置（）个白球和8个红球，若一次抽取2个球全是红球的概率为. (1)求的值； (2)某商场为了促进消费，推出购物优惠活动、消费者购物每满300元可参加一次抽奖（例如消费700元可抽两次），在抽奖箱里每次抽取3个球，每抽到一个红球返现30元： ①假设只抽一次，设取出红球的个数为，求的分布列； ②若该商场同时还推出购物享八五折优惠活动，假设某顾客消费900元，应该选择哪种优惠方式更划算，若某顾客消费1000元呢？ 【例3.6.】 某生物科技公司研发了一种新型基因编辑技术，用于治疗遗传性疾病，实验数据显示使用第一代技术时单次编辑基因的成功率为，失败率为；使用第二代技术时单次编辑基因的成功率为，失败率为，使用第一代技术与第二代技术编辑的结果相互独立． (1)求使用第一代技术与第二代技术各编辑基因1次，至少成功1次的概率； (2)若该团队采用以下编辑策略：首先使用第一代技术进行最多3次基因编辑，若在此过程中累计成功2次，则整个实验结束；若完成3次编辑后累计成功次数仍少于2次，则再使用第二代技术进行2次编辑，随后实验结束，求整个实验过程中基因编辑成功次数的分布列与期望； (3)在实际实验中，研究团队可以在任意一次基因编辑中使用第一代或第二代技术，且每次只能使用其中某一代技术．已知每次使用第一代技术的成本为1000元，每次使用第二代技术的成本为2000元，编辑一次成功的收益为5000元，编辑一次失败的收益为0元．若某次实验需要进行2次基因编辑，每次基因编辑的结果相互独立，从净收益的数学期望角度分析，第一代技术应选择使用几次？ 题型4：概率与数列交汇的问题 方法提炼 【例4.1.】 B两个箱子中各装有3个产品，其中A箱子中是2个正品和1个次品，B箱子中是3个次品.现从A、B两箱子中各取一个产品交换放入另一箱子中，则第一次交换后，A箱中仍有2个正品一个次品的概率为________，重复n次这样的操作后，记A箱子中正品个数为，的数学期望________.（用n表示） 【例4.2.】 新年伊始，某车间开始生产活动．已知该车间每天被安排生产甲产品或乙产品的概率均为，且要求，两位员工中，每天至少有一人值班．为了公平起见，当某天被安排生产甲产品时，若之前的值班总天数多于，则两者当天均值班，若之前的值班总天数不多于，则值班；同样的，当某天被安排生产乙产品时，若之前的值班总天数多于，则两者当天均值班，若之前的值班总天数不多于，则值班．设刚开始时两人值班总天数均为． (1)分析开工第二天后，两人值班天数的所有情况； (2)求天后，两位员工值班总天数相同的概率； (3)求天后，值班总天数的期望． 参考公式：随机变量，的期望满足公式 【例4.3.】 某中学某社团组织知识问答比赛，每名参赛选手都赋予6分的初始积分，每答对一题加1分，每答错一题减1分，已知小王每道题答对的概率为，答错的概率为，且每道题答对与否互不影响. (1)求小王答3道题后积分小于6的概率； (2)设小王答4道题后积分为，求； (3)若小王一直答题，直到积分为0或12时停止，记小王的积分为时，最终积分为12的概率为，请直接写出和的值，并求出的值. 【例4.4.】 某班级开展一次卡片抽奖活动，在一个不透明的箱子中共有6张卡片，其中有4张普通卡片，2张稀有卡片，学生随机从箱子中取出一张卡片，如果取出普通卡片，则把它放回箱子中；如果取出稀有卡片，则该稀有卡片不再放回，并且另补一张普通卡片放到箱子中.重复上述过程次后，箱子中普通卡片的张数记作，的数学期望记为. (1)求随机变量的分布列； (2)设. （ⅰ）用含的式子表示； （ⅱ）证明：是等比数列，并求. 【例4.5.】 某工业系统内初始装有1个A类部件和2个B类部件.工作人员往系统内增添这两类部件，具体操作如下：每次从系统中随机抽调1个部件，记录类别后将其保留在系统中，同时向系统内增补1个与所抽调部件类别不同的部件.记第次操作抽调到A类部件的概率为，第n次操作后系统内A类部件的数量为. (1)求与的值； (2)求与的关系式； (3)求. 【例4.6.】 在全球化的现代社会中，物流网络已成为支撑经济发展、促进区域协同的关键基础设施.物流能否准时送达，将影响到消费者的购物体验，而物流提前送达往往能够超越客户预期，显著提升满意度.某物流公司每天需要从干线枢纽发送包裹至目的地城市，从干线枢纽到目的地城市，有三种方案供选择：方案A：选择高速支线，物流提前送达的概率为；方案B：选择高速干线，物流提前送达的概率为；方案C：选择国道线路，物流提前送达的概率为. (1)物流公司每次随机选择一种方案，求物流提前送达的概率； (2)物流公司研发了一套智能自适应调度系统，这套系统的核心算法如下：①第1次，随机选择一种方案；②从第2次起，若前一次物流提前送达，则沿用此方案；若前一次未提前送达，则在三种方案中随机选择一种.记第n次选择方案，，的概率分别为，，. （i）求，，并证明：数列为等比数列； （ii）在研发的这套智能自适应调度系统的核心算法下，求物流提前送达的概率；（提示：可构造为等比数列（其中，为常数）） （iii）判断智能自适应调度系统能否提高物流提前送达的概率，并说明理由. 【例4.7.】 某逃脱关卡游戏的最后一关有3扇外观有细微差异的传送门，其中仅有1扇传送门可通往安全出口，资深玩家可以识别细微差异，新手玩家无法识别这种差异．该关卡的游戏规则为：每位玩家每次仅选1扇传送门尝试，选对且走出安全出口，游戏结束，选错则重新选择．规定每位玩家至多有10次尝试的机会，且每次尝试后传送门的顺序会随机调整．现有新手玩家和资深玩家独立挑战该关卡，玩家每次均从3扇门中等可能随机选择1扇门尝试，各次选择相互独立；玩家每试错1扇门，下次则不重复选择已选错的门．设挑战结束时，随机变量分别为玩家尝试的次数． (1)求； (2)求证：． 【例4.8.】 某湿地公园有两条散步路线，分别记为路线和路线．湿地附近的居民经常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率均为；前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率分别为和．已知居民第一天选择路线的概率为，选择路线的概率为． (1)若有4位居民连续两天去湿地散步，记其中第二天选择路线散步的人数为，求的分布列和数学期望； (2)若某居民每天都去湿地散步，记他第天选择路线的概率为． （i）证明：数列是等比数列； （ii）设，证明：． 【例4.9.】 如图，已知一个质点每隔相等时长，按随机方向，等可能地沿着正方体的棱从1个顶点移动到另1个顶点．设一个质点从顶点出发，第次运动后，质点回到点的概率为． (1)求和； (2)设第次运动后，质点移动到点的概率分别为、、． ①证明：，； ②求． 题型5：概率与函数交汇的问题 【例5.1.】 为促进消费，某电商平台和生产商在本周联合推出“有奖闯关”活动．活动规则如下：消费者成功闯过第一关获得基础券（获得元基础券的概率为，获得元基础券的概率为）．闯过第一关后，可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券元，且这两种优惠券可叠加使用抵扣支付金额．已知消费者闯过第一关的概率为，闯过第二关的概率为．某生产商将商品定价元，成本元；优惠券成本由生产商承担基础券面额的，进阶券面额的． (1)若，，记消费者购买一件该商品的实际支付金额为（单位：元），求的分布列和数学期望； (2)设所有消费者均闯过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为，记生产商销售一件该商品的期望利润为（单位：元）．（期望利润购买概率（支付金额的期望商品成本）优惠券成本的期望） （i）求关于的函数表达式； （ii）证明：在内存在唯一极大值点，并求当为何值时，商家期望利润最大？最大期望利润是多少?（结果保留位小数） 【例5.2.】 2026年4月19日，在北京亦庄举办的人形机器人半程马拉松比赛，备受科技圈关注.赛前某机器人厂家对机器人进行比赛前的测试，进一步检验机器人的稳定性.假设机器人从初始点开始移动，每次的结果可能是向前或向后移动一个步（每步步长1米），向前移动的概率为，向后移动的概率为； (1)若，求4次后停在初始点的概率； (2)求机器人移动3次后停在初始点前方的概率； (3)设计测试规则如下：第一轮测试，机器人从初始点开始移动，设置机器人前方移动的概率，若机器人移动3次后停在初始点前方，则进入第二轮测试，否则测试结束；第二轮测试，机器人重新从初始点开始移动，重新设置机器人前方移动的概率，移动3次后，若机器人停在初始点前方，则以机器人停留的位置与初始点的距离作为两轮测试的最终得分.若机器人停在初始点后方或初始点处，则两轮测试的最终得分为0分（规定测试一轮结束的得分也是0分）.记两轮测试最终得分的期望，若存在极大值点，求的取值范围. 【例5.3.】 某超市推出一款新玩具，每件玩具内有一张卡片，总共有种不同类型的卡片，且每件玩具内每种类型卡片出现的概率相同，甲每次从中随机购买一件玩具． (1)若，求甲恰好购买3件玩具就集齐2种不同类型的卡片的概率． (2)在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为，用表示事件首次发生时的试验次数，且的分布列为，，则随机变量服从几何分布，该几何分布的期望为．已知甲集齐种不同类型的卡片恰好需要购买的玩具数为． （i）求的数学期望； （ii）证明：． 【例5.4.】 调和级数在工程学、物理学和计算数学中都有广泛的运用．欧拉证明了调和级数，其中被称为欧拉常数，为误差．当足够大时，我们近似的认为，在本题中，调和级数均取这个近似值． (1)证明：当时，； (2)利用（1）证明； (3)某公司因为业务拓展，临时举行一次面试，每一个人面试完后，必须当场决定是否留用该面试者．如果不聘用，面试者会马上转去其它公司．假设每个面试者的水平均不相同，为了选出其中最好的两人，面试官决定采用以下策略：选择前个候选人作为观察期，记录其中最佳者（记为）．在后续候选人中，选择第一个比更优的候选人（记为），并继续寻找第二个比更优者（记为）．如果找到满足条件的、，则录取、，剩下的候选者不再进行面试．如果后续候选人中没有比更好的两个人，则招聘失败．已知有个候选人来参加面试，估计取多少时，招聘到最优秀的两个人的概率最大？（参考数据：） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $