精品解析：重庆市鲁能巴蜀中学校2025-2026学年九年级下学期半期考试数学试题（4月）

重庆市鲁能巴蜀中学校2025-2026学年九年级下学期半期考试数学试题（4月） 一、选择题（本大题10个小题，每题4分，共40分） 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 2 2. 五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，该几何体的左视图是（） A. B. C. D. 3. 下列调查，样本具有代表性的是（　　） A. 了解全校同学对课程的喜欢情况，对某班男同学进行调查 B. 了解某小区居民的防火意识，对你们班同学进行调查 C. 了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查 D. 了解观众对所看电影的评价情况，对座号是奇数号的观众进行调查 4. 下表是反比例函数的与的几组对应值，其中的值为（ ） 1 1 2 4 A. B. C. D. 5. 下列式子从左到右的变形属于因式分解的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，点A，B，P在上，若，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，AD和分别是与的角平分线，，，则与的面积比是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，线段上的一点C把分割为两条线段，当满足时，则称点C是线段的黄金分割点．某校园有一条笔直的林荫道全长110米，园艺队计划在林荫道旁安装一款景观灯，景观灯的位置为线段上的点C，设米，且该景观灯恰好是林荫道的黄金分割点，则x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，E、F分别是、上的点，其中，交于点M，交于点N，过E点作于点H，连接交于点G，则的值为（ ） A. 4 B. C. D. 10. 已知整式，其中n，为自然数，，，...，均为正整数，且．下列说法： ①若，则关于x的方程的解为； ②若，且关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的最大值为12； ③若A为整系数多项式，则所有符合条件的多项式共有19个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分） 11. 不透明的袋子中装了2个红球，3个黑球，1个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出1个球，刚好是红球的概率为______． 12. 如果一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则该多边形是________边形． 13. 若n为正整数，且满足，则_________． 14. 已知实数x，y满足，则的值为__________． 15. 如图，以为直径作，点C为上的点，连接，将沿射线方向平移至，连接交于点E，连接并延长交于点F，且．若，连接，则的周长为_________． 16. 如果一个四位数满足各个数位数字均不为0且互不相等，当时，则称M为“启航数”，M的千位数字与百位数字组成的两位数为A，十位数字与个位数字组成的两位数为B，规定：，．若N为最小的“启航数”，则的值为_________；已知两个“启航数”，，其中为整数，且，则的值为_________． 三、解答题（本大题2个小题，每小题8分，共16分） 17. 解不等式组： 18. 如图，在中，，，点F为线段上一点，连接，过点C作，交的延长线于点E，且． （1）尺规作图：过点B作的垂线，垂足为点D；（不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：点D为的中点． 证明：，， ． ， ． 在中，． __________． 在与中， ． ___________． ， ， 即点D为的中点． 四、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分） 19. 为普及网络安全知识，增强青少年网络安全防范意识，某校面向全校学生开展了网络安全知识竞赛活动．在竞赛结束后，现从八年级和九年级参加活动的学生中各随机抽取20名同学的成绩进行整理、描述和分析（成绩用x表示，共分为四组：未达标，良好，优秀，卓越），下面给出了部分信息： 八年级学生成绩为：66，76，77，78，79，81，82，83，84，86， 86，86，86，88，91，91，94，95，96，99； 九年级学生成绩属于优秀的数据为：89，88，87，86，84，83，81． 八、九年级学生成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 八年级 86 b 九年级 a 91 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_________，_________，_________； （2）根据以上数据，你认为哪个年级对网络安全知识掌握更好？请说明理由（写出一条理由即可） （3）该校九年级共有学生1050名，随机抽取了九年级80%的学生参加此次网络安全知识竞赛活动，估计九年级参加活动的学生中成绩为优秀和卓越（80分及以上）的学生有多少人？ 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 列方程解下列问题：某工厂生产甲、乙两种产品．每天生产的甲产品比每天生产的乙产品多300个：2天生产的甲产品比3天生产的乙产品多400个． （1）求该工厂每天生产的甲、乙产品各多少个？ （2）为了满足市场需求，工厂进行技术改造．改造后，每天生产乙产品增加的数量比每天生产甲产品增加的数量的多50个．若生产4800个甲产品的天数比生产3200个乙产品所需的天数少2天，求每天生产甲产品增加的数量． 22. 如图，在等腰中，，点为边上的中点，，动点沿以每秒个单位长度的速度运动，到达点停止运动；同时，动点沿以每秒个单位长度的速度运动，到达点停止运动．连接，设点的运动时间为秒，点到边的距离为，与的面积之比为． （1）请直接写出，分别关于x的表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）． 23. 重庆市瀛洲溪体育公园三月的油菜花海吸引了许多人前来游览拍照，如图，A、B、C、D是重庆市瀛洲溪体育公园平面上的四个景点，其中B位于A的正南方向400米处，C位于B的北偏东60°方向400米处，D位于A的正东方向，C位于D的东南方向．（参考数据：，，，） （1）求A、D两处景点之间的距离；（结果精确到个位） （2）现甲从A地出发沿AB前往B地游览，乙从B地出发沿BC前往C地游览，两人同时出发，甲的速度与乙的速度之比为，当两人首次相距200米时乙距离B地多远．（结果保留小数点后一位） 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）连接、，在直线下方的抛物线上有一动点P，过点P作轴交于点D，过点P作于点E，点M为直线上一动点，连接、，当 取得最大值时，求点P的坐标及的周长的最小值； （3）在（2）中 取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，直线上有—动点N，射线与抛物线交于点Q，若 ，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q的坐标的其中一种情况的过程． 25. 在中，，，D是线段上一点，连接．延长至点E，使得．将线段绕点C顺时针旋转α得到线段，交于点G，过点E作于点H，连接． （1）如图1，若，求的度数（用含α的式子表示） （2）如图2，若，连接．用等式表示线段和之间的数量关系，并证明； （3）如图3，若，，M为的中点，将沿所在直线翻折得到，Q为的中点，连接，，当 取得最小值时，直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市鲁能巴蜀中学校2025-2026学年九年级下学期半期考试数学试题（4月） 一、选择题（本大题10个小题，每题4分，共40分） 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数大小比较的方法．根据有理数的大小比较方法“正数都大于0；负数都小于0；两个负数相比较，绝对值大的反而小”找出最小的数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴四个数中最小的数是， 故选：A． 2. 五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，该几何体的左视图是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：该几何体的左视图有两列，小正方形的个数分别为，，如图所示， 3. 下列调查，样本具有代表性的是（　　） A. 了解全校同学对课程的喜欢情况，对某班男同学进行调查 B. 了解某小区居民的防火意识，对你们班同学进行调查 C. 了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查 D. 了解观众对所看电影的评价情况，对座号是奇数号的观众进行调查 【答案】D 【解析】 【分析】抽取样本注意事项就是要考虑样本具有广泛性与代表性，所谓代表性，就是抽取的样本必须是随机的，即各个方面，各个层次的对象都要有所体现． 【详解】解：A、了解全校同学对课程的喜欢情况，对某班男同学进行调查，不具代表性、广泛性，故A错误； B、了解某小区居民的防火意识，对你们班同学进行调查，调查不具代表性、广泛性，故B错误； C、了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查，调查不具有代表性、广泛性，故C错误； D、了解观众对所看电影的评价情况，对座号是奇数号的观众进行调查，调查具有代表性、广泛性，故D正确． 故选D． 考点：抽样调查的可靠性． 4. 下表是反比例函数的与的几组对应值，其中的值为（ ） 1 1 2 4 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题利用反比例函数的定义，先根据已知对应值求出参数，得到反比例函数解析式，再代入对应值求解即可。 【详解】解：∵ 反比例函数为，取已知对应值代入解析式 得 解得 ∴ 反比例函数解析式为 将代入解析式得 ， 解得 5. 下列式子从左到右的变形属于因式分解的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，根据“把一个多项式化成几个整式的积的形式叫因式分解，也叫分解因式”，逐一判断即可． 【详解】解：A、的右边不是积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意； B、不是多项式，不属于因式分解，故本选项不符合题意； C、的右边不是积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意； D、，属于因式分解，故本选项符合题意； 故选：D． 6. 如图，点A，B，P在上，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理和平行线的性质．根据圆周角定理求得，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 7. 已知，AD和分别是与的角平分线，，，则与的面积比是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形对应角平分线的比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方，然后再代入数据即可解答． 【详解】解：∵，和分别是与的角平分线， ∴相似比 ， ∵相似三角形的面积比等于相似比的平方 ∴ 与的面积比为 ． 8. 如图，线段上的一点C把分割为两条线段，当满足时，则称点C是线段的黄金分割点．某校园有一条笔直的林荫道全长110米，园艺队计划在林荫道旁安装一款景观灯，景观灯的位置为线段上的点C，设米，且该景观灯恰好是林荫道的黄金分割点，则x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：设米，则米， 又， ， 整理得：． 9. 如图，在正方形中，E、F分别是、上的点，其中，交于点M，交于点N，过E点作于点H，连接交于点G，则的值为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过作,延长交的延长线于，证明即可得，然后根据同角得余弦值以及正切值，即可求得，的长度，证明，可得的长度，证明，根据相似三角形的性质可求得的长度即可． 【详解】解：在正方形中， ∴, 在和中， , ∴, ∵, ∴, ∴, 过作,延长交的延长线于, 设， 则，,, ∵,, ∴, ∴， ∴, 在和中， ∴ ∴,, ∴ ∴， ∵, ∴, ∴, ∴， , ∴, ∴, ∴, ∴, ∴, ∴． 10. 已知整式，其中n，为自然数，，，...，均为正整数，且．下列说法： ①若，则关于x的方程的解为； ②若，且关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的最大值为12； ③若A为整系数多项式，则所有符合条件的多项式共有19个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】①根据题意得到，推出，即可求得方程的解为或；②方程整理得，利用根的判别式列式计算可求得，，据此计算可求解；③求得、1、2时，总个数已经大于19，即可求解． 【详解】解：① 当时，， ，是自然数，是正整数， ，，， 方程整理得：， 解得：或，命题说解仅为，故①错误； ②若，则， ∵， ∴， 整理得：， ∵方程有两个不等实根， ∴，， ∴，， ∵，为自然数，，，...，均为正整数， ∴， 若，则，不符合题意，舍去； 若，则，不符合题意，舍去； 若，则，符合题意； 若，则，符合题意； 若，则，符合题意； 又， ∴的最大值为6， ∵此时， ∴的最大值为4， ∴的最大值应为，而题干中的结论为的最大值为12，故②错误； ③∵为自然数，，，...，均为正整数，， ∴均从最小的数取起，则，，，，，，，（舍去）， ∴， 当时，，是单项式，不符合题意； 当时，， ∵是多项式， ∴， ∴时，可取2、3、4、5、6，有5个； 时，可取3、4、5、6，有4个； 时，可取4、5、6，有3个； 时，可取5、6，有2个； 时，可取6，有1个； 故：当时，共个； 当时，， ∴时，取1，可取2、4，6有3个；取2，可取4，6有2个；取3，可取4，6有2个；取4，可取6有1个；取5，可取6，有1个；此时共9个； 时，取2，可取4，6有2个；取3，可取4，6有2个；取4，可取6有1个；取5，可取6，有1个；此时共6个； 时，可取3，可取4，6有2个；取4，可取6有1个；取5，可取6，有1个；此时共4个； 时，取4，可取6有1个；取5，可取6，有1个；此时共2个； 时，取5，可取6有1个；此时共1个； 故：当时，共个； 此时已经大于19个，故③错误； 综上，正确的个数为0个． 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分） 11. 不透明的袋子中装了2个红球，3个黑球，1个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出1个球，刚好是红球的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了概率公式的应用，概率是符合条件的情况数与情况总数之比是解题的关键． 由题可知总球数为6个，红球有2个，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：∵袋子中球的总数为个，其中红球有2个， ∴随机摸出1个球刚好是红球的概率为． 故答案为． 12. 如果一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则该多边形是________边形． 【答案】八 【解析】 【分析】本题考查多边形内角和与外角和，根据题意，设该多边形的边数为，由题意列方程求解即可得到答案．熟记多边形内角和与外角和是解决问题的关键． 【详解】解：设该多边形的边数为， 这个多边形的内角和为， 多边形的内角和是它的外角和的3倍， ，解得， 故答案为：八． 13. 若n为正整数，且满足，则_________． 【答案】4 【解析】 【分析】先利用二次根式混合运算法则化简式子，再估算化简后式子的取值范围，进而确定的值． 【详解】解： ， 因为， 所以， 即， ， 即， 所以． 14. 已知实数x，y满足，则的值为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题需要先分情况讨论去掉绝对值符号求解，舍去不符合条件的解，再根据已知等式求出，最后根据零指数幂的性质计算的值. 【详解】解：分情况讨论去掉绝对值符号求解x， 情况1：当，即时，原方程可化为， 解得， 将代入方程右边得，符合绝对值的非负性，保留， 情况2：当，即时，原方程可化为， 解得， ，与的前提矛盾，且此时，不符合绝对值的非负性，舍去， 因此， 将代入，得， 即，解得， 根据零指数幂的性质，得. 15. 如图，以为直径作，点C为上的点，连接，将沿射线方向平移至，连接交于点E，连接并延长交于点F，且．若，连接，则的周长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由圆周角定理可得，由等边对等角得出，设，则，由平移的性质可得，，则，，证明出，，设，则，求出，，由勾股定理可得，，则的周长，再证明，即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， ， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵将沿射线方向平移至， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的周长， 由圆周角定理可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的周长为． 16. 如果一个四位数满足各个数位数字均不为0且互不相等，当时，则称M为“启航数”，M的千位数字与百位数字组成的两位数为A，十位数字与个位数字组成的两位数为B，规定：，．若N为最小的“启航数”，则的值为_________；已知两个“启航数”，，其中为整数，且，则的值为_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查新定义运算，整式和分式的应用．根据“启航数”定义推出M，得到A和B，代入即可得的值．再根据“启航数”定义推出和的关系，结合，推出和的值，代入中求出，得到和，最后利用求出和求和即可． 【详解】解：要得到最小的四位启航数，需让高位数字尽可能小： 千位最小取 1（不为 0），由得， 剩余十位、个位需满足：不为 0、不与 1和8 重复，且尽可能小， ∴最小取 2，最小取 3； 最小启航数， ，， 代入公式：． ​、​均为启航数，因此千位百位 ， ∴，， 因此． 由平方差公式，， ∴， ， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 已知​为整数，代入,， ， 要使结果为整数，或或或， ∴（舍去）或（舍去）或或（舍去，此时，数字重复，不符合定义） ∴， ，，，， ∴，，，， ． 故填；． 三、解答题（本大题2个小题，每小题8分，共16分） 17. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集为． 18. 如图，在中，，，点F为线段上一点，连接，过点C作，交的延长线于点E，且． （1）尺规作图：过点B作的垂线，垂足为点D；（不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：点D为的中点． 证明：，， ． ， ． 在中，． __________． 在与中， ． ___________． ， ， 即点D为的中点． 【答案】（1）图见解析 （2），， 【解析】 【分析】（1）根据高线的作法作图即可； （2）根据垂直可得直角，再由等量代换可得，根据角角边的证明方法证明与全等，由此可得，由此可证明． 【小问1详解】 解：以点B为圆心，长为半径画弧与交于两点， 分别以这两点为圆心以大于这两点间距离的为半径在两侧画弧相交， 连接两侧交点，必定经过B点，与相交于D点， 此时，如图， 【小问2详解】 证明：，， ． ， ． 在中，． ． 在与中， ． ． ， ， 即点D为的中点． 故答案为：，，． 四、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分） 19. 为普及网络安全知识，增强青少年网络安全防范意识，某校面向全校学生开展了网络安全知识竞赛活动．在竞赛结束后，现从八年级和九年级参加活动的学生中各随机抽取20名同学的成绩进行整理、描述和分析（成绩用x表示，共分为四组：未达标，良好，优秀，卓越），下面给出了部分信息： 八年级学生成绩为：66，76，77，78，79，81，82，83，84，86， 86，86，86，88，91，91，94，95，96，99； 九年级学生成绩属于优秀的数据为：89，88，87，86，84，83，81． 八、九年级学生成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 八年级 86 b 九年级 a 91 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_________，_________，_________； （2）根据以上数据，你认为哪个年级对网络安全知识掌握更好？请说明理由（写出一条理由即可） （3）该校九年级共有学生1050名，随机抽取了九年级80%的学生参加此次网络安全知识竞赛活动，估计九年级参加活动的学生中成绩为优秀和卓越（80分及以上）的学生有多少人？ 【答案】（1），86，40 （2）九年级成绩较好，理由见解析 （3）630人 【解析】 【分析】（1）根据扇形信息，用20分别乘上未达标、良好的占比可得未达标2人，良好3人，结合中位数、众数的定义以及扇形统计图中求百分比进行解答即可； （2）运用中位数进行作决策，即可作答； （3）用1050乘上可求得抽取的人数，然后再乘以本次调查的（80分及以上）所占的比例即可解答． 【小问1详解】 解：由题意可知，九年级未达标有：（人）， 良好的有：（人）， ∵把被抽取九年级20名学生的数学竞赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为87，88， ∴中位数； ∵在被抽取的八年级20名学生的数学竞赛成绩中，86分出现的次数最多， ∴众数． ，故． 【小问2详解】 解：九年级成绩较好，理由：因为九年级学生成绩的中位数比八年级的高，所以九年级成绩较好． 【小问3详解】 解：（人）． 答：九年级参加活动的学生中成绩为优秀和卓越（80分及以上）的学生有630人． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】先展开化简，然后再确定代入求值即可． 【详解】解：原式 ； 当时， 原式． 21. 列方程解下列问题：某工厂生产甲、乙两种产品．每天生产的甲产品比每天生产的乙产品多300个：2天生产的甲产品比3天生产的乙产品多400个． （1）求该工厂每天生产的甲、乙产品各多少个？ （2）为了满足市场需求，工厂进行技术改造．改造后，每天生产乙产品增加的数量比每天生产甲产品增加的数量的多50个．若生产4800个甲产品的天数比生产3200个乙产品所需的天数少2天，求每天生产甲产品增加的数量． 【答案】（1）该工厂每天生产甲产品500个，乙产品200个． （2）每天生产甲产品增加的数量是300个． 【解析】 【分析】（1）根据甲乙日产量的数量关系设未知数，利用“2天生产的甲产品比3天生产的乙产品多400个”的条件列一元一次方程求解； （2）设甲产品日增加量为未知数，根据增加量的关系表示出改造后甲乙的日产量，再利用生产天数的数量关系列分式方程，检验后得到结果． 【小问1详解】 解：设该工厂每天生产乙产品个，则每天生产甲产品个． 根据题意列方程得   解得  则  答：该工厂每天生产甲产品500个，乙产品200个． 【小问2详解】 解：设每天生产甲产品增加的数量为个，则每天生产乙产品增加的数量为个． 改造后每天生产甲产品数量为个，每天生产乙产品数量为个． 根据题意列方程得   解得  检验：当时，，所以是原方程的解，且符合题意． 答：每天生产甲产品增加的数量是300个． 22. 如图，在等腰中，，点为边上的中点，，动点沿以每秒个单位长度的速度运动，到达点停止运动；同时，动点沿以每秒个单位长度的速度运动，到达点停止运动．连接，设点的运动时间为秒，点到边的距离为，与的面积之比为． （1）请直接写出，分别关于x的表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）． 【答案】（1），； （2）图象与性质见解析 （3）或． 【解析】 【分析】（1）对于函数，需分为和两种情况求解；对于函数，先求解的面积，再表示的面积即可求解； （2）根据函数表达式作出图象，并由图象得到性质即可； （3）根据函数图象求解即可． 【小问1详解】 解：∵动点沿以每秒个单位长度的速度运动， 又在等腰中，， ∴点P从点A运动到点B所需时间为秒， 当时，， ∵点为边上的中点， ∴，且， 在中与中， ，即，可得； 当时，，则， 在 中与 中， ， ∴，即 ， ∴， 在中，，， 由勾股定理可得， ∴，即， ∵动点沿以每秒个单位长度的速度运动， ∴点所需时间为秒， 当时，， ∵, ， ∴， 综上所述，，； 【小问2详解】 解：函数，的图象如图所示， 由图象可知，当时，随x的增大而增大，当时，随x的增大而减小； 当时，随x的增大而减小； 【小问3详解】 解：根据图象可知，当时，即函数的图象位于函数的图象的下方， 此时x的取值为或． 23. 重庆市瀛洲溪体育公园三月的油菜花海吸引了许多人前来游览拍照，如图，A、B、C、D是重庆市瀛洲溪体育公园平面上的四个景点，其中B位于A的正南方向400米处，C位于B的北偏东60°方向400米处，D位于A的正东方向，C位于D的东南方向．（参考数据：，，，） （1）求A、D两处景点之间的距离；（结果精确到个位） （2）现甲从A地出发沿AB前往B地游览，乙从B地出发沿BC前往C地游览，两人同时出发，甲的速度与乙的速度之比为，当两人首次相距200米时乙距离B地多远．（结果保留小数点后一位） 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】（1）过点作，过点作，根据已知条件求出，即可得解； （2）假设甲运动到点处，乙运动到点处，作，设甲距离地米，则乙距离地米，利用三角函数关系和一元二次方程求出，即可得解； 【小问1详解】 解：如图，过点作，过点作， 由题可得：（米），（米），， ， （米），（米）， （米）， 由题可知：， ，， ， 四边形是矩形， （米），，， ， 是等腰直角三角形， （米）， （米）； 【小问2详解】 解 ：如图，假设甲运动到点处，乙运动到点处，则米， 作， 设甲距离地米，则乙距离地米， 则，， ， ， ， ，， ， 在中，， ， ， ， ， 或， 两人首次相距200米， ， 米． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）连接、，在直线下方的抛物线上有一动点P，过点P作轴交于点D，过点P作于点E，点M为直线上一动点，连接、，当取得最大值时，求点P的坐标及的周长的最小值； （3）在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，直线上有—动点N，射线与抛物线交于点Q，若，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2）点P的坐标为；的周长的最小值为 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）延长交于点F，求出直线表达式为，直线表达式为，设，，，表示出，，解直角三角形得到，然后代入利用二次函数的性质求出当取得最大值时点P的坐标，求出，，作点D关于的对称点，连接交于K，判断出当点，M，P三点共线时，的周长最小，即的值，连接，求出，然后利用勾股定理求解即可； （3）首先求出抛物线，如图，过点P作于点R，求出，得到，设，解直角三角形得到或，然后分两种情况讨论，分别求出直线的表达式，然后和抛物线联立求解即可． 【小问1详解】 解：将，代入得， 解得 ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：如图，延长交于点F ∵抛物线的表达式为 ∴当时， ∴ ∵， ∴直线表达式为，直线表达式为， 设，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∵轴 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴当时，取得最大值， ∴此时点P的坐标为，点D的坐标为，点F的坐标为， ∴， 如图，作点D关于的对称点，连接交于K， ∴ ∴的周长 ∴如图，当点，M，P三点共线时，的周长最小，即的值，连接， 设 根据题意得，垂直平分 ∴点K是的中点， ∴ 代入得， 整理得， ∵ ∴ ∴ 将代入得， 解得（舍去）或 ∴ ∴ ∴的周长的最小值为； 【小问3详解】 解：∵抛物线 ∵将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线， 即将抛物线向右平移1个单位，向下平移2个单位， ∴抛物线，如图，过点P作于点R ∵ ∴ ∵轴 ∴ ∵ ∴ 设 ∵点P的坐标为， ∴ ∴ ∴ 整理得， 解得或 当时， ∴可得直线的表达式为 联立抛物线得， 解得或（舍去） ∴； 当时， ∴可得直线的表达式为 联立抛物线得， 解得或（舍去） ∴； 综上所述，点Q的坐标为或． 25. 在中，，，D是线段上一点，连接．延长至点E，使得．将线段绕点C顺时针旋转α得到线段，交于点G，过点E作于点H，连接． （1）如图1，若，求的度数（用含α的式子表示） （2）如图2，若，连接．用等式表示线段和之间的数量关系，并证明； （3）如图3，若，，M为的中点，将沿所在直线翻折得到，Q为的中点，连接，，当取得最小值时，直接写出的面积． 【答案】（1） （2），证明见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形的判定与性质求出相关角度含α的表达式，最后利用邻补角的定义即可求得最终结果； （2）将绕点H逆时针旋转得，连接，，利用等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质结合已知条件即可证得最终结论； （3）先确定点的运动轨迹，取的中点N，连接，当点B，，N三点共线时，，过点C作交于点K，过点M作交延长线于点P，连接，通过等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理以及解直角三角形结合已知条件，最终利用三角形面积公式即可求得结果． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解： 证明：如图，将绕点H逆时针旋转得，连接，， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵点M是的中点， ∴， ∵沿翻折得，点D是线段上一点， ∴， ∴点的运动轨迹是以点M为圆心，为半径的圆， 如图，取的中点N，连接， ∵， ∴， 又∵点Q，N分别是和的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 连接交于点， 当点B，，N三点共线时，， 如图，过点C作交于点K，过点M作交延长线于点P，连接， ∴， 在中，， ∴， 在中，， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $