精品解析：重庆市开州区临江共体2025-2026学年九年级下学期定时作业数学试卷

临江初中教共体2026年（上）九年级数学定时作业 （考试时间：120分钟满分：150分） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色签字笔完成； 一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列四个数中最小的是（ ） A. B. 2 C. 0 D. 2. 下列立体图形中，主视图、左视图、俯视图均相同的是（ ） A. 圆柱 B. 长方体 C. 圆锥 D. 球体 3. 下列问题中，适合抽样调查的是（ ） A. 公司招聘员工，对应聘人员进行面试 B. 进入高铁站对旅客携带的物品进行安检 C. 了解一批笔芯的使用寿命 D. 调查你们班同学的视力情况 4. 如图，点为反比例函数的图象上的一点，轴，轴，垂足分别为，．若四边形的面积为4，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 5. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点O是的圆心，点A、B、C在上，，则的度数等于（ ） A. B. C. D. 7. 已知和分别是和的角平分线，，则与的面积比是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，线段上的一点C把分割为两条线段，当满足时，则称点C是线段的黄金分割点．某校园有一条笔直的林荫道全长110米，园艺队计划在林荫道旁安装一款景观灯，景观灯的位置为线段上的点C，设米，且该景观灯恰好是林荫道的黄金分割点，则x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，为边的中点，连接，将沿翻折到正方形所在平面内，得到，连接，，则与的面积之比是（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式，，其中为非负整数，为正整数，且满足：，，若，．则下列说法正确的个数是（ ） ①当时，若，则； ②当，时，满足条件的整式A共有20个； ③存在，使得． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分）将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 11. 一只不透明的袋子中装有1个红球和2个白球和3个黑球，这些球除颜色外都相同．搅匀后从中任意摸出1个球，白球的概率是____． 12. 一个多边形的内角和是其外角和的4倍，则这个多边形的边数是____． 13. 若n为正整数，且满足，则______． 14. 已知实数x，y满足，则的值为__________． 15. 如图，矩形内接于，对角线的长为13，点是上一点，，延长、与所在直线交于点、，，则线段的长为______． 16. 规定：对于一个四位正整数各个数位上的数字互不相等且均不为零，千位数字和百位数字组成的两位数与十位数字和个位数字组成的两位数的和等于百位数字与十位数字组成的两位数，则称这个数为“均衡数”．例如：，满足，所以2637是均衡数．按照这个规定，最大的均衡数是____；若一个“均衡数”M的千位数字和个位数字对调，百位数字和十位数字对调得到的四位正整数记为N，且能被13整除，则满足条件的M的和为_____． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分） 17. 解不等式组，并写出所有整数解． 18. 在学习了全等三角形和轴对称的知识后，小聪同学对等腰直角三角形进行了深入研究，发现等腰直角三角形两个底角顶点到过直角顶点的直线的距离之和与垂足之间的线段长度具有一定的数量关系，通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．根据她的想法，完成以下作图和填空： （1）尺规作图：过点A作直线的垂线交于点E（只保留作图痕迹） （2）如图，是等腰直角三角形，，在（1）的条件下，证明：． 证明：是等腰直角三角形 ，① ② ， ③ 在和中 小聪进一步发现，任意等腰直角三角形均有此特征．依据题意，写出正确命题：④ 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. “寓教于劳，育才于勤”，劳动教育是德智体美教育实践的基本途径．某校为了增强学生对劳动教育的认识开展劳动实践知识竞赛，现从七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机抽取10名的成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息． 七年级10名学生的成绩是：92，80，76，93，80，74，80，68，83，94． 八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：82，83，84． 八年级抽取的学生成绩扇形统计图 七年级、八年级抽取的学生比赛成绩统计表 组别 七年级 八年级 平均数 82 82 中位数 80 m 众数 b 78 （1）上述图表中　，　　，　　； （2）根据以上数据，你认为哪个年级的成绩较好些？请说明理由（一条理由即可）； （3）该校七、八年级共有1200名学生参加的竞赛，请估计七八年级中成绩等级为D的共有多少人？ 20. 先化简，再求值：，其中 21. 列方程解下列问题：某工厂生产甲、乙两种产品．每天生产的甲产品比每天生产的乙产品多300个：2天生产的甲产品比3天生产的乙产品多400个． （1）求该工厂每天生产的甲、乙产品各多少个？ （2）为了满足市场需求，工厂进行技术改造．改造后，每天生产乙产品增加的数量比每天生产甲产品增加的数量的多50个．若生产4800个甲产品的天数比生产3200个乙产品所需的天数少2天，求每天生产甲产品增加的数量． 22. 如图，在矩形中，，点P、Q分别在上，，设的长度为，矩形与的周长的比为． （1）直接写出与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图像，并分别写出的一条性质； （3）结合函数图像，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 23. 如图，A是某景区的大门，B、C、D、E是景区内的四个景点，已知点E在点A的西北方向米处，点B在点A的北偏东方向390米处，点D、C分别在点A、B的正北方向，点D在点C的南偏西方向上，且E、D、C在一条直线上．（参考数据：，） （1）求A、D之间的距离；（结果用含根号的式子表示） （2）小新从大门A出发，沿着的路线到达点C，小晨从景点E出发，沿着的路线到达点C，若两人的速度相同，请计算说明谁先到达景点C？ 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于点、，与轴交于点，连接、，直线与抛物线的对称轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点P是线段下方抛物线上的一个动点，过点P作轴，交于点，过点作交抛物线对称轴于点，点为抛物线对称轴上一动点，连接，当取得最大值时，求点P的坐标以及的最小值； （3）在轴上有一点，将抛物线沿射线方向平移，平移后的新抛物线恰好过点，交轴于点，连接．点在线段上运动（不与点重合），连接，且，现将线段绕点逆时针旋转得到线段，直线交新抛物线于点，若直线与直线所成锐角等于，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出求解点的横坐标的其中一种情况的过程． 25. 在中，，点，为所在平面内的点，且． （1）如图1，若点在线段上，点为内一点，，，连接，，若，求的度数； （2）如图2，若点在线段右侧，点为内一点，且，连接，，此时点，，三点共线，已知，试猜想线段，，之间的数量关系并证明； （3）如图3，若点在线段右侧，点为中点，，连接并延长恰好经过点，作点关于的对称点，连接，为直线上一动点，连接，，将沿翻折至所在平面，点的对应点为，连接，是中点，连接，当取最大值时，在左侧作任意等边，连接，，当的值最小，且等边周长最小时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临江初中教共体2026年（上）九年级数学定时作业 （考试时间：120分钟满分：150分） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色签字笔完成； 一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列四个数中最小的是（ ） A. B. 2 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵ 正数大于，大于一切负数， ∴ ，和都大于选项中的负数，排除B，C， ∵ ，，且， ∴ ， ∵ 两个负数比较大小，绝对值大的数更小， ∴ ， 因此四个数中最小的是． 2. 下列立体图形中，主视图、左视图、俯视图均相同的是（ ） A. 圆柱 B. 长方体 C. 圆锥 D. 球体 【答案】D 【解析】 【详解】解：A. 圆柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是圆，三个视图不相同； B. 长方体的三个视图是大小不同的矩形，三个视图不相同； C. 圆锥的主视图和左视图是三角形，俯视图是带圆心的圆，三个视图不相同； D. 球体的主视图、左视图、俯视图都是大小相同的圆，三个视图均相同． 3. 下列问题中，适合抽样调查的是（ ） A. 公司招聘员工，对应聘人员进行面试 B. 进入高铁站对旅客携带的物品进行安检 C. 了解一批笔芯的使用寿命 D. 调查你们班同学的视力情况 【答案】C 【解析】 【分析】全面调查适用于范围较小、无破坏性、结果要求准确的调查，抽样调查适用于调查具有破坏性、范围过大等不适合全面调查的场景. 【详解】解：∵ 公司招聘员工，需要对应聘人员逐一面试考核，范围小且要求结果准确，适合全面调查，∴A不符合要求； ∵ 高铁站安检需要保障公共安全，必须对每位旅客携带的物品逐一检查，适合全面调查，∴B不符合要求； ∵ 了解一批笔芯的使用寿命，测试使用寿命会破坏笔芯，调查具有破坏性，无法开展全面调查，适合抽样调查，∴C符合要求； ∵ 调查班级同学的视力情况，班级人数少、范围小，适合全面调查，∴D不符合要求. 4. 如图，点为反比例函数的图象上的一点，轴，轴，垂足分别为，．若四边形的面积为4，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义，即过反比例函数图象上任意一点向坐标轴引垂线，所得垂线与坐标轴围成矩形的面积为，从而可求解． 【详解】解：设A点坐标为， ∵轴， ∴ ∴ ， ∵反比例函数的图象在第一象限， ∴． 5. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：平方差公式为 ，逐一判断：对选项 A ，A错误； 对选项B ，括号内为平方和，无法因式分解，B错误； 对选项C ，C未分解彻底，C错误； 对选项D ，分解正确，D正确． 6. 如图，点O是的圆心，点A、B、C在上，，则的度数等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由两直线平行内错角相等，可得，再由圆周角定理得，即可求解． 【详解】解：∵， ， 又， ∴ ∴． 7. 已知和分别是和的角平分线，，则与的面积比是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形对应角平分线的比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方，代入数据计算即可得到结果． 【详解】解：∵，和分别是和的角平分线 ∴ 两三角形的相似比为， ∵ 相似三角形的面积比等于相似比的平方， ∴ 与的面积比为． 8. 如图，线段上的一点C把分割为两条线段，当满足时，则称点C是线段的黄金分割点．某校园有一条笔直的林荫道全长110米，园艺队计划在林荫道旁安装一款景观灯，景观灯的位置为线段上的点C，设米，且该景观灯恰好是林荫道的黄金分割点，则x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：设米，则米， 又， ， 整理得：． 9. 如图，在正方形中，为边的中点，连接，将沿翻折到正方形所在平面内，得到，连接，，则与的面积之比是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，由正方形的性质可得，，设，则，由折叠的性质可得，，，，证明点、、、四点共圆，得出，证明，得出，求出，由勾股定理可得，，作于点，由等面积法得出，由勾股定理可得，作于，则四边形为矩形，由矩形的性质可得，再根据三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， ， ∵四边形为正方形， ∴，， 设， ∵为边的中点， ∴， 由折叠的性质可得：，，，， ∵， ∴点、、、四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 由勾股定理可得， ∴， ∴，， 作于点， ∵， ∴， ∴， 作于，则， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴与的面积之比是． 10. 已知整式，，其中为非负整数，为正整数，且满足：，，若，．则下列说法正确的个数是（ ） ①当时，若，则； ②当，时，满足条件的整式A共有20个； ③存在，使得． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】列出关于A，B的二元一次方程组，要判断①正确；当时，，根据为非负整数，列举出所有可能的情况，可判断②正确；结合，将变形，通过比较系数，推出，进而可判断③错误． 【详解】解：①， ， 当时，，故①正确； ②当时，， ，为非负整数， ， 的值有以下可能： 3，0，0，0； 0，3，0，0； 0，0，3，0；0，0，0，3；0，0，1，2；0，0，2，1；0，1，2，0；0，1，0，2；0，2，1，0；0，2，0，1；1，2，0，0；1，0，2，0；1，0，0，2；1，1，1，0；1，1，0，1；1，0，1，1；0，1，1，1；2，1，0，0；2，0，1，0；2，0，0，1； 共20种， 满足条件的整式A共有20个，故②正确； ③假设存在，使得 ， 比较系数得，， ， ， ，与前面计算结果矛盾， 这种情况不存在，故③错误, 综上可知，说法正确的个数是2． 二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分）将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 11. 一只不透明的袋子中装有1个红球和2个白球和3个黑球，这些球除颜色外都相同．搅匀后从中任意摸出1个球，白球的概率是____． 【答案】 【解析】 【详解】解：袋子中球的总个数为，其中白球的个数为， 因此搅匀后从中任意摸出个球，摸到白球的概率为． 12. 一个多边形的内角和是其外角和的4倍，则这个多边形的边数是____． 【答案】10 【解析】 【分析】设这个多边形的边数为，根据多边形内角和公式与多边形外角和恒为，结合题目给出的倍数关系列方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 根据题意可得， 解得． 13. 若n为正整数，且满足，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】先利用二次根式的除法运算法则化简原式，再估算化简后式子的取值范围，结合不等式确定正整数的值． 【详解】解：化简 ， ， ， 不等式两边同时加得， 即满足的正整数为． 14. 已知实数x，y满足，则的值为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题需要先分情况讨论去掉绝对值符号求解，舍去不符合条件的解，再根据已知等式求出，最后根据零指数幂的性质计算的值. 【详解】解：分情况讨论去掉绝对值符号求解x， 情况1：当，即时，原方程可化为， 解得， 将代入方程右边得，符合绝对值的非负性，保留， 情况2：当，即时，原方程可化为， 解得， ，与的前提矛盾，且此时，不符合绝对值的非负性，舍去， 因此， 将代入，得， 即，解得， 根据零指数幂的性质，得. 15. 如图，矩形内接于，对角线的长为13，点是上一点，，延长、与所在直线交于点、，，则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，作，，垂足分别为，，利用三角函数的定义求得，，利用垂径定理求得，，证明，求得，证明，求得，，再证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：连接，作，，垂足分别为，， ∵矩形内接于， ∴， ∴是的直径， ∵，∴， ∴， ∴设，， 由勾股定理得，解得， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 设， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得，即． 16. 规定：对于一个四位正整数各个数位上的数字互不相等且均不为零，千位数字和百位数字组成的两位数与十位数字和个位数字组成的两位数的和等于百位数字与十位数字组成的两位数，则称这个数为“均衡数”．例如：，满足，所以2637是均衡数．按照这个规定，最大的均衡数是____；若一个“均衡数”M的千位数字和个位数字对调，百位数字和十位数字对调得到的四位正整数记为N，且能被13整除，则满足条件的M的和为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题意设，得出先求最大的均衡数，先根据的最大值为，依次求得；根据能被13整除，得出，，得出分类讨论，求得其他位数的值，即可求解． 【详解】设，千位数字和百位数字组成的两位数与十位数字和个位数字组成的两位数的和等于百位数字与十位数字组成的两位数， ， ， 为求最大的均衡数，需尽可能大，经讨论，的最大值为7， 此时，可得，进而得， ∴的最大值为 最大的均衡数是7912； ， 且能被13整除， ， 因此能被13整除，因为，且3与13互质，所以必须能被13整除， 能被13整除， ， ， 当时，，则 当时，，则 则满足条件的M的和为． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分） 17. 解不等式组，并写出所有整数解． 【答案】，整数解为 【解析】 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：，整数解为． 18. 在学习了全等三角形和轴对称的知识后，小聪同学对等腰直角三角形进行了深入研究，发现等腰直角三角形两个底角顶点到过直角顶点的直线的距离之和与垂足之间的线段长度具有一定的数量关系，通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．根据她的想法，完成以下作图和填空： （1）尺规作图：过点A作直线的垂线交于点E（只保留作图痕迹） （2）如图，是等腰直角三角形，，在（1）的条件下，证明：． 证明：是等腰直角三角形 ，① ② ， ③ 在和中 小聪进一步发现，任意等腰直角三角形均有此特征．依据题意，写出正确命题：④ 【答案】（1）图见详解 （2）①；②；③；④等腰直角三角形两个底角顶点到过直角顶点的直线的距离之和等于垂足之间的距离 【解析】 【分析】（1）过点作弧，与交于两点，再以这两点为圆心作弧，再连线即可； （2）根据题意补全证明过程，再写出一个正确的命题即可． 【小问1详解】 解：作图如下， 【小问2详解】 证明：是等腰直角三角形 ，， ， ， ， 在和中 小聪进一步发现，任意等腰直角三角形均有此特征． 依据题意，正确命题：等腰直角三角形两个底角顶点到过直角顶点的直线的距离之和等于垂足之间的距离． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. “寓教于劳，育才于勤”，劳动教育是德智体美教育实践的基本途径．某校为了增强学生对劳动教育的认识开展劳动实践知识竞赛，现从七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机抽取10名的成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息． 七年级10名学生的成绩是：92，80，76，93，80，74，80，68，83，94． 八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：82，83，84． 八年级抽取的学生成绩扇形统计图 七年级、八年级抽取的学生比赛成绩统计表 组别 七年级 八年级 平均数 82 82 中位数 80 m 众数 b 78 （1）上述图表中　，　　，　　； （2）根据以上数据，你认为哪个年级的成绩较好些？请说明理由（一条理由即可）； （3）该校七、八年级共有1200名学生参加的竞赛，请估计七八年级中成绩等级为D的共有多少人？ 【答案】（1）40；80；83.5 （2）七年级的成绩较好，理由见解析 （3）420人 【解析】 【分析】（1）先计算八年级成绩在C组的占比，进而可得的值，根据众数、中位数的概念求； （2）根据平均数、中位数、众数判断即可； （3）利用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：八年级10名学生的成绩在C组中的数据有3个， 占，故成绩在D组的数据占， ； 七年级10名学生的成绩中，出现次数最多的是80，则； 八年级10名学生成绩的中位数为从小到大第5、6位的平均值，则； 【小问2详解】 解：七年级的成绩较好，理由如下： 七年级的众数80大于八年级的众数78， 七年级学生对劳动知识的掌握情况更好； 【小问3详解】 解：人， 答：估计七八年级中成绩等级为D的共有420人． 20. 先化简，再求值：，其中 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的混合运算法则，进行化简，利用负整数指数幂，有理数的乘方，绝对值计算出x的值，转化为求代数式的值，求解即可； 【详解】解：原式 ； 当时， 原式； 21. 列方程解下列问题：某工厂生产甲、乙两种产品．每天生产的甲产品比每天生产的乙产品多300个：2天生产的甲产品比3天生产的乙产品多400个． （1）求该工厂每天生产的甲、乙产品各多少个？ （2）为了满足市场需求，工厂进行技术改造．改造后，每天生产乙产品增加的数量比每天生产甲产品增加的数量的多50个．若生产4800个甲产品的天数比生产3200个乙产品所需的天数少2天，求每天生产甲产品增加的数量． 【答案】（1）该工厂每天生产甲产品500个，乙产品200个． （2）每天生产甲产品增加的数量是300个． 【解析】 【分析】（1）根据甲乙日产量的数量关系设未知数，利用“2天生产的甲产品比3天生产的乙产品多400个”的条件列一元一次方程求解； （2）设甲产品日增加量为未知数，根据增加量的关系表示出改造后甲乙的日产量，再利用生产天数的数量关系列分式方程，检验后得到结果． 【小问1详解】 解：设该工厂每天生产乙产品个，则每天生产甲产品个． 根据题意列方程得   解得  则  答：该工厂每天生产甲产品500个，乙产品200个． 【小问2详解】 解：设每天生产甲产品增加的数量为个，则每天生产乙产品增加的数量为个． 改造后每天生产甲产品数量为个，每天生产乙产品数量为个． 根据题意列方程得   解得  检验：当时，，所以是原方程的解，且符合题意． 答：每天生产甲产品增加的数量是300个． 22. 如图，在矩形中，，点P、Q分别在上，，设的长度为，矩形与的周长的比为． （1）直接写出与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图像，并分别写出的一条性质； （3）结合函数图像，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】（1）， （2）作图见详解，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小 （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角形面积公式求出；求出，再与的周长作比，即可求出关于x的函数表达式； （2）根据函数关系式作图即可，再根据图象写出性质即可； （3）先求出交点坐标，由图象结合求时x的取值范围，即求的图象在的图象上方时x的取值范围求解即可． 【小问1详解】 解：∵在矩形中，， ∴， ∵，， ，解得，， 则； ∵，， ∴； 【小问2详解】 解：画出函数，的图象如图， 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小； 【小问3详解】 解：令， 解得：， ∴当时，的图象在的图象上方， ∴时x的取值范围为． 23. 如图，A是某景区的大门，B、C、D、E是景区内的四个景点，已知点E在点A的西北方向米处，点B在点A的北偏东方向390米处，点D、C分别在点A、B的正北方向，点D在点C的南偏西方向上，且E、D、C在一条直线上．（参考数据：，） （1）求A、D之间的距离；（结果用含根号的式子表示） （2）小新从大门A出发，沿着的路线到达点C，小晨从景点E出发，沿着的路线到达点C，若两人的速度相同，请计算说明谁先到达景点C？ 【答案】（1）米 （2）小晨先到达景点C 【解析】 【分析】（1）过点E作，分别利用锐角三角函数比求出的长即可； （2）利用锐角三角函数求出各路线的长度，然后求出时间进行比较即可． 【小问1详解】 解：过点E作， 由题意得， ， ， ， ， ， 答：A、D之间的距离是米； 【小问2详解】 过点B作,过点D作， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， 小晨先到达景点C． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于点、，与轴交于点，连接、，直线与抛物线的对称轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点P是线段下方抛物线上的一个动点，过点P作轴，交于点，过点作交抛物线对称轴于点，点为抛物线对称轴上一动点，连接，当取得最大值时，求点P的坐标以及的最小值； （3）在轴上有一点，将抛物线沿射线方向平移，平移后的新抛物线恰好过点，交轴于点，连接．点在线段上运动（不与点重合），连接，且，现将线段绕点逆时针旋转得到线段，直线交新抛物线于点，若直线与直线所成锐角等于，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出求解点的横坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2）， （3）或或或，见解析 【解析】 【分析】（1）使用待定系数法求函数解析式即可； （2）先分析取最大值的情况，于点，使用待定系数法求出直线的解析式为，设点，则．容易判断是等腰直角三角形，则，因此．分为和两种情况，分别计算最大值并作比较可知，当时，取得最大值，此时点的坐标为．再计算的最小值即可； （3）根据点和点的坐标可知，沿射线平移等价于向左平移个单位，同时向上平移个单位，由平移规律写出新抛物线的方程，再将点代入，求出，进而求得点．由（2）可知，，若直线与直线所成锐角也等于，则或．当时，容易证明，则，进而证明．先计算出直线的解析式，由平行可得直线的解析式为，联立直线与抛物线，解得；当时，容易证明，从而计算出点，计算出直线的解析式，再与抛物线联立，解得． 【小问1详解】 解：将点，，代入，得， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：先计算的最大值，如图，作于点， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线，即直线为， 设直线的解析式为， 把点，代入，得， ，解得， ∴直线的解析式为， 设点的坐标为， ∵轴，且点在直线上， ∴点的坐标为， ∴， ∵于点， ∴点的坐标为， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵点是线段下方， ∴， ①当时， ， ∵， ∴当时，取得最大值； ②当时， ， ∵， ∴当时，取得最大值； ∵， ∴当时，取得最大值，此时点的坐标为，最小值为3； 【小问3详解】 解：由题意可知，，， ∴沿射线平移等价于向左平移个单位，同时向上平移个单位， ∴新抛物线， 将点代入，得， ， 整理，得， 解得或（舍去）， ∴新抛物线， 将代入，得， ∴点的坐标为， 由（2）可知，， ∴直线、直线与直线所成锐角均为， ∵直线与直线所成锐角等于，即所成锐角为， ∴或， ①当时，如图， 由旋转的性质可得，，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把点，代入，得， ，解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴直线的解析式为， 联立直线与抛物线，得， ， 解得或， ∴点的横坐标为或； ②当时，如图，延长交轴于点， 由①可知，，， 在中，， ∵， ∴轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 联立直线与抛物线，得， ， 解得或， ∴点的横坐标为或； 综上所述，点的横坐标为或或或． 25. 在中，，点，为所在平面内的点，且． （1）如图1，若点在线段上，点为内一点，，，连接，，若，求的度数； （2）如图2，若点在线段右侧，点为内一点，且，连接，，此时点，，三点共线，已知，试猜想线段，，之间的数量关系并证明； （3）如图3，若点在线段右侧，点为中点，，连接并延长恰好经过点，作点关于的对称点，连接，为直线上一动点，连接，，将沿翻折至所在平面，点的对应点为，连接，是中点，连接，当取最大值时，在左侧作任意等边，连接，，当的值最小，且等边周长最小时，直接写出的值． 【答案】（1） （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先根据已知证明得出，根据可得，进而可得，根据，即可求解； （2）在上截取，连接，延长至，使得，连接，则是等边三角形，根据已知条件证明，得出是等边三角形，再证明得出，，进而证明则，得出，即可得出，根据，即可得证； （3）根据题意可得是等边三角形，设，得出，结合题意可得点在以为圆心，为半径的圆上运动，取的中点，连接，,得出点在以为圆心，为半径的圆上运动，当在的延长线上时，取最大值，最大值为，以为边在的左侧作等边三角形，连接，证明得出，当共线时，取得最小值，当时，取得最小值，此时等边周长最小时，过点作于点，求得的长，证明得出，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵，即 ∴， ∴ ∴ 【小问2详解】 ， 证明：如图，在上截取，连接，延长至，使得，连接， ∵， ∴ ∴ 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴ 又∵ ∴ 即 ∵ ∴， ∵ ∴ ∵， ∴是等边三角形， ∴，则， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴， ∴ 【小问3详解】 ∵，，点为中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵连接并延长恰好经过点，点为中点， ∴， 设， ∴ ∵点是点关于的对称点 ∴， ∵将沿翻折至所在平面，点的对应点为， ∴， ∴点在以为圆心，为半径的圆上运动， 取的中点，连接，, ∴， 又∵是中点， ∴ ∴点在以为圆心，为半径的圆上运动， ∴当在的延长线上时，取最大值，， 如图，以为边在的左侧作等边三角形，连接， ∵，是等边三角形， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴当共线时，取得最小值，当时，取得最小值，此时等边周长最小时，如图所示， 过点作于点， ∵，， ∴ 在中，， ∴ 在中，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵是的中点， 又∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $