第二章 一元二次方程根的情况、方程的解法 讲义 2025-2026学年浙教版八年级数学下册

该初中数学讲义通过“知识点-例题-同步练”框架系统构建一元二次方程知识体系，梳理判别式判断根的情况、配方法解方程两大核心内容，用递进式例题呈现重难点，清晰展现知识内在逻辑与应用联系。 讲义亮点在于分层练习设计，基础题夯实判别式计算、配方步骤等基础，提高题如参数方程根的情况分析、几何面积最值问题，培养推理意识与模型意识。同步练与例题呼应，助力不同层次学生提升，为教师精准教学提供有效支持。

一元二次方程根的情况、方程的解法等知识点同步练 知识点一：根据判别式判断一元二次方程根的情况 例题1（选择题）：已知关于的一元二次方程，则这个方程的根的情况是（   ）。 A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 同步练： 1.一元二次方程根的情况是（    ）。 A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 2.关于x的一元二次方程的根的情况，以下说法正确的是（    ）。 A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．根的情况与m的取值有关 3.一元二次方程的根的情况是（    ）. A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．只有一个实数根 D．有两个相等的实数根 （提高题）4.一元二次方程根的情况是（ ）。 A．有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．有两个实数根可能相等，也可能不相等 例题2（填空题）：一元二次方程的根的情况是____________。 同步练： 1.方程中，的值为 。 2.一元二次方程的根的情况是（    ）。 A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 （提高题）3.一元二次方程根的情况是（    ）。 A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．两根互为相反数 知识点二：用配方法解一元二次方程 例题1（选择题）：将方程配方后，原方程变形为（   ）。 A． B． C． D． 同步练： 1.用配方法解方程，方程可变形为（    ）。 A． B． C． D． 2.用配方法解一元二次方程 ，可变形为（    ）。 A． B． C． D． （提高题）3.方程的解是（    ）。 A． B． C． D． 例题2（填空题）：如果与互为相反数，则的值为 。 同步练： 1.一元二次方程配方为，则的值是 。 例题3（解答题）：用配方法解关于x的方程：。 同步练： 1.用配方法解方程：。 2.请选用适当的方法解下列方程： （1）。 （2）。 （提高题）3.我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用。 例：已知x可取任何实数，试求二次三项式最小值。 解： 无论x取何实数，总有。 ，即的最小值是。 即无论x取何实数，的值总是不小于的实数。 问题： （1）已知，求证y是正数。 （2）如图，在中，，，，点P在边上，从点A向点C以的速度移动，点Q在边上以的速度从点C向点B移动．若点P，Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设的面积为，运动时间为t秒，求S的最大值。 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 一元二次方程根的情况、方程的解法等知识点同步练 知识点一：根据判别式判断一元二次方程根的情况 例题1（选择题）：已知关于的一元二次方程，则这个方程的根的情况是（   ）。 A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】求出一元二次方程根的判别式的值，判断即可。 【详解】解：关于的一元二次方程， ， 方程有两个不相等的实数根； 故选：A。 同步练： 1.一元二次方程根的情况是（    ）。 A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根是解题的关键．把，，代入进行计算，再根据计算结果判断方程根的情况。 【详解】解：， ，，， ， 方程有两个不相等的实数根， 故选：A。 2.关于x的一元二次方程的根的情况，以下说法正确的是（    ）。 A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．根的情况与m的取值有关 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根的判别式即可进行解答。 【详解】解：∵， ∴该方程有两个不相等的实数根， 故选：A。 3.一元二次方程的根的情况是（    ）. A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．只有一个实数根 D．有两个相等的实数根 【答案】A 【分析】求解一元二次方程的判别式，根据判别式与根的情况的关系，进行求解即可。 【详解】解： ，， 判别式，则方程有两个不相等的实数根， 故选：A。 （提高题）4.一元二次方程根的情况是（ ）。 A．有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．有两个实数根可能相等，也可能不相等 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根。先计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断。 【详解】解：由题意得, ， 方程有两个的实数根。 故选：B。 例题2（填空题）：一元二次方程的根的情况是____________。 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】先化成一般式再求根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况。 【详解】解： ∵ ∴， 方程有两个不相等的实数根； 故答案为：有两个不相等的实数根。 同步练： 1.方程中，的值为 。 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的判别式，能够识别系数，，的值和掌握判别式是是解题的关键。 根据一元二次方程的一般形式，确定系数，，的值，然后计算判别式即可。 【详解】解：∵在中，，，， ∴。 故答案为：。 2.一元二次方程的根的情况是（    ）。 A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根据判别式来判断即可，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根。 【详解】解：∵一元二次方程， ， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：A。 （提高题）3.一元二次方程根的情况是（    ）。 A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．两根互为相反数 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系； 当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根。据此判断即可。 【详解】解：一元二次方程， ，，， ， 则一元二次方程有两个不相等的实数根， ，， 两根不是相反数； 故选：B。 知识点二：用配方法解一元二次方程 例题1（选择题）：将方程配方后，原方程变形为（   ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先把常数项移到方程右边，再方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案。 【详解】解： 移项得：， 配方得：，即， 故选C。 同步练： 1.用配方法解方程，方程可变形为（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先把常数项移到方程右边，再方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可。 【详解】解： ， 故选C。 2.用配方法解一元二次方程 ，可变形为（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键； 根据移项后配方，再根据完全平方公式求出即可。 【详解】解： ， 即， 故选：A。 （提高题）3.方程的解是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握配方法是解题的关键。 【详解】解： 故选D。 例题2（填空题）：如果与互为相反数，则的值为 。 【答案】或3/3或 【分析】利用相反数的定义得到，再解方程即可。 【详解】解：根据题意，得， 解得：， 故答案为：或3。 同步练： 1.一元二次方程配方为，则的值是 。 【答案】13 【分析】本题考查一元二次方程的解法—配方法，熟练掌握掌握配方法的做题步骤是解题的关键，将一元二次方程利用配方法：移、除、配、开方的步骤，进行配方即可得到答案。 【详解】解： 移：， 配：， 整理得：， ∴， 故答案为：。 例题3（解答题）：用配方法解关于x的方程：。 【答案】 【分析】利用配方法解答，即可求解。 【详解】解： ， ∴，即， 解得：， ∴原方程的解为：。 同步练： 1.用配方法解方程：。 【答案】， 【分析】利用配方法解答，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴原方程的解为，。 2.请选用适当的方法解下列方程： （1）。 （2）。 【答案】（1）， （2）， 【分析】（1）用配方法解一元二次方程即可； （2）用配方法解一元二次方程即可。 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ，； （2）， ， ， ， ， ，。 （提高题）3.我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用。 例：已知x可取任何实数，试求二次三项式最小值。 解： 无论x取何实数，总有。 ，即的最小值是。 即无论x取何实数，的值总是不小于的实数。 问题： （1）已知，求证y是正数。 （2）如图，在中，，，，点P在边上，从点A向点C以的速度移动，点Q在边上以的速度从点C向点B移动．若点P，Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设的面积为，运动时间为t秒，求S的最大值。 【答案】（1）详见解析；（2）最大值为3 【分析】（1）配方法求最值； （2）先求出关于的表达式，再通过配方法求最值。 【详解】证明：（1）， ， ， ， ， 是正数； （2）由题意得， ， ， ， ， ， ， ， ， 最大值为3。 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $