专题04一元二次方程的解法及根与系数的关系同步讲义(知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年浙教版八年级数学下册

专题04一元二次方程的解法及根与系数的关系同步讲义 【题型01 因式分解法解一元二次方程】..............................2 【题型02 直接开平法解一元二次方程】..............................4 【题型03 配方法解一元二次方程】..................................6 【题型04 配方法的应用】..........................................8 【题型05 公式法解一元二次方程】.................................10 【题型06 由判别式判断一元二次方程根的情况】.....................12 【题型07 根据一元二次方程根的情况求参数】.......................14 【题型08 换元法解一元二次方程】.................................16 【题型09 一元二次方程根与系数的关系】...........................18 【解答题5题】...................................................19 ★知识梳理★ 知识点01:核心思想 降次：把一元二次方程转化为两个一元一次方程求解。 知识点02:基本形式 一般式：ax²+bx+c=0（a≠0） a：二次项系数（a≠0）；b：一次项系数；c：常数项 知识点03:四种解法（重点） 1. 直接开平方法 适用：x²=p 或 (mx+n)²=p（p≥0） 依据：平方根的意义 结论：p>0→两不等根；p=0→两等根；p<0→无实根 2. 配方法 步骤：化 1→移项→加一次项系数一半的平方→写成完全平方式→开方求解 作用：推导求根公式、求顶点式 3. 公式法（万能） 求根公式：（b²-4ac≥0） 步骤：化一般式→定 a、b、c→算判别式→代入公式→写根 4. 因式分解法（最简） 依据：若 A・B=0，则 A=0 或 B=0 步骤：右边化 0→左边分解为两个一次式乘积→分别令因式为 0→解一元一次方程 知识点04:根的判别式（△=b²-4ac） △>0：两个不相等实数根 △=0：两个相等实数根 △<0：无实数根 知识点05:解法优选顺序 因式分解法 → 直接开平方法 → 公式法 → 配方法 知识点06:极简易错点（必背） 1.漏写 a≠0：判定 / 代公式前，不看二次项系数是否为 0 2.直接开方漏 ±：如 x2=4 只写 x=2，丢 x=−2 3.配方错： 不先化二次项系数为 1 加 “一半平方” 只加一边 4.因式分解不右边化 0：直接两边约分 / 拆项，丢根 5.公式代入符号错：−b、±、根号内正负算错 6.判别式忘判断：Δ<0 还硬算根 7.整理方程漏项 / 移项不变号 【题型1.因式分解法解一元二次方程】 【典例】一元二次方程的根是______． 【答案】 或 【分析】本题考查了因式分解法与直接开平方法解一元二次方程，当把方程通过移项把等式的右边化为后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为的特点解出方程的根． 【详解】解：方程 可变形为 ， 直接开平方得 ，即 ； 或者，因式分解得 ， 则 或 ， 解得 或 ． 故答案为： 或 ． 【跟踪专练1】一元二次方程的解为（    ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查解一元二次方程，移项后，利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， ， 或， 解得， ， 故选C． 【跟踪专练2】若a，b满足，且，则______． 【答案】2 【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程的知识，将已知方程进行因式分解，并利用已知条件代入求解． 【详解】解：由，且， 代入得， ∴． 故答案为：2． 【跟踪专练3】给出一种运算：对于函数，规定．若函数，则有，已知函数，则方程的解是（　　） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查定义新运算及解一元二次方程，注意利用题中所给新定义把新运算转化为所学函数是解决问题的关键． 根据题中所给定义得到，得到一元二次方程，利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：函数，方程， ， ， ， ，， ，， 故选：C． 【题型2.直接开平法解一元二次方程】 【典例】方程的解是______． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，使用直接开平方法解方程，即可作答． 【详解】解：∵， ∴． 则或， 解得，， 故答案为：，． 【跟踪专练1】关于x的方程 没有实数根则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程由根的情况求参数，基于平方数的非负性，方程左边恒大于等于零，因此当a小于零时方程无实数根.． 【详解】解：∵对于任意实数x，有， ∴当时，无实数根． 故选：C． 【跟踪专练2】对于实数p、q，我们用符号表示p，q两数中较小的数，如，若，则________________________． 【答案】2或 【分析】本题考查了一元二次方程的综合应用，熟练掌握一元二次方程的求解及分类讨论的思想方法是解题关键．由题意分三种情况讨论：，，，再由定义列方程求解即可； 【详解】解：， 当即时，， ， ， 或（舍去）， 当即时，， ， ， ， （舍去）或， 当即时，，此时不符合题意； 综上所述，或， 故答案为：或． 【跟踪专练3】解方程，，，较简便的方法依次是（    ） A．直接开平方法，配方法，因式分解法 B．因式分解法，配方法，直接开平方法 C．直接开平方法，公式法，因式分解法 D．配方法，公式法，因式分解法 【答案】C 【分析】根据每个一元二次方程的结构特征，判断其最简便的解法。不含一次项的方程优先用直接开平方法；不易因式分解且系数无特殊关系的方程优先用公式法；含相同整体因式的方程优先用因式分解法． 【详解】解：A、直接开平方法，配方法，因式分解法配方法不是的最优解法，不符合题意； B、因式分解法，配方法，直接开平方法三个方程的解法对应均错误，不符合题意； C、直接开平方法，公式法，因式分解法： ① 方程可整理为，直接开平方即可求解，适合直接开平方法； ② 方程，各项系数无明显因式分解特征，用公式法求解更高效，适合公式法； ③ 方程，移项后可提取公因式，适合因式分解法。 该选项完全匹配，符合题意； D、配方法，公式法，因式分解法配方法不是的最优解法，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了知识点一元二次方程的解法选择，解题关键是抓住方程的结构特点，区分直接开平方法、公式法、因式分解法的适用场景，避免盲目使用配方法增加计算量． 【题型3.配方法解一元二次方程】 【典例】用配方法解方程时，将它配成的形式是_____． 【答案】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，关键是通过移项、配方，将方程转化为完全平方形式． 【详解】解：， 移项，得； 配方，得； 即． 故答案为：． 【跟踪专练1】用配方法解方程时，原方程应变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用配方法解一元二次方程，熟练掌握用配方法解一元二次方程是关键．先移项，再两边同时加上9即可． 【详解】解：对于方程， 移项得， 两边同时加上9，得， 即 ． 故选：C． 【跟踪专练2】一元二次方程配方，得，则是________． 【答案】9 【分析】本题主要考查了配方法，掌握配方步骤正确计算是本题的解题关键．将原方程进行配方，然后求解即可． 【详解】解： ， ，，即， ． 故答案为：9． 【跟踪专练3】已知关于的一元二次方程配方成的形式，且该方程的一个根为，求的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据方程的一个根为得到，再得到，配方即可得到答案 【详解】解：∵方程的一个根为， ∴代入得， 即， ∴， ∴ 即 ∴ ∵关于的一元二次方程配方成的形式， ∴ 故选 B. 【题型4.配方法的应用】 【典例】用配方法解方程时，可将方程变为的形式，则的值为______． 【答案】14 【分析】本题考查了配方法的运用，掌握一元二次方程配方法的计算是解题的关键． 找到一次项系数，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，由此即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：14 ． 【跟踪专练1】代数式的值（   ） A．一定是正数 B．可能是负数 C．可能为零 D．不能确定取值范围 【答案】A 【分析】本题考查了配方法的应用，通过完成平方将代数式变形，利用平方的非负性判断其值恒为正数． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴代数式的值一定为正数， 故选：A． 【跟踪专练2】如果关于的一元二次方程（）有一个根是1，那么我们称这个方程为“和美方程”．已知关于的一元二次方程是“和美方程”，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的根及配方法求代数式的最小值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据“和美方程”的定义，将代入方程得到与的关系式，再代入所求表达式，通过配方法求最小值． 【详解】方程是“和美方程”， 是它的一个根， 将代入方程得：， 即， ， 配方得：， 由于， 当时，取得最小值， 故答案为：． 【跟踪专练3】已知一元二次方程可配成，则的值为（   ） A． B．1 C． D．5 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法，利用配方法把一元二次方程变形为，所以，，然后求出m、n的值，最后计算它们的和即可． 【详解】解：， ， ， ， ∴，， 解得， ∴． 故选：D． 【题型5.公式法解一元二次方程】 【典例】一元二次方程，用求根公式求解时c的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程-公式法，把方程化为一般式，从而得到c的值，即可求解；正确理解一元二次方程的、、及求根公式是解决问题的关键． 【详解】解：方程化为一般式为， 所以c的值为， 故答案为：． 【跟踪专练1】用公式法解关于的一元二次方程，得，则该一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的求根公式与方程的对应关系，将题目给出的根的表达式与求根公式对比，确定、、的值，从而得到原方程． 【详解】解：一元二次方程的一般形式为()，其求根公式为． 题目中给出的根的表达式为，与求根公式对比可得： ，故； ，故； ，故． 因此，该一元二次方程为； 故选：C． 【跟踪专练2】已知是关于的方程（为有理数，且）的一个根，则该方程的另外两个根分别是_____，_____． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，由方程可得或，即得或，进而根据是方程的一个根即可求解，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴或， ∴或，即， ∵是关于的方程的一个根，为有理数， ∴，的一个值是， ∴是方程的另外一个根， ∴该方程的另外两个根分别是和， 故答案为：，． 【跟踪专练3】对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则． 其中正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的判别式与根的个数的关系．熟练掌握使等式成立的未知数的值，是方程的解，以及判别式与根的个数的关系，是解题的关键． 根据，得到方程有一个根为：，即可得到；②根据有两个不相等的实根，得到，进而可以得到，即可得到方程必有两个不相等的实根；③根据是方程的一个根，得到，分和两种情况讨论，进行判断；④根据求根公式，进行变形判断即可． 【详解】解：①若，则方程有一个根为：，即方程有实数根， ∴，故①正确； ②若方程有两个不相等的实根，则：， ， ∴方程必有两个不相等的实根，故②正确； ③若是方程的一个根，则：， ， 当时：； 当时，不一定等于 0 ，故③错误； ④若是一元二次方程的根，则：， ∴， ∴，故④正确； 综上，正确的是①②④； 故选：C． 【题型6.由判别式判断一元二次方程根的情况】 【典例】关于的一元二次方程的根的情况是______． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．通过计算一元二次方程根的判别式，判断根的情况即可． 【详解】解：对于一元二次方程，判别式， 由于， 因此， 所以方程有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根． 【跟踪专练1】下列关于的方程中一定有实数解的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的情况，熟记根的判别式是关键． 通过计算一元二次方程的判别式判断是否有实数解，若则有实数解． 【详解】解：，，该方程无实数解，故A选项不符合题意； ，，，，该方程无实数解，故B选项不符合题意； ，，，，该方程有实数解，故C选项符合题意； ，，的值随变化，可能小于0，该方程不一定有实数解，故D选项不符合题意； 故选C． 【跟踪专练2】利用根的判别式判断方程（为常数）的根的情况是_________． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． 【详解】解：因为一元二次方程为（为常数）， 则， 所以此一元二次方程有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根． 【跟踪专练3】嘉嘉在解方程时，经过一系列的计算后得到，淇淇看了一眼嘉嘉的答案，说：“你这一看就不对，这个方程只有一个解．”请你根据以上叙述，判断下列结论正确的是（    ） A．嘉嘉的解是正确的，因为他认真计算了 B．淇淇说得对，因为 C．嘉嘉和淇淇的说法都不对，因为，该方程无解 D．由可得该方程有两个解，但嘉嘉的结果是错的 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，先将方程整理为一元二次方程的一般形式，再通过根的判别式判断方程解的情况，进而判断各选项的正误． 【详解】解：∵原方程为， ∴移项整理得， 这里，， ， ∴该一元二次方程无实数解， ∴嘉嘉的解错误，淇淇说方程只有一个解也错误，只有选项C的结论正确． 故选：C． 【题型7.根据一元二次方程根的情况求参数】 【典例】若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为______． 【答案】 4 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握“一元二次方程有两个相等实数根时，根的判别式”这一性质． 先明确一元二次方程一般形式的根的判别式为；根据方程有两个相等实数根得出，再确定题目方程中、、的值，代入判别式公式求解即可． 【详解】解：对于一元二次方程，其中二次项系数为1，一次项系数为，常数项为a， ∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ， 即，，解得． 故答案为：． 【跟踪专练1】关于x的方程有两个实数根，则m的取值范围是（   ） A． B． C． 且 D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的情况，方程有两个实数根，需满足一元二次方程的条件（二次项系数不为零）且判别式非负，据此解答即可． 【详解】解：∵ 方程有两个实数根， ∴ 方程为一元二次方程，即 ， 且判别式 ， 解得， ∴ 且． 故选C． 【跟踪专练2】关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程的定义和根的判别式，方程有两个不相等的实数根需满足二次项系数不为零且判别式大于零，据此列式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 当时，则，解得且； 当时，则， ∵， ∴， 又∵， ∴恒成立， ∴此时； 综上所述，， 故答案为：． 【跟踪专练3】若关于的方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，熟练运用分类讨论思想是解题的关键； 需考虑方程可能为一次或二次方程：当时，方程为一次方程，直接求解；当时，方程为二次方程，利用判别式求范围． 【详解】解：当时，原方程为， 解得 ，有实数根， ∴符合条件； 当时，方程为一元二次方程，判别式， ∵方程有实数根， ∴， 即， ∴. 综上，实数的取值范围是． 故选：B． 【题型8.换元法解一元二次方程】 【典例】若，则代数式的值为______ 【答案】4 【分析】本题考查了解一元二次方程，设，则原方程换元为，可得，，即可求解． 【详解】解：设，则原方程换元为， ， 解得，（不合题意，舍去）， 的值为4． 故答案为：4． 【跟踪专练1】已知方程的解是或，则方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一元二次方程的解，解题的关键是掌握方程解的意义以及换元法． 通过变量替换，将新方程转化为已知方程的形式求解. 【详解】解：设，则方程化为， 的解为或， ∴或， 解得或， 故选：C． 【跟踪专练2】若x、y为实数，且，则___________． 【答案】 3 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，利用得出关于t的一元二次方程是解题关键，注意平方都是非负数． 通过换元法，设 ，将原方程转化为关于 的二次方程，求解并考虑非负性． 【详解】解：设 ，则 ． 原方程化为 ， 即 ． 解得 或 ． 由于 ， 故 ． 因此 ． 故答案为：3 【跟踪专练3】若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（　　） A．33 B．34 C．35 D．36 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的解的应用，关键是将第二个方程变形为与第一个方程结构相同的形式，利用换元思想找到对应解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一根为 ∴ 将方程变形为： 令 解得 ∴一元二次方程必有一根为35， 故选：C 【题型9.一元二次方程根与系数的关系】 【典例】一元二次方程的两根之积为______． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之积等于是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系，即可解答． 【详解】解：将方程化为标准形式， 其中二次项系数，常数项， 根据根与系数的关系，两根之积为， 故答案为：． 【跟踪专练1】若是方程的两个根，则的值是（   ） A．-5 B．-4 C．5 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，先根据该关系求出两根之和与两根之积，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴根据一元二次方程根与系数的关系，得，， ∴， 故选：C． 【跟踪专练2】在解一元二次方程时，小明看错了一次项系数，得到的解为；小刚看错了常数项，得到的解为．请你写出正确的一元二次方程为__________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．根据根与系数的关系，从小明的解可求出常数项，从小刚的解可求出一次项系数 【详解】解：小明看错了一次项系数，但解正确，故常数项正确， 由根与系数的关系，； 小刚看错了常数项，但解正确，故一次项系数正确， 由根与系数的关系，，即，解得． 因此正确的一元二次方程为． 故答案为：． 【跟踪专练3】设，是方程的两个实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，利用一元二次方程根的定义和根与系数的关系，将表达式变形后整体代入求值． 【详解】是方程的实数根， ，即， 又，是方程的两个实数根， 由根与系数关系得：， ， 故选． 【解答题】 1．已知关于的方程． (1)当取何值时，方程有两个不相等的实数根？ (2)当取何值时，方程有两个相等的实数根？ (3)当取何值时，方程没有实数根？ 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】此题考查了一元二次方程的根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． （）计算一元二次方程根的判别式，然后根据即可求解； （）由根的判别式即可求解； （）由根的判别式即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴当，即时，方程有两个不相等的实数根； （2）解：当，即时，方程有两个相等的实数根； （3）解：当，即时，方程没有实数根． 2．用适当的方法解方程： (1)； (2)； (3)（用配方法）； (4)． 【答案】(1) (2)， (3)， (4) 【分析】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，配方法，公式法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用解一元二次方程﹣因式分解法进行计算，即可解答； （2）利用解一元二次方程﹣公式法进行计算，即可解答； （3）利用解一元二次方程﹣配方法进行计算，即可解答； （4）利用解一元二次方程﹣因式分解法进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：， ， 或， ； （2）， 整理得：， ∵， ∴， ∴， （3）， ， ， ， ， ， （4）， ， ， 或， ． 3．试说明：不论为何值，关于的方程总为一元二次方程． 【答案】见解析． 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，配方法的应用，由题意利用配方法把二次项系数变形，根据非负数的性质得到，再由一元二次方程的定义证明结论即可，掌握一元二次方程的定义、完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴关于的方程总为一元二次方程． 4．【材料阅读】解方程： 第一步：设，则原方程化为①，解方程①得：． 第二步：求解x的方程，即②③，解②③得：，，， 第三步：所以原方程的解是：，，， 上述解题方法，我们称之为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法；在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 【初步应用】（1）解方程： 【提升应用】（2）若四个连续自然数的积为120，请按照材料的方法，求这四个连续自然数． 【答案】（1）原方程的解为，，，； （2）四个连续自然数是2，3，4，5． 【分析】本题考查了换元法的思想应用及一元二次方程的解法． （1）利用换元法解方程即可； （2）通过设第一个数，将乘积式转化为方程，再用换元法简化计算即可． 【详解】解：（1）设， 原方程可变为， 则， ∴或， ∴， 当时，， 解得，， 当时，， 解得，， ∴原方程的解为，，，； （2）解：设四个连续自然数为n，，，， 由题意得， 整理得，即， 设，则方程化为， 即， 因式分解得， （舍去），， 当时，，即， 因式分解得，， ∴，（舍去）， ∴四个连续自然数是2，3，4，5． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04一元二次方程的解法及根与系数的关系同步讲义 【题型01 因式分解法解一元二次方程】..............................2 【题型02 直接开平法解一元二次方程】..............................3 【题型03 配方法解一元二次方程】..................................3 【题型04 配方法的应用】..........................................3 【题型05 公式法解一元二次方程】..................................4 【题型06 由判别式判断一元二次方程根的情况】......................4 【题型07 根据一元二次方程根的情况求参数】........................5 【题型08 换元法解一元二次方程】..................................5 【题型09 一元二次方程根与系数的关系】............................6 【解答题5题】....................................................6 ★知识梳理★ 知识点01:核心思想 降次：把一元二次方程转化为两个一元一次方程求解。 知识点02:基本形式 一般式：ax²+bx+c=0（a≠0） a：二次项系数（a≠0）；b：一次项系数；c：常数项 知识点03:四种解法（重点） 适用：x²=p 或 (mx+n)²=p（p≥0） 依据：平方根的意义 结论：p>0→两不等根；p=0→两等根；p<0→无实根 步骤：化 1→移项→加一次项系数一半的平方→写成完全平方式→开方求解 作用：推导求根公式、求顶点式 求根公式：（b²-4ac≥0） 步骤：化一般式→定 a、b、c→算判别式→代入公式→写根 依据：若 A・B=0，则 A=0 或 B=0 步骤：右边化 0→左边分解为两个一次式乘积→分别令因式为 0→解一元一次方程 知识点04:根的判别式（△=b²-4ac） △>0：两个不相等实数根 △=0：两个相等实数根 △<0：无实数根 知识点05:解法优选顺序 因式分解法 → 直接开平方法 → 公式法 → 配方法 知识点06:极简易错点（必背） 1.漏写 a≠0：判定 / 代公式前，不看二次项系数是否为 0 2.直接开方漏 ±：如 x2=4 只写 x=2，丢 x=−2 3.配方错： 不先化二次项系数为 1 加 “一半平方” 只加一边 4.因式分解不右边化 0：直接两边约分 / 拆项，丢根 5.公式代入符号错：−b、±、根号内正负算错 6.判别式忘判断：Δ<0 还硬算根 【题型1.因式分解法解一元二次方程】 【典例】一元二次方程的根是______． 【跟踪专练1】一元二次方程的解为（    ） A． B． C．， D．， 【跟踪专练2】若a，b满足，且，则______． 【跟踪专练3】给出一种运算：对于函数，规定．若函数，则有，已知函数，则方程的解是（　　） A． B． C．， D．， 【题型2.直接开平法解一元二次方程】 【典例】方程的解是______． 【跟踪专练1】关于x的方程 没有实数根则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】对于实数p、q，我们用符号表示p，q两数中较小的数，如，若，则________________________． 【跟踪专练3】解方程，，，较简便的方法依次是（    ） A．直接开平方法，配方法，因式分解法 B．因式分解法，配方法，直接开平方法 C．直接开平方法，公式法，因式分解法 D．配方法，公式法，因式分解法 【题型3.配方法解一元二次方程】 【典例】用配方法解方程时，将它配成的形式是_____． 【跟踪专练1】用配方法解方程时，原方程应变形为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】一元二次方程配方，得，则是________． 【跟踪专练3】已知关于的一元二次方程配方成的形式，且该方程的一个根为，求的值为（    ） A． B． C． D． 【题型4.配方法的应用】 【典例】用配方法解方程时，可将方程变为的形式，则的值为______． 【跟踪专练1】代数式的值（   ） A．一定是正数 B．可能是负数 C．可能为零 D．不能确定取值范围 【跟踪专练2】如果关于的一元二次方程（）有一个根是1，那么我们称这个方程为“和美方程”．已知关于的一元二次方程是“和美方程”，则的最小值为_____． 【跟踪专练3】已知一元二次方程可配成，则的值为（   ） A． B．1 C． D．5 【题型5.公式法解一元二次方程】 【典例】一元二次方程，用求根公式求解时c的值是______． 【跟踪专练1】用公式法解关于的一元二次方程，得，则该一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知是关于的方程（为有理数，且）的一个根，则该方程的另外两个根分别是_____，_____． 【跟踪专练3】对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则． 其中正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【题型6.由判别式判断一元二次方程根的情况】 【典例】关于的一元二次方程的根的情况是______． 【跟踪专练1】下列关于的方程中一定有实数解的是（    ）． A． B． C． D． 【跟踪专练2】利用根的判别式判断方程（为常数）的根的情况是_________． 【跟踪专练3】嘉嘉在解方程时，经过一系列的计算后得到，淇淇看了一眼嘉嘉的答案，说：“你这一看就不对，这个方程只有一个解．”请你根据以上叙述，判断下列结论正确的是（    ） A．嘉嘉的解是正确的，因为他认真计算了 B．淇淇说得对，因为 C．嘉嘉和淇淇的说法都不对，因为，该方程无解 D．由可得该方程有两个解，但嘉嘉的结果是错的 【题型7.根据一元二次方程根的情况求参数】 【典例】若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为______． 【跟踪专练1】关于x的方程有两个实数根，则m的取值范围是（   ） A． B． C． 且 D． 【跟踪专练2】关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________． 【跟踪专练3】若关于的方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【题型8.换元法解一元二次方程】 【典例】若，则代数式的值为______ 【跟踪专练1】已知方程的解是或，则方程的解是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若x、y为实数，且，则___________． 【跟踪专练3】若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（　　） A．33 B．34 C．35 D．36 【题型9.一元二次方程根与系数的关系】 【典例】一元二次方程的两根之积为______． 【跟踪专练1】若是方程的两个根，则的值是（   ） A．-5 B．-4 C．5 D．4 【跟踪专练2】在解一元二次方程时，小明看错了一次项系数，得到的解为；小刚看错了常数项，得到的解为．请你写出正确的一元二次方程为__________． 【跟踪专练3】设，是方程的两个实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【解答题】 1．已知关于的方程． (1)当取何值时，方程有两个不相等的实数根？ (2)当取何值时，方程有两个相等的实数根？ (3)当取何值时，方程没有实数根？ 2．用适当的方法解方程： (1)； (2)； (3)（用配方法）； (4)． 3．试说明：不论为何值，关于的方程总为一元二次方程． 4．【材料阅读】解方程： 第一步：设，则原方程化为①，解方程①得：． 第二步：求解x的方程，即②③，解②③得：，，， 第三步：所以原方程的解是：，，， 上述解题方法，我们称之为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法；在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 【初步应用】（1）解方程： 【提升应用】（2）若四个连续自然数的积为120，请按照材料的方法，求这四个连续自然数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $