第二章 一元二次方程【期末复习讲义】基础版-2025-2026学年浙教版数学八年级下册

2025-2026学年浙教版新教材数学八年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第二章 一元二次方程【期末复习讲义】-基础版 『导图+知识梳理+21个题型讲练+真题实战练 共52题』（解析版） 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 由一元二次方程的定义求参数 题型二 判断是否是一元二次方程的解 题型三 由一元二次方程的解求参数 题型四 因式分解法解一元二次方程 题型五 解一元二次方程——直接开平方法 题型六 解一元二次方程——配方法 题型七 配方法的应用 题型八 公式法解一元二次方程 题型九 根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型十 根据一元二次方程根的情况求参数 题型十一 换元法解一元二次方程 题型十二 一元二次方程的根与系数的关系 题型十三 传播问题(一元二次方程的应用) 题型十四 增长率问题(一元二次方程的应用) 题型十五 与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 题型十六 数字问题(一元二次方程的应用) 题型十七 营销问题(一元二次方程的应用) 题型十八 动态几何问题(一元二次方程的应用) 题型十九 行程问题(一元二次方程的应用) 题型二十 握手、循环赛问题(一元二次方程的应用) 题型二十一 其他问题(一元二次方程的应用) 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点一 一元二次方程的概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数，并 且未知数的最高次数是 2 的方程，叫做一元二次方程。 注意：一元二次方程成立必须同时满足三个条件： （1）是整式方程，即等号两边都是整式。方程中如果有分母，且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程；方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程） （2）只含有一个未知数； （3）未知数项的最高次数是2。 知识点二 一元二次方程的一般形式 一元二次方程经过整理都可化成一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0），其中ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。 注意：（1）ax²+bx+c=0中的a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程 （2）在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各系数时不要漏掉前面的性质符号。 知识点三 一元二次方程的解 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二 次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解. 知识点四 一元二次方程的重要结论 （1）若a+b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=1;若x=1是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a+b+c=0。 （2）若a-b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=-1;若x=11是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a-b+c=0。 知识点五 解一元二次方程 1.直接开方 注意： （1）等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数 （2）降次的实质是有一个一元二次方程转化为两个一元一次方程 （3）方法是根据平方根的意义开平方 2.配方法 用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是： ①化为一般形式； ②移项，将常数项移到方程的右边； ③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数； ④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解． 总结： 3.公式法 用公式法求一元二次方程的一般步骤： （1）把方程化成一般形式， （2）求出判别式 4.因式分解 因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下： （1）移项，使方程的右边化为零； （2）将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积； （3）令每个因式分别为零； （4）两个因式分别为零的解就都是原方程的解。 知识点六 一元二次方程的判别式 根的判别式： ① 时，方程有两个不相等的实数根； ② 时，方程有两个相等的实数根； ③时，方程无实数根，反之亦成立 知识点七 一元二次方程的根与系数 根与系数的关系：即的两根为，则，。利用韦达 定理可以求一些代数式的值（式子变形），如 解题技巧： 当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时，可以用韦达定理 知识点八 一元二次方程的实际应用 1. 变化率问题 设基准数为a ，两次增长（或下降）后为 b；增长率（下降率）为 x，第一次增长（或下降）后 为 ；第二次增长（或下降）后为 ²．可列方程为 ²=b 2. 传染、枝干问题 有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 设每轮传染中平均一个人传染了x个人： 3.握手、比赛问题 握手问题：n个人见面，任意两个人都要握一次手，问总共握次手。赠卡问题：n个人相互之间送卡片，总共要送张卡片。 4. 销售利润问题 （1）常用公式：利润=售价-成本；总利润=每件利润×销售量； 5. 几何面积问题 （1）如图①，设空白部分的宽为x,则； （2）如图②，设阴影道路的宽为x,则 （3）如图③，栏杆总长为a，BC的长为b,则 6. 动点与几何问题 关键是将点的运动关系表示出来，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式列出方程. 每每问题中，单价每涨a元，少买b件。若涨价y元，则少买的数量 第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 由一元二次方程的定义求参数 【例1】（23-24八年级下·江苏苏州·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义，需满足两个条件：最高次项的次数为2，且二次项系数不为0，据此列等式和不等式求解即可． 【详解】解：方程是一元二次方程， ∴且， 解得且， ∴． 【变式】（25-26八年级下·山东东营·阶段检测）关于x的方程是一元二次方程，则m的值为____． 【答案】5 【分析】根据一元二次方程的定义可知，最高次数为2且二次项的系数不为0，据此列式方程求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴且，解得：且， ∴m的值为5． 题型讲练二 判断是否是一元二次方程的解 【例2】（25-26八年级下·浙江宁波·期中）在欧几里得的《几何原本》中，形如的一元二次方程通过图解法能得到其中的一个正根：如图，先画，使，，，再在斜边上截取，连接，能表示一元二次方程的其中一个正根的线段是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，在中，由勾股定理得，整理得：，即可得到结论． 【详解】解：设，则， 在中，由勾股定理得：， 整理得：， 线段的长是一元二次方程的一个正根． 【变式】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知是方程的一个实数根，则方程 一定有一个实数根是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程根的定义，先将代入已知方程得到和的关系式，进而即可求解． 【详解】解：∵是方程的一个实数根， ∴ ， 整理得， ，即 ， ∴方程 一定有一个实数根是． 题型讲练三 由一元二次方程的解求参数 【例3】（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）已知是关于x的一元二次方程的一个根． （1）若，且，则b的取值范围是______； （2）若，则c的值为______． 【答案】 5 【分析】（1）根据方程的解得到，结合，得到，利用不等式的性质求解即可； （2）易得，，根据完全平方公式的变形以及完全平方的非负性进行求解即可. 【详解】解：（1）∵是关于x的一元二次方程的一个根， ∴① ∵， ∴， ，得， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 且， ∴， ∴，而， ∴， ∴. 【变式】（25-26八年级下·福建泉州·期中）若a是方程的根，则代数式的值是______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的根的概念，可得，变形可得，再整体代入求值即可． 【详解】解：∵a是方程的根， ， 当时，不成立， ， ，即， ∴． 题型讲练四 因式分解法解一元二次方程 【例4】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有实数根； (2)若该方程有两个负实数根，求的取值范围． 【答案】(1)见解析； (2)的取值范围是． 【分析】（）根据 即可求证； （）先解方程解得，，然后由该方程有两个负实数根，则有，解得，从而求解． 【详解】（1）证明： ， ∴方程总有实数根； （2）解： ， 解得：，， ∵该方程有两个负实数根，， ∴，解得：， ∴的取值范围是． 【变式】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）当k取何值时，关于x的一元二次方程有两个相等的实数根？求出此时方程的根． 【答案】，此时方程的根为 【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根可得，求得，再用因式分解法求解一元二次方程即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，即， 解得：， 将代入可得， 即， 解得． 题型讲练五 解一元二次方程——直接开平方法 【例5】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）直接开方法求出x的值即可； （2）利用因式分解法求出x的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴． 【变式】（25-26八年级下·浙江台州·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据直接开平方法求出解； （2）先确定，再根据求根公式求出解． 【详解】（1）解：， 开方，得， 解得，； （2）解：， ∵，，， ∵， ∴， 解得，． 题型讲练六 解一元二次方程——配方法 【例6】（25-26八年级下·安徽安庆·期中）解方程：（用配方法）． 【答案】 【分析】方程运用配方法求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 【变式】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）用配方法解一元二次方程得，则的值为__________． 【答案】3 【分析】根据配方法得到的结果还原出一元二次方程的一般形式为，再通过对比系数求出的值． 【详解】解：用配方法解得， 两边平方得， 展开左边得， 整理得， 原方程为 对比系数，可得． 题型讲练七 配方法的应用 【例7】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知，，则比较代数式A与B的值：A________B．（请用“”、“”、“”表示） 【答案】 【分析】利用作差法比较两个代数式的大小，对作差结果进行配方整理，根据完全平方的非负性判断差的符号，即可得到A与B的大小关系． 【详解】解： ， ，即， ． 【变式】（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）我们称形如的方程为关于x的“标准二次方程”．若两个一元二次方程可以写成和的形式（和相同，），则称它们是“伙伴方程”．如与就是“伙伴方程”．已知与是伙伴方程，那么代数式能取的最大值是（　　） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【答案】D 【分析】根据“伙伴方程”的定义可得可以变形，展开成一般式后根据系数相等列方程解得，，最后根据求解即可． 【详解】解：∵与是伙伴方程， ∴可以变形， 即， ∴，， 解得，， ∴， ∴代数式能取的最大值是． 题型讲练八 公式法解一元二次方程 【例8】（25-26八年级下·广西崇左·期中）计算或解方程 (1)计算：； (2)解方程：． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：， ， ，则方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，． 【变式】（25-26八年级下·安徽宣城·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）用十字相乘法分解因式，用因式分解法求解即可； （2）设，用换元法求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得； （2）解：设，则原方程化为， ∴， ∴或， 解得，， 当时，则，即， ∵， ∴； 当时，则，即0， ∵， ∴； 综上所述，原方程的解为，． 题型讲练九 根据判别式判断一元二次方程根的情况 【例9】（25-26八年级下·广西崇左·期中）定义：若一元二次方程满足，则称该方程为“和谐方程”． (1)下列方程属于“和谐方程”的是 ；（填序号） ①；②；③ (2)求证：和谐方程总有实数根； (3)已知一元二次方程为和谐方程，若该方程有两个相等的实数根，求a，c的数量关系． 【答案】(1)①③ (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据“和谐方程”的定义判断即可； （2）求出，根据平方的非负性作答即可； （3）根据“该方程有两个相等的实数根”得到，进而根据“和谐方程”的定义得到，根据完全平方公式得到，即可得到a，c的数量关系． 【详解】（1）解：①，是“和谐方程”； ②，不是“和谐方程”； ③，是“和谐方程”； ∴属于“和谐方程”的是①③； （2）证明：∵该方程为和谐方程， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴和谐方程总有实数根； （3）解：∵该方程有两个相等的实数根 ∴， 即． ∵方程为和谐方程， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴a，c的数量关系为． 【变式】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)判断该一元二次方程根的情况； (2)若方程有一个根为，求k的值及方程的另一个根； (3)若方程的一个根是另一个根的2倍，求k的值． 【答案】(1)当时，原方程有两个相等的实数根；当且时，原方程有两个不相等的实数根 (2)，方程的另一个根为 (3)或 【分析】（1）根据一元二次方程的定义可得的取值范围，再计算可判断方程根的情况； （2）把代入原方程求解k，再解一元二次方程可得答案； （3）先解含参数的一元二次方程，再分两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程， ∴， ∴， 而 ， ∴当时，原方程有两个相等的实数根，当且时，原方程有两个不相等的实数根． （2）解：∵方程有一个根为， ∴， 解得：， ∴方程为：， ∴， 解得：，， ∴方程的另一个根为． （3）解：∵， ∴， ∴，， 解得：，， ∵方程的一个根是另一个根的2倍， ∴当时，解得：，经检验符合题意； 当时，解得：，经检验符合题意； 综上：或． 题型讲练十 根据一元二次方程根的情况求参数 【例10】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，设此方程的一个实数根为b，令 ，则y的最小值为__________． 【答案】1 【分析】由一元二次方程根的判别式先求解，根据一元二次方程的解的定义得出代入二次函数，再由一次函数的性质求解即可． 【详解】解： 关于x的一元二次方程有两个实数根， ， 解得：， 设此方程的一个实数根为b， ， ，， ∴y随m的增大而减小， 当时，y取得最小值为． 【变式】（25-26八年级下·浙江湖州·期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是______． 【答案】且 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， ∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， 即， 解得：， ∴的取值范围是且． 题型讲练十一 换元法解一元二次方程 【例11】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）若关于的方程（，为常数）的解是，，则关于的方程的解是____________． 【答案】， 【分析】将方程变形为相同的形式，再换元求解即可． 【详解】解：方程变形为，看作关于的方程， ∵方程（、为常数）的解是，， ∴，， 解得：，． 【变式】（25-26八年级下·浙江温州·期中）小安同学发现：关于的两个一元二次方程：①，②（，，均为常数，且）的解存在某个数量关系．若已知的解为，，则方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】利用换元法和方程的解的定义求解，设，由的解为，得到一元二次方程的解，再把方程变形为，令，可得，通过对应关系求出方程的解． 【详解】解：设， ∵ 的解为，， ∴ ，， 即的解为，， 对方程两边同乘，得， 即， 令，可得， ∴ 该方程的解为，， 即，， 解得，． 题型讲练十二 一元二次方程的根与系数的关系 【例12】（25-26八年级下·山东淄博·期中）已知，且，，则的值为___________． 【答案】/ 【分析】由题意可得、是一元二次方程的两个不相等的实数根，由一元二次方程根与系数的关系可得，，再将所求式子进行变形，整体代入计算即可得出结果． 【详解】解：∵，且，， ∴、是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴，， ∴． 【变式】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）若m，n是一元二次方程的实数根，则代数式________． 【答案】3 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，，再通过对完全平方公式变形求值即可． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的实数根， ∴，， ∴． 题型讲练十三 传播问题(一元二次方程的应用) 【例13】（25-26八年级下·江苏盐城·月考）甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“ 甲流 ”初期，有 1 人感染了“ 甲流病毒 ”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有 225 人感染了“ 甲流病毒 ”，则每轮传染中平均一个人传染了 ____ 人． 【答案】14 【分析】根据传染过程确定两轮传染后总感染人数的等量关系，列一元二次方程求解，舍去不符合实际意义的根即可得到结果． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了人， 根据题意，得 ， 整理得：， 解得，， 因为传染人数不能为负数，所以舍去，． ∴每轮传染中平均一个人传染了人． 【变式】（24-25八年级下·全国·课后作业）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？（    ） A．11 B．10 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，根据两轮感染后的电脑总数列出一元二次方程，求解并舍去不合题意的解即可． 【详解】解：设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑 第一轮感染后，被感染的电脑总数为台 第二轮感染时，这些电脑每台又感染台，新增台被感染电脑 两轮后被感染的电脑总数为 整理得 开平方得或 解得， 感染的电脑数量不能为负数 舍去 每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑 故选C． 题型讲练十四 增长率问题(一元二次方程的应用) 【例14】（25-26八年级下·浙江金华·期中）受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．我市92＃汽油价格一月底是元／升，三月底92＃汽油价格调整为元／升．假设我市92＃汽油价格这两个月平均每月的增长率为，根据题意列出方程，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平均增长率问题，从一月底到三月底共经过两次增长，以一月底价格为基础，根据平均增长率的关系列方程即可得到结果． 【详解】解：设平均每月的增长率为 ∵一月底价格为元/升 ∴二月底价格为 元/升 ∴三月底价格为 又∵三月底价格为元/升 ∴可得方程 【变式】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）坐落于苏州金鸡湖畔的“苏州之眼”摩天轮，是全球八大太空舱摩天轮之一、也是亚洲最大的水上摩天轮，为纪念其正式运营，某电商平台推出一款“苏州之眼”摩天轮模型纪念品，引发文旅消费热潮． (1)据统计，某电商平台2025年3月的销售量是3万件，2025年5月的销售量达到4.32万件．若月平均增长率相同，求月平均增长率； (2)苏州观前街某实体店“苏州之眼”摩天轮模型的进价为每件65元，若售价定为每件75元，每天可售出20件，市场调研发现，售价每降低1元，每天销量可增加5件，为配合“江南文化节”推广，商家决定降价促销，同时尽量减少库存．若使每天销售后获利240元，售价应降低多少元? 【答案】(1)月平均增长率为； (2)售价应降低4元． 【分析】（1）设出未知数，利用“初始销量×(1+月平均增长率)²=最终销量”列一元二次方程，舍去不符合题意的负根，即可得到结果． （2）设出降价金额，分别表示出每件商品的利润和降价后的销量，利用“总利润=每件利润×销量”列一元二次方程，结合“尽量减少库存”的要求，选择符合题意的解即可． 【详解】（1）解：设月平均增长率为x， 根据题意得， 解得：，（舍去） 答：月均增长率为． （2）解：设售价应降低x元，则每件盈利为元，即元，销量为：件， 由题意得，， 解得，， 尽量减少库存， ，即售价应降低4元． 答：若使每天销售后获利240元，售价应降低4元． 题型讲练十五 与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【例15】（25-26八年级下·山东淄博·期中）如图，在一块长为，宽为的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成面积均为的6个矩形小块，水渠的宽为多少？ 【答案】 【分析】设水渠的宽为，则挖了水渠后的6个矩形小块可以拼成长为，宽为的矩形，据此列出方程，求解即可． 【详解】解：设水渠的宽为，由题意得 ， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：水渠的宽为． 【变式】（25-26八年级下·浙江台州·期中）如图，一块长12米、宽8米的长方形户外草坪，规划了两横两纵等宽的石板小径（阴影部分），石板小径的总面积占草坪总面积的，则石板小径的宽度为_______米． 【答案】1 【分析】设石板小径的宽度为米，利用平移法将剩余草坪拼成一个长方形，根据剩余草坪面积等于总面积乘以剩余比例列出一元二次方程，求解并取合适的值即可． 【详解】设石板小径的宽度为米， 根据题意，利用平移法，剩余草坪可视为长为米，宽为米的长方形， 草坪总面积为平方米， 石板小径的总面积占草坪总面积的，则剩余草坪面积占总面积的， 列方程得： ， 解得： ， 当时，，不合题意，舍去， 所以． 即石板小径的宽度为1米． 故答案为：1． 题型讲练十六 数字问题(一元二次方程的应用) 【例16】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）观察下列等式：；；；按照这个规律，若某个正整数n对应的等式结果为255，则_____． 【答案】15 【分析】先根据已知等式总结出正整数对应的等式规律，再根据结果为列出一元二次方程，求解后结合为正整数即可解答． 【详解】解：观察已知等式，可得正整数对应的等式为结果， 由题意得， 整理为一元二次方程的一般形式，得，解得 或 ． ∵是正整数， ∴． 【变式】（24-25八年级下·全国·课后作业）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小4，如果把这个数的个位数字与十位数字交换，那么所得到的两位数比原来的数小18，求原来的两位数． 【答案】原来的两位数为53 【分析】本题主要考查了列代数式，列一元二次方程解决数字问题，解题的关键是根据题意列出代数式． 设原来的两位数的个位数字为x，则十位数字为，根据题意表示出两位数，然后列出方程求解即可． 【详解】解：设原来的两位数的个位数字为x，则十位数字为， 依题意，得， 整理，得， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴． 答：原来的两位数为53． 题型讲练十七 营销问题(一元二次方程的应用) 【例17】（25-26八年级下·浙江温州·期中）交警部门提醒市民：“出门头盔戴，放心平安归”．某商店销售一批头盔，进价为每顶50元，售价为每顶78元，平均每周可售出200顶．商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于68元．经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶．设每顶头盔降价元，平均每周的销售量为顶． (1)每顶头盔降价元后，每顶头盔的利润是________元，销售量为________顶（用含的代数式表示）． (2)若该商店希望平均每周获得7200元的销售利润，则每顶头盔应降价多少？ 【答案】(1)； (2)每顶头盔应降价10元 【分析】（1）根据利润售价进价，列出代数式即可得到每顶头盔的利润；再利用平均每周的销售量，即可得到销售量； （2）利用每周的销售利润每顶的销售利润每周的销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可求出的值，再结合降价后每顶头盔的售价不高于元，即可确定结论． 【详解】（1）解：∵进价为每顶50元，原售价为每顶78元， ∴每顶头盔降价x元后，每顶头盔的利润是元； ∵售价为每项78元，平均每周可售出200顶，每降价2元，平均每周可多售出40顶， ∴销售量顶； （2）解：由题意得     ，， 每顶售价不高于68元，且， 答：每顶头盔应降价10元． 【变式】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）某商场将进货单价为40元的商品按50元售出时能卖出500个，经过市场调查发现，这种商品最多只能卖500个．若每个售价提高1元，其销售量就会减少10个． (1)商场为了保证经营该商品赚得8750元的利润而又尽量兼顾顾客的利益，售价应定为多少？ (2)商场是否能获得10000元的利润？若能，请计算售价是多少；不能，请说明理由． 【答案】(1)售价应定为65元 (2)不能获得10000元的利润，理由见详解 【分析】（1）设每个售价提高x元，根据题意列出一元二次方程求解； （2）根据题意列出一元二次方程，然后利用判别式判断． 【详解】（1）解：设每个售价提高x元， 由题意得， 解得， ∵尽量兼顾顾客的利益 ∴ ∴（元） ∴售价应定为65元； （2）解：不能，理由如下： 根据题意得， 整理得， ∵ ∴该一元二次方程没有实数根 ∴商场不能获得10000元的利润． 题型讲练十八 动态几何问题(一元二次方程的应用) 【例18】（25-26八年级下·浙江湖州·期中）如图，在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒． (1)填空： ， ．（用含的代数式表示） (2)当五边形的面积等于时，求此时的值． (3)是否存在的值，使线段的长度最小，若存在，请求出此时的值和最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当五边形的面积等于104cm2时，此时的值为1 (3)存在，当时，线段的长度最小，最小值为 【分析】（1）根据P、Q两点的运动速度可得、的长度； （2）根据五边形的面积等于，代入相应数据解方程即可； （3）根据勾股定理求得，再根据配方法，求得最小值，即可求解． 【详解】（1）解：∵点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动， ∴； ∵P从点A开始沿边向终点B以的速度移动， ∴， ∵， ∴， （2）解：， ， ，， ， 整理得：， 解得：， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴当五边形的面积等于104cm2时，此时的值为1． （3）解：， ∵， ∴， ∴当时，线段的长度最小，此时． 【变式】（24-25八年级下·浙江宁波·月考）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边AB向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为xs． (1)用含x的式子表示：______cm，______，______； (2)当的面积为时，求运动时间； (3)四边形APQC的面积能否等于？若能，求出运动的时间；若不能，说明理由． (4)①阅读材料：求代数式的最小值．解：．因为，所以，所以的最小值是2． ②解决问题：运动时间x为何值时，四边形APQC的面积最小？ 【答案】(1)；； (2)或 (3)四边形的面积不能等于，理由见解析 (4)运动时间时，四边形APQC的面积最小 【分析】（1）根据从点开始沿边向点以的速度移动，则，根据，则；根据动点从点开始沿边向点以的速度移动，则；再根据，得，，即可； （2）根据，求出，即可； （3）根据，求出；再根据，即可； （4）将四边形面积变形得，根据即可求解． 【详解】（1）解：∵从点开始沿边向点以的速度移动， ∴， ∵， ∴， ∵动点从点开始沿边向点以的速度移动， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴； （2）解：由（1）得， ∴当的面积为时， ∴， ∴，， ∴当的面积为时，求运动时间为：或． （3）解：由（1）得，， 当四边形的面积等于，， ∴，（舍）， ∵， ∴， ∴四边形的面积不能等于； （4）解：②， ∵， ∴， ∴运动时间时，四边形APQC的面积最小． 题型讲练十九 行程问题(一元二次方程的应用) 【例19】（25-26八年级下·江苏南通·期末）一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止滚动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动用了多少秒（结果保留根号）？ （提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．） 【答案】(1)小球的滚动速度平均每秒减少； (2)小球滚动到用了秒． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间； （2）利用等量关系：速度×时间＝路程，时间为，根据题意列出方程：求解即可． 【详解】（1）解：从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间， 即， 故小球的滚动速度平均每秒减少； （2）解：设小球滚动到用了， 即， 解得（舍），． 答：小球滚动到用了秒． 【变式】（25-26八年级下·广西柳州·月考）在物理中，沿着一条直线且速度均匀增大或减小的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时段内，初速度为20米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为米/秒．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，小球的滚动速度平均每秒减少2米/秒，小球滚动24米用了______秒． 【答案】4 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设小球滚动24米用了x秒，则末速度为米/秒，利用路程平均速度运动时间，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设小球滚动24米用了x秒，则末速度为米/秒， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去， 小球滚动24米用了4秒． 故答案为：． 题型讲练二十 握手、循环赛问题(一元二次方程的应用) 【例20】（24-25八年级下·全国·课后作业）在一次由（一款围棋人工智能程序）参与的围棋比赛中，每位选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分，无平局，四位同学分别统计了全部选手的得分总数，结果分别是210，212，208，214，经过仔细验算后发现这四位同学计算结果中只有一个数据是正确的，则正确的数据为（    ） A．208 B．210 C．212 D．214 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的应用（比赛积分问题），以及数的整除性和奇偶性分析．解题的关键是先根据比赛规则推导得分总数的表达式，再依据表达式为两个连续正整数乘积的特征，判断正确数据． 【详解】解：设参赛选手有位（为正整数） ∵每位选手都与其他选手恰好比赛一局 ∴比赛总场次为 ∵每局比赛无论胜负，总分增加分 ∴全部选手的得分总数为 即得分总数必为两个连续正整数的乘积 ∵，且212、208、214均无法表示为两个连续正整数的乘积 ∴正确的数据为210． 故选B． 【变式】（25-26八年级下·湖北武汉·月考）某区组织一场篮球联赛，每两队之间都赛2场，计划安排56场比赛，应有______个球队参加比赛． 【答案】8 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．设有个队，再表示出每个球队要比赛的场数，然后根据总场数相等列出方程，求出解即可． 【详解】解：设有个队，每个队都要赛场，根据题意，得 ， 解得或（舍去）． 所以应邀请8个球队参加比赛． 故答案为：8． 题型讲练二十一 其他问题(一元二次方程的应用) 【例21】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）在物理中，沿着一条直线且速度均匀地增大或减小的运动，叫作匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时间段内，初速度为10米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为（米/秒）．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，5秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少________米，从开始到滚动了秒后小球的速度为________米/秒． (2)小球从开始到滚动21米用了多少秒？ (3)小球在最后一秒滚动了多少米？ 【答案】(1)2， (2)秒 (3)米 【分析】（1）根据以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，5秒后小球停止运动列式计算即可； （2）设小球滚动21米用了秒，由时间速度路程，列出一元二次方程，解方程即可． （3）根据（1）中结论得出小球滚动距离，再代入和作差即可解答． 【详解】（1）解：小球的滚动速度平均每秒减少， 从开始到滚动了秒后小球的速度为米/秒， （2）解：设小球滚动21米用了秒，此时小球的末速度为 米/秒， 根据题意，得 整理得 解得 ， 当 时， ，不符合实际，舍去 因此 答：小球从开始到滚动21米用了3秒． （3）解：∵小球的滚动速度平均每秒减少，从开始到滚动了秒后小球的速度为米/秒， ∴小球滚动距离， 当时，， ∴小球滚动25米后停止， 当时，， 故小球在最后一秒滚动了米． 【变式】（24-25八年级下·浙江宁波·月考）如图是小华与人工智能软件的对话内容，人工智能软件在深度思考后，给出的正确答案是________ 有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再加上这个数，其运算结果等于这个数的相反数． 【答案】或 【分析】设这个数为，根据题意列出一元二次方程，再通过因式分解法求解方程，得到符合条件的数． 【详解】解：设这个数为，根据题意得 ， 解得， 故给出的正确答案是或． 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．（25-26八年级下·山东淄博·期中）已知关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（   ） A．且 B． C． D． 【答案】D 【分析】分情况讨论，根据一元二次方程和一元一次方程的定义，以及根的判别式解答即可． 【详解】解：根据题意得，方程有实数根 当时，该方程为一元二次方程， 判别式， 解得：， ， ， 当方程为一元二次方程时，m的取值范围是且； 当时，该方程可化为为， ， 解得， 此时， 当时，方程为一元一次方程，此时方程也有实数根， 综上所述，m的取值范围是． 2．（25-26八年级下·安徽安庆·期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义可得二次项系数不为0，即，根据根的判别式可得，据此求解即可． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程，且有两个实数根， ∴，即． 解得且． 3．（25-26八年级下·山东东营·期中）三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（    ） A．15 B．13 C．11或8 D．11和13 【答案】B 【分析】先解一元二次方程得到第三边的可能值，再根据三角形三边关系判断符合条件的第三边，最后计算周长即可得到答案. 【详解】解：∵ ， ∴ 因式分解得 ， 解得 ， ∵ 三角形两边长分别为3和6， ∴ 当第三边长为时，，不满足三角形三边关系，此种情况舍去， 当第三边长为时，满足三角形三边关系，此时三角形周长为 . 4．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）一元二次方程的两个根分别是，，那么代数式的值为______． 【答案】 【分析】先化为一般形式，再利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和与积，将代数式完全平方公式变形，再代入求值，即可求解． 【详解】解：化为一般形式为 ∵一元二次方程的两个根分别是，， ∴ ∴ 5．（25-26八年级下·山东淄博·期中）已知实数a，b满足，则关于x的方程根的情况是_____． 【答案】没有实数根 【分析】先根据二次根式有意义的条件求出的值，再代入求出的值，最后计算一元二次方程的根的判别式，根据判别式的符号判断根的情况． 【详解】解：∵， ∴，解得， ∴． ∴一元二次方程为， ∵． ∴该一元二次方程没有实数根． 6．（25-26八年级下·山东东营·期中）在2024年12月的日历表上用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，则这个最小数为____ 【答案】 【分析】设最小的数为x，则最大的数为，可得，再进一步求解即可. 【详解】解：设最小的数为x，则最大的数为， ， ∴， ∴（舍去）， ∴这个最小数为. 7．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，，且，则的值为______． 【答案】 【分析】利用根与系数的关系和根的判别式得到，，，进而得到，结合可得出关于的方程，解之可得出的值． 【详解】解：关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，， ，，， ， 或 （舍去），或， 故答案为：． 8．（25-26八年级下·安徽安庆·期中）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为，停车场内车道的宽度都相等，若停车位（图中阴影部分）的占地面积为．求停车场内车道的宽度． 【答案】停车场内车道的宽度为 【分析】设停车场内车道的宽度为，则停车位可组合成长为，宽为的长方形，根据停车位（图中阴影部分）的占地面积为列出一元二次方程并解方程即可． 【详解】解：设停车场内车道的宽度为，则停车位可组合成长为，宽为的长方形， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：停车场内车道的宽度为． 9．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）对于关于x的代数式（a，b，c是常数，且），若存在实数m，使得当时，代数式的值也等于m，则称m为这个代数式的“不动值”．例如：对于关于x的代数式，当时，代数式的值等于0；当时，代数式的值等于1，我们就称0和1都是这个代数式的“不动值”． (1)下列x的取值：①，②，③，④；其中是关于x的代数式的“不动值”是______（填序号）； (2)判断关于x的代数式是否存在“不动值”，若存在，请求出代数式的“不动值”；若不存在，请说明理由； (3)若关于x的代数式有两个“不动值”，且一个“不动值”是另一个“不动值”的3倍，求c的值． 【答案】(1)①④ (2)不存在，理由见解析 (3)3 【分析】（1）根据定义求解即可； （2）由题意得方程，再由根的判别式求解即可； （3）由题意得，有两个实数根，且一个根是另一个根的3倍，再根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：①当时，，符合题意； ②当时，，不符合题意； ③当时，，不符合题意； ④当时，，符合题意， ∴其中是关于x的代数式的“不动值”是①④； （2）解：不存在，理由如下： 若关于x的代数式存在“不动值”， 则， 整理得，， 此时， ∴此方程无实数根， 故关于x的代数式不存在“不动值”； （3）解：由题意得，有两个实数根，且一个根是另一个根的3倍， 整理得，， 设两个实数根为， 则由一元二次方程根与系数的关系得到，， 解得 ∴． 10．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）某运动品商场针对某品牌的足球推出团购优惠活动，活动方案如下： 购买足球数量（只） 足球单价（元/只） 不超过30只 每只足球180元 超过30只 购买足球的数量每增加一只，所购足球的单价降2元/只，但足球的单价不得低于120元 某足球学校花费6750元在该运动品商场购买了该品牌的足球，请你确定该足球学校购买足球的数量． 【答案】该足球学校购买足球的数量为只 【分析】先通过计算判断购买数量的范围，再根据总价等于单价乘以数量列一元二次方程求解，舍去不符合题意的解，得到最终结果． 【详解】解 若购买足球不超过30只，则最多花费（元） 该足球学校购买足球数量超过30只， 当足球单价恰好为120元时，购买数量为（只） 若购买数量超过60只，总价最少为（元） 该足球学校购买足球数量满足 设该足球学校购买足球只，则每只足球的单价为元 根据题意列方程得 解得 ， 不符合题意，舍去 答：该足球学校购买足球的数量为45只． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年浙教版新教材数学八年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第二章 一元二次方程【期末复习讲义】-基础版 『导图+知识梳理+21个题型讲练+真题实战练 共52题』（原卷版） 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 由一元二次方程的定义求参数 题型二 判断是否是一元二次方程的解 题型三 由一元二次方程的解求参数 题型四 因式分解法解一元二次方程 题型五 解一元二次方程——直接开平方法 题型六 解一元二次方程——配方法 题型七 配方法的应用 题型八 公式法解一元二次方程 题型九 根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型十 根据一元二次方程根的情况求参数 题型十一 换元法解一元二次方程 题型十二 一元二次方程的根与系数的关系 题型十三 传播问题(一元二次方程的应用) 题型十四 增长率问题(一元二次方程的应用) 题型十五 与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 题型十六 数字问题(一元二次方程的应用) 题型十七 营销问题(一元二次方程的应用) 题型十八 动态几何问题(一元二次方程的应用) 题型十九 行程问题(一元二次方程的应用) 题型二十 握手、循环赛问题(一元二次方程的应用) 题型二十一 其他问题(一元二次方程的应用) 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点一 一元二次方程的概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数，并 且未知数的最高次数是 2 的方程，叫做一元二次方程。 注意：一元二次方程成立必须同时满足三个条件： （1）是整式方程，即等号两边都是整式。方程中如果有分母，且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程；方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程） （2）只含有一个未知数； （3）未知数项的最高次数是2。 知识点二 一元二次方程的一般形式 一元二次方程经过整理都可化成一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0），其中ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。 注意：（1）ax²+bx+c=0中的a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程 （2）在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各系数时不要漏掉前面的性质符号。 知识点三 一元二次方程的解 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二 次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解. 知识点四 一元二次方程的重要结论 （1）若a+b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=1;若x=1是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a+b+c=0。 （2）若a-b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=-1;若x=11是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a-b+c=0。 知识点五 解一元二次方程 1.直接开方 注意： （1）等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数 （2）降次的实质是有一个一元二次方程转化为两个一元一次方程 （3）方法是根据平方根的意义开平方 2.配方法 用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是： ①化为一般形式； ②移项，将常数项移到方程的右边； ③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数； ④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解． 总结： 3.公式法 用公式法求一元二次方程的一般步骤： （1）把方程化成一般形式， （2）求出判别式 4.因式分解 因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下： （1）移项，使方程的右边化为零； （2）将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积； （3）令每个因式分别为零； （4）两个因式分别为零的解就都是原方程的解。 知识点六 一元二次方程的判别式 根的判别式： ① 时，方程有两个不相等的实数根； ② 时，方程有两个相等的实数根； ③时，方程无实数根，反之亦成立 知识点七 一元二次方程的根与系数 根与系数的关系：即的两根为，则，。利用韦达 定理可以求一些代数式的值（式子变形），如 解题技巧： 当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时，可以用韦达定理 知识点八 一元二次方程的实际应用 1. 变化率问题 设基准数为a ，两次增长（或下降）后为 b；增长率（下降率）为 x，第一次增长（或下降）后 为 ；第二次增长（或下降）后为 ²．可列方程为 ²=b 2. 传染、枝干问题 有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 设每轮传染中平均一个人传染了x个人： 3.握手、比赛问题 握手问题：n个人见面，任意两个人都要握一次手，问总共握次手。赠卡问题：n个人相互之间送卡片，总共要送张卡片。 4. 销售利润问题 （1）常用公式：利润=售价-成本；总利润=每件利润×销售量； 5. 几何面积问题 （1）如图①，设空白部分的宽为x,则； （2）如图②，设阴影道路的宽为x,则 （3）如图③，栏杆总长为a，BC的长为b,则 6. 动点与几何问题 关键是将点的运动关系表示出来，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式列出方程. 每每问题中，单价每涨a元，少买b件。若涨价y元，则少买的数量 第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 由一元二次方程的定义求参数 【例1】（23-24八年级下·江苏苏州·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（    ） A． B． C． D． 【变式】（25-26八年级下·山东东营·阶段检测）关于x的方程是一元二次方程，则m的值为____． 题型讲练二 判断是否是一元二次方程的解 【例2】（25-26八年级下·浙江宁波·期中）在欧几里得的《几何原本》中，形如的一元二次方程通过图解法能得到其中的一个正根：如图，先画，使，，，再在斜边上截取，连接，能表示一元二次方程的其中一个正根的线段是（    ） A． B． C． D． 【变式】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知是方程的一个实数根，则方程 一定有一个实数根是（   ） A． B． C． D． 题型讲练三 由一元二次方程的解求参数 【例3】（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）已知是关于x的一元二次方程的一个根． （1）若，且，则b的取值范围是______； （2）若，则c的值为______． 【变式】（25-26八年级下·福建泉州·期中）若a是方程的根，则代数式的值是______． 题型讲练四 因式分解法解一元二次方程 【例4】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有实数根； (2)若该方程有两个负实数根，求的取值范围． 【变式】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）当k取何值时，关于x的一元二次方程有两个相等的实数根？求出此时方程的根． 题型讲练五 解一元二次方程——直接开平方法 【例5】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）解方程： (1)； (2)． 【变式】（25-26八年级下·浙江台州·期中）解方程： (1) (2) 题型讲练六 解一元二次方程——配方法 【例6】（25-26八年级下·安徽安庆·期中）解方程：（用配方法）． 【变式】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）用配方法解一元二次方程得，则的值为__________． 题型讲练七 配方法的应用 【例7】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知，，则比较代数式A与B的值：A________B．（请用“”、“”、“”表示） 【变式】（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）我们称形如的方程为关于x的“标准二次方程”．若两个一元二次方程可以写成和的形式（和相同，），则称它们是“伙伴方程”．如与就是“伙伴方程”．已知与是伙伴方程，那么代数式能取的最大值是（　　） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 题型讲练八 公式法解一元二次方程 【例8】（25-26八年级下·广西崇左·期中）计算或解方程 (1)计算：； (2)解方程：． 【变式】（25-26八年级下·安徽宣城·期中）解下列方程： (1)； (2)． 题型讲练九 根据判别式判断一元二次方程根的情况 【例9】（25-26八年级下·广西崇左·期中）定义：若一元二次方程满足，则称该方程为“和谐方程”． (1)下列方程属于“和谐方程”的是 ；（填序号） ①；②；③ (2)求证：和谐方程总有实数根； (3)已知一元二次方程为和谐方程，若该方程有两个相等的实数根，求a，c的数量关系． 【变式】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)判断该一元二次方程根的情况； (2)若方程有一个根为，求k的值及方程的另一个根； (3)若方程的一个根是另一个根的2倍，求k的值． 题型讲练十 根据一元二次方程根的情况求参数 【例10】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，设此方程的一个实数根为b，令 ，则y的最小值为__________． 【变式】（25-26八年级下·浙江湖州·期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是______． 题型讲练十一 换元法解一元二次方程 【例11】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）若关于的方程（，为常数）的解是，，则关于的方程的解是____________． 【变式】（25-26八年级下·浙江温州·期中）小安同学发现：关于的两个一元二次方程：①，②（，，均为常数，且）的解存在某个数量关系．若已知的解为，，则方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 题型讲练十二 一元二次方程的根与系数的关系 【例12】（25-26八年级下·山东淄博·期中）已知，且，，则的值为___________． 【变式】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）若m，n是一元二次方程的实数根，则代数式________． 题型讲练十三 传播问题(一元二次方程的应用) 【例13】（25-26八年级下·江苏盐城·月考）甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“ 甲流 ”初期，有 1 人感染了“ 甲流病毒 ”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有 225 人感染了“ 甲流病毒 ”，则每轮传染中平均一个人传染了 ____ 人． 【变式】（24-25八年级下·全国·课后作业）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？（    ） A．11 B．10 C．8 D．9 题型讲练十四 增长率问题(一元二次方程的应用) 【例14】（25-26八年级下·浙江金华·期中）受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．我市92＃汽油价格一月底是元／升，三月底92＃汽油价格调整为元／升．假设我市92＃汽油价格这两个月平均每月的增长率为，根据题意列出方程，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式】（25-26八年级下·江苏苏州·期中）坐落于苏州金鸡湖畔的“苏州之眼”摩天轮，是全球八大太空舱摩天轮之一、也是亚洲最大的水上摩天轮，为纪念其正式运营，某电商平台推出一款“苏州之眼”摩天轮模型纪念品，引发文旅消费热潮． (1)据统计，某电商平台2025年3月的销售量是3万件，2025年5月的销售量达到4.32万件．若月平均增长率相同，求月平均增长率； (2)苏州观前街某实体店“苏州之眼”摩天轮模型的进价为每件65元，若售价定为每件75元，每天可售出20件，市场调研发现，售价每降低1元，每天销量可增加5件，为配合“江南文化节”推广，商家决定降价促销，同时尽量减少库存．若使每天销售后获利240元，售价应降低多少元? 题型讲练十五 与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【例15】（25-26八年级下·山东淄博·期中）如图，在一块长为，宽为的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成面积均为的6个矩形小块，水渠的宽为多少？ 【变式】（25-26八年级下·浙江台州·期中）如图，一块长12米、宽8米的长方形户外草坪，规划了两横两纵等宽的石板小径（阴影部分），石板小径的总面积占草坪总面积的，则石板小径的宽度为_______米． 题型讲练十六 数字问题(一元二次方程的应用) 【例16】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）观察下列等式：；；；按照这个规律，若某个正整数n对应的等式结果为255，则_____． 【变式】（24-25八年级下·全国·课后作业）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小4，如果把这个数的个位数字与十位数字交换，那么所得到的两位数比原来的数小18，求原来的两位数． 题型讲练十七 营销问题(一元二次方程的应用) 【例17】（25-26八年级下·浙江温州·期中）交警部门提醒市民：“出门头盔戴，放心平安归”．某商店销售一批头盔，进价为每顶50元，售价为每顶78元，平均每周可售出200顶．商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于68元．经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶．设每顶头盔降价元，平均每周的销售量为顶． (1)每顶头盔降价元后，每顶头盔的利润是________元，销售量为________顶（用含的代数式表示）． (2)若该商店希望平均每周获得7200元的销售利润，则每顶头盔应降价多少？ 【变式】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）某商场将进货单价为40元的商品按50元售出时能卖出500个，经过市场调查发现，这种商品最多只能卖500个．若每个售价提高1元，其销售量就会减少10个． (1)商场为了保证经营该商品赚得8750元的利润而又尽量兼顾顾客的利益，售价应定为多少？ (2)商场是否能获得10000元的利润？若能，请计算售价是多少；不能，请说明理由． 题型讲练十八 动态几何问题(一元二次方程的应用) 【例18】（25-26八年级下·浙江湖州·期中）如图，在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒． (1)填空： ， ．（用含的代数式表示） (2)当五边形的面积等于时，求此时的值． (3)是否存在的值，使线段的长度最小，若存在，请求出此时的值和最小值，若不存在，请说明理由． 【变式】（24-25八年级下·浙江宁波·月考）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边AB向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为xs． (1)用含x的式子表示：______cm，______，______； (2)当的面积为时，求运动时间； (3)四边形APQC的面积能否等于？若能，求出运动的时间；若不能，说明理由． (4)①阅读材料：求代数式的最小值．解：．因为，所以，所以的最小值是2． ②解决问题：运动时间x为何值时，四边形APQC的面积最小？ 题型讲练十九 行程问题(一元二次方程的应用) 【例19】（25-26八年级下·江苏南通·期末）一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止滚动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动用了多少秒（结果保留根号）？ （提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．） 【变式】（25-26八年级下·广西柳州·月考）在物理中，沿着一条直线且速度均匀增大或减小的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时段内，初速度为20米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为米/秒．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，小球的滚动速度平均每秒减少2米/秒，小球滚动24米用了______秒． 题型讲练二十 握手、循环赛问题(一元二次方程的应用) 【例20】（24-25八年级下·全国·课后作业）在一次由（一款围棋人工智能程序）参与的围棋比赛中，每位选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分，无平局，四位同学分别统计了全部选手的得分总数，结果分别是210，212，208，214，经过仔细验算后发现这四位同学计算结果中只有一个数据是正确的，则正确的数据为（    ） A．208 B．210 C．212 D．214 【变式】（25-26八年级下·湖北武汉·月考）某区组织一场篮球联赛，每两队之间都赛2场，计划安排56场比赛，应有______个球队参加比赛． 题型讲练二十一 其他问题(一元二次方程的应用) 【例21】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）在物理中，沿着一条直线且速度均匀地增大或减小的运动，叫作匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时间段内，初速度为10米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为（米/秒）．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，5秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少________米，从开始到滚动了秒后小球的速度为________米/秒． (2)小球从开始到滚动21米用了多少秒？ (3)小球在最后一秒滚动了多少米？ 【变式】（24-25八年级下·浙江宁波·月考）如图是小华与人工智能软件的对话内容，人工智能软件在深度思考后，给出的正确答案是________ 有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再加上这个数，其运算结果等于这个数的相反数． 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．（25-26八年级下·山东淄博·期中）已知关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（   ） A．且 B． C． D． 2．（25-26八年级下·安徽安庆·期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 3．（25-26八年级下·山东东营·期中）三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（    ） A．15 B．13 C．11或8 D．11和13 4．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）一元二次方程的两个根分别是，，那么代数式的值为______． 5．（25-26八年级下·山东淄博·期中）已知实数a，b满足，则关于x的方程根的情况是_____． 6．（25-26八年级下·山东东营·期中）在2024年12月的日历表上用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，则这个最小数为____ 7．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，，且，则的值为______． 8．（25-26八年级下·安徽安庆·期中）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为，停车场内车道的宽度都相等，若停车位（图中阴影部分）的占地面积为．求停车场内车道的宽度． 9．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）对于关于x的代数式（a，b，c是常数，且），若存在实数m，使得当时，代数式的值也等于m，则称m为这个代数式的“不动值”．例如：对于关于x的代数式，当时，代数式的值等于0；当时，代数式的值等于1，我们就称0和1都是这个代数式的“不动值”． (1)下列x的取值：①，②，③，④；其中是关于x的代数式的“不动值”是______（填序号）； (2)判断关于x的代数式是否存在“不动值”，若存在，请求出代数式的“不动值”；若不存在，请说明理由； (3)若关于x的代数式有两个“不动值”，且一个“不动值”是另一个“不动值”的3倍，求c的值． 10．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）某运动品商场针对某品牌的足球推出团购优惠活动，活动方案如下： 购买足球数量（只） 足球单价（元/只） 不超过30只 每只足球180元 超过30只 购买足球的数量每增加一只，所购足球的单价降2元/只，但足球的单价不得低于120元 某足球学校花费6750元在该运动品商场购买了该品牌的足球，请你确定该足球学校购买足球的数量． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $