精品解析：吉林长春市第六十八中学2025-2026学年八年级下学期期中数学试题

长春市第六十八中学数学学科练习题 一、单选题（每题3分） 1. 在中分式的个数有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 2. 一种球形细胞的半径约为米，用小数表示是（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 3. 若，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 4 4. 点关于x轴对称的点N的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 一次函数的图象如图，则点在（　　） A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限 6. 若反比例函数的图象经过第一、三象限，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知（如图1），按图2图3所示的尺规作图痕迹，（不需借助三角形全等）就能推出四边形是平行四边形的依据是（ ） A. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 D. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 8. 如图，点在反比例函数（为常数，且）的图象上，过点作轴于点，点为的中点，连接，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分） 9. 在函数中，自变量x的取值范围是___． 10. 如图，在平行四边形中，，的度数为___________． 11. 分式和的最简公分母是__________． 12. 在函数的图象上有三点，若，则的大小关系为___________（用小于号“”连接） 13. 若关于的分式方程有增根，则此分式方程的增根为_________． 14. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点，过点作，交的延长线于点，交于点，若，则下列结论中：①平分；②；③；④，正确结论的序号是___________． 三、解答题 15. 先化简，再求值，其中． 16. 解分式方程： 17. 如图，在中，，分别是线段，的中点，连接并延长至点，使，连接． （1）证明：四边形是平行四边形． （2）若，则四边形的周长为___________． 18. 列分式方程解应用题 文房四宝是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，其名起源于南北朝时期．某中学为丰富八年级学生的课后服务活动，开设了书法社团，为学生购买了A、B两种型号的“文房四宝”，A型号每套的售价比B型号每套的售价少10元，用1800元购买A型号和用2000元购买B型号的套数相同，求A、B型号每套的售价各是多少元． 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数（）图像与反比例函数（）图像交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点，点B的横坐标为． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）当时，直接写出自变量x的取值范围； （3）若点D是y轴上的一点，且，求点D坐标． 20. 甲、乙两辆汽车沿同一公路同时从地出发前往相距的地，行驶过程中所行路程分别用，（单位：）表示，它们与行驶时间（单位：）的函数关系如图所示． （1）分别求出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）分别求行驶了及时，两车之间相距的路程． 21. 【问题提出】已知，怎样求的值？ （1）【问题解决】我们可以设，则， （直接写答案） （2）【类比探究】已知，求分式的值． 22. 在几何问题中我们经常应用勾股定理解决相关问题，其中会涉及到无理数的平方计算，相关计算公式为：和，例如：， 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边，分别是边上的动点，点以每秒2个单位的速度从点向点运动，同时点以每秒个单位的速度从点向点运动，当其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动时间为． （1）点的坐标为___________； （2）连接，交于点，过点作于，当___________时，三点在一条直线上； （3）当点运动到的中点时，在平面内找一点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春市第六十八中学数学学科练习题 一、单选题（每题3分） 1. 在中分式的个数有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的定义判断即可，判断分式的核心是看分母是否含有字母，需注意是常数不是字母． 【详解】解：在，分式有、，共2个． 2. 一种球形细胞的半径约为米，用小数表示是（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】将中的小数点向左移动位，即可得到结果． 【详解】解：米． 3. 若，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知比例关系表示出a和b，再代入所求分式化简即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴设， ∴， ∴． 4. 点关于x轴对称的点N的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，直接按规律计算即可得到答案． 【详解】解：已知点坐标为， ∴点关于x轴对称的点的横坐标为，纵坐标为，即． 5. 一次函数的图象如图，则点在（　　） A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与性质，以及象限内点的坐标特征，正确掌握一次函数图象分布与k，b的关系是解题的关键． 根据图象分布，确定k，b的符号，再根据象限内点的坐标特征确定位置即可． 【详解】解：由图知，， 点在第二象限； 故选：C． 6. 若反比例函数的图象经过第一、三象限，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象的分布，熟练掌握分布特点是解题的关键．反比例函数的图象在第一、三象限时，比例系数大于0． 【详解】解：∵ 反比例函数 的图象经过第一、三象限， ∴ 比例系数 ， ∴ ， 故选：B． 7. 已知（如图1），按图2图3所示的尺规作图痕迹，（不需借助三角形全等）就能推出四边形是平行四边形的依据是（ ） A. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 D. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定和作图依据进行判断即可． 【详解】解：由图可知先作AC的垂直平分线，则点O为AC的中点，由作图可知BO=OD， 可得：AO=OC，BO=OD， 进而得出四边形ABCD是平行四边形， 故选：C． 【点睛】本题考查了复杂的尺规作图，解题的关键是根据平行四边形的判定解答． 8. 如图，点在反比例函数（为常数，且）的图象上，过点作轴于点，点为的中点，连接，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先设点的坐标，利用点是中点表示出的长度，再结合三角形面积公式求出的值，最后根据反比例函数的几何意义（结合的符号）确定的值． 【详解】解：设点的坐标为， 轴于点， ， 点为的中点， ， ， ， 即， 点在反比例函数上， ， ． 二、填空题（每题3分） 9. 在函数中，自变量x的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【详解】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数可知，要使在实数范围内有意义，必须. 10. 如图，在平行四边形中，，的度数为___________． 【答案】##110度 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，平行四边形的对角相等，由已知的度数可直接求得的度数． 【详解】解：四边形是平行四边形， 又， ． 11. 分式和的最简公分母是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求最简公分母，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母即可． 【详解】解：分母和的系数的最小公倍数是6，字母a的最高次幂是，字母b的最高次幂是，因此最简公分母是． 故答案为：． 12. 在函数的图象上有三点，若，则的大小关系为___________（用小于号“”连接） 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，先判断三点所在象限，再结合函数的增减性比较的大小． 【详解】解：∵，函数图象如图， ∴在第一象限和第三象限内，随的增大而减小， ∵， ∴， ∴． 13. 若关于的分式方程有增根，则此分式方程的增根为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是求解分式方程的增根，根据增根的含义可得，再进一步求解即可. 【详解】解：∵分式方程有增根， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点，过点作，交的延长线于点，交于点，若，则下列结论中：①平分；②；③；④，正确结论的序号是___________． 【答案】①② 【解析】 【分析】①根据平行四边形的性质得，则是线段的垂直平分线，进而得是等腰三角形，然后根据等腰三角形的性质可对结论①进行判断；②根据得是等腰直角三角形，由此可对结论②进行判断；根据共高三角形面积比等于底之比结合平行四边形的性质可对③、④进行判断． 【详解】解：①四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴平分，故①正确； ②∵， ∴， ∴ ， ∴，故②正确； ③∵ ∴ ∴，故③错误； ④如图，∵ ∴设， ∵ ∴ ∴ ∵平行四边形中，， ∴ ∴，故④错误． ∴正确的为①②． 三、解答题 15. 先化简，再求值，其中． 【答案】1；1 【解析】 【分析】先对括号内的分式通分计算，再对多项式因式分解，将除法转化为乘法后约分得到化简结果． 【详解】解： ， 当时，原式． 16. 解分式方程： 【答案】 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解： 解得， 检验：当时，， ∴是分式方程的解． 17. 如图，在中，，分别是线段，的中点，连接并延长至点，使，连接． （1）证明：四边形是平行四边形． （2）若，则四边形的周长为___________． 【答案】（1）证明见解析 （2）15 【解析】 【分析】（1）根据中位线定理及中点定义可知，再根据平行四边形的判定即可证明； （2）根据平行四边形的性质即可解答． 【小问1详解】 证明：在中，分别是的中点， 是的中位线， ， ， 点是的中点， ， ， ， 即， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：在中，， 则四边形的周长 ． 18. 列分式方程解应用题 文房四宝是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，其名起源于南北朝时期．某中学为丰富八年级学生的课后服务活动，开设了书法社团，为学生购买了A、B两种型号的“文房四宝”，A型号每套的售价比B型号每套的售价少10元，用1800元购买A型号和用2000元购买B型号的套数相同，求A、B型号每套的售价各是多少元． 【答案】A型号每套售价90元，B型号每套售价100元 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用．设A型号每套售价为x元，则B型号每套售价为元，根据用1800元购买A型号和用2000元购买B型号的套数相同，列出分式方程并求解． 【详解】解：设A型号每套售价为x元， 由题意，得， 化为整式方程，得， 解得， 经检验：是所列分式方程的根， （元） 答：A型号每套售价90元，B型号每套售价100元． 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数（）图像与反比例函数（）图像交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点，点B的横坐标为． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）当时，直接写出自变量x的取值范围； （3）若点D是y轴上的一点，且，求点D坐标． 【答案】（1）反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 （2）或 （3）D或D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是利用坐标解出函数的解析式． （1）运用待定系数法求解即可； （2）根据函数图像可得的自变量x的取值范围即为一次函数图像在双曲线上方所对应的自变量x的取值范围； （3）对于一次函数，令，可得，则，再由求解即可． 【小问1详解】 解：∵反比例函数（）过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵点B的横坐标为， ∴， ∴，把，代入（）， 得， 解得， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：由图像可知，当时，自变量x的取值范围是或． 【小问3详解】 解：对于一次函数，令，可得， ∴， ∵点D是y轴上一点，且， ∴， ∴， ∴或． 20. 甲、乙两辆汽车沿同一公路同时从地出发前往相距的地，行驶过程中所行路程分别用，（单位：）表示，它们与行驶时间（单位：）的函数关系如图所示． （1）分别求出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）分别求行驶了及时，两车之间相距的路程． 【答案】（1）； （2）分别求行驶了及时，两车之间相距的路程为、 【解析】 【分析】（1）设甲车函数表达式为，乙车函数表达式为，再根据题意求解即可； （2）分别求出当行驶了及的甲、乙两辆汽车的路程即可． 【小问1详解】 解：由图可得，两车均从A地出发，路程与时间成正比例关系， 设甲车函数表达式为，乙车函数表达式为， 由图可知，甲车60分钟行驶， ∴将点代入， 解得， ∴甲车的函数表达式为， 由图可知，乙车100分钟行驶， ∴将点代入， 解得， ∴乙车的函数表达式为； 【小问2详解】 解：当行驶时， 此时， ∴两车均在行驶中， ∴甲车路程：；乙车路程：， ∴两车距离：； 当行驶时 此时，甲车已到达B地，路程保持不变， ∴甲车路程：；乙车路程：， ∴两车距离：． 21. 【问题提出】已知，怎样求的值？ （1）【问题解决】我们可以设，则， （直接写答案） （2）【类比探究】已知，求分式的值． 【答案】（1） （2）分式的值为 【解析】 【分析】本题主要分式的混合运算，倒数的运用，掌握分式的运算法则是解题的关键． （1）根据分式的性质，倒数的运用即可求解； （2）根据材料提示，设，再运用分式的性质即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意，， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴分式的值为． 22. 在几何问题中我们经常应用勾股定理解决相关问题，其中会涉及到无理数的平方计算，相关计算公式为：和，例如：， 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边，分别是边上的动点，点以每秒2个单位的速度从点向点运动，同时点以每秒个单位的速度从点向点运动，当其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动时间为． （1）点的坐标为___________； （2）连接，交于点，过点作于，当___________时，三点在一条直线上； （3）当点运动到的中点时，在平面内找一点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为___________． 【答案】（1） （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）过点作于点，然后根据题意可得点，进而问题即可求解； （2）由题意得，则有，当点、、三点共线时，可知，然后问题可求解； （3）由题意可知当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，则可分①当为对角线时；②当以为对角线时；③当以为对角线时，然后分类求解即可． 【小问1详解】 解：过点作于点，如图所示： ， 是等腰直角三角形， ， 解得， ， 四边形是平行四边形，， ， ； 【小问2详解】 解：由题意得：是等腰直角三角形， ， 在中，， ， 当点、、三点共线时，如图， ， ， ， 解得， 当时，、、三点在一条直线上； 【小问3详解】 解：由（2）及题意可知：， 当点运动到的中点时，则有， 解得， ， 当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，则可分为如下： ①当为对角线时，，且， 又∵， ∴点C对应点Q，点P对应点M， ∵点C至点Q横坐标减1，纵坐标减1， ； ②当以为对角线时，，且， 又∵， ； ③当以为对角线时，即，且， 又∵， ， 综上所述：当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，则点坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $