河北省2025-2026学年九年级数学上学期期末试卷

**基本信息** 2025-2026九年级期末卷（24版新教材），原创题占比高，融合化学实验、弹簧装置、无人机测绘等真实情境，通过折叠圆、函数综合等问题，考查数学眼光（几何直观）、思维（推理能力）与语言（模型意识）。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|扇形识别、一元二次方程、反比例函数|第7题折叠圆弧求圆心角，考查空间观念| |填空题|4/12|方程根、扇形弧长、反比例函数图像|第15题台阶顶点坐标，体现数学眼光| |解答题|8/72|旋转作图、新定义运算、圆与圆锥、二次函数综合|第22题无人机测绘关联反比例与一次函数，第24题二次函数交点探究，培养模型意识与推理能力|

Sheet1 数学试题细目表及审稿评价 题号 考查知识点 难易程度 改编 原创 备注 1 扇形概念 易 √ 1、难易程度标“难、中、易”三个等级； 2、是改编或者原创在相应题号后面打√； 3、考试要求写“了解、理解、掌握”； 4、试题等级分ABCD四个等级 2 一元二次方程的一般式 易 √ 3 反比例函数的定义 易 √ 4 旋转角概念 易 √ 5 一元二次方程的应用 易 √ 6 二次函数的图象（两函数共存） 中 √ 7 圆心角的定理 中 √ 8 一元二次方程根的判别式与反比例函数的图象 中 √ 9 切线的性质 中 √ 10 一元二次方程跟与系数的关系 中 √ 11 反比例函数的图象与性质 中 √ 12 圆中作图 难 √ 13 一元二次方程的解 易 √ 14 弧长公式 中 √ 15 反比例函数的图象与性质 中 √ 16 旋转的性质 难 √ 17 旋转与弧长 易 √ 18 反比例函数的定义与性质 易 √ 19 新定义：一元二次方程解法与根的判别式 中 √ 20 垂径定理与圆锥展开图 中 √ 21 二次函数的应用 中 √ 22 反比例函数的实际应用 中 √ 23 与圆有关位置关系及圆的性质 难 √ 24 二次函数的图象与性质综合题 难 √ 审稿老师综合评价 试题等级 Sheet2 Sheet3 $ 2025-2026第二学期九年级期末试卷(参考答案） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题各3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.B 2.(原创）A【解析】“（ ）”是3x2时，3x2＝x2﹣x，化为一般式2x2+x=0，a+b+c=3,不合题意;； “（ ）”是-3时，-3＝x2﹣x，化为一般式x2-x+3=0，a+b+c=3,不合题意;； “（ ）”是2x时，2x＝x2﹣x，化为一般式x2-3x=0，a+b+c=-2,合题意;； “（ ）”是3时，3＝x2﹣x，化为一般式-x2+x+3=0，a+b+c=3,不合题意;；故选C． 3.D【解析】x=1时，y=，点(1,-) 在反比例函数图象上； x=时，y=，点()在反比例函数图象上； x=时，y=，点（，-） 在反比例函数图象上； x=时，y=，点不在反比例函数图象上；故选择D. 4.B【解析】一对对应点与旋转中心连线的夹角叫旋转角，点B的对应点是点C，故选择B. 5.(原创）D【解析】设每件商品的利润是x元，由题意可列：2x2-4x-2=0 解得，x=,x=1-(不合实际情况,舍去），故选择B. 6.D【解析】 当m>0,反比例函数y＝的图象在一、三象限,二次函数与y轴交于正半轴，对称轴也是负的，没有符合题意的；当m<0时，反比例函数y＝的图象在二、四象限，二次函数与y轴交于负半轴，对称轴也是正的，选项D符合题意。故选择D 7.(原创）D【解析】如图，由折叠可知：∠P'=∠P=100º. ∵在圆内接四边形P'CBD中，∠Q+∠P'=180° ∴∠Q=180º-100º=80º 根据圆周角定理可知∠AOB=2∠Q=2×80º=160º.故选D. 8.(原创）B【解析】∵关于x的一元二次方程x2-3x+k=0有两个不相等的的实数根 ∴△>0, 即（-3）2-4k>0 解得k< ∴k-3<0 ∴函数y=的图象在二、四象限 ∵x<0 ∴图象分布在第二象限，选择B. 9.D【解析】连接OB. ∵BD是⊙O的切线 ∴∠OBD=90° ∵∠BCE=35° ∴∠BAE=∠BCE=35° ∵OA=OB ∴∠BAO=∠ABO=35° ∴∠BOD=2∠BAO=35°×2=70° ∴∠D=90°-70°=20°,故选D. 10.(原创）C【解析】由根与系数的关系可知：x1+x2==；x1•x2 = ； ∵m=-3时，3x2-x+3=0 x1•x2 =1，∴两根互为倒数 x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=（）2-2.故选择D. 11.C【解析】将A(-1，1,)代入反比例函数y=得，k=-2； B(1,2)代入反比例函数y=得，k=2； ∵反比例函数y=的图象与线段AB没有交点 ∴m<-2或m>1,故选择C. 12.(原创）C【解析】小芳的作法画图如下：①∠PAB=90°②∠PBA=90°③∠APB=90°有两处,所以总共四处；做法正确，但结论错误； 小颖的作法如下图： 根据直径所对的圆周角等于90°，可知有两处，垂直直径AB垂直分别为A、B的各两处.故共四处.所以小颖的作法对，结论也对.故选择C. 二、填空题 13.3 【解析】将x=代入得，3×（）2-2×+m=0 ∴m=3. 14.(原创）.【解析】连接BE. ∵⊙B与CD切于点E ∴∠BEC=90º ∵∠C=60º ∴∠ABE=90º-60º=30º ∵BC=4 ∴EC= ∴根据勾股定理可得，BE= ∴==. 15.(原创）D和 E.【解析】当x＝2时，对于反比例函数，y＝5， 当x＝4时，对于反比例函数，， 当x＝6时，对于反比例函数，， 当x＝8时，对于反比例函数，， ∴在反比例函数图象右上方的点有2个，分别是D、E. 16.(原创）1【解析】∵CD是CE旋转90º得到 ∴CE=CD，∠ECD=90º ∵∠ACB=90º ∴∠BCE=∠ACD ∵AB=AC ∴△BCE≌△ACD ∴S△BCE=S△ACD,∠CAD=∠B=45º ∴S四边形AECD=S△ABC= ∵S四边形AECD=S△CDE+S△AED ∴当△CDE面积最小时，△AED面积最大，此时DE最短，点A到DE的距离最大 ∵S△DCE=,根据垂线段最短 ∴当CE⊥AB时，CE最小=， ∴S△DCE==1 ∴S△DCE最大=2-1=1 在Rt△CED中，根据勾股定理知，DE= ∴ ∴h=1. 3、 解答题 17.（1）解析：（1）如图△A1B1C1.即为所作 （2）根据勾股定理可得，OC＝＝5， 所以C点旋转到C1点所经过的路径长＝＝π． 18.(原创）解：（1）由题意可列，n+1=-1 ,解得，n=-2 ∵点（1，-4）在该函数图像上 ∴ -4=,解得， m=-3; （2）由（1）可得，y= 当x=-1, ；当x=3, ； ∵k=-4<0, ∴ y>4或y<. 19.解：(1)x※(-4)=mn(m+1)+m +=-4×(x+1)+x+=0; 即4x2+3x-1=0 (x+1)(4x-1)=0 ∴x1=-1,x2= (2)∵x※a=0 ∴xa(x+1)+x+=0 整理得，ax2+(a+1)x+=0 △=(a+1)2-4a×=2a+1 ∵该方程有两个不同的实数根 ∴2a+1>0,解得a>-且a≠0 20.(原创）解：（1）连接OO', 由折叠可知，OC=OC'，OC⊥AB ∵OA=6cm,OC=3cm ∴在Rt△AOC中，根据勾股定理得，AC=, 根据垂径定理可知，AB=2AC=2×=6； (2)如图，滤纸折叠成漏斗状，设OF=r ∴2r= 解得，r=4 ∵母线EF=6cm ∴在Rt△OEF中，OE=. 答：该锥状物的高是cm。 21.(原创）解：（1）设 W = kx2 ， 将 x = 3 ， W = 3 代入，得： 3 = 9k ，解得 k =， ∴ W =。 （2）① 由题意，W 1= W2= Q = W2 - W1 =-= -4x+12 ② 由题意可列，-4x+12=3× 解得：x=2 ， x=-6(不合题意舍去） 故x的值为2. 22.(原创）解：（1）∵比例尺k与测绘覆盖的实际面积A成反比例关系 ∴设k= (m为常数) ∵ k = 500时， A = 1.2×106 cm2. ∴500= 解得m=6×108 ∴k与A的函数关系为k= ∵100平方米=1000000=1×106 ∴k=，故比例尺是600. （2）∵A = 2000t + 40000，k= ∴= 2000t + 40000 整理得k= 故比例尺k与时间t的函数关系k=； （3）将t=10代入k=得，k=， ∴ 1×104= 解得，A=6×104 cm2. 故区域覆盖的实际面积是6×104 cm2. 23.(原创）解：（1）过点O作OE⊥MN,连接OM. ∵弦MN= ∴ME== 在Rt△OME中，根据勾股定理得，OE==2(cm); (2)∵PQ与⊙O切于点A ∴OA⊥PQ ∴MN∥PQ ∵BE=cm,OE=2cm, ∴AB=4=4(cm) ∴△OAB是等边三角形 ∴∠OAB=60º ∴∠QAB=90º-60º=30º ∵∠DAB=90º ∴∠PAD=60º. (3)点D在⊙O外. 过O作OG⊥CD,OF⊥MD ∴∠MFO=∠FOE=90º 由（1）可知，ME= ∵四边形ABCD是矩形 ∴∠DAB=∠B=90º ∴四边形OEMF是矩形,四边形OFDG是矩形 ∴ME=OF= ∴OG=DF=5-2=3 在Rt△OFD中，根据勾股定理， ∵>=4,故点D在⊙O外. 24.(原创）解：（1）把B（3,0）代入y1=ax2+3得9a+3=0 解得a= ∴y2=把B(3,0)代入y2= 解得b=4. ∴a、b的值分别是，4. （2）①（-3,0） ②ax2+3=(a+1)x2-4x+6 化简得x2-4x+3=0, (x-1)(x-3)=0 ∴x1=1，x2=3 ∴交点横坐标分别为1 ，3. ③A(1,a+3)1B(3,9a+3) 设直线AB的解析式为：y=kx+m 把A、B代入直线A、B得 解得， ∴y=4ax-3a+3 令x=0 ,y=-3a+3 ∴C(0,-3a+3) ∵抛物线y1的顶点为（0,3） ∴点C到抛物线y1的顶点的距离-3a+3-3=-3a. （3）和. 把（-1,2）代入y2=x2-bx+6得，+b+6=2，∴b= 把（-3,-2）代入y2=x2-bx+6得，+3b+6=2，∴b= ∴b的取值范围为 根据对称性可得 综上所述：b的取值范围为和. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026第二学期九年级期末试卷（24版新教材） 说明：本卷共有三个大题，24个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题各3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.下列图形不是扇形的是（ ） A. B. C.D. 2.（原创）已知关于x的一元二次方程（ ）＝x2﹣x的二次项、一次项、常数项的和是3，则“（ ）”的项不可能是（　　） A．3x2 B．-3 C．2x D．3 3.下列各点不在函数y=图象上的点（ ） A.(1,-) B.() C. （，-） D. 4.△OAB绕O点顺时针旋转得到△ODC,则旋转角是（ ） A.∠AOB B.∠BOC C.∠BOD D.∠AOD 5.（原创）某商店销售一款商品，每天的销量为4件。如果将每件利润的平方的2倍作为每天的目标利润，这个目标利润比实际每天利润多2元，则每件商品的利润是（ ）。 A. B. C. 1 D. 6.反比例函数y＝(m≠0)与二次函数y＝x2+mx+m的大致图象是(　　) 7.（原创）将☉O的一条弧沿着弦AB折叠，点P是对折后弧上的一点，则∠P=100º,则∠AOB等于（ ） A.130º B.140° C. 150°D.160º 8. 若关于x的一元二次方程x2-3x+k=0有两个不相等的的实数根，则反比例函数y=（x<0）的图象分布在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 9.如图，BD是⊙O的切线，∠BCE=35°，则∠D=( ) A.40° B.35° C.25°D. 20° 10.（原创）已知：一元二次方程3x2-x-m=0下列说法正确的是（ ） A.x1+x2= B. x1•x2 = C.当 m=-3时，两根互为倒数 D. x12+x22= 11.（原创）如图已知A(-1，1,)B(1,2),反比例函数y=的图象与线段AB没有交点，则m的值不可能是（ ） A. -3 B. -2 C. 0 D.2 12.（原创）直角三角形△PAB一条边为AB另一顶点在直线l上，下面是两个学生做直角三角形的过程： 小芳的做法：过点A作l的垂线，垂足为P；过点B作l的垂线，垂足为P；作AP⊥BP.故这样的点P有三处； 小颖的做法：以AB为直径作圆O，⊙O 与l交于两点，该两点都符合题意，过点A 作PA⊥AB,垂足为A,交l于点P；过点B 作PB⊥AB,垂足为B,,交l于点P.故符合题意的点P有4处. 下列说法正确的是（ ） A.小芳作法正确，结论正确 B. 小芳作法正确，结论错误 C. 小颖的做法正确，结论正确 D. 小颖的做法正确，结论错误 二、填空题(本大题共4个小题，每小题3分，共计12分） 13. 已知：关于x的方程3x2-2x+m=0.若一个根是，则m= . 14.（原创）在梯形ABCD中，∠B=90º,AD∥BC，∠C=60º，以B为圆心AB长为半径作扇形BAF，恰好与CD相切于点E，若BC=4,则 的长为 . 15.（原创）如图，有个台阶置于平面直角坐标系中，反比例函数y=经过台阶的顶点A, 则在反比例函数y图象右上方的点是 . 16.（原创）如图，在△ABC中，∠ACB=90º,AB=AC=2cm，点E为斜边AB上一动点，连接CE，将CE绕点C顺时针旋转90º得到CD，连接DE.点A到DE的距离为h，则h的最大值为 . 三、解答题(本题共8个大题，共计72分） 17.(7分）如图，△ABC.将△ABC绕点O顺时针旋转90°后的△A1B1C1； （1）请画出△A1B1C1； （2）点C旋转到C1点所经过的路径长． 18.（8分）函数y=是反比例函数,点（1，-4）在该函数图像上. (1)求m、n的值； （2）若-1<x<3，求y的取值范围。 19.（8分）对于实数m,n，定义一种运算“※”为：m※n=mn(m+1)+m +. （1） 若x※（-4）=0，求方程的解； （2） 若关于x的的方程x※a=0有两个不同的实数根，求实数a的取值范围. 20.（8分）（原创）化学实验课上，老师让学们把一个半径为8cm圆形滤纸片裁剪掉一部分放在漏斗的内侧，用来做食盐过滤实验。将纸片沿直线AB折叠，点O落在圆上。 （1） 求弦AB的长； （2）将剩下的大扇形迭成圆锥状贴在漏斗内侧，求该锥状物的高。 21.（9分）（原创）某实验小组利用弹簧制作了一套简易能量转化装置，已知弹簧的弹性势能W（单位：J）与弹簧的形变量 xcm的平方成正比（弹性势能只与形变量有关，不受其他因素影响）。 (1) 实验测得：当弹簧形变量x = 3cm时，弹性势能 W = 3J，求W 关于x 的函数关系式； (2) 若改装装置中有两个相同的弹簧，初始时弹簧的总形变量为 6cm。当第一个弹簧的形变量为xcm时，第二个弹簧的形变量为 (6-x)cm .设两个弹簧的弹性势能差为Q（单位：J） ① 求Q 关于 x的函数表达式； ② 若此时两个弹簧的弹性势能差Q等于第一个弹簧弹性势能的3倍，求x 的值。 22.（9分）（原创）无人机进行地形测绘时，测绘区域的比例尺k（即图上1cm代表实际距离的cm数，k > 0）与测绘覆盖的实际面积A（单位：cm2）成反比例关系。已知当比例尺k = 500时，覆盖面积A = 1.2×106 cm2. （1）若想测绘区域的面积达到100平方米，求比例尺k的值； （2）若一次函数A = 2000t + 40000（t为测绘时间，单位：min）表示覆盖面积随时间的变化，求比例尺k与时间t的函数关系； （3）当测绘时间为10min时，求该区域覆盖的实际面积. 23.（11分）（原创）⊙O的半径为4cm，弦MN=，在平面上将矩形ABCD和⊙O按图1的位置摆放（点B与点N重合，点A在⊙O上,点C，D在AB下方），.移动矩形ABCD，使点B在弦MN上移动，点A始终在⊙O随之移动. (1) 点O到MN的距离为 ; (2)若求PQ与⊙O切于点A，求∠PAD的度数； （3）如图2 ，点A与点M重合时，AB=4，BC=5,判断点D与⊙O的位置关系，并加以说明. 24.（12分）（原创）抛物线y1=ax2+3与抛物线y2=（a+1）x2-bx+6交于A(x1,y1)B（x2,y2）两点，已知a<0,且a≠1. （1）若点B的坐标为（3，0），求a，b的值； （2）当b=4时，①直接写出点A在(1,0)时，抛物线线y2=(a+1)x2-bx+6与x轴的另一个交点的坐标； ②嘉嘉通过思考，发现A,B两点的横坐标为定值，请你说明理由； ③直线AB与y轴交于点C,求出点C到抛物线y1的顶点的距离(用含字母a的代数 式表示)； (3)如图,若a=-,且A,B两点与抛物线y1,y2所围成的区域内仅有两个整点(横、 纵坐标均为整数的点)，请直接写出b的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $