精品解析：河北省邯郸市育华中学2024-2025学年九年级上学期期末试卷数学试题

2024—2025学年初三年级第一学期期末考试 数学试卷 一、选择题（共12小题，每题3分，共36分） 1. 没有哪一门学科能像数学这样，利用如此多的符号图形展现一系列完备且完美的世界．下面是由4个数学式子绘制成的完美曲线，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若关于x的一元二次方程的两实数根互为相反数，则k的值为（　　） A. ±2 B. 2 C. - 2 D. 不能确定 3. 如下是嘉嘉的作业，其中括号内应填的内容是（ ） 嘉嘉的作业： ∵， ∴ A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，从原点O引一条射线，设这条射线与x轴的正半轴的夹角为，若=，则这条射线是（ ） A. OA B. OB C. OC D. OD 5. 已知反比例函数，下列结论中，不正确的是（ ） A. 图象必经过点 B. 图象在第二、四象限内 C. 若，则 D. 当时，y随x的增大而减小 6. 如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点为位似中心，在轴右侧作放大2倍后的位似图形，若点的坐标为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，教室内的地面上有个倾斜的畚箕，手柄与箕面垂直，手柄与水平地面的夹角，小明将它扶起（将畚箕绕点顺时针旋转）后平放在地面，箕面绕点旋转的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 某厂家2024年1~5月份销售的电车数量如图所示．设从2月份到4月份，该厂家电车销售的平均月增长率为x，根据题意可得方程（ ） A. B. C. D. 9. 如图，木棍与在点O处连接，静止不动，从与夹角为的位置开始绕点O逆时针旋转，木棍上的点A与点B，点C与点D之间均由两根弹性皮筋连接，且这两根皮筋在木棍的旋转过程中始终保持拉直状态．设这两根弹性皮筋的长度分别为与，且，在木棍的旋转过程中（旋转角度小于），的值（ ） A. 一直变大 B. 始终不变 C. 一直变小 D. 先变大后变小 10. 如图，△ABC、△FED区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线PB与地面BE的夹角∠PBE＝43°，视线PE与地面BE的夹角∠PEB＝20°，点A，F为视线与车窗底端的交点，AFBE，AC⊥BE，FD⊥BE．若A点到B点的距离AB＝1.6m，则盲区中DE的长度是（ ）（参考数据：sin43°≈0.7，tan43°≈0.9，sin20°≈0.3，tan20°≈0.4） A. 2.6m B. 2.8m C. 3.4m D. 4.5m 11. “轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型．图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是和，当顺时针转动周时，上的点随之旋转，则（ ） A. B. C. D. 12. 如图，是二次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象．嘉嘉：当时，、均随的增大而减小；琪琪：若，，则．对于他俩的说法，正确的是（ ） A. 嘉嘉正确，琪琪错误 B. 嘉嘉错误，琪琪正确 C. 他俩都正确 D. 他俩都错误 二、填空题（每空3分，共12分） 13. 若，则锐角________． 14. 在平面直角坐标系中，点G的坐标是，连接，将线段绕原点O旋转，得到对应线段，则点的坐标为______． 15. 如图是某幼儿园的滑梯的简易图，已知滑坡的坡度是，滑坡的水平宽度是，则高是_______． 16. 如图是一个钟表表盘，连接整点2时与整点10时的B，D两点并延长，交过整点8时的切线于点P，若表盘的半径长为，则切线长为_________． 三、简答题（共8道小题，共72分） 17. 计算 （1）； （2）； （3）； （4） 18. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）若该方程的一个根为2，求k的值及方程的另一根． 19. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小明同学购买了“二十四节气”主题邮票，他将（春分）、（小暑）、（立秋）、（寒露）四张纪念邮票（除正面不同外，其余均相同）背面朝上洗匀． A. B. C. D. （1）小明从中随机抽取一张邮票，抽中是（寒露）的概率是_____； （2）小明先从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面朝下放回，重新洗匀后再随机抽取一张邮票．请用树状图或列表的办法求小明两次抽取的邮票中至少有一张是（立秋）的概率． 20. 如图，中，，以为直径作，分别交，于点，，过点作，交于点，垂足为，连接． （1）若，求的度数； （2）若，，求弦的长． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，过点A作轴于点D，，，点B的坐标为． （1）点A的坐标为______，_____，______． （2）求一次函数的解析式； （3）求的面积． 22. 学习了相似三角形知识，某校九年级（1）班三个学习小组运用了不同方法测量操场上旗杆的高度.（默认操场是水平的） 一小组 二小组 测量方法 借鉴泰勒斯测量金字塔的方法，利用影子测量． 借鉴平面镜反射原理，利用平面镜测量． 测量工具 卷尺 平面镜、卷尺 测量 示意图 测量过程 （1）如图1，当同学身高等于其影长时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为________； （2）如图2，一名同学站在操场点处，前面水平放置平镜面，并通过镜面观测到旗杆顶部．小组同学测得该同学眼睛距地面高度，到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆的高度； （3）三小组利用标杆进行测量，如图3，在操场点处树立标杆，一名同学在的延长线上移动，找到恰当的位置点，使得眼睛与标杆顶点，旗杆顶点在同一条直线上，小组同学测得，，，．求旗杆的高度． 23. 在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F． （1）填空：如图①，当点D落在边上时，则点D的坐标为_______； （2）如图②，当点D落在线段上时，与交于点H． ①求证； ②求点H的坐标． （3）记K为矩形对角线的交点，S为的面积，求S的最大值（直接写出结果即可）． 24. 如图是某山坡的截面示意图，坡顶距轴（水平），与轴交于点，与坡交于点，且，坡可以近似看作双曲线的一部分，坡可以近似看作抛物线的一部分，且抛物线与抛物线的形状相同，两坡的连接点为抛物线的顶点，且点到轴的距离为． （1）求的值； （2）求抛物线的解析式及点的坐标； （3）若小明站在坡顶的点处，朝正前方抛出一个小球（看成点），小球刚出手时位于点处，小球在运行过程中的横坐标、纵坐标与小球出手后的时间满足的关系式为，，是小球出手后水平向前的速度． ①若，求与之间的函数关系式； ②要使小球最终落在坡上（包括，两点），直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年初三年级第一学期期末考试 数学试卷 一、选择题（共12小题，每题3分，共36分） 1. 没有哪一门学科能像数学这样，利用如此多的符号图形展现一系列完备且完美的世界．下面是由4个数学式子绘制成的完美曲线，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义，逐个进行判断即可．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：根据题意可得： 是中心对称图形的是“”， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键是掌握中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 2. 若关于x的一元二次方程的两实数根互为相反数，则k的值为（　　） A. ±2 B. 2 C. - 2 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程两根互为相反数，得出，代入系数，即可求出答案． 【详解】∵方程的两实数根互为相反数， 设两个根为a，b， 则， ∴， 故选：B. 【点睛】本题考查了根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系公式是解题关键． 3. 如下是嘉嘉的作业，其中括号内应填的内容是（ ） 嘉嘉的作业： ∵， ∴ A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理计算即可得出结果，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 4. 在平面直角坐标系中，从原点O引一条射线，设这条射线与x轴的正半轴的夹角为，若=，则这条射线是（ ） A. OA B. OB C. OC D. OD 【答案】A 【解析】 【分析】根据余弦的定义分别求出四条射线与x轴正半轴夹角的余弦值，即可得出答案. 【详解】A. ，射线OA与x轴正半轴夹角的余弦值，故A符合题意； B. ，射线OB与x轴正半轴夹角的余弦值，故B不符合题意； C. ，射线OC与x轴正半轴夹角的余弦值，故C不符合题意； D. ，射线OD与x轴正半轴夹角的余弦值，故D不符合题意； 故选A. 【点睛】本题考查网格图中的三角函数值，熟练掌握余弦的定义是解题的关键. 5. 已知反比例函数，下列结论中，不正确的是（ ） A. 图象必经过点 B. 图象在第二、四象限内 C. 若，则 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，当时，图象位于第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小；当时，图象位于第二、四象限． 根据反比例函数的性质判断各选项即可． 【详解】解：∵反比例函数，， ∴图象位于第一、三象限，故选项B错误； 当时，，则点在图象上，故选项A正确； 当时，，故选项C正确； 当时，图象在第三象限，y随x的增大而减小，故选项D正确． 故选：B． 6. 如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点为位似中心，在轴右侧作放大2倍后的位似图形，若点的坐标为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标是原坐标乘以或． 【详解】解：以坐标原点为位似中心，在轴右侧作放大2倍后的位似图形， 且点的坐标为， 点的坐标为， 故选：A． 7. 如图，教室内的地面上有个倾斜的畚箕，手柄与箕面垂直，手柄与水平地面的夹角，小明将它扶起（将畚箕绕点顺时针旋转）后平放在地面，箕面绕点旋转的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、三角形外角的性质．根据旋转的性质和三角形外角的性质计算即可得出答案． 【详解】解：手柄与水平地面的夹角，手柄与箕面垂直，即， ，即箕面绕点旋转的度数为， 故选：D． 8. 某厂家2024年1~5月份销售的电车数量如图所示．设从2月份到4月份，该厂家电车销售的平均月增长率为x，根据题意可得方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．设从2月份到4月份该厂家电车销售的平均月增长率为x，根据“2月份的180万辆，4月份的产量将达到461万辆”，即可得出方程． 【详解】解：设从2月份到4月份，该厂家电车销售的平均月增长率为x， 根据题意可得方程：． 故选：B． 9. 如图，木棍与在点O处连接，静止不动，从与夹角为的位置开始绕点O逆时针旋转，木棍上的点A与点B，点C与点D之间均由两根弹性皮筋连接，且这两根皮筋在木棍的旋转过程中始终保持拉直状态．设这两根弹性皮筋的长度分别为与，且，在木棍的旋转过程中（旋转角度小于），的值（ ） A. 一直变大 B. 始终不变 C. 一直变小 D. 先变大后变小 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，可证明得到，则，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 10. 如图，△ABC、△FED区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线PB与地面BE的夹角∠PBE＝43°，视线PE与地面BE的夹角∠PEB＝20°，点A，F为视线与车窗底端的交点，AFBE，AC⊥BE，FD⊥BE．若A点到B点的距离AB＝1.6m，则盲区中DE的长度是（ ）（参考数据：sin43°≈0.7，tan43°≈0.9，sin20°≈0.3，tan20°≈0.4） A. 2.6m B. 2.8m C. 3.4m D. 4.5m 【答案】B 【解析】 【分析】首先证明四边形ACDF是矩形，利用∠PBE的正弦值可求出AC的长，即可得DF的长，利用∠PEB的正切值即可得答案． 【详解】∵FD⊥AB，AC⊥EB， ∴DF∥AC， ∵AF∥EB， ∴四边形ACDF是平行四边形， ∵∠ACD＝90°， ∴四边形ACDF是矩形， ∴DF＝AC， 在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，∠ABE=43°， ∴AC＝AB•sin43°≈1.6×0.7＝1.12（m）， ∴DF＝AC＝1.12（m）， 在Rt△DEF中，∵∠FDE＝90°，∠PEB=20°， ∴tan∠PEB＝≈0.4， ∴DE≈＝2.8（m）， 故选：B． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用及矩形的判定与性质，熟练掌握各三角函数的定义是解题关键． 11. “轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型．图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是和，当顺时针转动周时，上的点随之旋转，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查弧长的计算，利用弧长公式根据“点移动的弧长等于个的周长”列出关于的方程，解方程即可．掌握弧长公式是解题的关键． 【详解】解：∵的周长为：， ∴顺时针转动周时，点移动的弧长为：， ∴， 解得：． 故选：A． 12. 如图，是二次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象．嘉嘉：当时，、均随的增大而减小；琪琪：若，，则．对于他俩的说法，正确的是（ ） A. 嘉嘉正确，琪琪错误 B. 嘉嘉错误，琪琪正确 C. 他俩都正确 D. 他俩都错误 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数和二次函数的交点，熟练掌握反比例函数和二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据反比例函数和二次函数的图象与性质可判断嘉嘉；分别将和代入反比例函数，再进行计算即可． 【详解】解：由图像可知，当时，随的增大而减小，随的增大而减小，故嘉嘉正确； ∵点A、B均在反比例函数图像上， ∴当时，，当时，， ∴， 故琪琪正确； 故选：C． 二、填空题（每空3分，共12分） 13. 若，则锐角________． 【答案】 60 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数，直接利用特殊角的三角函数值求出答案即可． 【详解】解：∵，且A是锐角， ∴． 故答案为：60． 14. 在平面直角坐标系中，点G的坐标是，连接，将线段绕原点O旋转，得到对应线段，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了中心对称，将线段绕原点旋转，相当于点关于原点成中心对称，其坐标变为原坐标的相反数，即可得出结果，熟练掌握中心对称的性质是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得，点、关于原点成中心对称， ∵点G的坐标是， ∴点的坐标为， 故答案为：． 15. 如图是某幼儿园的滑梯的简易图，已知滑坡的坡度是，滑坡的水平宽度是，则高是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形—坡度问题，根据滑坡的坡度是，滑坡的水平宽度是，计算即可得出结果，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵滑坡的坡度是，滑坡的水平宽度是， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图是一个钟表表盘，连接整点2时与整点10时的B，D两点并延长，交过整点8时的切线于点P，若表盘的半径长为，则切线长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质、圆周角定理、解直角三角形，设钟表的中心为点，连接，，由题意可得点在上，，由圆周角定理可得，由切线的性质可得，结合题意可得，解直角三角形即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：设钟表的中心为点，连接，， ， ∵点在时钟的两点位置，点在时钟的八点位置， ∴由钟表盘特点可得，点与点关于钟表的中心点对称，即点在上， ∵点在时钟的十点位置， ∴， ∴， ∵与相切于点， ∴， ∵表盘的半径长为， ∴， ∴， 故答案为：． 三、简答题（共8道小题，共72分） 17. 计算 （1）； （2）； （3）； （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）用直接开平方法求解即可； （2）用因式分解法求解即可； （3）用配方法求解即可； （4）用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 解得； 【小问2详解】 解：， ， 或， 解得； 【小问3详解】 解：， ， ， ， 解得； 【小问4详解】 解：， ， 或， 解得． 18. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）若该方程的一个根为2，求k的值及方程的另一根． 【答案】（1）； （2）k的值为，方程的另一根为4． 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式求出，再求出不等式的解集即可； （2）设方程的另一个根为a，根据根与系数的关系列方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：设方程的另一个根为a， ∴， 解得：， ∴方程的另一个根为4； ∴， 解得：； ∴k的值为，方程的另一根为4． 【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，熟练堂握根的判别式及根与系数的关系的相关知识是解题的关键． 19. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小明同学购买了“二十四节气”主题邮票，他将（春分）、（小暑）、（立秋）、（寒露）四张纪念邮票（除正面不同外，其余均相同）背面朝上洗匀． A. B. C. D. （1）小明从中随机抽取一张邮票，抽中是（寒露）的概率是_____； （2）小明先从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面朝下放回，重新洗匀后再随机抽取一张邮票．请用树状图或列表的办法求小明两次抽取的邮票中至少有一张是（立秋）的概率． 【答案】（1） （2）两次抽取的邮票中至少有一张是C（立秋）的概率为 【解析】 【分析】本题考查简单事件的概率，掌握好用画树状图或列表法计算概率是解题关键． （1）根据概念计算公式进行求解即可； （2）先将所有可能结果用表格形式列出，根据表格计算概率． 【小问1详解】 解：小明从四张邮票中随机抽取一张，抽中是（寒露）的概率是； 【小问2详解】 解：列表如下： 第二次 第一次 A B C D A B C D 共有16种等可能的结果，其中两次抽取的邮票中至少有一张是C（立秋）的结果有7种， ∴两次抽取的邮票中至少有一张是C（立秋）的概率为． 20. 如图，中，，以为直径作，分别交，于点，，过点作，交于点，垂足为，连接． （1）若，求的度数； （2）若，，求弦的长． 【答案】（1） （2）24 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，掌握定理并灵活运用是解题的关键， （1）根据等腰三角形的性质可得，进而求出，根据垂径定理可得，从而求出的度数； （2）连接，已知，则，则，已知，则，在中利用勾股定理求出，即可求出． 【小问1详解】 解：， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 连接， ，， ， ， ， ， ， ，， 在中，， ， 即弦的长为24． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，过点A作轴于点D，，，点B的坐标为． （1）点A的坐标为______，_____，______． （2）求一次函数的解析式； （3）求的面积． 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由正切的定义可得，再结合勾股定理计算得出，，从而可得；将代入反比例函数解析式可得，即可得出；则反比例函数的解析式为，将代入反比例函数的解析式计算即可得出结果； （2）由（1）可得，，再利用待定系数法计算即可得出结果； （3）令一次函数交轴于点，求出，得出，再由三角形面积公式计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴； 将代入反比例函数解析式可得， 解得：； ∴反比例函数的解析式为， 将代入反比例函数的解析式可得； 【小问2详解】 解：由（1）可得，， 将，代入一次函数可得， 解得：， ∴一次函数的解析式为； 【小问3详解】 解：如图，令一次函数交轴于点， ， 在中，当时，，解得，即， ∴， ∴的面积 ． 22. 学习了相似三角形知识，某校九年级（1）班三个学习小组运用了不同方法测量操场上旗杆的高度.（默认操场是水平的） 一小组 二小组 测量方法 借鉴泰勒斯测量金字塔的方法，利用影子测量． 借鉴平面镜反射原理，利用平面镜测量． 测量工具 卷尺 平面镜、卷尺 测量 示意图 测量过程 （1）如图1，当同学身高等于其影长时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为________； （2）如图2，一名同学站在操场点处，前面水平放置平镜面，并通过镜面观测到旗杆顶部．小组同学测得该同学眼睛距地面高度，到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆的高度； （3）三小组利用标杆进行测量，如图3，在操场点处树立标杆，一名同学在的延长线上移动，找到恰当的位置点，使得眼睛与标杆顶点，旗杆顶点在同一条直线上，小组同学测得，，，．求旗杆的高度． 【答案】（1）；（2）旗杆的高度为；（3）旗杆的高度为 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的应用是解题的关键． （1）由题意知，，即，求解作答即可； （2）由题意得，，，，， 证明，则，即，计算求解即可； （3）如图，设过点作平行于的直线分别交于点，由题意得，，，， ，证明，则，即，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，，即， 解得，， 故答案为：； （2）解：由题意得，，，，， 又∵， ∴， ∴，即， 解得，， 答：旗杆的高度为． （3）解：如图，设过点作平行于的直线分别交于点， 由题意得，，，， ， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：m， ∴， 答：旗杆的高度为． 23. 在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F． （1）填空：如图①，当点D落在边上时，则点D的坐标为_______； （2）如图②，当点D落在线段上时，与交于点H． ①求证； ②求点H的坐标． （3）记K为矩形对角线的交点，S为的面积，求S的最大值（直接写出结果即可）． 【答案】（1） （2） ①证明：由四边形是矩形，知． ∵点D在线段上，得. 由（1）知，， 又，， ∴≌； ②点 （3）S的最大值为 【解析】 【分析】（1）根据点的坐标及旋转的性质得，在直角三角形中运用勾股定理可求出的长，从而可确定答案； （2）①根据直角三角形全等的判定方法进行判定即可，②根据①知，故，在中，运用勾股定理可求得的长，得出坐标； （3）在矩形旋转的过程中，根据当矩形顶点D在的延长线上时，点K到直线距离最大，最大值为线段的长，求解即可． 【小问1详解】 解：∵点，点， ∴，． ∵四边形是矩形， ∴，，. ∵矩形是由矩形旋转得到的， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴点D的坐标是； 【小问2详解】 解：①略 ②由≌，得． 在矩形中，， ∴， ∴， ∴． 设，则，． 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴点H的坐标是； 【小问3详解】 解：如图，当矩形顶点D在的延长线上时，点K到直线距离最大，最大值为线段的长， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴S的最大值为． 【点睛】本题主要考查了矩形的旋转问题，全等三角形的性质和判定，勾股定理等，弄清线段的运动路径是解题的关键． 24. 如图是某山坡的截面示意图，坡顶距轴（水平），与轴交于点，与坡交于点，且，坡可以近似看作双曲线的一部分，坡可以近似看作抛物线的一部分，且抛物线与抛物线的形状相同，两坡的连接点为抛物线的顶点，且点到轴的距离为． （1）求的值； （2）求抛物线的解析式及点的坐标； （3）若小明站在坡顶的点处，朝正前方抛出一个小球（看成点），小球刚出手时位于点处，小球在运行过程中的横坐标、纵坐标与小球出手后的时间满足的关系式为，，是小球出手后水平向前的速度． ①若，求与之间的函数关系式； ②要使小球最终落在坡上（包括，两点），直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2），点的坐标为 （3）①；②的取值范围是 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）根据题意可得抛物线的解析式为，令，解方程即可求得点的坐标； （3）①当时，，变形得，将代入，即可得出答案；②由，可得，将代入，得，再分别把点、的坐标代入求出对应的的值，即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得：， 双曲线经过点， ； 【小问2详解】 解：由（1）得双曲线的解析式为， 点在双曲线上， ， ， 抛物线与抛物线的形状相同，且顶点为， 抛物线的解析式为，即， 令，得， 解得：，（舍去）， ； 【小问3详解】 解：①当时，， ， 将代入，得， 整理得：， 与之间的函数关系式为； ②， ， 将代入，得， 把代入，得：， 解得：， 是小球出手后水平向前的速度， ， ， 把代入，得：， 解得：， 是小球出手后水平向前的速度， ， ， 的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数图象的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $