稳固基础篇选填专题四-2026届高三数学三轮冲刺（天津市）

**基本信息** 聚焦高考数学选填基础巩固，以核心知识点为载体，通过典型题型强化抽象能力与逻辑推理，构建知识网络。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |集合与逻辑|2题|集合运算、充要条件判断|概念辨析→关系推理→应用| |函数与导数|3题|零点区间、图像识别、大小比较|性质探究→图像分析→综合应用| |立体几何|1题|线面位置关系判断|空间观念→定理应用→逻辑论证| |三角函数|1题|图像变换与性质|变换规则→性质分析→结论验证| |解析几何|2题|双曲线方程、圆柱截面应用|几何直观→方程构建→实际应用| |概率统计|1题|分步概率计算|数据意识→模型构建→运算求解| |向量与复数|3题|复数运算、向量数量积、圆的最值|概念理解→运算能力→综合应用|

高考倒计时---稳固基础篇 选填专题四 一、单选题 1．设全集，集合，则的真子集的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．7 2．若，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．函数的一个零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 4．已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论一定成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．当时，函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 6．若，，，则，，之间的大小关系为（   ） A． B． C． D． 7．将函数图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将图像沿x轴向左平移个单位长度，得到，则下列结论正确的是（   ）. A．的最小正周期为 B．在上单调递减 C．图像关于直线对称 D．图像关于点对称 8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P为双曲线上在第一象限的点，若直线的倾斜角为30°，且与圆相交所得的弦长，则该双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 9．“木桶效应”是一个有名的心理效应，是指木桶盛水量的多少，取决于构成木桶的最短木板的长度，而不取决于构成木桶的长木板的长度，常被用来寓意一个短处对于一个团队或者一个人的影响程度.某同学认为，如果将该木桶斜放，发挥长板的作用，在短板存在的情况下，也能盛较多的水.根据该同学的说法，若有一个如图①所示的圆柱形木桶，其中一块木板有缺口，缺口最低处与桶口距离为4，若按照图②的方式盛水，形成了一个椭圆水面，水面刚好与左边缺口最低处和右侧桶口齐平，过的母线与水平面所成的角大小为，且为该椭圆水面的长轴.则此时比图①盛水方式多盛的水的体积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 10．复数的实部与虚部之差为______. 11．的展开式的第四项为_____________． 12．已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上，设点在圆上，点在直线上，则的最小值为_____ 13．甲、乙两名同学参加汉语听写比赛，每次由其中一人听写，规则如下：若听写正确则此人继续听写，若未听写正确则换对方听写．无论之前听写情况如何，甲每次听写的正确率均为0.6，乙每次听写的正确率均为0.7．若第1次听写的人是甲，则第1次甲听写错误且第2次乙听写正确的概率为___________；若第1次听写的人是甲、乙的概率各为0.5，则第2次听写的人是甲的概率为___________． 14．已知边长为2的菱形，，设中点为，，点为线段上一点，且满足，则__________；此时__________． 15．已知函数有三个零点，且的图象关于直线对称，则的取值范围是_____． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高考倒计时---稳固基础篇 选填专题四 一、单选题 1．设全集，集合，则的真子集的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．7 【答案】B 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、补集的概念及运算 【分析】利用补集的定义求出，进而求出真子集个数． 【详解】因为，所以的真子集的个数为． 2．若，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件、对数的运算性质的应用、由对数函数的单调性解不等式 【详解】，， 当，，则，，此时； 当，，则，，此时； 充分性不成立. 由，得，即； ，，由基本不等式得（当且仅当时等号成立）； ； . 必要性成立. 综上，“”是“”的必要不充分条件. 3．函数的一个零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】零点存在性定理的应用、用导数判断或证明已知函数的单调性、判断零点所在的区间 【分析】求定义域，求导，得到函数单调性，结合零点存在性定理可得结论 【详解】定义域为，， 令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， ，， 其中，故，，， 由零点存在性定理可得函数的一个零点所在区间为， 其他选项均错误. 4．已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论一定成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断 【详解】对于A：若，，则的法向量都与平行，即的法向量平行，所以，故正确； 对于B：若，，则或者与相交，故错误； 对于C：若，，则，或者与相交，或者与异面，故错误； 对于D：若且，则，或者，或者与相交，故错误. 5．当时，函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断指数型函数的图象形状、函数图像的识别 【分析】求出函数的定义域，结合时，的符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】对于函数，因为，由可得且， 故函数的定义域为，排除AC， 当时，，排除D. 6．若，，，则，，之间的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算、比较对数式的大小 【分析】取中间值，结合单调性比较即可. 【详解】，， ，， 故. 7．将函数图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将图像沿x轴向左平移个单位长度，得到，则下列结论正确的是（   ）. A．的最小正周期为 B．在上单调递减 C．图像关于直线对称 D．图像关于点对称 【答案】A 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、结合三角函数的图象变换求三角函数的性质、求sinx型三角函数的单调性 【分析】利用逆向变换求出的解析式，利用三角函数的周期公式、单调区间判断选项A、B，根据对称轴与对称中心的性质判断C、D. 【详解】将沿x轴向右平移个单位长度，横坐标变为原来的， 可得. 选项A，的，最小正周期，A正确； 选项B，当时，，在单调递增， 在单调递减，故在不是单调递减，B错误； 选项C，正弦函数对称轴处函数值为，代入： ，因此不是对称轴，C错误； 选项D，正弦函数对称中心处函数值为，代入： ，因此不是对称中心，D错误. 8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P为双曲线上在第一象限的点，若直线的倾斜角为30°，且与圆相交所得的弦长，则该双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】圆的弦长与中点弦、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】连接OA，OB，过O作的垂线，垂足为D，结合几何关系可得，，由勾股定理可得，化简即可求解. 【详解】如图，连接OA，OB，过O作的垂线，垂足为D， 则D为AB的中点，直线的倾斜角为30°，故，，， 所以，即，解得，故双曲线方程为． 故选：C 9．“木桶效应”是一个有名的心理效应，是指木桶盛水量的多少，取决于构成木桶的最短木板的长度，而不取决于构成木桶的长木板的长度，常被用来寓意一个短处对于一个团队或者一个人的影响程度.某同学认为，如果将该木桶斜放，发挥长板的作用，在短板存在的情况下，也能盛较多的水.根据该同学的说法，若有一个如图①所示的圆柱形木桶，其中一块木板有缺口，缺口最低处与桶口距离为4，若按照图②的方式盛水，形成了一个椭圆水面，水面刚好与左边缺口最低处和右侧桶口齐平，过的母线与水平面所成的角大小为，且为该椭圆水面的长轴.则此时比图①盛水方式多盛的水的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】柱体体积的有关计算、求组合体的体积 【分析】作出图②的轴截面，求出以木桶面为底面，以缺口最低处与桶口距离为高的圆柱的体积，然后可求出图②的方式盛水比图①盛水方式多盛的水体积. 【详解】由题意可知，图②的方式盛水比图①盛水方式多盛的水部分是以木桶面为底面，以缺口最低处与桶口距离为高的圆柱体积的一半. 作出图②的轴截面，如图所示： 因为左边缺口最低处和右侧桶口齐平，过的母线与水平面所成的角大小为，所以，又，. 以木桶面为底面，以缺口最低处与桶口距离为高的圆柱的体积. 图②的方式盛水比图①盛水方式多盛的水体积为. 故选：C 二、填空题 10．复数的实部与虚部之差为______. 【答案】 【知识点】求复数的实部与虚部、复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算 【详解】由， 所以实部与虚部之差为. 11．的展开式的第四项为_____________． 【答案】 【知识点】求二项展开式的第k项、求指定项的系数 【详解】的展开式的第四项为： ． 12．已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上，设点在圆上，点在直线上，则的最小值为_____ 【答案】 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】根据题意，利用待定系数法，求得圆的标准方程，结合直线与圆的位置关系，以及圆的性质，即可求解. 【详解】设圆的标准方程为， 因为圆经过和点，且圆心在直线上， 可得，解得：， 所以圆的标准方程为. 又因为圆到直线的距离为， 所以直线与圆相离，所以的最小值为. 13．甲、乙两名同学参加汉语听写比赛，每次由其中一人听写，规则如下：若听写正确则此人继续听写，若未听写正确则换对方听写．无论之前听写情况如何，甲每次听写的正确率均为0.6，乙每次听写的正确率均为0.7．若第1次听写的人是甲，则第1次甲听写错误且第2次乙听写正确的概率为___________；若第1次听写的人是甲、乙的概率各为0.5，则第2次听写的人是甲的概率为___________． 【答案】 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】第一个空利用相互独立事件概率计算公式来计算；第二个空通过全概率公式，分两种初始情况讨论，分别计算每种情况下目标事件的概率再求和. 【详解】甲第1次听写错误的概率为，此时第2次由乙听写，乙听写正确的概率为， 故所求概率为. 第1次听写的人是甲时，第2次仍由甲听写的概率为； 第1次听写的人是乙时，第2次由甲听写的概率为. 由全概率公式，第2次听写的人是甲的概率为. 14．已知边长为2的菱形，，设中点为，，点为线段上一点，且满足，则__________；此时__________． 【答案】 【知识点】用基底表示向量、用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【分析】设，用，表示出，列方程组即可求出；用，表示出，根据向量数量积的运算律即可求出. 【详解】设. ，， . . 又，所以，解得. 此时. . 所以 . 15．已知函数有三个零点，且的图象关于直线对称，则的取值范围是_____． 【答案】 【知识点】函数对称性的应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】,则有即可求得，再由可得有2个根且都不等于，即可求解. 【详解】， 则，定义域为， 所以的图像关于直线对称，所以， 显然为函数的一个零点， 故有2个不相等的根，且都不等于， 所以，解得， 所以，所以的取值范围是. 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $