16.4.2 反比例函数的图象和性质 课件 2025-2026学年华东师大版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦反比例函数的图象和性质，系统讲解双曲线的作图方法、象限分布、增减性、对称性及待定系数法求表达式，通过回顾已学函数与作图步骤，以列表描点连线为支架，引导学生从具体函数到一般规律建立知识脉络。 其亮点在于通过“画一画”“议一议”等活动，让学生动手绘制y=6/x与y=12/x图象，对比观察k>0与k<0时的图象差异，培养几何直观与推理意识，用表格归纳性质、规范解题步骤强化数学语言表达。学生能主动探究知识形成过程，教师可依托活动设计提升教学效率。

1.6.4.2反比例函数的图象和性质 华师版八下数学 1.能熟练作出反比例函数的图象. 2.理解反比例函数的性质，能应用其解决相关问题. 3.会用待定系数法求反比例函数的表达式. 我们已经学习过的函数有哪些？画函数图象的方法和步骤有哪些？ 画函数的图象步骤一般分为：列表→描点→连线. 如何取点画反比例函数图象？ 画反比例函数 y = 的图象. 这个函数中自变量 x 的取值范围是不等于零的一切实数，列出 x 与 y 的对应值表： x … -6 -3 -2 -1 … 1 2 3 6 … y … -1 -2 -3 -6 … 6 3 2 1 … 双曲线 描点连线 思考 这两条曲线会与 x 轴、y 轴相交吗？为什么 ? 解：列表如下： 画一画：尝试画出函数 与 的图象 归纳：反比例函数的图象叫双曲线 议一议：观察函数 和 的图象，它们 有什么不同点？ 相同点有哪些？ 知识归纳： 反比例函数 的图象和性质： 图象是由两支曲线组成的， 当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限内； 当k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限内； 它们与 x 轴、y 轴都不相交. 这两支曲线通常称为双曲线. 观察这两个函数的图象，回答下列问题： 思考： (1)每个函数图象分别位于哪些象限？ (2)在每一个象限内，随着x的增大，y如何变化？你能由它们的解析式说明理由吗？ (3)对于反比例函数 (k＞0)，再考虑问题(1)(2)，你能得出同样的结论吗？ （1）由两条曲线组成，且分别位于第一、三象限, 它们与 x 轴、y 轴都不相交； （2）在每个象限内，y 随 x 的增大而减小. 反比例函数 (k＞0) 的图象和性质： 1.函数 的图象在哪两个象限？和函数 的图象有什么不同？ 交流探索： 第二象限 第四象限 第一象限 第三象限 在每一个象限内， y 随 x 的增大而增大. 在每一个象限内， y 随 x 的增大而减小. 2. 反比例函数 的图象在哪两个象限由什么确定 ? 当 k > 0 时，函数的图象分布在一、三象限； 当 k < 0 时，函数的图象分布在二、四象限。 3. 试由所画出的两个函数的图象，总结一下反比例函数的变化规律：随着自变量 x 的增大，函数值 y 将会怎样变化 ? 交流探索： 合作探究 反比例函数图象是对称图形吗？ 结合列表，图象与同伴交流. -1 -4 4 2 1 知识归纳： 反比例函数 的图象和性质： 反比例函数图象是中心对称图形，其对称中心是坐标原点. 反比例函数图象也是轴对称图形，它有两条对称轴：直线 y=x和直线y=-x. C y A. x y o B. x o D. x y o C. x y o 1. 反比例函数 的图象大致是 ( ) 观察与思考：当 k =－2，－4，－6时，反比例函数 的图象，有哪些共同特征？回顾前面我们利用从特殊到一般的方法，研究反比例函数 (k＞0) 的图象和性质的过程，你能用类似的方法研究反比例函数 (k＜0)的图象和性质吗？ y x O y x O y x O 反比例函数 有下列性质: (1) 若 k > 0 ，函数的图象在第_____、_____ 象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是说，当 x ＞ 0 (或 x < 0) 时， y 随 x 的增大而 _____ ； (2) 若 k < 0 ，函数的图象在第_____、_____ 象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是说，当 x > 0 ( 或 x < 0 ) 时， y 随 x 的增大而 _____ . 二 一 三 四 增大 减小 当堂检测 1.反比例函数 的图象在( ) A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、三象限 D.第二、四象限 2.已知反比例函数 的图象在第一、三象限内，则m的取值范围是________. 3.如果点（-1，3）在双曲线 图象上，那么该 双曲线在第 象限,与x轴 交点（有或无）. 4.在同一直角坐标系中，函数 与 的图象大致是 ( ) 活动2：已知反比例函数 ，y 随 x 的增大而增大，求a的值. 解：由题意得a2+a－7=－1且a－1<0．解得a=－3. 2.已知反比例函数 在每个象限内，y 随着 x 的增大而减小，求 m 的值． 解：由题意得 m2－10=－1，且 3m－8＞0． 解得 m=3. 思考1：反比例函数性质在本节问题1和问题2中反映了怎样的实际意义? 问题1 汽车的行驶时间与行驶速度的函数： 问题2 长方形饲养场一边长与另一边 y 的函数关系： 问题 1 反映的实际意义是当所走路程不变时，所用时间随速度的增大而减小. 问题 2 反映的实际意义是当长方形的面积一定时，它的一条边的长度增大时，它的另一边的长度减小. 思考2：讨论反比例函数的增减性时 ，这里与一次函数不同 ，强调了“在每个象限内”，应该怎么理解 ? 因为自变量 x 的取值范围不同，一次函数自变量 x 的取值范围为全体实数，而反比例函数自变量 x 的取值范围为不等于 0 的一切实数，0 将自变量 x 的取值分为两个部分 ( 两个象限 )，在每个象限讨论增减性才是合理的. 已知 y 是 x 的反比例函数，当 x = 2 时， ，求这个反比例函数的表达式. 解：设这个反比例函数的表达式为______(其中 k 为待定系数). 已知当 x = 2 时， 可得_______. 可以求得 k=_______. 所以这个反比例函数的表达式是_______. 课堂小结 反比例函数 图象 图象位于第一、三象限 图象位于第二、四象限 性质 反比例函数图象是中心对称图形，其对称中心是坐标原点. 反比例函数图象也是轴对称图形，它有两条对称轴：直线 y=x和直线y=-x. 活动3：已知y与x－2成反比例，当x＝4时， y＝3，求当x＝5时，y的值． 解：∵y与x-2成反比例， ∴当x=5时，y=2. ∴ 当x=4，y=3时，则k=6， ∴设 （k≠0） 联想求一次函数的解析式，说说你的想法. ④写出反比例函数解析式. ③解方程，求出待定系数； ②将已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式，得到关于待定系数的方程； ①设出含有待定系数的反比例函数解析式， 用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤： S1的值 S2的值 S1与S2的关系 猜想与k的关系 P（2,2） Q（4,1） 1.在反比例函数 的图象上分别取点P，Q向x轴、y轴作垂线，围成面积分别为S1，S2的矩形，填写表格： 4 4 S1=S2 S1=S2=k 新课讲解 S1的值 S2的值 S1与S2的关系 猜想与k的关系 P（-1,4） Q（-2,2） 4 4 S1=S2 S1=S2=-k 新课讲解 2.若在反比例函数 中也用同样的方法分别取P，Q两点，填写表格： (2)函数图象位于第二、四象限，在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大. 解：(1)∵ 反比例函数 的图象经过点 A(2，－4)， 解得 k = －8. ∴ 把点 A 的坐标代入表达式，得 ， 3. 已知反比例函数 的图象经过点 A (2，－4)， (1)求k的值 (2) 这个函数的图象分布在哪些象限？y 随 x 的增大如何变化? (3) 画出该函数的图象； (4) 点 B (1，－8) ，C (－3，5)是否在该函数的图象上？ 因为点 B 的坐标满足该解析式，而点 C 的坐标不满足该解析式，所以点 B 在该函数的图象上，点 C 不在该函数的图象上. (4)该反比例函数的解析式为 . O x y (3)如图所示 3. 已知反比例函数 的图象经过点 A (2，－4)， (1)求k的值 (2) 这个函数的图象分布在哪些象限？y 随 x 的增大如何变化? (3) 画出该函数的图象； (4) 点 B (1，－8) ，C (－3，5)是否在该函数的图象上？ 反比例函数的图象和性质 图象形状 两支曲线组成的双曲线，与坐标轴无限接近但永不相交。 象限分布 k>0：图象在第一、三象限 k<0：图象在第二、四象限 增减规律 （每个象限内） k>0：y随x增大而减小 k<0：y随x增大而增大 表达式求法 待定系数法，设，代入已知点求 EV录屏3.9.6软件录制 Lavf56.38.102 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制，www.ieway.cn $