16.3.4 求一次函数的表达式 课件 2025-2026学年华东师大版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦“求一次函数的表达式”，通过旧知回顾（一次函数性质、二元一次方程组）搭建学习支架，引导学生从已知k、b确定函数式过渡到用待定系数法求表达式，构建完整知识脉络。 其亮点是结合弹簧长度、温度计、话费计费等生活实例，以“一设二代三解四写”步骤培养数学思维（推理能力），用函数表达式精准描述现实数量关系（数学语言）。学生能提升应用意识，教师可借助系统流程和实例优化教学，提高效率。

16.3.4 求一次函数的表达式 22251 1、能根据已知条件确定一次函数的解析式； 3、体会数量之间的对应和转化、体会数形结合思想。 2、能根据实际问题确定一次函数的解析式并对自变量的范围进行讨论； 1 学习目标 22251 新课导入 【旧知回顾】 1．一次函数的性质是什么？ 答：当k＞0时，y随x的增大而增大，这时函数的图象从左到右上升；当k＜0时，y随x的增大而减小，这时函数的图象从左到右下降；当b＞0，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，直线与y轴交于负半轴． 22251 3 2．如果知道了k与b的值，是否确定了一次函数关系式y＝kx＋b.这里有两个未知数，与我们以前学过的什么知识有关？若求值，至少需要列几个方程？ 答：可以确定；与二元一次方程组有关；至少列两个二元一次方程组成方程组． 22251 求一次函数的表达式 （1）y与x的函数关系式是一次函数，则关系式可设为： 例1：已知弹簧的长度y（厘米）在一定的限度内是所挂重物质量x（千克）的一次函数。现以测得不挂重物时弹簧的长度为6厘米,挂4千克质量的重物时，弹簧的长度是7.2厘米，求这个一次函数的解析式。 （2）要确定一次函数的解析式，关键要确定什么？ （3）怎样建立k、b的关系式？ 解：设一次函数的解析式为： 解得： 故一次函数的解析式为： 22251 像这样先设待求函数表达式（其中含有未知系数），再根据条件列出方程或方程组，求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法。 用待定系数法解题一般分为几步？ 一设、二代、三解、四写： 1. 设一次函数的一般形式y=kx+b(k≠0）； 2. 根据已知坐标代入关于k、b的二元一次方程组； 3. 解这个方程组，求出k、b； 4. 将已经求出的 k、b的值代入y=kx+b，写出解析式. 知识梳理 22251 探究新知 知识模块　用待定系数法求一次函数的表达式 1．已知一个一次函数中当自变量x＝－2时，函数值y＝－1；当x＝3时，y＝－3.请求出这个一次函数的表达式． 分析：根据一次函数的定义，可以设这个一次函数为y＝kx＋b(k≠0)，问题就转化为如何求出k与b的值. 22251 解：设这个一次函数为y＝kx＋b. 由已知条件可知，当x＝－2时，y＝－1， ∴－1＝－2k＋b； 当x＝3时，y＝－3，所以－3＝3k＋b. 由于两个条件都要满足，故可把k与b看作未知量， 联立关于k，b的二元一次方程，得 解得 再把所求得的k与b的值代入y＝kx＋b(k≠0)， ∴一次函数表达式为y＝－x－. 22251 确定正比例函数的表达式需要1个条件，确定一次函数的表达式需要2个条件 求正比例函数 的表达式． 解：由正比例函数的定义知 m2－15＝1且m－4≠0， ∴m＝－4， ∴y＝－8x. 可利用正比例函数的定义确定表达式：自变量的指数为1，系数不为0. 想一想：确定正比例函数的表达式需要几个条件？如果是一次函数又需要几个条件呢？ 22251 世界大部分国家都采用摄氏温标预报天气，但美国、英国等国家则采用华氏温标，在研究性学习活动中，某小组同学查阅到以下资料，设某一时刻温度计上的华氏温度为 y ( ℉)，摄氏温度为 x ( ℃ )，已知 y 是 x 的一次函数，试写出这个一次函数的表达式. 在 1 标准大气压下，把冰水混合物的温度规定为 0 摄氏度，记作 0 ℃ ; 把沸水的温度规定为 100 摄氏度，记作 100 ℃ . 在 1 标准大气压下，把冰水混合物的温度规定为 32华氏度 ，记作 32 ℉ ; 把沸水的温度规定为 212 华氏度 ，记作 212 ℉. 分析：已知 y 是 x 的一次函数，函数的表达式可写成：y = kx + b ( k ≠ 0 ) ，问题就转化为求 k 和 b 的值. x=0→y=32，x=100→y=212 确认该一次函数表达式的2个条件是什么？ 22251 练习1：已知一次函数的图象经过点(-1,1)与（1，5）.求这个一次函数解析式． 解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b ∵y=kx+b的图象过点（-1，1）与（1，5） ∴ -k+b=1 k+b=5 解得 k=2 b=3 ∴这个一次函数的解析式为y=2x+3 设 代 解 写 针对练习 22251 这种先设待求函数关系式(其中含有待定系数)，再根据条件列出方程或方程组，求待定系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法． 知识要点 22251 求正比例函数y=(m-4) 的表达式． 解：由正比例函数的定义知 m2－15＝1且m－4≠0， ∴m＝－4， ∴y＝－8x. 练一练 22251 例2:若一次函数的图象经过点 A(2,0)且与直线y=-x+3平行，求其解析式. 解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b. k = -1， 2k + b = 0， ｛ 由题意得 k = -1， b = 2. ｛ 解得 ∴y=-x+2. 求一次函数的表达式 22251 一次函数的一般形式是 y = kx + b (k，b为常数，k ≠ 0) ，要求出一次函数的表达式，关键是要确定 k 和 b 的值 (即待定的系数) . 函数表达式 y = kx + b 满足条件的两点 (x1，y1)，(x2，y2) 一次函数的图象 直线 l 选取 解出 画出 选取 22251 例3: 已知一次函数的图象过点（0，2），且与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求此一次函数的解析式. 分析：一次函数y=kx+b与y轴的交点是（0，b），与x轴的交点是（ ，0）.由题意可列出关于k，b的方程. y x O 2 注意：此题有两种情况. 求一次函数的表达式 22251 解：设一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0) ∵一次函数y=kx+b的图象过点（0，2）， ∴b=2 ∵一次函数的图象与x轴的交点是( ，0)，则 解得k=1或-1. 故此一次函数的解析式为y=x+2或y=-x+2. 求一次函数的表达式 y x O 2 22251 范例1.温度计是利用水银(或酒精)热胀冷缩的原理制作的，温度计中水银(或酒精)柱的高度y(cm)是温度x(℃)的一次函数．某种型号的实验用水银温度计能测量－20 ℃至100 ℃的温度，已知10 ℃时水银柱高10 cm，50 ℃时水银柱高18 cm.求这个函数的表达式 合作探究 22251 分析：题目中提到两次水银柱与温度计变化的数据，相当于两个点，而一次函数有两个系数k，b待定，将两个点代入可组成二元一次方程组． 解：设所求函数表达式是y＝kx＋b(k≠0). 根据题意，得解得 解得 ∴这个函数的表达式是y＝0.2x＋8. 22251 解 设所求一次函数的表达式为 y = kx + b ( k≠0 ) ，根据题意 ，得 0 · k + b = 32， 100 k + b = 212. 解这个方程组，得 k = 1.8，b = 32 . 所以，所求一次函数的表达式为 y = 1.8x + 32. x=0→y=32，x=100→y=212 确认该一次函数表达式的2个条件： 22251 这种先设待求函数的表达式(其中含有待定系数)，再根据条件列出方程或方程组，求出待定系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法. 想一想 刚才所求的一次函数的表达式 y = 1.8x + 32中的一次项系数 1.8 和常数项 32 有怎样的实际意义? 一次项系数 1.8 表示摄氏温度：每增加 1 摄氏度时华氏温度增加的度数，常数项 32 表示摄氏温度为 0 摄氏度时所对应的华氏温度的度数. 22251 （1）分别求出当0≤x＜100和x≥100时，y与x之间的函数表达式； （2）月通话时间为280分钟时，应缴话费多少元？ 例 4 某市移动电话采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x分钟，与相应话费y元之间的函数图象如图所示： 100 200 20 40 60 80 O x/min y/元 22251 22 范例3.已知一次函数图象经过A(－2，－3)，B(1，3)两点． (1)求这个一次函数的表达式； (2)试判断点P(－1，1)是否在这个一次函数图象上？ 22251 解：(1)设一次函数的表达式为y＝kx＋b(k≠0). 由题意，得 解得 ∴这个一次函数的表达式为y＝2x＋1. (2)当x＝－1时，y＝2×(－1)＋1＝－1， ∴点P(－1，1)不在这个一次函数图象上． 22251 已知一次函数 y = kx + b 的图象经过点 (-1，1)和点 (1，-5) ，求当 x = 5 时的函数值. 解：设所求的函数表达式为 y = kx +b (k≠0)， 当 x = 5 时 ，y = -3×5 -2 = -17. 所以，所求的函数表达式为 y = -3x - 2. 解得 k = -3, b = -2. -k + b = 1, k + b = -5, 根据题意得 22251 利用二元一次方程组求一次函数表达式的一般步骤： 1. 设出含字母系数的一次函数表达式：y = kx + b； 2. 将已知条件代入上述表达式中，得到关于 k，b 的二元一次方程组； 3. 解这个二元一次方程组，得 k，b 的值； 4. 写出一次函数的表达式. 22251 求一次函数表达式的一般步骤是怎样的呢？ 可归纳为：“一设、二代、三解、四写” 一设：设出函数关系式的一般形式y=kx+b; 二代：根据已知两点的坐标代入关于k、b的二元一次方程组； 三解：解这个方程组，求出k、b的值； 四写：把求得的k、b的值代入y=kx+b，写出函数关系式. 6 课堂小结 22251 求一次函数的表达式 2. 根据已知条件列出关于k、b的方程组； 1. 设所求的一次函数表达式为y=kx+b； 3. 解方程，求出k、b; 4. 把求出的k，b代回表达式即可. 课堂小结 22251 $