三角函数与导数综合题中的隐零点问题 教学设计+学案——2026届高三数学二轮复习

《三角函数与导数综合题中的隐零点问题》高三复习课教学设计 一、教材分析 三角函数与导数交汇试题是高考数学考查学生逻辑推理与高阶思维的核心载体，其解题难点集中于隐零点问题的处理。隐零点问题是指导函数方程的根存在但无法用初等形式表示，需要通过导数符号变化与中间值定理进行论证。此类问题常涉及极值点存在性证明、参数范围求解等难点，对学生的逻辑推理与运算能力提出较高要求。本题以函数为背景，通过第（1）问证明导函数存在唯一极大值点，第（2）问证明原函数有且仅有2个零点，体现了从导数到原函数的研究路径，是高三复习中函数与导数专题的典型素材。 二、学情分析 授课对象为高三学生，他们已经学习了导数的概念与运算法则、利用导数研究函数单调性与极值的方法，具备一定的代数运算和逻辑推理能力。但在处理隐零点问题时，学生常常存在以下困难：混淆三角函数导数公式，复合求导出错率高；未能通过导数符号变化或中间值定理严谨证明零点存在性；直接假设零点存在而未验证单调性；对函数定义域、区间端点等细节关注不足。因此，本节课通过2019年全国Ⅰ卷理科第20题的深入剖析，帮助学生掌握隐零点问题的“三步解题框架”，提升综合解题能力。 三、本节渗透的数学思想及教学方法分析 本节贯彻“零点虚设—单调论证—参数限定”的三步解题框架，教师引导，学生主动探究为主体的教学思想。 1. 转化与化归思想：将函数零点问题转化为导函数符号分析问题，将极值点存在性转化为导数单调性问题。 1. 数形结合思想：借助三角函数图像特征（对称性、周期性）辅助分析函数性质。 1. 分类讨论思想：根据自变量在不同区间上的取值，分类讨论函数符号和零点个数。 1. 虚设零点思想：对进行形式化设定，建立关系式，不求具体值而利用其性质。 1. 中间值定理思想：利用零点存在定理证明零点存在性与唯一性。 1. 教学方法：采用“三步解题框架”教学法，通过案例1（高考题）和案例2（检测题）的深入剖析，引导学生掌握隐零点问题的解题策略。 四、核心素养目标 逻辑推理：能通过导数符号变化与中间值定理严谨证明极值点和零点的存在性与唯一性。 数学抽象：能从具体问题中抽象出“虚设零点”的解题策略。 直观想象：借助三角函数图像特征辅助分析函数性质。 数学运算：能熟练进行三角函数求导、复合函数求导、不等式放缩等运算。 数学建模：能将隐零点问题建模为导数符号分析问题。 五、教学重、难点 教学重点： 1. 隐零点问题的“三步解题框架”：零点虚设、单调论证、参数限定。 1. 利用导数符号变化证明极值点与零点的存在性与唯一性。 1. 含参与不含参函数的策略差异。 教学难点： 1. 导函数单调性的论证与极值点唯一性的证明。 1. 函数零点个数的分类讨论与区间划分。 1. 虚设零点后关系式的建立与运用。 六、学法分析 1. 三步框架学习：通过“零点虚设—单调论证—参数限定”的框架，掌握隐零点问题的解题范式。 1. 案例探究：通过高考题和检测题的深入剖析，体会解题策略的应用。 1. 分类讨论：在零点个数论证中，学习如何根据区间划分进行分类讨论。 1. 对比学习：对比含参与不含参函数的解题策略差异。 1. 合作探究：在复杂论证环节，小组讨论、互相启发。 七、教学过程 【核心知识回顾】 隐零点问题的定义：导函数方程的根存在，但无法用初等形式表示，需要借助导数符号变化与中间值定理进行论证。 三步解题框架： 步骤 名称 核心操作 第一步 零点虚设 对进行形式化设定，建立关系式 第二步 单调论证 通过导数符号分析函数形态特征 第三步 参数限定 结合极值点性质构建不等式约束 设计意图：明确隐零点问题的定义和解题框架，为后续案例分析奠定基础。 案例1（2019年全国Ⅰ卷理科第20题） 已知函数，为的导数。证明： （1）在区间存在唯一极大值点； （2）有且仅有2个零点。 （一）第（1）问解析 问题1：如何证明在区间存在唯一极大值点？ 师生活动：学生尝试求导，教师引导分析。 第一步：求导并虚设极值点 设 则 正确求导： 第二步：单调论证——证明有唯一零点 当时，单调递减，单调递减，故单调递减。 计算端点值： 由零点存在定理，存在唯一，使得。 当时，；当时，。 所以在单调递增，在单调递减，故在存在唯一极大值点。 即在区间存在唯一极大值点。 设计意图：通过求导、分析单调性、利用零点存在定理，完整展示隐零点问题的第一步和第二步。 （二）第（2）问解析 问题2：如何证明有且仅有2个零点？ 师生活动：学生分析，教师引导分类讨论。 解：的定义域为。 第一步：分析在上的零点 当时，，，所以。 又，且当时，，故在上有唯一零点。 第二步：分析在上的零点 由（1）知，在上有唯一极大值点，且，。 分析的符号： 当时，，单调递增； 当时，，单调递减。 又，，故在上恒成立，无零点。 第三步：分析在上的零点 当时，从1递减到0，单调递增，故单调递减。 计算： 由零点存在定理，存在唯一，使得。 第四步：分析在上的零点 当时，，，故，无零点。 综上：在上有唯一零点，在上有唯一零点，共2个零点。 设计意图：通过分类讨论不同区间，完整论证函数零点个数，体现第三步“参数限定”的思想。 案例2（福建省福清华侨中学检测题） 已知函数在区间存在唯一极大值点，并讨论其零点个数。 解析： 第一步：求导与零点虚设 设的根为，即。 第二步：分析导函数单调性与极值点唯一性 考虑的导数： 在区间上，，且随着增大，由正转负，故在内单调递减，存在唯一零点，从而在内先增后减，存在唯一极大值点。由对称性，在上也存在唯一极小值点。 第三步：零点个数验证 由于在上为奇函数（），只需分析上的零点。结合函数值符号变化，可得在上有唯一零点，由对称性，在上也有唯一零点，共2个零点。 设计意图：通过案例2，巩固隐零点问题的解题方法，体会奇偶性在零点分析中的简化作用。 含参与不含参问题的策略对比 类型 不含参函数 含参函数 核心难点 极值点唯一性证明 参数耦合导致临界状态分离困难 解决策略 直接应用单调性定理 参数分离法+分类讨论 典型案例 2019年全国Ⅰ卷第20题 2023年新高考Ⅱ卷第22题 不含参函数的隐零点证明：设方程的根为，则（1）有关系式成立；（2）注意确定的合适范围。 含参函数的隐零点证明：设方程的根为，则（1）有关系式成立，该关系式给出了与的关系；（2）注意确定的合适范围，往往和的范围有关。 设计意图：系统对比含参与不含参函数在隐零点问题中的策略差异，帮助学生形成完整的解题策略体系。 【教学策略优化】 1. 分层教学策略 基础层学生：强化导数公式记忆与运算规范（设计“错题变式训练”） 拔尖层学生：开展“逻辑链拆解训练”（设计“隐零点问题解题的三步论证”） 2. 领悟分类讨论与数形结合思想 参数问题模板化：提炼“参数分离法”与“临界值分析法” 图像辅助分析：结合三角函数图像特征（对称性、周期性）简化极值或零点分析 设计意图：通过教学策略优化，为教师的课堂教学和学生的复习备考提供可操作的建议。 【课堂小结】 1. 你学到了哪些知识？ 隐零点问题的定义与三步解题框架（零点虚设、单调论证、参数限定）。 利用导数符号变化与中间值定理证明极值点和零点的存在性与唯一性。 含参与不含参函数的策略差异。 1. 你学到了哪些数学思想方法？ 转化与化归、数形结合、分类讨论、虚设零点思想。 1. 本节课你最大的收获是什么？ 设计意图：提高学生归纳概括能力，强化对数学思想方法的认识。第三个问题引导学生进行元认知反思。 八、板书设计 三角函数与导数交汇题中的隐零点问题 核心结论 三步解题框架 隐零点定义 ①零点虚设 导函数零点存在但无法显式表示 ②单调论证 ③参数限定 含参与不含参 案例1第（2）问 不含参→直接单调性 ：唯一零点 含参→参数分离+分类讨论 ：无零点 案例2 教学策略 利用奇偶性简化分析 分层教学+微专题 学科网（北京）股份有限公司 $ 《三角函数与导数综合题中的隐零点问题》课堂学案 一、学习目标 1. 理解隐零点问题的定义及“三步解题框架”：零点虚设、单调论证、参数限定。 1. 掌握利用导数符号变化与中间值定理证明极值点和零点存在性与唯一性的方法。 1. 能区分含参与不含参函数在隐零点问题中的解题策略差异。 1. 体会转化与化归、数形结合、分类讨论等数学思想方法。 二、核心知识回顾 隐零点问题的定义 导函数方程 的根存在，但无法用初等形式表示，需要借助导数符号变化与中间值定理进行论证。 三步解题框架 步骤 名称 核心操作 第一步 零点虚设 对 进行形式化设定，建立关系式 第二步 单调论证 通过导数符号分析函数形态特征 第三步 参数限定 结合极值点性质构建不等式约束 三、案例1（2019年全国Ⅰ卷理科第20题） 题目 已知函数 ， 为 的导数。证明： （1） 在区间 存在唯一极大值点； （2） 有且仅有 2 个零点。 （一）第（1）问：证明 存在唯一极大值点 问题1：如何证明 在区间 存在唯一极大值点？ 第一步：求导并设辅助函数 令 ，则 第二步：单调论证——证明 有唯一零点 当 时， 单调______， 单调______，故 单调______。 计算端点值： 由零点存在定理，存在唯一 ，使得 。 当 时， ______ 0；当 时， ______ 0。 所以 在 单调______，在 单调______，故 在 存在唯一极大值点 。 即 在区间 存在唯一极大值点。 （二）第（2）问：证明 有且仅有 2 个零点 问题2：如何证明 有且仅有 2 个零点？ 第一步：分析 在 上的零点 当 时，，，所以 ______ 0。 ，且当 时， ______ 0。 故 在 上有唯一零点 。 第二步：分析 在 上的零点 由（1）知， 在 上有唯一极大值点 。 当 时， ______ 0， 单调______； 当 时， ______ 0， 单调______。 ， ______ 0。 故 在 上______零点。 第三步：分析 在 上的零点 当 时， 从______递减到______， 单调______，故 单调______。 ______ 0， ______ 0。 由零点存在定理，存在唯一 ，使得 。 第四步：分析 在 上的零点 当 时，，，故 ______ 0，______零点。 综上： 在 上有唯一零点 ，在 上有唯一零点 ，共______个零点。 四、案例2（福建省福清华侨中学检测题） 题目 已知函数 在区间 存在唯一极大值点，并讨论其零点个数。 第一步：求导与零点虚设 设 的根为 ，即 。 第二步：分析导函数单调性与极值点唯一性 在区间 上，，且随着 增大， 由正转负，故 在 内单调______，存在唯一零点，从而 在 内先增后减，存在唯一极大值点。 由对称性，在 上也存在唯一极小值点。 第三步：零点个数验证 在 上为______函数（______）。 只需分析 上的零点，结合函数值符号变化，可得 在 上有唯一零点。 由对称性，在 上也有唯一零点，共______个零点。 五、含参与不含参问题的策略对比 类型 核心难点 解决策略 典型案例 不含参函数 极值点唯一性证明 直接应用单调性定理 2019年全国Ⅰ卷第20题 含参函数 参数耦合导致临界状态分离困难 参数分离法 + 分类讨论 2023年新高考Ⅱ卷第22题 六、课堂小结 1. 本节课你学到了哪些知识？ 1. 你学到了哪些数学思想方法？ 1. 本节课你最大的收获是什么？ 七、课后作业 基础作业 1. 已知函数 ，判断 在 上是否存在唯一极值点。 1. 已知函数 ，判断 在 上的零点个数。 提升作业 已知函数 在区间 内存在唯一极大值点，并讨论其零点个数。 拓展作业 查阅资料，找一道含参的隐零点问题的高考题，用“三步解题框架”写出完整的解题过程。 学科网（北京）股份有限公司 $