第01讲 集合 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦集合核心考点，涵盖集合的含义与表示、基本关系、基本运算三大高考高频题型，按“元素-关系-运算”逻辑梳理知识点，整合元素特性、子集个数、交并补性质等必备知识。通过基础回顾梳理考点，题型精讲指导方法，真题训练巩固应用，构建系统复习路径，助力学生突破难点。 讲义突出数学思维与数学语言培养，如题型二通过空集讨论强化逻辑推理，题型三用数轴与Venn图直观分析集合运算。设置基础巩固、能力提升、综合应用分层练习，配合真题例题精讲，确保高效复习。帮助学生形成集合问题解题范式，为教师把控复习节奏提供清晰框架，提升学生应考能力。

第1讲 集合 题型一 集合的含义与表示 1．【答案】D 2．【答案】C 3．【答案】B 4．【答案】C 5．【答案】D 6．【答案】A 7．【答案】D 8．【答案】A 9．【答案】B 10．【答案】A 题型二 集合间的基本关系 1．【答案】C 2．【答案】C 3．【答案】C 4．【答案】C 5．【答案】 6．【答案】A 7．【答案】C 8．【答案】3 【分析】求解方程，确定集合中元素个数，再结合真子集个数公式即可求解. 【详解】方程可化为，解得或1， 则，故集合的真子集的个数为. 9．【答案】 【详解】因为，所以或， 解得，或， 10．【答案】 【分析】利用两个集合相等的定义结合集合的互异性求解. 【详解】，， 且且且， 或， 当时，且，，. 当时，解得，且，不成立. 综上可得，. 故答案为：. 题型三 集合的基本运算 1．【答案】B 2．【答案】D 3．【答案】B 4．【答案】A 5．【答案】D 6．【答案】A 7．【答案】A 8．【答案】ACD 9．【答案】AB 10．【答案】BD 课时精练 1．【答案】C 2．【答案】D 3．【答案】D 4．【答案】B 5．【答案】B 6．【答案】C 7．【答案】A 8．【答案】D 9．【答案】BC 10．【答案】AC 11．【答案】BCD 12．【答案】 【分析】由集合的补集运算结合集合的表示法即可求解. 【详解】由题意得，则. 13．【答案】或 【分析】由题意得出是一元集，然后按的正负或0分类讨论求解． 【详解】由题意的子集恰有2个，所以是一元集， 若，则，而，满足题意， 若，则，，此时，不合题意； 若，则，，只含一个元素，则， 综上，的取值范围是或． 14．【答案】 【详解】，，， 满足条件的集合的个数为. 15．【答案】(1) (2) 【分析】（1）解不等式分别求出集合，可求得； （2）对参数的取值进行分类讨论，利用判别式以及二次函数性质解不等式可得结果. 【详解】（1）易知不等式等价于， 可得； 当时，不等式即为， 可得； 因此可得 （2）当时，不等式为恒成立； 当时，由恒成立可得，解得； 综上可得实数的取值范围为. 16．【答案】(1) (2) 【分析】（1）解绝对值不等式和分式不等式求得集合，可求； （2）利用集合非空可得，由，可得，求解即可. 【详解】（1）若，由，得，解得，所以. 由，得，即，所以， 解得，，所以； （2）由（1）得， 因为集合为非空集合，所以， 由，得，解得，所以， 又，所以，解得，又，所以， 所以实数的取值范围. 17．【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由，可得，即， 所以故 （2）由，可得，即 所以，解得或. 18．【答案】(1)，， (2) 【详解】（1）当时，由，解得， 所以，由，解得，所以， 所以． （2）由，解得，所以， 又“”是“”的充分条件，所以， 已知，则可得，解得， 所以a的取值范围为． 19．【答案】(1)； (2) 【分析】（1）求出时集合，再根据补集与并集的定义求解即可； （2）根据得到集合A与集合B没有公共元素，分类讨论求出的范围． 【详解】（1）时，集合或， 所以， 因为集合， 所以； （2），或，，两个集合均为非空数集， 因为，所以与没有公共元素. 当，即时，，此时，不合题意； 当，即时，，解得； 综上，实数的取值范围是 第13页（共14页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1讲 集合 题型一 集合的含义与表示 2 题型二 集合间的基本关系 5 题型三 集合的基本运算 8 课时精练 11 【基础回顾】 知识点1．集合与元素 (1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 集合 非负整数集(或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 知识点2．集合的基本关系 (1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)． (2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作A⫋B(或B ⫌A)． (3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. (4)空集：不含任何元素的集合叫作空集，记为∅.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 知识点3．集合的基本运算 表示 运算 集合语言 图形语言 记法 并集 {x|x∈A，或x∈B} A∪B 交集 {x|x∈A，且x∈B} A∩B 补集 {x|x∈U，且x∉A} ∁UA 【必备知识】 1．子集与真子集个数：若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集． 2．空集性质：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 3．交集和并集性质： A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A. 4．补集性质： ∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)． 题型一 集合的含义与表示 解决集合含义问题的关键点 (1)构成集合的元素必须确定． (2)确定元素的限制条件，元素不能重复． (3)根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题． 【例题精讲】 1．（2026·四川雅安·二模）下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，的唯一元素是零，而，所以，故A错误； 对于B，是无理数，是有理数集，故B错误； 对于C， 左边为数字集合，右边为点集，不是同类型，故C错误； 对于D，由集合的无序性可得D正确. 2．（2026·安徽滁州·一模）已知集合，若，且，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因式分解得；可得， 故集合； 因为且，所以，解得. 所以的取值范围是. 3．（2026·云南昆明·模拟预测）已知集合，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合中元素的特征，对集合中的元素逐一判断即可. 【详解】因为集合，且， 所以，对集合中的元素逐一判断， ，所以； ，所以； ，所以； ，所以； ，所以. 综上，. 4．（2026·湖北孝感·二模）如果集合只有一个元素，则实数的值是（   ） A．0或4 B．4 C．0或 D．0 【答案】C 【分析】分和两种情况讨论，当时，即可求出的值. 【详解】集合， 表示关于的方程的解集， 当时，解得，则，符合题意； 当时，，解得， 此时，符合题意, 综上可得或. 5．（25-26高一上·湖南邵阳·期末）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据元素和集合的关系逐项分析判断即可. 【详解】对于A，是负数，不是自然数，故错误； 对于B，因为集合A的元素是自然数，而{0}是一个集合，不是自然数，所以，故错误； 对于C，是无理数不是自然数，故错误； 对于D，因为，是无理数，故正确. 6．（2026·河南南阳·模拟预测）已知集合，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的定义，逐一分析集合中的元素是否满足条件. 【详解】集合中元素，，不满足，所以， 集合中元素，，不满足，所以， 集合中元素，，满足，所以， 集合中元素，，不满足，所以， 集合中元素，，满足，所以， 所以. 故选：A. 7．（2026高三上·广东湛江·专题练习）已知集合，若且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系求得的取值范围. 【详解】因为， 又且，则. 故选：D 8．（2026·湖南湘潭·二模）设不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合一元二次不等式的解法、元素与集合的关系求解即可. 【详解】由， 得，，，． 故选：A. 9．（25-26高一上·江苏苏州·月考）已知集合，且，则等于（    ） A． B． C．3 D．或 【答案】B 【分析】分别令和，求得a值，根据集合的互异性，分析即可得答案. 【详解】因为，当，即时， 集合，不满足互异性，不符合题意， 当时，解得或（舍）， 当时，集合，满足题意. 故选：B 10．（25-26高一上·天津南开·期中）已知集合，若，则实数的取值范围为（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，解出即可. 【详解】由，则，解得. 故选：A. 题型二 集合间的基本关系 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解． (2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题． 【例题精讲】 1．（2026·四川成都·模拟预测）若，则A的真子集个数为（   ） A．3 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【分析】根据真子集的定义求解即可. 【详解】因为集合，所以的真子集有共7个. 2．（2026·辽宁盘锦·二模）已知全集，集合，则的子集个数为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【详解】易知； 又，所以， 因此的子集个数为个. 3．（2026·河南·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，解得或，所以. 因为，所以或，解得或或. 经检验：当时，与集合中元素的互异性矛盾. 所以实数的取值集合为. 4．（2026·安徽淮南·二模）已知集合，⫋，则符合条件的集合的个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】集合， ，所以可能的取值为，，，即集合， 是的真子集， 因此集合的个数为. 5．(2026·淄博模拟)已知 ，则集合 的子集个数为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】 【分析】先求出集合 与集合 的交集,进而可得集合的子集个数. 【详解】因为 ,所以 , 进而 的子集个数为 . 故选: . 6．（2026·江苏镇江·二模）集合的子集个数是（    ） A．8 B．16 C．32 D．无数个 【答案】A 【详解】由，得，即， 解得，所以， 所以集合的子集个数是. 7．（2026·陕西·二模）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以. 因为，且， 所以，即实数的取值范围是. 8．（2026·陕西榆林·三模）集合的真子集的个数为______. 【答案】3 【分析】求解方程，确定集合中元素个数，再结合真子集个数公式即可求解. 【详解】方程可化为，解得或1， 则，故集合的真子集的个数为. 9．（2026·上海奉贤·二模）已知集合，，若，则实数________． 【答案】 【详解】因为，所以或， 解得，或， 当时，，集合中的元素不满足互异性，舍去； 当时，，满足题意，故 10．（2026·山东德州·一模）设集合，若，则__________. 【答案】 【分析】利用两个集合相等的定义结合集合的互异性求解. 【详解】，， 且且且， 或， 当时，且，，. 当时，解得，且，不成立. 综上可得，. 故答案为：. 题型三 集合的基本运算 对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况． 【例题精讲】 1．（2026·全国·二模）已知集合，，则（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由集合，， 根据集合并集的定义与运算，可得. 2．（2026·河北沧州·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解不等式得，故， ，故， 所以，即. 3．（2026·山西运城·二模）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别解不等式得到集合，再求并集即可． 【详解】由，解得或，则， 由，得，，解得，则， 所以． 4．（2026·重庆九龙坡·模拟预测）已知集合则x∈B是x∈U的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】本题考查知识点为集合的运算（补集）及充分、必要条件的判断，属于基础题.先求出全集与补集的元素，再根据充分、必要条件的定义进行判断. 【详解】先求全集解方程，，或，所以. 再求，由，根据补集的定义知，，则有. 充分性：若，则，显然，因此由能推出，即充分性成立； 必要性：若不能推出，必要性不成立，故A选项正确. 5．（2026·江苏扬州·模拟预测）已知集合，集合，为实数集，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件，用列举法先求出集合，再根据集合的补集求出集合，从而求出. 【详解】解：由题意得集合，集合， 所以. 6．（2026·湖南怀化·二模）已知集合，．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先通过解一元二次不等式得集合，再根据并集的定义可得. 【详解】由，解得，所以. 因为，所以，如图： 所以． 7．（2026·广西南宁·二模）已知集合，，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据交集运算结合空集的定义分析求解即可. 【详解】因为集合，，且， 可得，所以a的取值范围是. （多选）8．（2026·山西临汾·二模）若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】易知，即. ，即. A.，成立. B.因为，所以，不成立. C.或， ，成立. D.或， 或，成立. （多选）9．（2026·四川成都·模拟预测）已知集合，，则下列结论正确的是（   ） A．当时， B．， C．当且仅当时， D．，使得 【答案】AB 【分析】求直线交点坐标判断A；利用直线方程分析判断B；利用空集的定义，结合直线平行求解判断C；利用两条直线重合分析求解D. 【详解】对于A，当时，则，， 由，解得，因此，A正确； 对于B，直线过定点， 表示直线上所有的点，因此，B正确； 对于C，，若，则；若，则直线 与直线平行，且，于是，解得， 因此当或时，，C错误； 对于D，若，由选项C知，且，无解，D错误. （多选）10．（2026·陕西西安·模拟预测）已知全集，集合，，且，则（   ） A． B． C．中元素个数为 D． 【答案】BD 【分析】分析可知，所以方程有两个相异实根、，且、异号，结合全集中的元素可确定集合，结合韦达定理求出的值，再利用集合运算可判断BCD选项. 【详解】在集合中，因为，所以方程有两个相异实根， 设为、，由韦达定理可得，所以、异号，且， 因为全集的元素中两元素之积为的只有两组、和、， 所以或. 当时，，则， 所以，，； 当时，，则， 所以，，. 综上，则或，，中元素个数为，， 故A错误，B正确，C错误，D正确. 课时精练 一、单选题 1．（2026·江苏·二模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知集合，所以，即， 因为，所以. 2．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出，再根据交集的概念求解. 【详解】，故. 3．（2026·河北邢台·二模）已知集合，或，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】由题得，，，，只有选项D正确. 4．（2026·河南商丘·模拟预测）已知全集，集合，则的真子集个数为（   ） A．3 B．7 C．15 D．31 【答案】B 【详解】依题意，， 故，则的真子集个数为． 5．（2026·福建福州·模拟预测）满足⫋的集合的个数为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【详解】满足条件的集合有， ，共7个. 6．（2026·四川德阳·二模）已知集合，若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知集合， 因为，所以. 7．（2025·江西·三模）已知集合.若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解不等式求得集合，由已知可得，进而可求得的取值范围. 【详解】由，可得，解得，所以， 因为，所以，所以. 所以的取值范围为. 故选：A. 8．（2026·青海西宁·二模）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出集合，再利用集合间的关系，即可求解. 【详解】由，得到，解得，则, 又， 当时，，当时，，当时，， 又，当时，， 当时，， 由是任何集合的子集，可得满足条件， 综上所述，. 二、多选题 （多选）9．（2026·河南南阳·模拟预测）已知为全集，集合M，N，P均为非空集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据给定条件，利用韦恩图，结合集合运算逐一判断即可. 【详解】全集为，集合M，N，P均为非空集合，由作出如图所示的韦恩图： 由，得，而， 结合韦恩图，得不是的子集，，，不是的子集， 因此选项AD错误，选项BC正确. 故选：BC （多选）10．（2026·湖北十堰·一模）已知集合，若集合满足，则可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据题意化简集合，结合交集运算逐项分析判断. 【详解】对于选项A：若， 满足，符合题意，故A正确； 对于选项B：若， 则，不符合题意，故B错误； 对于选项C：若， 满足，符合题意，故C正确； 对于选项D：因为， 则，不符合题意，故D错误； 故选：AC. （多选）11．（25-26高一上·四川内江·月考）对任意，，记，并称为集合，的对称差.例如：若，，则.下列命题中，为真命题的是（   ） A．若，且，则 B．若，且，则 C．若，且，则 D．对任意，，都有 【答案】BCD 【分析】根据集合新定义，结合集合的交集、并集、补集之间的元素关系逐项判断即可. 【详解】对于A，因为⊕，所以,，故，故A错误； 对于B，，且⊕，则,， 即与是相同的，所以，故B正确； 对于C，，且⊕，则,， 故，且中元素不能出现在中，故，故C正确； 对于D，⊕,， 其中，， 故⊕，,， 而⊕,，故⊕⊕，故D正确． 故选：BCD． 三、填空题 12．（2026·上海杨浦·二模）设全集，，用列举法表示______. 【答案】 【分析】由集合的补集运算结合集合的表示法即可求解. 【详解】由题意得，则. 13．（2026·上海普陀·二模）设，集合，，若集合，且满足条件的A恰有2个，则a的取值范围为______. 【答案】或 【分析】由题意得出是一元集，然后按的正负或0分类讨论求解． 【详解】由题意的子集恰有2个，所以是一元集， 若，则，而，满足题意， 若，则，，此时，不合题意； 若，则，，只含一个元素，则， 综上，的取值范围是或． 14．（2026·云南红河·模拟预测）已知全集，集合均为的子集，且，则满足条件的集合的个数是_____ 【答案】 【详解】，，， 满足条件的集合的个数为. 四、解答题 15．（25-26高二下·上海·期中）已知不等式的解集为，不等式的解集为. (1)若，求； (2)若对任意实数，不等式均成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解不等式分别求出集合，可求得； （2）对参数的取值进行分类讨论，利用判别式以及二次函数性质解不等式可得结果. 【详解】（1）易知不等式等价于， 可得； 当时，不等式即为， 可得； 因此可得 （2）当时，不等式为恒成立； 当时，由恒成立可得，解得； 综上可得实数的取值范围为. 16．（25-26高一下·上海·期中）已知集合，其中为实数，集合. (1)若，求； (2)若非空集合，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解绝对值不等式和分式不等式求得集合，可求； （2）利用集合非空可得，由，可得，求解即可. 【详解】（1）若，由，得，解得，所以. 由，得，即，所以， 解得，，所以； （2）由（1）得， 因为集合为非空集合，所以， 由，得，解得，所以， 又，所以，解得，又，所以， 所以实数的取值范围. 17．（25-26高一下·上海杨浦·期中）已知集合 (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由，可得，即， 所以故 （2）由，可得，即 所以，解得或. 18．（25-26高二下·浙江舟山·期中）已知集合，． (1)若，求A，B及； (2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)，， (2) 【详解】（1）当时，由，解得， 所以，由，解得，所以， 所以． （2）由，解得，所以， 又“”是“”的充分条件，所以， 已知，则可得，解得， 所以a的取值范围为． 19．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考）已知集合，集合或 (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）求出时集合，再根据补集与并集的定义求解即可； （2）根据得到集合A与集合B没有公共元素，分类讨论求出的范围． 【详解】（1）时，集合或， 所以， 因为集合， 所以； （2），或，，两个集合均为非空数集， 因为，所以与没有公共元素. 当，即时，，此时，不合题意； 当，即时，，解得； 综上，实数的取值范围是 第13页（共14页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1讲 集合 题型一 集合的含义与表示 2 题型二 集合间的基本关系 3 题型三 集合的基本运算 4 课时精练 5 【基础回顾】 知识点1．集合与元素 (1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 集合 非负整数集(或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 知识点2．集合的基本关系 (1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)． (2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作A⫋B(或B ⫌A)． (3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. (4)空集：不含任何元素的集合叫作空集，记为∅.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 知识点3．集合的基本运算 表示 运算 集合语言 图形语言 记法 并集 {x|x∈A，或x∈B} A∪B 交集 {x|x∈A，且x∈B} A∩B 补集 {x|x∈U，且x∉A} ∁UA 【必备知识】 1．子集与真子集个数：若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集． 2．空集性质：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 3．交集和并集性质： A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A. 4．补集性质： ∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)． 题型一 集合的含义与表示 解决集合含义问题的关键点 (1)构成集合的元素必须确定． (2)确定元素的限制条件，元素不能重复． (3)根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题． 【例题精讲】 1．（2026·四川雅安·二模）下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·安徽滁州·一模）已知集合，若，且，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·云南昆明·模拟预测）已知集合，且，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026·湖北孝感·二模）如果集合只有一个元素，则实数的值是（   ） A．0或4 B．4 C．0或 D．0 5．（25-26高一上·湖南邵阳·期末）设集合，则（    ） A． B． C． D． 6．（2026·河南南阳·模拟预测）已知集合，且，则（    ） A． B． C． D． 7．（2026高三上·广东湛江·专题练习）已知集合，若且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·湖南湘潭·二模）设不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·江苏苏州·月考）已知集合，且，则等于（    ） A． B． C．3 D．或 10．（25-26高一上·天津南开·期中）已知集合，若，则实数的取值范围为（   ）. A． B． C． D． 题型二 集合间的基本关系 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解． (2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题． 【例题精讲】 1．（2026·四川成都·模拟预测）若，则A的真子集个数为（   ） A．3 B．8 C．7 D．6 2．（2026·辽宁盘锦·二模）已知全集，集合，则的子集个数为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 3．（2026·河南·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·安徽淮南·二模）已知集合，⫋，则符合条件的集合的个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．(2026·淄博模拟)已知 ，则集合 的子集个数为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6．（2026·江苏镇江·二模）集合的子集个数是（    ） A．8 B．16 C．32 D．无数个 7．（2026·陕西·二模）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2026·陕西榆林·三模）集合的真子集的个数为______. 9．（2026·上海奉贤·二模）已知集合，，若，则实数________． 10．（2026·山东德州·一模）设集合，若，则__________. 题型三 集合的基本运算 对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况． 【例题精讲】 1．（2026·全国·二模）已知集合，，则（ ）． A． B． C． D． 2．（2026·河北沧州·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·山西运城·二模）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026·重庆九龙坡·模拟预测）已知集合则x∈B是x∈U的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2026·江苏扬州·模拟预测）已知集合，集合，为实数集，则（   ） A． B． C． D． 6．（2026·湖南怀化·二模）已知集合，．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（2026·广西南宁·二模）已知集合，，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． （多选）8．（2026·山西临汾·二模）若集合，，则（   ） A． B． C． D． （多选）9．（2026·四川成都·模拟预测）已知集合，，则下列结论正确的是（   ） A．当时， B．， C．当且仅当时， D．，使得 （多选）10．（2026·陕西西安·模拟预测）已知全集，集合，，且，则（   ） A． B． C．中元素个数为 D． 课时精练 一、单选题 1．（2026·江苏·二模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2026·河北邢台·二模）已知集合，或，则（    ） A． B． C． D．或 4．（2026·河南商丘·模拟预测）已知全集，集合，则的真子集个数为（   ） A．3 B．7 C．15 D．31 5．（2026·福建福州·模拟预测）满足⫋的集合的个数为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 6．（2026·四川德阳·二模）已知集合，若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·江西·三模）已知集合.若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·青海西宁·二模）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 （多选）9．（2026·河南南阳·模拟预测）已知为全集，集合M，N，P均为非空集合，，则（    ） A． B． C． D． （多选）10．（2026·湖北十堰·一模）已知集合，若集合满足，则可以是（   ） A． B． C． D． （多选）11．（25-26高一上·四川内江·月考）对任意，，记，并称为集合，的对称差.例如：若，，则.下列命题中，为真命题的是（   ） A．若，且，则 B．若，且，则 C．若，且，则 D．对任意，，都有 三、填空题 12．（2026·上海杨浦·二模）设全集，，用列举法表示______. 13．（2026·上海普陀·二模）设，集合，，若集合，且满足条件的A恰有2个，则a的取值范围为______. 14．（2026·云南红河·模拟预测）已知全集，集合均为的子集，且，则满足条件的集合的个数是_____ 四、解答题 15．（25-26高二下·上海·期中）已知不等式的解集为，不等式的解集为. (1)若，求； (2)若对任意实数，不等式均成立，求实数的取值范围. 16．（25-26高一下·上海·期中）已知集合，其中为实数，集合. (1)若，求； (2)若非空集合，求实数的取值范围. 17．（25-26高一下·上海杨浦·期中）已知集合 (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 18．（25-26高二下·浙江舟山·期中）已知集合，． (1)若，求A，B及； (2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围． 19．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·月考）已知集合，集合或 (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $