精品解析：福建莆田市城厢区南门学校2025-2026学年度下学期期中质量检测试卷

南门学校2025-2026学年度下学期期中质量检测试卷 一、选择题（共10小题） 1. 在下列四个数：，，，中，属于无理数的是（ ） A. B. 0 C. D. 2. 下列方程中是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 生活中下列现象可以看作平移的是（ ） A. 在游乐场荡秋千 B. 翻开数学课本时书页的运动 C. 水平传送带上的物体的移动 D. 将一张纸对折 5. 下图中与“老鼠在猫的北偏西方向米处”这句话对应的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知点B的坐标为，直线轴，那么点A的坐标可能为（ ） A. B. C. D. 7. 对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点P是直线AB外一点，过点P分别作，，则点C、P、D三个点必在同一条直线上，其依据是（　　） A. 两点确定一条直线 B. 同位角相等，两直线平行 C. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D. 平行于同一条直线的两条直线平行 9. 我国明代数学著作《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出1间客房．设该店有客房间、房客人，则所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，长方形的两边分别在轴、轴上，点与原点重合，点，将矩形沿轴向右翻滚，经过一次翻滚点对应点记为，经过第二次翻滚点对应点记为…依此类推，经过2 025次翻滚后点 A 对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题） 11. 25的算术平方根是 _______ . 12. 如图，将长方形纸条折叠，若，则__________． 13. 已知a、b满足方程组，则3a+b的值为_____． 14. 将一个正方体木块静止放置在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，摩擦力的方向与斜面平行，支持力的方向与斜面垂直．若斜面的坡角，则支持力与重力方向的夹角的度数为____________． 15. 一个长方形在平面直角坐标系中，它的三个顶点的坐标分别为，，，则第四个顶点的坐标为__． 16. 如图，四边形中，，，的平分线交于点，连接，，的平分线交的延长线于点F，下列结论：；；平分；．其中正确的结论有__． 三、解答题（共9小题） 17. 计算：． 18. 解方程组：． 19. 已知的平方根是，的立方根是3．求的算术平方根． 20. 如图，，的平分线交于点F，交的延长线于点E，．求证：． 请将下面的证明过程补充完整： 证明：∵， ∴（理由：　　）． ∵平分， ∴　　　　． ∴． ∵， ∴， ∴　　　　（理由：　　）． ∴（理由：　　）． 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知A(﹣2，2)，B(2,0)，C(3，3)，P(a，b)是三角形ABC的边AC上的一点，把三角形ABC经过平移后得三角形DEF，点P的对应点为P′(a﹣2，b﹣4). （1）画出三角形DEF； （2）求三角形DEF的面积． 22. 我市某果园种植的“阳光玫瑰”葡萄品质优良，现某物流公司计划将一批葡萄运往外地市场．若租用3辆甲种货车和2辆乙种货车载满葡萄，一次可运走23吨；若租用2辆甲种货车和3辆乙种货车载满葡萄，一次可运走22吨．现有葡萄46吨，计划同时租用甲种货车m辆，乙种货车n辆，一次运完，且恰好每辆车都载满葡萄． 根据以上信息，解答问题： （1）1辆甲种货车和1辆乙种货车都载满葡萄一次可分别运送多少吨？ （2）该物流公司的租车方案有哪几种？ 23. 跟华罗庚学猜数： 据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319．希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙． 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： ①，， 又， ， 能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又， 能确定59319的立方根的个位数是9． ③若划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39． （1）现在换一个数50653，按这种方法求立方根，请完成下列填空： ①它的立方根是 位数；②它的立方根的个位数字是 ；③50653的立方根是 ． （2）求175616的立方根．（过程可按题目中的步骤写） 24. 在平面直角坐标系中，对于点，若点N的坐标为，则称点N是点M的“n阶智慧点”（其中n为常数）．例如：点的“1阶智慧点”为点，即点N的坐标为． （1）已知点M的坐标为，求点M的“2阶智慧点”的坐标； （2）将点先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到点，若点的“阶智慧点”在坐标轴上，求点的坐标； （3）已知，，在第一象限内是否存在横坐标为整数的点，它的“k阶智慧点（k为正整数）”N，使得四边形的面积为4？如果存在，请你求出k的值；如果不存在，请说明理由． 25. 已知直线，在三角形纸板中，，． （1）将三角板按图1放置，点E和点G分别在直线、上，若，则　　，　　； （2）将三角板EFG按图2放置，点E和点G分别在直线、上，交于点H，若，．试求α、β之间的数量关系； （3）在图2中，若，，将三角形绕点F以每秒的速度顺时针旋转一周，设运动时间为t秒．当三角形的两条直角边分别与平行时，求出相应t的值（直接写出答案）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南门学校2025-2026学年度下学期期中质量检测试卷 一、选择题（共10小题） 1. 在下列四个数：，，，中，属于无理数的是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判断选项． 【详解】解：是分数，是整数，是有限小数，三者都属于有理数， 是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数． 2. 下列方程中是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义逐项分析即可得解，熟练掌握二元一次方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、含一个未知数，不是二元一次方程，故不符合题意； B、是二元一次方程，故符合题意； C、是一元一次方程，故不符合题意； D、含未知数的项的从次数是2，不是二元一次方程，，故不符合题意； 故选：B． 3. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【详解】解：点的横坐标是正数，纵坐标是负数，所以点在第四象限． 4. 生活中下列现象可以看作平移的是（ ） A. 在游乐场荡秋千 B. 翻开数学课本时书页的运动 C. 水平传送带上的物体的移动 D. 将一张纸对折 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平移的概念，平移是平面内图形沿某一方向移动一定距离，运动过程中图形的方向保持不变，所有点移动方向和距离都一致，据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A、荡秋千是绕固定点的旋转运动，图形方向不断改变，不符合平移定义； 选项B、书页翻动是绕书脊的旋转运动，图形方向改变，不符合平移定义； 选项C、中水平传送带上的物体沿水平方向移动，所有点移动方向相同，图形方向不变，符合平移定义； 选项D、纸对折是翻折变换，图形方向改变，不符合平移定义． 5. 下图中与“老鼠在猫的北偏西方向米处”这句话对应的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是利用方向角与距离表示物体的位置，理解方向角的含义是解本题的关键．根据上北下南，左西右东，确定方向，再根据方向角与距离确定位置即可． 【详解】解：“老鼠在猫的北偏西方向米处”这句话对应的是：    故选：C． 6. 已知点B的坐标为，直线轴，那么点A的坐标可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，掌握与坐标轴平行的直线上点的坐标的特征是解题的关键； 根据平行于轴的直线上的点的横坐标相同解答． 【详解】直线轴， 点与点的横坐标相同， 点A的横坐标为， 结合选项可知，点A的坐标可能为． 故选：D． 7. 对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】能说明命题是假命题的反例，需要满足命题的条件，但不满足命题的结论，据此判断选项即可． 【详解】解：命题“如果，那么”的反例需要满足，且． ∵ 满足，且，满足条件但不满足结论， ∴ 是该假命题的反例． B选项，不满足，不符合要求； C选项，满足，且，符合命题结论，不符合要求； D选项，满足，且，符合命题结论，不符合要求． 8. 如图，点P是直线AB外一点，过点P分别作，，则点C、P、D三个点必在同一条直线上，其依据是（　　） A. 两点确定一条直线 B. 同位角相等，两直线平行 C. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D. 平行于同一条直线的两条直线平行 【答案】C 【解析】 【分析】根据过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行即可． 【详解】解：因为， ∴． 所以则点C、P、D三个点必在同一条直线上，理由：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 故选：C． 【点睛】本题考查过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，熟练掌握性质定理解答此题的关键． 9. 我国明代数学著作《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出1间客房．设该店有客房间、房客人，则所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据实际问题列二元一次方程组，解题的关键是找出两个等量关系. 根据“如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住”、“如果每一间客房住9人，那么就空出1间客房”分别列出方程，联立组成方程组． 【详解】解：设该店有客房间、房客人， 可列方程组， 故选： B． 10. 如图，长方形的两边分别在轴、轴上，点与原点重合，点，将矩形沿轴向右翻滚，经过一次翻滚点对应点记为，经过第二次翻滚点对应点记为…依此类推，经过2 025次翻滚后点 A 对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查动点坐标规律，读懂题意，理解图形从开始位置经过4次翻滚后点进行了一次循环回到对应位置是解决问题的关键． 根据题意，确定图形从开始位置经过4次翻滚后点进行了一次循环回到对应位置，从而结合长方形周长为，依据即可得到答案． 【详解】解：如图所示： ， ∴． 观察图形可知，经过4次翻滚后点进行了一次循环回到对应位置， ∵长方形的周长为：， 每一次完整循环，相当于对应点的横坐标，纵坐标保持不变， ，即经过了次完整的循环后再向前翻滚1次， ∴经过次翻滚后点对应点的坐标为，即， 故选B． 二、填空题（共6小题） 11. 25的算术平方根是 _______ . 【答案】5 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果，算术平方根只有一个正根． 【详解】解：∵52=25， ∴25的算术平方根是5， 故答案为：5． 【点睛】题目主要考查算术平方根的求法，熟练掌握算术平方根的计算方法是解题关键． 12. 如图，将长方形纸条折叠，若，则__________． 【答案】##64度 【解析】 【分析】本题考查的是邻补角的含义，折叠的性质，熟练的利用折叠的性质解题是关键．利用折叠的性质可得，结合与邻补角的含义可得答案． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 已知a、b满足方程组，则3a+b的值为_____． 【答案】8 【解析】 【详解】 ①×2+②得：5a=10，即a=2 将a=2代入①得：b=2 则3a+b=6+2=8 故答案为：8 14. 将一个正方体木块静止放置在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，摩擦力的方向与斜面平行，支持力的方向与斜面垂直．若斜面的坡角，则支持力与重力方向的夹角的度数为____________． 【答案】##155度 【解析】 【分析】过作，先求，再由两直线平行，同位角相等得到，结合求解． 【详解】如图，过作， 根据题意可知，， ， ， ， ， ． 15. 一个长方形在平面直角坐标系中，它的三个顶点的坐标分别为，，，则第四个顶点的坐标为__． 【答案】 【解析】 【分析】根据长方形对边平行于坐标轴的坐标特征，分析已知三个顶点的坐标关系，即可确定第四个顶点的横纵坐标． 【详解】解：设第四个顶点的坐标为，已知三个顶点坐标分别为，，，观察可得点与点的纵坐标相等，两点连线平行于轴， 点与点的横坐标相等，两点连线平行于轴， 根据长方形的性质，第四个顶点的横坐标与的横坐标相等，纵坐标与的纵坐标相等， 因此得，， 即第四个顶点的坐标为． 16. 如图，四边形中，，，的平分线交于点，连接，，的平分线交的延长线于点F，下列结论：；；平分；．其中正确的结论有__． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】由角平分线的定义，结合，可判断；由，结合平行线的性质，可判断；由角平分线的定义，结合平行线的性质，可判断；由，可得，，结合，可判断． 【详解】解：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴正确， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分， ∴正确， ∵平分， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴错误， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴正确． 三、解答题（共9小题） 17. 计算：． 【答案】3 【解析】 【详解】解： 18. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 由①得：， 把代入②式得： ， 解得， 把代入，得 ， 则方程组的解为：． 19. 已知的平方根是，的立方根是3．求的算术平方根． 【答案】3 【解析】 【详解】解：∵的平方根是， ∴， 解得， ∵27的立方根是3， ∴， ∴， ∴， ∴的算术平方根是3． 20. 如图，，的平分线交于点F，交的延长线于点E，．求证：． 请将下面的证明过程补充完整： 证明：∵， ∴（理由：　　）． ∵平分， ∴　　　　． ∴． ∵， ∴， ∴　　　　（理由：　　）． ∴（理由：　　）． 【答案】两直线平行，内错角相等；；；；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补． 【解析】 【分析】根据平行线的性质和判定证明即可． 【详解】证明：∵， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵平分， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，同旁内角互补）． 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知A(﹣2，2)，B(2,0)，C(3，3)，P(a，b)是三角形ABC的边AC上的一点，把三角形ABC经过平移后得三角形DEF，点P的对应点为P′(a﹣2，b﹣4). （1）画出三角形DEF； （2）求三角形DEF的面积． 【答案】（1）详见解析；（2）7. 【解析】 【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）利用边长分别为5和3的矩形的面积减去周围三角形面积进而得出答案． 【详解】解：（1）△DEF如图所示． （2）S△DEF′=5×3﹣×5×1﹣×4×2﹣×1×3 =15﹣2.5﹣4﹣1.5 =7． 【点睛】此题主要考查了平移变换以及四边形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键． 22. 我市某果园种植的“阳光玫瑰”葡萄品质优良，现某物流公司计划将一批葡萄运往外地市场．若租用3辆甲种货车和2辆乙种货车载满葡萄，一次可运走23吨；若租用2辆甲种货车和3辆乙种货车载满葡萄，一次可运走22吨．现有葡萄46吨，计划同时租用甲种货车m辆，乙种货车n辆，一次运完，且恰好每辆车都载满葡萄． 根据以上信息，解答问题： （1）1辆甲种货车和1辆乙种货车都载满葡萄一次可分别运送多少吨？ （2）该物流公司的租车方案有哪几种？ 【答案】（1）1辆甲种货车载满葡萄一次可运送5吨，1辆乙种货车载满葡萄一次可运送4吨； （2）该物流公司共有2种租车方案，方案1：租用2辆甲种货车，9辆乙种货车；方案2：租用6辆甲种货车，4辆乙种货车． 【解析】 【分析】（1）设1辆甲种货车载满葡萄一次可运送x吨，1辆乙种货车载满葡萄一次可运送y吨，由“租用3辆甲种货车和2辆乙种货车载满葡萄，一次可运走23吨；若租用2辆甲种货车和3辆乙种货车载满葡萄，一次可运走22吨”，列出二元一次方程组，解方程组即可得出结论； （2）由“现有葡萄46吨，计划同时租用甲种货车m辆，乙种货车n辆，一次运完，且恰好每辆车都载满葡萄”，列出二元一次方程，结合m、n均为正整数，即可得出各租车方案． 【小问1详解】 解：设1辆甲种货车载满葡萄一次可运送x吨，1辆乙种货车载满葡萄一次可运送y吨， 由题意得：， 解得：， 答：1辆甲种货车载满葡萄一次可运送5吨，1辆乙种货车载满葡萄一次可运送4吨； 【小问2详解】 解：由题意得：， ∴， 又∵m、n均为正整数， ∴或， ∴该物流公司共有2种租车方案， 方案1：租用2辆甲种货车，9辆乙种货车； 方案2：租用6辆甲种货车，4辆乙种货车． 23. 跟华罗庚学猜数： 据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319．希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙． 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： ①，， 又， ， 能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又， 能确定59319的立方根的个位数是9． ③若划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39． （1）现在换一个数50653，按这种方法求立方根，请完成下列填空： ①它的立方根是 位数；②它的立方根的个位数字是 ；③50653的立方根是 ． （2）求175616的立方根．（过程可按题目中的步骤写） 【答案】（1）①两；②7；③37 （2）56 【解析】 【分析】本题考查了立方根及数字常识，解决本题的关键是理解例题，并能根据例题的格式进行运算． （1）仿照例题，进行推理得结论； （2）先判断它们的立方根是几位数，再判断个位、十位上的数字，得结论． 【小问1详解】 ①，， 又， ， 能确定50653的立方根是个两位数． ②∵50653的个位数是3， 又， 能确定50653的立方根的个位数是7， ③如果划去50653后面的三位653得到数50， 而，则，可得， 由此能确定50653的立方根的十位数是3， 因此50653的立方根是37． 【小问2详解】 解：， 又， ， 能确定175616的立方根是个两位数 ∵175616的个位数是6， 又， 能确定175616的立方根的个位数是6， 如果划去175616后面的三位616得到数175， 而， 则， 可得， 由此能确定175616的立方根的十位数是5， 因此175616的立方根是56． 24. 在平面直角坐标系中，对于点，若点N的坐标为，则称点N是点M的“n阶智慧点”（其中n为常数）．例如：点的“1阶智慧点”为点，即点N的坐标为． （1）已知点M的坐标为，求点M的“2阶智慧点”的坐标； （2）将点先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到点，若点的“阶智慧点”在坐标轴上，求点的坐标； （3）已知，，在第一象限内是否存在横坐标为整数的点，它的“k阶智慧点（k为正整数）”N，使得四边形的面积为4？如果存在，请你求出k的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）存在 ，或2或3 【解析】 【分析】本题考查的是点的坐标，解题的关键是理解“I阶智慧点”的定义． （1）根据“2阶智慧点”的定义求解即可； （2）根据“阶智慧点”的定义列式求解即可； （3）根据四边形的面积为4，点，它的“k阶智慧点（k为正整数）”N，列出方程并求解即可． 【小问1详解】 解：由题可知，M的“2阶智慧点”的坐标，即 故答案为： 【小问2详解】 解：由题可知，即， 的“阶智慧点”， 即， ∵在坐标轴上， 或， 或， ∴或； 【小问3详解】 解：理由；存在： 为的阶智慧点，， ， 连结， ， ， ， ∵a为正整数，k是正整数 当时，； 当时，； 当时，（舍去） 当时，； 综上所述，或2或3 ． 25. 已知直线，在三角形纸板中，，． （1）将三角板按图1放置，点E和点G分别在直线、上，若，则　　，　　； （2）将三角板EFG按图2放置，点E和点G分别在直线、上，交于点H，若，．试求α、β之间的数量关系； （3）在图2中，若，，将三角形绕点F以每秒的速度顺时针旋转一周，设运动时间为t秒．当三角形的两条直角边分别与平行时，求出相应t的值（直接写出答案）． 【答案】（1），55 （2） （3）或或或 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理的应用，过“拐点”构造平行线是解题关键． （1）过F点作，根据、，，即可求解； （2）过F点作，根据、即可求解； （3）根据题意画出满足条件的几何图，分四种情况讨论，求出旋转的角度即可求解． 【小问1详解】 解：过F点作，如图所示： ∵，，， ∴， ∴，，， ∴； 故答案为：；55． 【小问2详解】 解：过F点作，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， 时，如图所示： 此时：， 旋转角度， ∴； 时，如图所示： 此时：旋转角度， ∴； 时，如图所示： 此时：， 旋转角度， ∴； 时，如图所示： 此时：， 旋转角度为：， ∴； 综上所述：的值为：或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $