福建莆田市城厢区南门学校2025-2026学年度下学期期中质量检测试卷

**基本信息** 初中数学期中试卷，以选择、填空、解答题覆盖实数、方程、几何等知识，融入《算法统宗》应用题、华罗庚猜数探究等素材，通过“n阶智慧点”等创新题型，培养抽象能力、推理意识与模型观念。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|10|无理数判断、二元一次方程、坐标系象限|结合生活平移实例（如传送带）考查几何直观| |填空题|6|算术平方根、折叠角度、方程组求解|斜面受力分析（物理情境）体现跨学科应用| |解答题|9|立方根探究、几何证明、租车方案设计|华罗庚猜数（数学文化）、“n阶智慧点”（创新模型）、几何旋转（空间观念）|

南门学校2025-2026学年度下学期期中质量检测试卷 一、选择题（共10小题） 1．在下列四个数：，0，，0.101001中，属于无理数的是（　　） A． B．0 C． D．0.101001 2．下列方程中是二元一次方程的是（　　） A．x2﹣4＝0 B．x﹣y＝5 C．x+1＝0 D．xy＝3 3．在平面直角坐标系中，点（2，﹣1）所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．生活中下列现象可以看作平移的是（　　） A．在游乐场荡秋千 B．翻开数学课本时书页的运动 C．水平传送带上的物体的移动 D．将一张A4纸对折 5．如图中与“老鼠在猫的北偏西35°方向50米处”这句话对应的是（　　） A． B． C． D． 6．已知点B的坐标为（﹣3，﹣4），直线AB∥y轴，那么点A的坐标可能为（　　） A．（4，﹣3） B．（3，﹣4） C．（3，4） D．（﹣3，4） 7．对于命题“如果a＜1，那么a2＜1”能证明它是假命题的反例是（　　） A．a＝﹣2 B．a＝2 C． D．a＝0 8．如图，点P是直线AB外一点，过点P分别作CP∥AB，PD∥AB，则点C、P、D三个点必在同一条直线上，其依据是（　　） A．两点确定一条直线 B．同位角相等，两直线平行 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．平行于同一条直线的两条直线平行 9．我国明代数学著作《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出1间客房．设该店有客房x间、房客y人，则所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 10．如图，长方形ABCD的两边BC、CD分别在x轴、y轴上，点C与原点重合，点A（﹣1，2），将矩形ABCD沿x轴向右翻滚，经过一次翻滚点A对应点记为A1，经过第二次翻滚点A对应点记为A2…依此类推，经过2025次翻滚后点A对应点A2025的坐标为（　　） A．（3035，2） B．（3038，1） C．（3033，2） D．（3041，1） 二、填空题（共6小题） 11．25的算术平方根是　 　 ． 12．如图，将长方形纸条折叠，若∠1＝58°，则∠2＝　 　 °． 13．已知a，b满足方程组，则3a + b的值为 14．将一个正方体木块静止放置在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，摩擦力f的方向与斜面平行，支持力F的方向与斜面垂直．若斜面的坡角∠1＝25°，则支持力F与重力G方向的夹角∠2的度数为　 　 ． 15．一个长方形在平面直角坐标系中，它的三个顶点的坐标分别为（﹣3，﹣1），（2，﹣1）（2，2），则第四个顶点的坐标为　 　 ． 16．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠1＝∠2，∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE，CE⊥BE，∠DCE的平分线交BE的延长线于点F，下列结论：①AD∥BC；②∠F＝∠1+∠3；③CE平分∠BCD；④∠4＝3∠3．其中正确的结论有　 　 ． 3、 解答题（共9小题 17．计算： + 2 + . 18． 解方程组： 19．已知x﹣9的平方根是±3，x+y的立方根是3．求x﹣y的算术平方根． 20．如图，AD∥BC，∠BAD的平分线交CD于点F，交BC的延长线于点E，∠CFE＝∠E． 求证：∠B+∠BCD＝180°． 请将下面的证明过程补充完整： 证明：∵AD∥BC， ∴∠DAE ＝∠E（理由：　 　 ）． ∵AE平分∠BAD， ∴　 　 ＝　 　 ． ∴∠BAE＝∠E． ∵∠CFE＝∠E， ∴∠CFE＝∠BAE， ∴　 　 ∥　 　 （理由：　 　 ）． ∴∠B+∠BCD＝180°（理由：　 　 ）． 21．如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，2），B（2，0），C（3，3），P（a，b）是三角形ABC的边AC上的一点，把三角形ABC经过平移后得到三角形DEF，点P的对应点为P′（a﹣2，b﹣4）． （1）画出三角形DEF； （2）求三角形DEF的面积． 22．我市某果园种植的“阳光玫瑰”葡萄品质优良，现某物流公司计划将一批葡萄运往外地市场．若租用3辆甲种货车和2辆乙种货车载满葡萄，一次可运走23吨；若租用2辆甲种货车和3辆乙种货车载满葡萄，一次可运走22吨．现有葡萄46吨，计划同时租用甲种货车m辆，乙种货车n辆，一次运完，且恰好每辆车都载满葡萄． 根据以上信息，解答问题： （1）1辆甲种货车和1辆乙种货车都载满葡萄一次可分别运送多少吨？ （2）该物流公司的租车方案有哪几种？ 23．跟华罗庚学猜数： 据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙． 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： ①∵，，又∵1000＜59319＜1000000， ∴，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又∵93＝729．∴能确定59319的立方根的个位数是9． ③若划去59319后面的三位319得到数59，而＜＜，则，可得， 由此确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39， （1）现在换一个数50653，按这种方法求立方根，请完成下列填空： ①它的立方根是 　 　 位数；②它的立方根的个位数字是 　 　 ；③50653的立方根是 　 　 ． （2）求175616的立方根．（过程可按题目中的步骤写） 24．在平面直角坐标系中，对于点M（x，y），若点N的坐标为（nx﹣y，x+ny），则称点N是点M的“n阶智慧点”（其中n为常数）．例如：点M（2，3）的“1阶智慧点”为点N（1×2﹣3，2﹣1×3），即点N的坐标为（﹣1，5）． （1）已知点M的坐标为（3，2），求点M的“2阶智慧点”的坐标； （2）将点M（d﹣1，3d+2）先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到点M1，若点M1的“﹣2阶智慧点”M2在坐标轴上，求点M2的坐标； （3）已知C（1，0），D（0，1），在第一象限内是否存在横坐标为整数的点M（a，2），它的“k阶智慧点（k为正整数）”N，使得四边形CODN的面积为4？如果存在，请你求出k的值；如果不存在，请说明理由． 25．已知直线AB∥CD，在三角板EFG中，∠F＝90°，∠EGF＝30°． （1）将三角板EFG按图1放置，点E和点G分别在直线AB、CD上，若∠DGF＝25°，则∠AEF＝ 　 　 °，∠BEG＝ 　 　 °； （2）将三角板EFG按图2放置，点E和点G分别在直线AB、CD上，GF交AB于点H，若∠DGF＝α，∠BEF＝β．试求α、β之间的数量关系； （3）在图2中，若∠AEF＝20°，∠AEG＝40°，将三角形EFH绕点F以每秒10°的速度顺时针旋转一周，设运动时间为t秒．当三角形EFH的两条直角边分别与GE平行时，求出相应t的值（直接写出答案）． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 南门学校2025-2026学年度下学期期中质量检测试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D C C D A C B B 11. 5 12. 64 13. 8 14. 155° 15. （﹣3，2） 16. 原式 = 3 + 2 + （-2） = 3 17. 解得： 18. 解：∵x﹣9的平方根是±3， ∴x﹣9＝9， 解得x＝18， ∵27的立方根是3， ∴x+y＝27， ∴y＝9， ∴x﹣y的平方根是±3． 20．如图，AD∥BC，∠BAD的平分线交CD于点F，交BC的延长线于点E，∠CFE＝∠E． 求证：∠B+∠BCD＝180°． 请将下面的证明过程补充完整： 证明：∵AD∥BC， ∴　∠DAE ＝∠E（理由：　两直线平行，内错角相等　 ）． ∵AE平分∠BAD， ∴　∠DAE ＝　∠BAE ． ∴∠BAE＝∠E． ∵∠CFE＝∠E， ∴∠CFE＝∠BAE， ∴AB ∥CD （理由：　同位角相等，两直线平行　 ）． ∴∠B+∠BCD＝180°（理由：　两直线平行，同旁内角互补　 ）． 21. 解：（1）由题意得，三角形ABC向左平移2个单位长度，向下平移4个单位长度得到三角形DEF， 如图，三角形DEF即为所求． （2）由图可得，D（﹣4，﹣2），E（0，﹣4），F（1，﹣1）． （3）三角形DEF的面积为＝7． 22. 解：（1）设1辆甲种货车载满葡萄一次可运送x吨，1辆乙种货车载满葡萄一次可运送y吨， 由题意列二元一次方程组得：， 解得， 即1辆甲种货车载满葡萄一次可运送5吨，1辆乙种货车载满葡萄一次可运送4吨， 答：1辆甲种货车载满葡萄一次可运送5吨，1辆乙种货车载满葡萄一次可运送4吨； （2）由题意列二元一次方程得：5m+4n＝46， ∴， 又∵m、n均为正整数， ∴或， ∴该物流公司共有2种租车方案， 方案1：租用2辆甲种货车，9辆乙种货车； 方案2：租用6辆甲种货车，4辆乙种货车． 23.解：（1）①∵，， 又∵1000＜50653＜1000000， ∴10＜＜100， ∴能确定50653的立方根是个两位数． ②50653的个位数是3， 又∵73＝343． ∴能确定50653的立方根的个位数是7． ③若划去50653后面的三位563得到数50，而＜＜，则3＜＜4，可得30＜＜40， 由此确定50653的立方根的十位数是3，因此50653的立方根是37， 故答案为：2，7，37； （2）①∵，， 又∵1000＜175616＜1000000， ∴10＜＜100， ∴能确定50653的立方根是个两位数． ②175616的个位数是6， 又∵63＝216． ∴能确定175616的立方根的个位数是6． ③若划去175616后面的三位616得到数175，而＜＜，则5＜＜6，可得50＜＜60， 由此确定175616的立方根的十位数是5，因此175616的立方根是56． 24.解：（1）由题可知，M的“2阶智慧点”的坐标（2×3﹣2，3+2×2），即（4，7） 故答案为：（4，7） （2）由题可知M1（d﹣1+3，3d+2﹣2），即M1（d+2，3d）， ∴M1的“﹣2阶智慧点”M2[﹣2（d+2）﹣3d，（d+2）+（﹣2）×3d]， 即M2（﹣5d﹣4，﹣5d+2）， ∵M2在坐标轴上， ∴﹣5d﹣4＝0或﹣5d+2＝0， ∴或， ∴M2（0，6）或M2（﹣6，0）； （3）理由；在第一象限内存在横坐标为整数的点M（a，2），它的“k阶智慧点（k为正整数）”N，使得四边形CODN的面积为4； ∵N为M（a，2）的k阶智慧点， ∴N（ka﹣2，a+2k）， 连结ON， ∴ ∵S四边形CODN＝4， ∴ka﹣2+a+2k＝8， ∴， ∵a为正整数，k是正整数， 当a＝4时，； 当a＝1时，； 当a＝2时，； 当a＝3时，（舍去）， 综上所述，k＝1或2或3． 25.解：（1）如图，过点F作FL∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥FL∥CD， ∴∠AEF＝∠EFL，∠BEG＝∠DGE，∠LFG＝∠DGF＝25°， ∴∠EFL＝∠F﹣∠LFG＝90°﹣25°＝65°， ∴∠AEF＝65°， ∴∠BEG＝∠DGE＝∠EGF+∠DGF＝30°+25°＝55°， 故答案为：65；55； （2）如图，过点F作直线MN∥AB， 则∠NFE+∠BEF＝180°， 又∵∠BEF＝β， ∴∠NFE＝180°﹣∠BEF＝180°﹣β， 又∵AB∥CD， ∴MN∥CD， ∴∠MFG+∠DGF＝180°， 又∵∠DGF＝α， ∴∠MFG＝180°﹣∠DGF＝180°﹣α， ∵∠MFG+∠GFE+∠NFE＝180°+∠GFE＝90°， ∴（180°﹣α）+90°+（180°﹣β）＝180°， 即α+β＝270°． （3）t的值为3或12或21或30． ∵△EFH的两条直角边分别与GE平行， ∴FH'∥EG，E′F∥EG． 分类讨论如下： ①如图，当FH′∥EG时，延长FH'交AB于点M， 则∠FME＝∠AEG， 又∵∠AEG＝40°， ∴∠FME＝40°， 又∵∠FME+∠MFE+∠AEF＝180°，∠AEF＝20°， ∴∠MFE＝180°﹣∠AEF﹣∠FME＝120°， 又∵∠HFE＝90°， ∴∠BFF＝95°，∠MFH＝∠MFE﹣∠HFE＝30°， 又∵△EFH绕点F以每秒10°的速度顺时针旋转一周， ∴此时t＝30°÷10°＝3； 当△EFH再绕点F顺时针旋转180°时，FH'//EG， 此时t＝3+180°÷10°＝21； ②如图，当E′F∥EG时，设FE'交AB于点N， 同理得∠NFE＝120°， ∴t＝120°÷10°＝12； 当△EFH再绕点F顺时针旋转180°时，FE'//EG， 此时t＝12+180°÷10°＝30； 综上，t的值为3或12或21或30． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $