3.1 导数的概念、运算及几何意义 导学案——2027届高三数学一轮复习

第一节　导数的概念、运算及几何意义 知识清单 1.导数的概念 (1)平均变化率：对于函数y＝f(x)，我们把比值，即叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率． 剖析　Δx可以是正值，也可以是负值，但不为0. (2)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率叫做函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝. (3)导函数：当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)，y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝. 2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的________，相应的切线方程为______________________________________________________． 剖析　(1)曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线是指P为切点，斜率为f′(x0)的切线，具有唯一性． (2)曲线y＝f(x)过点P(x0，f(x0))的切线，点P不一定是切点，切线可能有多条． 3．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝________ f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f′(x)＝________ f(x)＝sin x f′(x)＝________ f(x)＝cos x f′(x)＝________ f(x)＝ax(a＞0，且a≠1) f′(x)＝________ f(x)＝ex f′(x)＝________ f(x)＝loga x(a＞0，且a≠1) f′(x)＝________ f(x)＝ln x f′(x)＝________ 4.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有 [f(x)±g(x)]′＝________________； [f(x)g(x)]′＝________________________； ＝(g(x)≠0)； [cf(x)]′＝________． 5．复合函数的定义及其导数 复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)， u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝________，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 【常用结论】 1．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． 2．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 自主诊断 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(　　) (2)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．(　　) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(　　) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(　　) 2．(人教A版选修二P70练习T2)函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是(　　) A．f′(1)＞f′(2)＞f′(3)＞0 B．f′(1)＜f′(2)＜f′(3)＜0 C．0＜f′(1)＜f′(2)＜f′(3) D．f′(1)＞f′(2)＞0＞f′(3) 3．(人教A版选修二P81习题T1，2改编)下列求导运算正确的是(　　) A．(ln 2)′＝ B．(3x＋log3x)′＝(3x＋x)ln 3 C．′＝ D．′＝ 4．(人教A版选修二P81习题T4(2))函数f(x)＝x ln x在点(1，0)处的切线方程为________________________________________________________________________． 考教衔接·活用教材　探究式精练 收获一个“赢” 命题点一　导数的概念及运算 例1：(1)已知f′(x)是f(x)的导函数，且f′(1)＝3，则＝(　　) A．3　　　B．6 C．－6　　　D．－ (2)(多选)下列求导运算中错误的是(　　) A．′＝ B．′＝ C．(x2cos x)′＝－2x sin x D．(ln 2＋log2x)′＝ [笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 笔记：(1)由导数的定义可知，若函数y＝f(x)在x＝x0处可导，则f′(x0)＝，它仅与x0有关，与Δx无关，因此使用导数的定义时要明确公式的形式，当分子为f(1－Δx)－f(1)时，分母也应该是(1－Δx) －1，要注意公式的变形． (2)求复合函数的导数应分清复合关系，适当选定中间变量，分层求导． 跟踪训练　(1)函数y＝x－cos (2x－1)的导数为(　　) A．y′＝1－sin (2x－1) B．y′＝1＋sin (2x－1) C．y′＝1－2sin (2x－1) D．y′＝1＋2sin (2x－1) (2)若函数f(x)＝6x3－2f′(1)x，则f′(1)＝__________． 命题点二　导数的几何意义及应用 考向1　求切点坐标 例2：已知直线y＝x是曲线f(x)＝ln x＋a的切线，则切点的坐标为(　　) A．(－1，1) B．(1，1) C．(－2，1) D．(2，1) [笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 笔记：已知在某点处的切线方程(或斜率)求切点，先求导再让导数等于切线的斜率，求出切点的横坐标，再代入函数解析式求出切点的纵坐标． 跟踪训练　曲线y＝xex－x在点P处切线的斜率为－1，则P的坐标为(　　) A．(－1，－1) B． C．(1，e－1) D．(1，2e－1) 考向2　求切线方程 例3：函数f(x)＝，则曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　　) A．　　　B． C．　　　D． (2)曲线y＝ln |x|过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________． 笔记：(1)在点P处的切线方程为y－f(x0)＝f ′(x0)·(x－x0)． (2)求过点P的切线方程的步骤． 第一步：设出切点坐标P ′(x1，f(x1))； 第二步：写出在点P ′(x1，f(x1))处的切线方程y－f(x1)＝f ′(x1)(x－x1)； 第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程，求出x1； 第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f ′(x1)·(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程． 跟踪训练　(1)函数f(x)＝的图象在点(1，f(1))处的切线方程为(　　) A．3x－6y－1＝0 B．4x－9y－1＝0 C．3x－3y－2＝0 D．5x－9y－2＝0 (2)过点(1，6)且与曲线y＝2x3＋4相切的直线方程为(　　) A．6x－y＝0 B．9x－y－3＝0 C．6x－y＝0或3x－2y＋9＝0 D．9x－y－3＝0或3x＋2y－15＝0 考向3　求参数的值或取值范围 例4：(1)(链接·2025年全国Ⅰ卷)若直线y＝2x＋5是曲线y＝ex＋x＋a的切线，则a＝________. (2)(链接·2022年新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________． [笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　真题探源　(源自人教A版选修二P82T11)设曲线y＝e2ax在点(0，1)处的切线与直线2x－y＋1＝0垂直，求a的值． 笔记：利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围． 第一节　导数的概念、运算及几何意义 必备知识·助学教材 知识清单 2．斜率　y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0) 3．0　αxα-1　cos x　－sin x　ax ln a　ex　 4．f′(x)±g′(x)　f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)　cf′(x) 5．y′u·u′x 自主诊断 1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．解析：由函数f(x)的图象可知，∵当x≥0时，f(x)单调递增，∴f′(1)，f′(2)，f′(3)＞0，∵随着x的增大，曲线在每个点处的斜率在逐渐减小，即导函数是单调递减的，∴f′(1)＞f′(2)＞f′(3)＞0.故选A. 答案：A 3．解析：(ln 2)′＝0，A错误；(3x＋log3x)′＝3x ln 3＋，B错误；′＝ex，C错误；′＝，D正确．故选D. 答案：D 4．解析：因为f′(x)＝ln x＋1，所以f′(1)＝1，所以函数f(x)＝x ln x在点(1，0)处的切线方程为y－0＝1×(x－1)，即x－y－1＝0. 答案：x－y－1＝0 考教衔接·活用教材 例1　解析：(1)因为f′(1)＝＝ ＝3，所以＝－6.故选C.(2)对于A，′＝，故A错误；对于B，′＝′＝，故D错误．故选ACD. 答案：(1)C　(2)ACD 跟踪训练　解析：(1)依题意，y′＝1＋sin (2x－1)·(2x－1)′＝1＋2sin (2x－1)．故选D. (2)f′(x)＝18x2－2f′(1)，则f′(1)＝18－2f′(1)，解得f′(1)＝6. 答案：(1)D　(2)6 例2　解析：由f(x)＝ln x＋a，则f′(x)＝，设直线y＝x与曲线f(x)＝ln x＋a相切的切点为(x0，ln x0＋a)，则根据题意可知＝1且ln x0＋a＝x0，解得a＝x0＝1，代入f(x)＝ln x＋1得f(1)＝1，故B正确．故选B. 答案：B 跟踪训练　解析：y′＝(x＋1)ex－1，令(x＋1)ex－1＝－1，则(x＋1)ex＝0，故x＝－1，当x＝－1时，y＝－e-1－(－1)＝1－，即P的坐标为.故选B. 答案：B 例3　解析：(1)f′(x)＝，则f′(0)＝＝3，即该切线方程为y－1＝3x，即y＝3x＋1，令x＝0，则y＝1，令y＝0，则x＝－，故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积S＝.故选A. (2)当x>0时，y＝ln x，y′＝.假设此时直线与曲线y＝ln x相切于点(x1，ln x1)(x1>0)，则此时切线方程为y－ln x1＝.若该切线经过原点，则ln x1－1＝0，解得x1＝e，此时切线方程为y＝.当x<0时，y＝ln (－x)，y′＝.假设此时直线与曲线y＝ln (－x)相切于点(x2，ln (－x2))(x2<0)，则此时切线方程为y－ln (－x2)＝－1＝0，解得x2＝－e，此时切线方程为y＝－. 答案：(1)A　(2)y＝　y＝－ 跟踪训练　解析：(1)f′(x)＝，所以f′(1)＝，又f(1)＝，则切线方程为y＝(x－1)＋，即4x－9y－1＝0.故选B. (2)设切点为，因为y′＝6x2，所以y′|x＝＝6，所以曲线y＝2x3＋4在点处的切线方程为y－＝(x－x0)．又该切线经过点(1，6)，所以6－＝(1－x0)，整理得(x0－1)2(2x0＋1)＝0，解得x0＝1或x0＝－，所以切线方程为6x－y＝0或3x－2y＋9＝0.故选C. 答案：(1)B　(2)C 例4　解析：(1)方法一　对于y＝ex＋x＋a，其导数为y′＝ex＋1，因为直线y＝2x＋5是曲线的切线，直线的斜率为2，令y′＝ex＋1＝2，即ex＝1，解得x＝0，将x＝0代入切线方程y＝2x＋5，可得y＝2×0＋5＝5，所以切点坐标为(0，5)，因为切点(0，5)在曲线y＝ex＋x＋a上，所以5＝e0＋0＋a，即5＝1＋a，解得a＝4. 方法二　对于y＝ex＋x＋a，其导数为y′＝ex＋1，假设y＝2x＋5与y＝ex＋x＋a的切点为(x0，y0)，则解得a＝4. (2)设切线的切点坐标为(x0，y0)．令f(x)＝(x＋a)ex，则f′(x)＝(x＋1＋a)ex，f′(x0)＝.因为y0＝，切线过原点，所以f′(x0)＝，即，整理得＋ax0－a＝0.由题意知该方程有两个不同的实数根，所以Δ＝a2＋4a＞0，解得a＜－4或a＞0. 答案：(1)4　(2)(－∞，－4)∪(0，＋∞) 真题探源　解析：∵y＝e2ax，∴y′＝e2ax·(2ax)′＝2a·e2ax，∴在点(0，1)处的切线斜率k＝y′|x＝0＝2ae0＝2a.又∵该切线与直线2x－y＋1＝0垂直，∴2a×2＝－1，∴a＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $