专题06一元一次不等式 专项训练（15大核心题型精讲+分层训练突破）-2025-2026学年苏科版数学七年级下学期.

**基本信息** 覆盖16类题型，构建“概念-求解-应用”三阶逻辑体系，典例融合生活情境与几何背景，培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|2类/3题|不等式及一元一次不等式定义辨析|从数学概念生成，夯实基础认知| |求解与表示|4类/12题|解集求解、整数解、数轴表示及最值|体现运算能力，衔接数形结合| |不等式组|3类/9题|组的定义、求解及整数解|从单一不等式拓展到组合应用| |参数与综合|7类/21题|参数求解、方程组结合、实际问题及方案选择|培养推理意识，强化跨情境应用|

专题06一元一次不等式专项训练 题型梳理归纳 题型1.不等式相关概念辨析 题型2.一元一次不等式定义辨析 题型3.求解一元一次不等式的解集 题型4.求一元一次不等式的整数解 题型5.在数轴上表示一元一次不等式的解集 题型6.求一元一次不等式解的最值 题型7. 一元一次不等式组定义辨析 题型8.求解一元一次不等式组的解集 题型9.求一元一次不等式组的整数解 题型10.由不等式（组）的解集求参数 题型11.由不等式组解集的存在情况求参数 题型12.不等式组与方程组结合的问题 题型13.列一元一次不等式（组）解实际问题 题型14.用一元一次不等式解决几何问题 题型15不等式组的方案选择问题 题型16分层精练 核心题型精讲 题型1.不等式相关概念辨析 1．一组“数值转换机”按如图所示的程序计算，如果开始输入的值是，则最终输出的结果是（   ） A． B． C． D． 2．如果关于的不等式的解集是，那么，满足的等量关系是________，的取值范围是________． 3．根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法： (1)若，则a__________b； 若，则a__________b； 若，则a__________b；（填“”、“”或“”） (2)这种比较大小的方法称为“求差法”，请尝试用这种方法比较与的大小． 题型2.一元一次不等式定义辨析 1．国家卫健委发布的《成人肥胖食养指南（2024版）》中提到：减重期间饮食要清淡，严格控制脂肪/油、盐、添加糖的摄入量，每天添加糖的摄入量最好控制在以下．若设每日添加糖的摄入量为x（），则x满足的不等关系为（   ） A． B． C． D． 2．当_________时，不等式是一元一次不等式． 3．若不等式3（x﹣1）≤mx2+nx﹣3是关于x的一元一次不等式，求m、n的取值． 题型3.求解一元一次不等式的解集 1．已知关于x，y的方程组，若方程组的解满足，则m的最小整数值为（   ） A． B． C．0 D．1 2．已知关于，的方程组，以下结论：①当时，方程组的解也是方程的解；②，互为相反数；③若，则；④若，则；⑤无论取什么实数，的值始终不变．其中正确的是________． 3．解不等式，并求出最大整数解． 题型4.求一元一次不等式的整数解 1．若不等式的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式的（    ） A．最小整数解是0 B．最小整数解是 C．最大整数解是0 D．最大整数解是 2．对于x，符号表示不大于x的最大整数，如：，，则满足的x的整数解是________． 3．在解方程组时，甲正确解得方程组的解为；乙由于粗心看错了方程组中的，从而得到解为． (1)求的值； (2)求不等式的正整数解． 题型5.在数轴上表示一元一次不等式的解集 1．不等式的解集在数轴上表示为（  ） A． B． C． D． 2．关于x的不等式的解集在数轴上表示如图，则__________． 3．按要求解答 (1)解二元一次方程组： (2)解二元一次方程组： (3)解不等式并把解集在数轴上表示出来：； (4)解不等式并把解集在数轴上表示出来： 题型6.求一元一次不等式解的最值 1．已知是不等式的一个解，则整数的最小值为（   ） A．6 B．5 C． D． 2．当_________时，有最小值，最小值是_________； 3．已知、满足和，求的最小值． 题型7. 一元一次不等式组定义辨析 1．下列不等式组中，不是一元一次不等式组的是（ ） （） ()()() A．() B．() C．()、() D．()、() 2．我们规定任意两点M、N之间的距离记作，已知点A在数轴上，对应的数是，点B在数轴上对应的点是1；如果点Q在数轴上，而且满足，请用不等式表示出所有符合条件的点Q所对应数x的范围______． 3．规定：{x}表示不小于x的最小整数，如{4}=4，{}=，{}=．在此规定下任意数x都能写出如下形式：，其中. (1)直接写出的大小关系： ； (2)根据（1）中的关系式解决下列问题： ①满足的x的取值范围是 ； ②求适合的x的值． 题型8.求解一元一次不等式组的解集 1．若关于的不等式组的解集是，则的值为（   ）． A． B． C． D． 2．已知关于、的方程组，解满足不等式，则__________． 3．求不等式组：的所有正整数解． 题型9.求一元一次不等式组的整数解 1．方程组有正整数解，则整数的个数是（    ） A． B． C． D． 2．如图是某个一元一次不等式的解集在数轴上的表示，若该不等式恰有三个非负整数解，则a的取值范围是__________． 3．解下列不等式． (1)解不等式：，并把解集表示在数轴上； (2)求不等式的负整数解． 题型10.由不等式（组）的解集求参数 1．已知不等式组的解集为，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2026 2．已知不等式组的解集为，则的值为______． 3．已知关于的不等式组．解答下列问题： (1)解不等式①，得_____； 解不等式②，得_____；（用含的代数式表示） (2)如果该不等式组的解集如图所示，求的值； (3)若该不等式组恰有两个整数解，请直接写出的取值范围． 题型11.由不等式组解集的存在情况求参数 1．若关于的不等式组有且只有4个整数解，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 2．已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是__________． 3．已知关于x的不等式． (1)若不等式与该不等式的解集相同，求a的值； (2)若该不等式的最小整数解也是关于x的方程的解，求m的值． 题型12.不等式组与方程组结合的问题 1．已知关于x，y的方程组的解满足，，若k为整数，且关于k的不等式的解集为，则k的值为（    ） A．1 B． C． D． 2．已知关于，的二元一次方程组的解满足，那么的取值范围为_______． 3．已知关于x、y的方程满足方程组，若x、y均为非负数． (1)求m的取值范围； (2)化简式子． 题型13.列一元一次不等式（组）解实际问题 1．某中学在五一到来之际组织了一场以“强国有我”为主题的知识竞赛，这次竞赛共20道题，评分标准是____，小刚在这次竞赛中有2题未答，已知他的总分不低于80分，那么小刚至少答对的题数是多少？若设小刚答对了x道题目，可列不等式，则此次知识竞赛的评分标准是（   ）． A．答对1题给5分，答错1题扣2分，不答题不给分也不扣分． B．答对1题给5分，答错1题不扣分，不答题扣2分． C．答对1题给5分，答错1题或不答题扣2分． D．答对1题给5分，答错1题或不答题不给分也不扣分． 2．在某次航空航天知识竞赛中，共有25道单项选择题，答对一题得4分，不答或答错一题，扣2分．若飞飞同学要想达到及格分（满分100分，60分为及格线），则她至少要答对________题． 3．新疆是我国棉花的主要产地之一．近年来，机械化采棉已经成为新疆棉采摘的主要方式．某个种棉大户租用8台大、小两种型号的采棉机，就完成了棉田的采摘．已知每台大型采棉机完成棉田的采摘，每台小型采棉机完成棉田的采摘． (1)这个种棉大户租用了大、小型采棉机各多少台； (2)若租用的采棉机全部工作，为保障设备稳定运行，采棉机定时休息，降温维保，要求每台采棉机每天工作时间不超过休息时间的3倍，则每天每台采棉机工作多长时间，采摘棉田最多，并求出每天最多可采摘棉田多少公顷（一天为24小时）． 题型14.用一元一次不等式解决几何问题 1．用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（　　） A． B． C． D． 2．若点P为数轴上一个定点，点M为数轴上一点将M，P两点的距离记为MP．给出如下定义：若MP小于或等于k，则称点M为点P的k可达点． 例如：点O为原点，点A表示的数是1，则O，A两点的距离为1，1＜2，即点A可称为点O的2可达点． （1）如图，点B1，B2，B3中，___是点A的2可达点； （2）若点C为数轴上一个动点， ①若点C表示的数为﹣1，点C为点A的k可达点，请写出一个符合条件的k值 ___； ②若点C表示的数为m，点C为点A的2可达点，m的取值范围为 ___； （3）若m≠0，动点C表示的数是m，动点D表示的数是2m，点C，D及它们之间的每一个点都是点A的3可达点，写出m的取值范围 ___． 3．如图，在中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度运动，到达点时停止．设点运动的时间为秒． (1)点整个运动过程中，共需____秒； (2)当的面积为时，求的值； (3)当的面积大于时，求的取值范围． 题型15不等式组的方案选择问题 1．为了更好治理西太湖水质，保护环境，市治污公司决定购买10台污水处理设备，现有A、B两种型号的设备．经调查：购买3台A型设备和2台B型设备一共26万元，购买2台A型设备比购买4台B型设备少4万元． (1)求A型、B型设备每台各是多少钱； (2)经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过54万元，并且A型设备的数量不少于B型设备的数量，则有哪几种购买方案？请写出最省钱的一种购买方案，并写出相应的费用． 2．为助力乡村农产品外销，某物流企业调配运输车辆．调研发现，辆型货车与辆型货车一次可运货吨；辆型货车与辆型货车一次可运货吨． (1)求辆型货车和辆型货车分别能运货多少吨？ (2)该企业计划用这两种货车共辆运输这批农产品，每辆型货车运输一次费用为元，每辆型货车运输一次费用为元．若型货车数量不低于辆，总费用不超过元，请列出所有运输方案，并指出哪种方案费用最少，最少费用是多少？ 3．小王周末参与2025年湖南足球超级联赛（简称“湘超”）的赛事文创推广社会实践活动，负责筹备湘超主题周边产品，已知4个纪念徽章的成本与5个吉祥摆件的成本相同；采购3个纪念徽章和10个吉祥摆件成本总共需要220元． (1)求每个纪念徽章和每个吉祥摆件的成本； (2)若小王计划用不超过1744元购进这两种产品共100个，购进的吉祥摆件数量不多于纪念徽章数量的2倍，那么小王有多少种采购方案？请问哪种方案最省钱？ 分层精练 一、单选题 1．已知实数满足：，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 2．关于x，y的方程组满足不等式，则m的范围是（   ） A． B． C． D． 3．为紧急安置100名灾民，需要同时搭建可容纳6人和4人的两种帐篷，每个帐篷都住满，则搭建方案有（    ） A．7 种 B．8种 C．9种 D．10 种 4．不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 5．关于x的不等式组有且仅有2个奇数解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．若关于x、y的二元一次方程组的解满足，则k的取值范围为__________ 7．把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余6本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人可以分到书本但不足3本，这些书有__________本． 8．以下说法正确的是：_______. ①由，得；②由，得 ③由，得；④由，得 ⑤和互为相反数；⑥是不等式的解 9．一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以的平均速度用到达目的地．如果该司机原路返回甲地用时不超过，他返程的平均速度不能小于________． 10．关于x的不等式的最大正整数解是__________． 三、解答题 11．解不等式，并在数轴上把解集表示出来． 12．有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上2，同时区就会自动减去1，且均显示计算结果．已知A，两区初始显示的数分别是和7． (1)按键1次后，求A，两区显示的结果的和； (2)若按键次后，A区的结果大于区的结果，求的最小值． 13．已知关于x，y的方程组的解x，y满足． (1)求a的取值范围； (2)已知，求b的取值范围． 14．国家一直倡导节能减排，改善环境，大力扶持新能源汽车的销售，某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车．上周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元；本周已售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元． (1)求每辆A型车和B型车的售价各为多少万元？ (2)甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，且A型号车不少于2辆，购车费不少于130万元，则有哪几种购车方案？ (3)已知每辆A型车的进价为15万元，每辆B型车的进价为20万元，在（2）的购车方案中，哪种方案的利润最高？最高利润是多少万元？ 15．阅读下列材料，解答下面的问题： 我们知道方程有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解． 例：由， 得：（x，y为正整数）． 要使为正整数， 则为正整数，可知：x为3的倍数，从而， 代入． 所以的正整数解为． 问题： (1)请你直接写出方程的正整数解________； (2)若为整数，则满足条件的整数x的值为_______． (3)笔记本单价为3元，钢笔单价为5元，七年级某班为了奖励学习有进步的学生，花费35元购买奖品，问有哪几种购买方案？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06一元一次不等式 专项训练 题型梳理归纳 题型1.不等式相关概念辨析 题型2.一元一次不等式定义辨析 题型3.求解一元一次不等式的解集 题型4.求一元一次不等式的整数解 题型5.在数轴上表示一元一次不等式的解集 题型6.求一元一次不等式解的最值 题型7. 一元一次不等式组定义辨析 题型8.求解一元一次不等式组的解集 题型9.求一元一次不等式组的整数解 题型10.由不等式（组）的解集求参数 题型11.由不等式组解集的存在情况求参数 题型12.不等式组与方程组结合的问题 题型13.列一元一次不等式（组）解实际问题 题型14.用一元一次不等式解决几何问题 题型15不等式组的方案选择问题 题型16.分层精练15道题 核心题型精讲 题型1.不等式相关概念辨析 1．一组“数值转换机”按如图所示的程序计算，如果开始输入的值是，则最终输出的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了程序流程图、代数式求值、不等式等知识点，理解流程图是解题的关键． 先把代入可得，由；再把代入可得；由，重复计算，直到，方可输出． 【详解】解：把代入可得，由； ∴把代入可得，由； 把代入可得，由； 把代入可得，由，输出． 故选C． 2．如果关于的不等式的解集是，那么，满足的等量关系是________，的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了解不等式，不等式的性质，根据题意得出，，即可求解． 【详解】因为不等式的解集是， 所以，， 所以，． 故答案为：，． 3．根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法： (1)若，则a__________b； 若，则a__________b； 若，则a__________b；（填“”、“”或“”） (2)这种比较大小的方法称为“求差法”，请尝试用这种方法比较与的大小． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据等式和不等式的基本性质逐一判断即可； （2）求出与的差，根据差的正负判断即可． 【详解】（1）解：， ， ； ， ， ； ， ， ． （2）解： ， ， ． 题型2.一元一次不等式定义辨析 1．国家卫健委发布的《成人肥胖食养指南（2024版）》中提到：减重期间饮食要清淡，严格控制脂肪/油、盐、添加糖的摄入量，每天添加糖的摄入量最好控制在以下．若设每日添加糖的摄入量为x（），则x满足的不等关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查不等式，准确理解题意是解题的关键．根据题意进行求解即可． 【详解】解：每天添加糖的摄入量最好控制在以下， 故， 故选：B． 2．当_________时，不等式是一元一次不等式． 【答案】2 【分析】根据一元一次不等式的定义，只含有一个未知数，未知数的最高次数为1，且未知数的系数不为0，列出关系式求解即可． 【详解】解：不等式是一元一次不等式， ， 解得：． 3．若不等式3（x﹣1）≤mx2+nx﹣3是关于x的一元一次不等式，求m、n的取值． 【答案】m=0， n≠3． 【分析】根据一元一次不等式的定义知道二次项系数为零，一次项系数不为零，即可求出m、n的取值. 【详解】解∵不等式3（x﹣1）≤mx2+nx﹣3是关于x的一元一次不等式， ∴二次项系数为零，一次项系数不为零， 又∵3（x﹣1）≤mx2+nx﹣3化简为: mx2+(n-3)x≥0 ∴解得：m=0，n﹣3≠0． 故m=0，n≠3． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的定义（只有一个未知数，且未知数的次数为1，系数为零，左右两边为整式），熟记一元一次不等式的定义是解题的关键. 题型3.求解一元一次不等式的解集 1．已知关于x，y的方程组，若方程组的解满足，则m的最小整数值为（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】利用整体变形得到关于的表达式，再代入不等式得到的取值范围，即可求出的最小整数值． 【详解】解：， 得：， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴的最小整数值为． 2．已知关于，的方程组，以下结论：①当时，方程组的解也是方程的解；②，互为相反数；③若，则；④若，则；⑤无论取什么实数，的值始终不变．其中正确的是________． 【答案】③④⑤ 【分析】先求解方程组，用k表示的x与y，即，再逐一判断各结论即可． 【详解】解： 得 ，得 将代入①，得 即方程组的解为， ①当时，，，则 ，故①错误； ②若，互为相反数，则，而 ，故②错误； ③若，则 ，整理得，解得，故③正确； ④若，则 ，移项得 ，系数化为1,得，故④正确； ⑤ ，无论k取何值，的值恒为1，始终不变，故⑤正确． 故答案为③④⑤ 3．解不等式，并求出最大整数解． 【答案】；最大整数解为 【分析】首先解不等式，然后确定不等式的解集中的最大整数解即可． 【详解】解：去括号得， 移项、合并同类项得，， 系数化为1得，， ∴最大整数解为． 题型4.求一元一次不等式的整数解 1．若不等式的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式的（    ） A．最小整数解是0 B．最小整数解是 C．最大整数解是0 D．最大整数解是 【答案】A 【分析】先根据数轴确定不等式的解集，然后结合各选项即可解答． 【详解】解：由数轴可知：， ∴有最小整数解为0． 2．对于x，符号表示不大于x的最大整数，如：，，则满足的x的整数解是________． 【答案】9 【分析】根据题意列出不等式组，求出整数解即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ， ∴x的整数解是9． 3．在解方程组时，甲正确解得方程组的解为；乙由于粗心看错了方程组中的，从而得到解为． (1)求的值； (2)求不等式的正整数解． 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）将代入即可求解； （2）将代入，将代入，得到关于的二元一次方程组，求出，再解不等式即可． 【详解】（1）解：将代入 有， ； （2）解：将代入，得， 将代入，得， ∴， 解得： ， 解得：， ∵为正整数， ． 题型5.在数轴上表示一元一次不等式的解集 1．不等式的解集在数轴上表示为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出不等式的解集即可判断． 【详解】解：， 去括号得，， 移项并合并同类项得，， 系数化为1得，． 2．关于x的不等式的解集在数轴上表示如图，则__________． 【答案】4 【分析】先解不等式可得，再根据题意可得不等式的解集为，从而可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：， 解得，， 由题意得：不等式的解集为， ∴， 解得． 3．按要求解答 (1)解二元一次方程组： (2)解二元一次方程组： (3)解不等式并把解集在数轴上表示出来：； (4)解不等式并把解集在数轴上表示出来： 【答案】(1) (2) (3)，数轴表示见解析 (4)，数轴表示见解析 【详解】（1）解： 得： 解得 将代入①得： 解得， ∴方程组的解为：； （2）解： 整理得， 得： 解得 将代入①得： 解得， ∴方程组的解为：； （3）解： ， 数轴表示如下： （4）解： ， 数轴表示如下： 题型6.求一元一次不等式解的最值 1．已知是不等式的一个解，则整数的最小值为（   ） A．6 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的解，解一元一次不等式确定最小值，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 将不等式的解代入得出关于k的不等式，再求出解集，确定答案即可． 【详解】解：∵是不等式的一个解， ∴， 解得， ∴整数k的最小值是6． 故选：A． 2．当_________时，有最小值，最小值是_________； 【答案】 7 【分析】根据题意以及绝对值的非负性，再利用分类讨论的数学思想可以解答本题． 【详解】当x>3时， 当时， =7； 当x<-4时， 当时，有最小值7． 故答案为：；7． 【点睛】本题考查了绝对值相关最值的求解，涉及不等式运算，解答本题的关键是明确绝对值的定义，利用分类讨论的数学思想解答． 3．已知、满足和，求的最小值． 【答案】3 【分析】解方程组得出，再根据知，解之即可． 【详解】解方程组，得， ∵， ∴，即， 解得：， ∴的最小值为3． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式，正确解方程组和不等式是解题的关键． 题型7. 一元一次不等式组定义辨析 1．下列不等式组中，不是一元一次不等式组的是（ ） （） ()()() A．() B．() C．()、() D．()、() 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义，根据一元一次不等式组的定义进行判断即可，正确理解一元一次不等式组的定义是解题的关键． 【详解】解：根据一元一次不等式组的概念，可知（）、（）、（）是一元一次不等式组，（）中含有两个未知数，且最高次数为，故不是一元一次不等式组， 故选：． 2．我们规定任意两点M、N之间的距离记作，已知点A在数轴上，对应的数是，点B在数轴上对应的点是1；如果点Q在数轴上，而且满足，请用不等式表示出所有符合条件的点Q所对应数x的范围______． 【答案】 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，有理数的减法等知识，分“当点Q在A点的左边，即时，当点Q在线段上，当点Q在B点的右边”三种情况讨论即可得解，运用数形结合与分类讨论思想解题是解题的关键． 【详解】解：当点Q在A点的左边，即时，； 当点Q在线段上，即时，； 当点Q在B点的右边，即时，； 故答案为： 3．规定：{x}表示不小于x的最小整数，如{4}=4，{}=，{}=．在此规定下任意数x都能写出如下形式：，其中. (1)直接写出的大小关系： ； (2)根据（1）中的关系式解决下列问题： ①满足的x的取值范围是 ； ②求适合的x的值． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】此题主要考查了一元一次不等式组的应用，利用已知得出不等式组是解题关键. （1）利用，其中得出，进而得出答案； （2）①利用（1）中所求得出，进而得出即可； ②利用（1）中所求得出，进而得出即可. 【详解】（1）解：由题意可得：； 故答案为：； （2）①， ∴， 解得，， 故答案为； ②∵， 由（1）得：，且为整数， ， 解得： 整数是2或3， 当时，得， 当时，得， 适合的的值是或. 题型8.求解一元一次不等式组的解集 1．若关于的不等式组的解集是，则的值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据已知解集对应端点，建立关于的方程，求出的值后即可计算． 【详解】解：解不等式组， 解不等式，得：， 解不等式，得：， ∵不等式组的解集是， ∴，解得， ∴． 2．已知关于、的方程组，解满足不等式，则__________． 【答案】 【分析】先得出方程组的解为，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：由可得：， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 3．求不等式组：的所有正整数解． 【答案】1，2，3 【详解】解：解不等式①，得，     解不等式②，得，     ∴不等式组的解集为，     ∴不等式组的所有正整数解为1，2，3． 题型9.求一元一次不等式组的整数解 1．方程组有正整数解，则整数的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用消元法得到关于的表达式，变形后根据条件筛选出符合要求的整数，统计个数即可. 【详解】解：， ①②得 ， 解得 ， 由②得 ， ∵方程组有正整数解，为整数， ∴均为正整数，只需为正整数， ∴为正整数，且， ∴是的正约数，且， ∴的可能取值为， ∴对应整数为，共个． 2．如图是某个一元一次不等式的解集在数轴上的表示，若该不等式恰有三个非负整数解，则a的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据数轴可得，再由不等式有三个非负整数解得到这三个非负整数解是0，1，2，据此可得答案． 【详解】解析：由数轴可得，， 该不等式恰有三个非负整数解，这三个非负整数解是0，1，2， ． 故选：B． 3．解下列不等式． (1)解不等式：，并把解集表示在数轴上； (2)求不等式的负整数解． 【答案】(1)，见解析 (2)， 【分析】（1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次不等式，再把解集表示在数轴上即可； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次不等式，再写出它的负整数解即可． 【详解】（1）解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 把解集表示在数轴上如下： ． （2）解：， 两边同乘以6去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 所以这个不等式的负整数解为，． 题型10.由不等式（组）的解集求参数 1．已知不等式组的解集为，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2026 【答案】B 【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，得到含a、b的解集，结合已知解集求出a、b的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：， 解不等式①得 ， 解不等式②得 ，不等号两边同除以，得， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得，， ∴． 2．已知不等式组的解集为，则的值为______． 【答案】4 【分析】根据不等式组的解集求出a、b的值，再代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：解不等式组得， ∵不等式组的解集为 ∴， ∴， ∴． 3．已知关于的不等式组．解答下列问题： (1)解不等式①，得_____； 解不等式②，得_____；（用含的代数式表示） (2)如果该不等式组的解集如图所示，求的值； (3)若该不等式组恰有两个整数解，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（）解两个一元一次不等式，得到各自解集； （）结合数轴解集与含参数解集，列方程求； （）根据整数解个数，列不等式求的范围． 【详解】（1）解：解不等式①，得， 移项得：， 即：， 解得：； 解不等式②，得， 移项得：， 两边同除以，得； （2）解：由数轴可得，不等式组的解集为， 结合（）的结论，不等式组解集为， ∴， 解得：． （3）解：不等式组的解集为， 大于的连续整数从小到大依次为：， 若不等式组恰有两个整数解，则这两个整数为、， ∴， 解得：． 题型11.由不等式组解集的存在情况求参数 1．若关于的不等式组有且只有4个整数解，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解不等式组可得解集为，再根据不等式组有且只有4个整数解，即可求解． 【详解】解：由不等式组得：， 又∵不等式组有且只有4个整数解， ∴这4个整数是、0、1、2， ∴， 解得：． 2．已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是__________． 【答案】 【分析】先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据“不等式组无解”的条件，即两个解集没有公共部分，列出关于的不等式，求解即可． 【详解】解：解不等式：， ， ； 解不等式：， ， 不等式组无解， ， 解得． 3．已知关于x的不等式． (1)若不等式与该不等式的解集相同，求a的值； (2)若该不等式的最小整数解也是关于x的方程的解，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先分别求出两个一元一次不等式的解集，依据解集相等建立等式，解方程即可求出字母a的值． （2）先求出原不等式解集，确定其最小整数解，再将该整数解代入一元一次方程，进而求出字母m的值． 【详解】（1）解：解不等式， 解得， 解不等式，得 ， 两个不等式的解集相同， ， 解得； （2）由（1）知：的解集为， 该不等式的最小整数解为， 将代入，得： ， 解得． 题型12.不等式组与方程组结合的问题 1．已知关于x，y的方程组的解满足，，若k为整数，且关于k的不等式的解集为，则k的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解含有参数的二元一次方程组和一元一次不等式组，根据题意，求出k的范围是解题的关键．先求出关于x，y的方程组的解，再根据，，列不等式求出k的范围，再根据关于k的不等式的解集为，可得，进一步缩小k的范围，最后再根据k为整数，即可得出k的值． 【详解】解：解方程组，得， ∵，， ∴， 解得， 又∵关于k的不等式的解集为：， ∴， 解得， ∴k的范围为． 又∵k为整数， ∴． 故选：B． 2．已知关于，的二元一次方程组的解满足，那么的取值范围为_______． 【答案】 【分析】先利用整体的思想求出，从而可得，进而可得，进一步进行计算，即可解答． 【详解】解：， 得：， 解得：， ∵， ∴， ∴， 解得：． 3．已知关于x、y的方程满足方程组，若x、y均为非负数． (1)求m的取值范围； (2)化简式子． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先解方程组可得，然后根据已知易得，从而可得，最后进行计算即可解答； （2）先判断和的正负，然后根据绝对值的意义化简即可． 【详解】（1）解：， 解得， ∵均为非负数， ∴， 即， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴ ． 题型13.列一元一次不等式（组）解实际问题 1．某中学在五一到来之际组织了一场以“强国有我”为主题的知识竞赛，这次竞赛共20道题，评分标准是____，小刚在这次竞赛中有2题未答，已知他的总分不低于80分，那么小刚至少答对的题数是多少？若设小刚答对了x道题目，可列不等式，则此次知识竞赛的评分标准是（   ）． A．答对1题给5分，答错1题扣2分，不答题不给分也不扣分． B．答对1题给5分，答错1题不扣分，不答题扣2分． C．答对1题给5分，答错1题或不答题扣2分． D．答对1题给5分，答错1题或不答题不给分也不扣分． 【答案】A 【分析】根据不等式中各项的含义，分别分析答对、答错、未答题的计分规则，从而确定评分标准． 【详解】解：已知一共20道题，2题未答，答对道，则答错的题目数量为， 不等式中： 表示答对道题，1题得5分的总得分； 表示答错道题，1题扣2分的扣分； 未答的2道题，式子中未涉及加减，说明不答题不给分也不扣分， 因此评分标准为：答对1题给5分，答错1题扣2分，不答题不给分也不扣分． 2．在某次航空航天知识竞赛中，共有25道单项选择题，答对一题得4分，不答或答错一题，扣2分．若飞飞同学要想达到及格分（满分100分，60分为及格线），则她至少要答对________题． 【答案】19 【分析】设出答对题目的数量，根据得分不低于及格分列出一元一次不等式，求解后取符合题意的最小整数即可． 【详解】解：设飞飞答对道题，则不答或答错的题数为道，根据题意得 解得： ∵为正整数， ∴的最小值为， 故她至少要答对19道题． 3．新疆是我国棉花的主要产地之一．近年来，机械化采棉已经成为新疆棉采摘的主要方式．某个种棉大户租用8台大、小两种型号的采棉机，就完成了棉田的采摘．已知每台大型采棉机完成棉田的采摘，每台小型采棉机完成棉田的采摘． (1)这个种棉大户租用了大、小型采棉机各多少台； (2)若租用的采棉机全部工作，为保障设备稳定运行，采棉机定时休息，降温维保，要求每台采棉机每天工作时间不超过休息时间的3倍，则每天每台采棉机工作多长时间，采摘棉田最多，并求出每天最多可采摘棉田多少公顷（一天为24小时）． 【答案】(1)这个种棉大户租用了大型采棉机台、小型采棉机台 (2)每天每台采棉机工作小时，采摘棉田最多，每天最多可采摘棉田公顷 【分析】（1）设这个种棉大户租用了大型采棉机台、则小型采棉机台，根据“就完成了棉田的采摘”列方程求解即可； （2）设每天每台采棉机工作小时，则休息时间为小时，每天可采摘棉田公顷，根据“每台采棉机每天工作时间不超过休息时间的3倍”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设这个种棉大户租用了大型采棉机台、则小型采棉机台， 由题意得， 解得， ， ∴这个种棉大户租用了大型采棉机台、小型采棉机台； （2）解：设每天每台采棉机工作小时，则休息时间为小时，每天可采摘棉田公顷， ∵每台采棉机每天工作时间不超过休息时间的3倍， ∴， 解得， ∴每天每台采棉机工作小时，采摘棉田最多，每天最多可采摘棉田公顷． 题型14.用一元一次不等式解决几何问题 1．用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意和图形列出不等式即可解得． 【详解】根据题意和图形可得， 解得：， 故选：D 【点睛】此题考查了不等式的应用，解题的关键是根据题意列出不等式． 2．若点P为数轴上一个定点，点M为数轴上一点将M，P两点的距离记为MP．给出如下定义：若MP小于或等于k，则称点M为点P的k可达点． 例如：点O为原点，点A表示的数是1，则O，A两点的距离为1，1＜2，即点A可称为点O的2可达点． （1）如图，点B1，B2，B3中，___是点A的2可达点； （2）若点C为数轴上一个动点， ①若点C表示的数为﹣1，点C为点A的k可达点，请写出一个符合条件的k值 ___； ②若点C表示的数为m，点C为点A的2可达点，m的取值范围为 ___； （3）若m≠0，动点C表示的数是m，动点D表示的数是2m，点C，D及它们之间的每一个点都是点A的3可达点，写出m的取值范围 ___． 【答案】 、/B3、B2 3 【分析】（1）分别求两点间距离，满足≤2即可； （2）①求得CA两点间距离为2，k≥2即可；②表示CA的距离为，列不等式求解即可； （3）根据题意，，列不等式计算． 【详解】解：（1）由题意知：2，2，2， ∴、是点A的2可达点， 故填：、； （2）①当点C表示的数为﹣1时，≤，故k＝3， 故填：3； ②当点C表示的数为m时，≤2，解得：， 故填：； （3）由题意知：，， 即：，， 解得：， 故填：． 【点睛】本题考查两点间距离、不等式的应用，正确理解题意是关键． 3．如图，在中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度运动，到达点时停止．设点运动的时间为秒． (1)点整个运动过程中，共需____秒； (2)当的面积为时，求的值； (3)当的面积大于时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)当或时，的面积为 (3)当时，的面积大于 【分析】（1）根据，，可以求出点运动的路程，根据点运动速度即可求出需要的时间； （2）当点在上运动时，，则有，根据三角形的面积公式可得，解方程即可求出的值；当点在上运动时，，则有，根据三角形的面积公式可得，解方程即可求出的值； （3）当点在上运动时，可得，当点在上运动时，可得，解不等式即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：在中，，，， ， 点的运动速度为个单位长度每秒， 点整个运动过程中，共需秒； （2）解：当点在上运动时，， 则有， ， 解得：； 当点在上运动时，， 则有， ， 解得：； 综上所述，当或时，的面积为； （3）解：当点在上运动时，， 则有， ， 解得：， 当点在上运动时，， 则有， ， 解得：， 当时，的面积大于． 题型15不等式组的方案选择问题 1．为了更好治理西太湖水质，保护环境，市治污公司决定购买10台污水处理设备，现有A、B两种型号的设备．经调查：购买3台A型设备和2台B型设备一共26万元，购买2台A型设备比购买4台B型设备少4万元． (1)求A型、B型设备每台各是多少钱； (2)经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过54万元，并且A型设备的数量不少于B型设备的数量，则有哪几种购买方案？请写出最省钱的一种购买方案，并写出相应的费用． 【答案】(1)A型设备每台6万元，B型设备每台4万元． (2)共有三种购买方案：①购买A型设备5台，B型设备5台；②购买A型设备6台，B型设备4台；③购买A型设备7台，B型设备3台． 最省钱的购买方案为购买A型设备5台，B型设备5台，相应费用为50万元． 【分析】（1） 设购买A型的价格是x万元，购买B型的设备y万元，根据购买3台A型设备和2台B型设备一共26万元，购买2台A型设备比购买4台B型设备少4万元可列方程组求解； （2）设购买A型号设备x台，则B型为台，根据市治污公司购买污水处理设备的资金不超过54万元，并且A型设备的数量不少于B型设备的数量，可列不等式组求解． 【详解】（1）解：设A型设备每台万元，B型设备每台万元，则 ， 解得∶ ， 故A型设备每台6万元，B型设备每台4万元． （2）解：设购买污水处理设备A型设备x台，B型设备台， 根据题意得，， 解得：， ∵为整数， ∴x为5、6，7． 购买方案：①购买A型设备5台，B型设备5台；费用为（万元）， ②购买A型设备6台，B型设备4台；费用为（万元）， ③购买A型设备7台，B型设备3台；费用为（万元）， 最省钱的购买方案为购买A型设备5台，B型设备5台，相应费用为50万元． 2．为助力乡村农产品外销，某物流企业调配运输车辆．调研发现，辆型货车与辆型货车一次可运货吨；辆型货车与辆型货车一次可运货吨． (1)求辆型货车和辆型货车分别能运货多少吨？ (2)该企业计划用这两种货车共辆运输这批农产品，每辆型货车运输一次费用为元，每辆型货车运输一次费用为元．若型货车数量不低于辆，总费用不超过元，请列出所有运输方案，并指出哪种方案费用最少，最少费用是多少？ 【答案】(1) 辆型货车能运货吨，辆型货车能运货吨 (2) 共有三种运输方案：方案：型货车辆，型货车辆；方案：型货车辆，型货车辆；方案：型货车辆，型货车辆；安排型货车辆，型货车辆时总费用最少，最少费用为元 【分析】（1）设未知数，根据题干给出的两种运货总量关系列出二元一次方程组，求解得到结果； （2）设型货车的数量，进而表示出型货车的数量，根据“型货车数量不低于辆”和“总费用不超过元”列出不等式组，求出整数解得到所有方案，再计算各方案的总费用，比较得到最少费用． 【详解】（1）解：设辆型货车能运货吨，辆型货车能运货吨， 根据题意得，，解得． 答：辆型货车能运货吨，辆型货车能运货吨； （2）解：设安排型货车辆，则安排型货车辆， 根据题意得，解得， 为正整数， 的取值为，，， 共有三种运输方案： 方案：型货车辆，型货车辆，总费用为（元）； 方案：型货车辆，型货车辆，总费用为（元）； 方案：型货车辆，型货车辆，总费用为（元）， ， 方案的总费用最少． 答：共有三种运输方案：方案：型货车辆，型货车辆；方案：型货车辆，型货车辆；方案：型货车辆，型货车辆；安排型货车辆，型货车辆时总费用最少，最少费用为元． 3．小王周末参与2025年湖南足球超级联赛（简称“湘超”）的赛事文创推广社会实践活动，负责筹备湘超主题周边产品，已知4个纪念徽章的成本与5个吉祥摆件的成本相同；采购3个纪念徽章和10个吉祥摆件成本总共需要220元． (1)求每个纪念徽章和每个吉祥摆件的成本； (2)若小王计划用不超过1744元购进这两种产品共100个，购进的吉祥摆件数量不多于纪念徽章数量的2倍，那么小王有多少种采购方案？请问哪种方案最省钱？ 【答案】(1)每个纪念徽章成本为元，每个吉祥摆件成本为元 (2)小王共有种采购方案，其中购进纪念徽章个、吉祥摆件个的方案最省钱 【分析】（1）根据题干给出的两个等量关系，设未知数列二元一次方程组求解，得到两种产品的成本； （2）根据总费用不超过1744元，吉祥摆件数量不超过纪念徽章数量2倍两个限制条件，列一元一次不等式组，求出符合条件的正整数解的个数得到采购方案数量，计算出每种方案所需费用，比较大小即可． 【详解】（1）解：设每个纪念徽章成本为x元，每个吉祥摆件成本为y元， 根据题意可得 ， 解得． 答：每个纪念徽章成本为20元，每个吉祥摆件成本为16元． （2）解：设购进纪念徽章m个，则购进吉祥摆件 个，m为正整数， 根据题意可得， 解得， 因为m为正整数， 所以m的取值为34，35，36，共3种采购方案， 设总费用为W元，则， 时，； 时，； 时，； 可得当时，W取得最小值，此时． 答：小王有3种采购方案，其中购进纪念徽章34个、吉祥摆件66个的方案最省钱． 分层精练 一、单选题 1．已知实数满足：，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件做等量代换，逐一推导各选项的正误即可，解题关键是利用消元，代入不等式推导结论． 【详解】解：，， ，故选项A正确，不符合题意； 由得，代入， 得 ，故选项B正确，不符合题意； ，代入，得， ，即，故选项C错误，符合题意； 由以上推导可知，即， ，两边同除以正数得 ，即， ，两边同除以正数得 ，即， ，故选项D正确，不符合题意． 2．关于x，y的方程组满足不等式，则m的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用加减消元法，整体思想得到关于的表达式，代入不等式即可求解的范围． 【详解】解：， ∴得， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得． 3．为紧急安置100名灾民，需要同时搭建可容纳6人和4人的两种帐篷，每个帐篷都住满，则搭建方案有（    ） A．7 种 B．8种 C．9种 D．10 种 【答案】B 【分析】设容纳人的帐篷个，容纳人帐篷个，得出，是偶数，则是偶数，同时，即，找出的值，即可求解． 【详解】解：设容纳人的帐篷个，容纳人帐篷个，则 ，且为正整数， ，即是偶数， ∵是偶数，则是偶数，同时，即 ∴，共个取值，即对应种方案 4．不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可． 【详解】解： ， 不等式的解集在数轴上表示如下： ． 5．关于x的不等式组有且仅有2个奇数解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解出不等式组的解集，再根据奇数的特点确定符合条件的奇数，进而求出参数的取值范围． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有且仅有2个奇数解，小于的奇数从大到小依次为，符合条件的两个奇数为和， ∴． 二、填空题 6．若关于x、y的二元一次方程组的解满足，则k的取值范围为__________ 【答案】 【分析】将方程组中两个方程作差，得到关于的表达式，再代入不等式，解一元一次不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：， 由得， ， 化简得，， 方程组的解满足， ， 根据不等式的基本性质移项得，． 7．把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余6本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人可以分到书本但不足3本，这些书有__________本． 【答案】21 【分析】设有名同学，则这些书有本，然后根据题意可得不等式组，进而问题可求解． 【详解】解：设有名同学，则这些书有本，由题意得： ， 解得：， ∵取正整数， ∴， ∴这些书有本． 8．以下说法正确的是：_______. ①由，得；②由，得 ③由，得；④由，得 ⑤和互为相反数；⑥是不等式的解 【答案】②③④ 【分析】根据不等式的基本性质得出结论即可． 【详解】解：①由，当时，得，故结论①错误； ②由，得，故结论②正确； ③由，得；故结论③正确； ④由，得；故结论④正确； ⑤和互为相反数，当为奇数时，，故结论⑤错误； ⑥是不等式的解，故结论⑥错误； 故正确的结论为：②③④． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，熟知不等式的基本性质是解本题的关键． 9．一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以的平均速度用到达目的地．如果该司机原路返回甲地用时不超过，他返程的平均速度不能小于________． 【答案】70 【分析】先根据去程的平均速度和时间计算甲乙两地的总路程，再设返程平均速度，根据返程用时不超过列一元一次不等式求解，得到返程平均速度的最小值． 【详解】解：根据路程公式，甲乙两地的路程， 设司机返程的平均速度为，由速度的实际意义可知， 根据题意列不等式得， 解得， 故他返程的平均速度不能小于． 10．关于x的不等式的最大正整数解是__________． 【答案】3 【分析】先按照一元一次不等式的解法求解不等式，得到不等式的解集后，再在解集中找出最大的正整数即可． 【详解】解： ∴该不等式的正整数解为， ∴该不等式的最大正整数解为． 三、解答题 11．解不等式，并在数轴上把解集表示出来． 【答案】，把解集在数轴上表示见解析 【详解】解： 把解集在数轴上表示如图所示： 12．有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上2，同时区就会自动减去1，且均显示计算结果．已知A，两区初始显示的数分别是和7． (1)按键1次后，求A，两区显示的结果的和； (2)若按键次后，A区的结果大于区的结果，求的最小值． 【答案】(1)5 (2)4 【分析】本题考查有理数的混合运算以及一元一次不等式，能根据题意分别列出算式和不等式是关键． （1）根据题意列出算式计算即可； （2）根据A区的计算结果大于B区的计算结果列不等式，解出即可． 【详解】（1）解：按键1次后，，两区显示的结果的和； （2）解：由题意，得， 解得， 为整数， 的最小值为4． 13．已知关于x，y的方程组的解x，y满足． (1)求a的取值范围； (2)已知，求b的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先推导出，得到，解得，即可解答； （2）先推导出，得到，解得，即可解答． 【详解】（1）解：， ，得 ， 由，得 ， 解得； （2）解：由，得， ， ， 解得． 14．国家一直倡导节能减排，改善环境，大力扶持新能源汽车的销售，某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车．上周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元；本周已售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元． (1)求每辆A型车和B型车的售价各为多少万元？ (2)甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，且A型号车不少于2辆，购车费不少于130万元，则有哪几种购车方案？ (3)已知每辆A型车的进价为15万元，每辆B型车的进价为20万元，在（2）的购车方案中，哪种方案的利润最高？最高利润是多少万元？ 【答案】(1)每辆A型车的售价为18万元，每辆B型车的售价为26万元； (2)共有2种购车方案，方案1：购买2辆A型车，4辆B型车；方案2：购买3辆A型车，3辆B型车； (3)购买2辆A型车4辆B型车的方案利润最高，最高利润是30万元． 【分析】（1）设未知数根据两周的销售额列二元一次方程组，求解得到两种车的售价； （2）设A型车购买数量，根据A型车数量要求和购车费要求列一元一次不等式组，求整数解得到所有购车方案； （3）分别计算各方案的总利润，比较大小得到最高利润的方案和最高利润． 【详解】（1）解：设每辆A型车的售价为万元，每辆B型车的售价为万元，依题意得： ， 解得：， 答：每辆A型车的售价为18万元，每辆B型车的售价为26万元； （2）解：设购买辆A型车，则购买辆B型车，依题意得： ， 解得：， 又为正整数， 可以为2，3， 共有2种购车方案，方案1：购买2辆A型车，4辆B型车；方案2：购买3辆A型车，3辆B型车； （3）解：由题意得，每辆A型车的利润为（万元），每辆B型车的利润为（万元）， 方案1的总利润：（万元）， 方案2的总利润：（万元）， ， 购买2辆A型车，4辆B型车的方案利润最高，最高利润是30万元． 15．阅读下列材料，解答下面的问题： 我们知道方程有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解． 例：由， 得：（x，y为正整数）． 要使为正整数， 则为正整数，可知：x为3的倍数，从而， 代入． 所以的正整数解为． 问题： (1)请你直接写出方程的正整数解________； (2)若为整数，则满足条件的整数x的值为_______． (3)笔记本单价为3元，钢笔单价为5元，七年级某班为了奖励学习有进步的学生，花费35元购买奖品，问有哪几种购买方案？ 【答案】(1) (2)或0或1或3或4或6 (3)①买0本笔记本，7支钢笔，②买5本笔记本，4支钢笔，③买10本笔记本，1支钢笔 【分析】（1）先移项，再把x的系数化为1，可得，再根据、为正整数，即可求解； （2）根据为整数，x为整数，可得取或或或1或2或4，即可求解； （3）设单价为每本3元的笔记本买了本，单价为每支5元的钢笔买了支，根据题意得，得出，其中x、y均为非负整数，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∵x，y为正整数， ∴， ∴， 要使为正整数，则为正整数，可知：y为2的倍数， ∴， ∴， ∴方程的正整数解为； （2）解：∵为整数，x为整数， ∴取或或或1或2或4， ∴x取或0或1或3或4或6； （3）解：设单价为每本3元的笔记本买了本，单价为每支5元的钢笔买了支， 根据题意得， 解得，（为非负整数）， ∵， ∴， 要使为非负整数，则为非负整数，可知：x为5的倍数， ∴． ∴或或， ∴有三种方案：①买0本笔记本，7支钢笔，②买5本笔记本，4支钢笔，③买10本笔记本，1支钢笔． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $