专题05二元一次方程组专项训练(21大核心题型精讲+分层训练突破)-2025-2026学年苏科版数学七年级下学期.

**基本信息** 以“概念-解法-应用”为逻辑主线，系统覆盖二元一次方程组22类题型，融合换元法、参数处理等解题技巧，突出抽象能力与模型意识培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念基础|3题型|定义辨析、解的判定|从方程（组）定义到解的验证，构建概念认知框架| |解法技巧|5题型|代入/加减消元、换元法、错解复原|常规解法与特殊技巧结合，强化运算能力与推理意识| |综合应用|14题型|实际问题建模、几何图形转化、参数求解|关联行程/工程等实际场景，培养用数学语言表达现实世界的能力|

专题05二元一次方程组专项训练 题型梳理归纳 题型1.二元一次方程定义 题型2.二元一次方程组定义 题型3.二元一次方程（组）解的判定 题型4.代入消元、加减消元法解二元一次方程组 题型5.根据实际问题列二元一次方程组 题型6根据几何图形列二元一次方程组 题型7.已知二元一次方程组的解求参数 题型8.方程组同解问题 题型9. 二元一次方程组特殊解法 题型10.二元一次方程组错解复原问题 题型11.构造二元一次方程组求解 题型12.行程问题应用 题型13.工程问题应用 题型14.销售利润、和差倍分问题应用 题型15.分配、年龄、数字问题应用 题型16.三元一次方程组求解 题型17.三元一次方程组应用 题型18.方案问题应用 题型19.几何综合问题应用 题型20. 图表信息、古代数学问题应用 题型21.其他综合问题应用 题型22.分层精练12道题 核心题型精讲 题型1.二元一次方程定义 1．下列各式，属于二元一次方程的是（     ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】二元一次方程需要满足三个条件：①是整式方程；②含有两个未知数；③所有未知数项的次数均为1，据此逐项分析即可． 【详解】解：A．，项的次数为2，不是二元一次方程； B．，整理得，是整式方程，含两个未知数，所有未知数项次数均为1，是二元一次方程； C．，不是整式，该方程不是整式方程，不是二元一次方程； D．，未知数项的次数为2，不是二元一次方程． 2．已知 是关于x、y的二元一次方程，则_____． 【答案】2026 【分析】根据二元一次方程的定义，二元一次方程需满足含有两个未知数，且未知数的项的次数为，含未知数的一次项系数不为，据此列出关于，的关系式，求解后计算即可． 【详解】解：∵是关于，的二元一次方程， ∴且，, 解得，, 则． 3．根据题意分别设合适的未知数，列出二元一次方程： (1)甲数的2倍比乙数的多2； (2)将一摞笔记本分给若干个同学，若每个同学分8本，则差1本． 【答案】(1)设甲数为，乙数为， (2)设有x个同学、y本笔记本， 【分析】本题主要考查了列二元一次方程．根据题意列出二元一次方程即可． （1）设甲数为，乙数为，根据题意列方程即可； （2）设有x个同学、y本笔记本，根据题意列方程即可． 【详解】（1）设甲数为，乙数为， 根据题意得，； （2）设有x个同学、y本笔记本， 根据题意得，． 题型2.二元一次方程组定义 1．下列方程组中，不是二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A选项中，第一个方程不是整式方程，因此该方程组不是二元一次方程组，符合题意； B选项满足二元一次方程组的定义，不符合题意； C选项满足二元一次方程组的定义，不符合题意； D选项满足二元一次方程组的定义，不符合题意． 2．若方程组是二元一次方程组，则“……”可以是_______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组求解． 【详解】解：“”可以是：， 故答案为：．（答案不唯一，符合即可） 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，理解二元一次方程组的定义是解题的关键． 3．哪些是二元一次方程组？为什么？ （1）；（2）；（3）；（4） 【答案】（1）（3），见解析 【详解】解：(1)、(3)是二元一次方程组，因为他们是共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程 题型3.二元一次方程（组）解的判定 1．已知是方程的解，则a的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据二元一次方程解的定义，将已知的，的值代入原方程，解关于的一元一次方程即可求解． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得：． 2．写一个解是的二元一次方程组_______． 【答案】 【分析】方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 根据，列出方程组即可． 【详解】解：根据题意得：． 3．已知下列三组数值：，， (1)哪几组数值是方程的解？ (2)哪几组数值是方程的解？ (3)哪几组数值是方程组的解？ 【答案】(1)和是是方程的解 (2)和是是方程的解 (3)是方程组的解 【分析】本题主要考查了二元一次方程和二元一次方程组的解，熟知二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，二元一次方程组的解是使方程组左右两边相等的未知数的值是解题的关键． （1）分别把三组值代入方程，计算出方程左边和右边的值，看是否相等即可； （2）同（1）求解即可； （3）根据（1）（2）所求同时满足是方程和方程的解即为方程组的解． 【详解】（1）解：把代入方程中可得方程左边，方程右边，方程左右两边不相等，则不是方程的解； 把代入方程中可得方程左边，方程右边，方程左右两边相等，则是方程的解； 把代入方程中可得方程左边，方程右边，方程左右两边相等，则是方程的解； 综上所述，和是是方程的解； （2）解：把代入方程中可得方程左边，方程左右两边相等，则是方程的解； 把代入方程中可得方程左边，方程左右两边相等，则是方程的解； 把代入方程中可得方程左边，方程左右两边不相等，则不是方程的解； 综上所述，和是是方程的解； （3）解；由（1）（2）得只有同时满足是方程和方程的解， ∴只有是方程组的解． 题型4.代入消元、加减消元法解二元一次方程组 1．用代入消元法解二元一次方程组，下列变形正确的是（   ） A．由①得 B．由①得 C．由②得 D．由②得 【答案】B 【分析】利用等式的基本性质，对两个方程分别移项变形，对比选项即可得到正确结果． 【详解】解：， 由①得， 由②得， 观察四个选项，选项B符合题意． 2．已知，则_____________． 【答案】 【分析】首先由绝对值和平方的非负性得到，求出，然后代入求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴． 3．解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用代入消元法求解即可； （2）先将原方程组整理为标准形式，再用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， 由得， 把代入得， 解得， 把代入得， 原方程组的解为； （2）解：， 得， 整理得， 得， 解得， 把代入得， 解得， 原方程组的解为． 题型5.根据实际问题列二元一次方程组 1．2025年新能源汽车充电实行分时电价．某市峰时段（）电费1.2元/度，谷时段（次日）电费0.4元/度，服务费统一为0.6元/度．小涛某月充电100度，总费用为160元．设峰时段充电x度，谷时段充电y度，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“某月充电100度”得到，根据“峰时段（）电费1.2元/度，谷时段（次日）电费0.4元/度，服务费统一为0.6元/度”得到，即，进而可得方程组． 【详解】解：∵某月充电100度， ∴， ∵峰时段（）电费1.2元/度，谷时段（次日）电费0.4元/度，服务费统一为0.6元/度， ∴， 即， ∴． 2．2026年新春，重庆无人机表演大放异彩，点亮山城夜空．重庆某工厂计划批量生产表演专用无人机，现有工人共40名，每名工人每天可生产无人机机身5台或生产机翼12片．已知1台无人机机身需要搭配4片机翼才能组装成套．设安排人生产机身，人生产机翼，恰好使每天生产的机身与机翼配套，则可列方程组为：_______． 【答案】 【分析】等量关系为：生产机身的人数生产机翼的人数；无人机机身的数量机翼的数量，把相关数值代入即可求解． 【详解】解：∵工人共40名， ∴， ∵每名工人每天可生产无人机机身5台或生产机翼12片， ∴总共生产无人机机身台或生产机翼片， ∵1台无人机机身需要搭配4片机翼才能组装成套，恰好使每天生产的机身与机翼配套， ∴， ∴可列方程组为． 3．为了响应“足球进校园”的目标，某校计划为学校足球队购买一批足球，已知购买1个A品牌的足球和1个B品牌的足球共需140元；购买4个A品牌的足球和2个B品牌的足球共需360元． (1)求A，B两种品牌的足球的单价． (2)该校打算通过“京东商城”网购20个A品牌的足球和3个B品牌的足球，“五一”期间商城打折促销，其中A品牌打八折，B品牌打九折，问：学校购买打折后的足球所花的费用比打折前节省了多少钱？ 【答案】(1)A品牌足球单价为40元/个，B品牌足球单价为100元/个． (2)学校购买打折后的足球所花的费用比打折前节省了190元． 【分析】（1）设品牌足球单价为元/个，品牌足球单价为元/个，根据题目列出二元一次方程组解出即可； （2）用打折前的总价减去打折后的总价即可． 【详解】（1）解：设品牌足球单价为元/个，品牌足球单价为元/个， 得， 答：A品牌足球单价为40元/个，B品牌足球单价为100元/个． （2）打折前：（元） 打折后：（元） （元） 答：学校购买打折后的足球所花的费用比打折前节省了190元． 题型6根据几何图形列二元一次方程组 1．如图，个大小、形状完全相同的小长方形，组成了一个周长为的大长方形，设小长方形的长为，宽为，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据以及大长方形的周长为分别列方程即可． 【详解】解：由题意可得：，，即； 大长方形的周长为， ， 即可列方程组为． 2．将8个一样大小的小长方形进行拼图，可以拼成如图1所示的大长方形；或拼成如图2所示的大正方形，中间留下了一个边长为的小正方形，求小长方形的长和宽．若设小长方形的长为，宽为，则下列可列方程组________． 【答案】 【分析】根据长方形的对边相等及正方形的邻边相等，即可得出关于的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：依题意，得 ， 整理得． 3．把图1中周长为的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片、、、和一张长方形纸片，并将它们按图2的方式放入周长为的长方形中．设正方形的边长为，正方形的边长为． (1)用和的代数式表示：正方形的边长为___________，正方形的边长___________，长方形的长为___________，长方形的宽为___________．由图1可得___________． (2)求图2阴影部分的周长． 【答案】(1)；；；；2 (2)20 【分析】本题考查了整式的混合运算． （1）根据题意可表示出正方形、的边长，长方形的长和宽，再根据图1中长方形的周长为，可求出的值； （2）根据图2的周长可得，从而求出，然后可求出阴影部分的周长． 【详解】（1）解：∵正方形的边长为，正方形的边长为， ∴正方形的边长为， 正方形的边长为， 长方形的长为， 长方形的宽为， 由图1可得， ∴， 故答案为：；；；；2； （2）解：如图2： 由题意得： ， ∴， 阴影部分的周长 ． 题型7.已知二元一次方程组的解求参数 1．关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的值为（   ） A． B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的性质，可利用整体思想构造出的表达式，结合已知列方程求解，简化计算过程． 【详解】解： ①+②得： 等式两边同时除以8得： 去分母得： 解得：． 2．已知方程组的解满足，则m的值为_____． 【答案】 【分析】根据加减消元法解二元一次方程组得到，代入中，求出即可． 【详解】解：， ，得， ∴， 又， ∴， ∴． 3．已知关于、的方程组 (1)请写出方程的一组正整数解； (2)若方程组的解满足，求的值； (3)不管取任何值，方程总有一个公共解，请直接写出这个解． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) (3) 【分析】（1）令x取一正整数，代入求出即可； （2）先通过方程组解出x、y的值，再将x、y代入代数式求出m即可； （3）将原式进行变换后即可求出这个固定解． 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∴方程的一组正整数解为； （2）解：∵方程组的解满足， ∴，解得：， 把代入得：， 解得：； （3）解：， 整理得：， ∵不管取任何值，方程总有一个公共解， ∴， ∴． 题型8.方程组同解问题 1．已知关于、的方程组和的解相同，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两个方程组的解相同，说明这个解同时满足四个方程，因此先联立两个不含、的方程求出公共解、，再将解代入含、的方程，即可计算得到的值． 【详解】解： 两个方程组的解相同 联立不含、的方程得 ， 得 ，解得 ． 把代入得 ，解得 ． 将，代入含、的方程得， 方程④两边同除以得 ． ． 2．已知方程组与的解相同，则的值为_____________． 【答案】 【分析】将两个方程组中不含参数的两个一次方程组成新的方程组，求出未知数的值，把两个含参方程组成方程组，将未知数的值代入，再解方程组求出参数的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】解：由题意，的解与方程组，的解相同， 解得：， 把代入方程组：，得：， 解得：， ∴． 3．已知方程组和有相同的解，求的值． 【答案】0 【分析】先解方程组得到，再把代入方程组中得到关于a、b的方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解： 得，解得， 把代入①得，解得， ∴方程组的解为， ∵方程组和有相同的解， ∴， 得，解得， 把代入③得，解得， ∴方程组的解为， ∴． 题型9. 二元一次方程组特殊解法 1．学习数学就是一个不断发现问题，分析问题和解决问题的思维过程．在数学课上，老师出了这样一道题：已知关于m、n的二元一次方程组的解是，求关于x、y的二元一次方程组的解，小明经过思考后直接得到，解得，小明的这种求解思想是（   ） A．换元思想 B．数形结合思想 C．分类讨论思想 D．方程思想 【答案】A 【分析】令，，根据题意可得出，解出x，y即可． 【详解】解：令，， ∴原方程组可化为， 依题意，得， ∴， 解得． 小明这样解方程的思想是换元思想． 2．已知方程组则的值是________． 【答案】6 【分析】利用整体思想，将方程组的两个方程相加，直接求出所求代数式的值． 【详解】解：， 将①和②相加，得，整理得． 3．【问题情境】小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个题目： 解方程组：． 【观察发现】 (1)如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把也看成一个整体，通过换元，可以解决问题．例如：设，，则原方程组可化为__________，解关于a，b的方程组，得，所以．解这个方程组，得__________； 【探索应用】 (2)运用上述方法解下面的方程组： 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意，原方程组可化为，再求出方程组的解，即可； （2）结合题意，设，，原方程组可化为，求出、的值，即可列出方程组，再解方程组求出、的值即可． 【详解】（1）解：设，， 则原方程组可化为； 解关于a，b的方程组，得， 所以， 解得． （2）解：设，， 则原方程组可化为； 解关于，的方程组，得， 所以， 解得． 题型10.二元一次方程组错解复原问题 1．在解关于，的方程组时，甲看错了①中的，解得；乙看错了②中的，解得．则正确的方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】甲看错了a，则甲的结果满足②，乙看错了b，则乙的结果满足①，由此建立关于a、b的方程求解即可． 【详解】解：将代入得，， 解得； 将代入得，， 解得； ∴正确的方程组是． 2．已知方程组，甲正确地解得，而乙粗心，他把看错了，从而解得，则_____，_____． 【答案】 3 【分析】本题考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组，由题意得出，解方程组即可得出答案． 【详解】解：由题意得， 解得． 故答案为：3，． 3．解答下列问题： (1)定义运算“*”，规定 ，其中，为常数，且 ，，请求出的值； (2)甲、乙两人同时解方程组，甲解题时看错了①中的，解得，乙解题时看错②中的，解得，试求原方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据新定义得出方程组，求得的值，然后根据新定义列式计算即可求解； （2）把代入②，把代入①，分别求得的值，再代入原方程组解方程组，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， ． （2）把代入②得： ， 解得：， 把代入①得： ， 解得：； 把，代入方程组得：， ③④得：，即， 把代入③得：， ∴原方程组的解为． 题型11.构造二元一次方程组求解 1．定义运算“*”，规定 ，其中a、b为常数，且，，则（   ） A．-3 B．5 C．25 D．29 【答案】C 【分析】根据新定义列出方程组，解方程组求得，代入规定的式子，将代入进而即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 解得， ∴， ． 2．若定义，其中，为常数，且，，则的值为_______________． 【答案】 【分析】已知等式利用题中的新定义化简，列出方程组，求出方程组的解即可得到的值． 【详解】解：根据题中的新定义得：， 得：， 解得：． 3．甲、乙两人共同计算一道整式乘法题：．甲由于把第一个多项式中的“”看成了“”，得到的结果为；乙由于漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为． (1)求正确的a、b的值． (2)计算这道乘法题的正确结果． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）按甲、乙错误的做法计算，联系结果列出关于系数a，b的方程组，解方程即可； （2）把a，b的值代入原式求出整式乘法的正确结果． 【详解】（1）解： ， ， ，解得， 则，； （2） ． 题型12.行程问题应用 1．甲、乙两地相距，一艘轮船往返于两地，从甲地顺流航行到乙地用了，从乙地逆流航行回甲地用了，则这艘轮船在静水中的速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用顺流速度，逆流速度与静水速度，水流速度的关系，结合路程公式列方程组求解即可． 【详解】解：设轮船在静水中的速度为，水流速度为， 由题意可得：， 解得：， ∴这艘轮船在静水中的速度为． 2．某体育场的环形跑道长，甲、乙分别以一定的速度练习慢跑和自行车，如果反向而行，他们每隔相遇一次．如果同向而行，那么每隔乙就追上甲一次．则甲的速度是______． 【答案】 【分析】本题存在两个等量关系，反向而行时，甲和乙的路程和等于环形跑道长，同向而行时，乙的路程比甲多，根据等量关系列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设甲的速度是，乙的速度是， 根据题意得： 解得：， 所以甲的速度为． 3．某种自行车轮胎，若安装在前轮，行驶后报废；若安装在后轮，行驶后报废．小明新买了一辆自行车，同时安装了一对新轮胎（两个轮胎相同）． (1)如果小明在行驶一段路程后，将前、后轮胎交换位置，继续行驶直到两个轮胎同时报废．设交换前行驶了，交换后又行驶了．请根据题意，列出关于、的方程组． (2)计算和的值，并求出这辆自行车最多可以行驶多少千米． (3)如果小明希望在总行驶里程达到时恰好交换轮胎，并且交换后仍然继续行驶到两个轮胎同时报废．请问他的这个想法能否实现？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)，千米． (3)小明的这个想法不能实现，理由见解析 【分析】（1）设交换前行驶了，交换后又行驶了．根据题意列出方程组即可； （2）方程组变形后求出方程组的解即可； （3）设交换前行驶了千米，求出前轮磨损和后轮磨损即可作出判断． 【详解】（1）解：设交换前行驶了，交换后又行驶了．则； （2）解； 整理得到 解得 ∴， 即这辆自行车最多可以行驶千米． （3）小明的这个想法不能实现，理由如下： 设交换前行驶了千米，则前轮磨损为，后轮磨损为， ∵， ∴在行驶到千米之前，后轮轮胎就已经报废，所以小明无法在行驶千米时交换轮胎， ∴小明的这个想法不能实现． 题型13.工程问题应用 1．某公司有新员工和老员工若干名．已知1名新员工每天制造的零件个数比1名老员工少30，1名新员工与2名老员工每天共可制造180个零件，则1名新员工与1名老员工每天各能制造多少个零件？设1名新员工每天能制造个零件，1名老员工每天能制造个零件．根据题意可列方程组为（） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题二元一次方程组的应用，解题的关键是能够根据题意找到两个等量关系，这是列方程的依据． 找到两个等量关系列出方程组即可． 【详解】解：设一个生手工每天能制作x个零件，一个熟手工每天能制造y个零件， 根据题意得：， 故选A． 2．2台大收割机和5台小收割机同时工作共收割小麦，3台大收割机和2台小收割机同时工作共收割小麦，设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦 和，则可列方程组______． 【答案】 【分析】本题考查列二元一次方程组，根据“工作效率时间工作量”分别列二元一次方程，联立可得方程组． 【详解】解：由“2台大收割机和5台小收割机同时工作共收割小麦”可得：， 由“3台大收割机和2台小收割机同时工作共收割小麦” 可得：， 因此可列方程组：， 故答案为：． 3．某公司目前有A，B两款植保无人机为农户提供农药喷洒服务，据了解3架A款植保无人机和2架B款植保无人机每小时可为440亩土地进行农药喷洒，2架A款植保无人机和3架B款植保无人机每小时可为460亩土地进行农药喷洒，求A，B两款植保无人机每小时分别可为多少亩土地进行农药喷洒？ 【答案】 A款植保无人机每小时可为80亩土地进行农药喷洒，B款植保无人机每小时可为100亩土地进行农药喷洒． 【分析】设A款植保无人机每小时可为x亩土地进行农药喷洒，B款植保无人机每小时可为y亩土地进行农药喷洒，根据“3架A款植保无人机和2架B款植保无人机每小时可为440亩土地进行农药喷洒，2架A款植保无人机和3架B款植保无人机每小时可为460亩土地进行农药喷洒”建立二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设A款植保无人机每小时可为x亩土地进行农药喷洒，B款植保无人机每小时可为y亩土地进行农药喷洒， 由题意得， 解得， 答：A款植保无人机每小时可为80亩土地进行农药喷洒，B款植保无人机每小时可为100亩土地进行农药喷洒． 题型14.销售利润、和差倍分问题应用 1．某班需采购本和尺子作为奖品，尺子3套、本2个，共需34元；尺子2套、本3个，共需36元，通过设适当的未知量可列出方程组若用可得，下列关于“”的意义解释正确的是（    ） A．每套尺子比每个本贵2元 B．每套尺子比每个本便宜2元 C．尺子比本多买了2个 D．尺子比本少买了2个 【答案】B 【分析】根据所列方程组可知x元表示每套尺子的单价，y元表示每个本的单价，据此结合方程和选项可得答案． 【详解】解：根据所列方程组可知x元表示每套尺子的单价，y元表示每个本的单价， ∴的实际意义为每套尺子比每个本便宜2元． 2．某校为了解学生对不同竞赛科目的感兴趣程度，老师对学生们做了一次“我最喜爱的竞赛科目”问卷调查（只可选择数学、物理、化学、生物学其中1个科目）．若4个科目都有人选且选物理的人数比选生物学的人数少8，选数学的人数是选生物学人数的整数倍，选生物学与数学的人数之和是选物理与化学的人数之和的5倍，选化学与数学的人数之和比选物理与生物学的人数之和多24，则选数学的人数是_______． 【答案】30 【分析】设选物理的有人，则选生物学的有人，选数学的有人， 【详解】解：设选物理的有人，则选生物学的有人，选数学的有人，为正整数， 选化学的有人.依题意得： 联立①②，消去：， ∵均为正整数， ， 为正整数，由①得：， 将的解带入上式，只有当时，， 故选数学的有， 故答案为：． 【点睛】本题考查了应用类问题，二元一次方程的正整数解、二元一次方程组，根据题意列出二元一次方程是解决本题的关键． 3．某校利用体育大课间抽查七年级学生体育项目练习情况，共进行了两次抽查（每名学生只抽查一个项目），两次抽查合格率相同，跳绳为，排球为．第一次抽查跳绳和排球共44人合格，第二次抽查跳绳和排球共100人合格，且第二次抽查跳绳的人数是第一次抽查跳绳人数的2倍，第二次抽查排球的人数是第一次抽查排球人数的3倍． (1)求学校第一次抽查的学生总人数． (2)若八年级进行了一次跳绳抽查，跳绳的合格人数与七年级两次抽查的跳绳合格总人数相同，且合格率为，求八年级跳绳抽查的学生人数． 【答案】(1)学校第一次共抽查了56名学生 (2)八年级跳绳抽查了100名学生 【分析】（1）设第一次抽查跳绳的人数为，抽查排球的人数为，则第二次抽查跳绳的人数为，抽查排球的人数为，由题意易得，然后进行求解即可； （2）由（1）可知七年级跳绳抽查合格的总人数为，设八年级抽查了名学生，依题意得，进而求解即可． 【详解】（1）解：设第一次抽查跳绳的人数为，抽查排球的人数为，则第二次抽查跳绳的人数为，抽查排球的人数为． 依题意得，解得， ∴（名）． 答：学校第一次共抽查了56名学生． （2）解：由（1）可知，第一次抽查跳绳的人数为40，第二次抽查跳绳的人数为80， ∴七年级跳绳抽查合格的总人数为． 设八年级抽查了名学生， 依题意得，解得． 答：八年级跳绳抽查了100名学生． 题型15.分配、年龄、数字问题应用 1．某玩具厂共有名生产工人，每个工人每天可生产玩具车架个或车轮个，且车架与个车轮可配成一套，设有个工人生产车架，个工人生产车轮，下列方程正确的是（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】根据总工人人数和配套比例关系，列出对应方程组即可判断正确选项． 【详解】解：共有名生产工人，个工人生产车架，个工人生产车轮， 总人数满足； 个车架需要配个车轮，即生产出的车轮总数量等于车架总数量的倍，个工人每天生产车架总数量为，个工人每天生产车轮总数量为， 可得； 因此方程组为． 2．小强问他的数学老师今年多少岁了，数学老师说：“我像你这么大时，你才1岁．你到我这么大时，我就40岁了．”那么数学老师今年的岁数是____________岁． 【答案】27 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用．设数学老师今年岁，小强今年岁，根据题意，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设数学老师今年岁，小强今年岁，由题意，得： ，解得：， ∴数学老师今年岁； 故答案为：27． 3．我国古代夏禹时期的“洛书”（如图所示）就是一个三阶“幻方”（如图所示），观察图、图，我们可以寻找出“九宫图”中各数字之间的关系，即每行、每列和对角线的数字之和必须相等．在显示部分数据的新“幻方”（如图所示）中，求，的值． 【答案】，的值分别为，． 【分析】根据题意列方程组，然后解方程组即可． 【详解】解：根据题意得， 解得， ∴，的值分别为，． 题型16.三元一次方程组求解 1．解三元一次方程组，若先消去，组成关于、的二元一次方程组，则应对方程组进行的变形为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】解：A．，得，，符合题意； B．，得，，不符合题意； C．，得，，不符合题意； D．，得，，不符合题意． 2．已知，则的值为_____． 【答案】 【详解】解：， 得， ∴． 3．在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单． 例如，解二元一次方程组时，将看成一个整体，则②可变为，从而解得．请用整体思想完成： (1)已知关于，，的三元一次方程组，则_______； (2)已知关于，的二元一次方程组的解为，那么关于，的二元一次方程组的解为_____________； (3)已知关于，的方程组：，求，的值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）三个式子相加即可求解； （2）根据方程组的结构可得，再加减消元即可； （3）利用整体法结合加减消元即可． 【详解】（1）解：， 得：， 解得； （2）解：∵关于x，y的二元一次方程组的解为， 且关于p，q的二元一次方程组为 ∴， 解得； （3）解：由题可得， 得：， 解得， 把代入，得， 解得， ，． 题型17.三元一次方程组应用 1．小明两次购买三种口味奶茶的数量和总价如表．现各买一杯，需要花费的钱数是（   ） 口味 次数 茉莉 桂花 蜜桃 总价 第一次 2杯 3杯 4杯 126元 第二次 4杯 3杯 2杯 120元 A．41元 B．31元 C．40元 D．30元 【答案】A 【分析】设小明购买茉莉口味奶茶一杯需要花费x元，购买桂花口味奶茶一杯需要花费y元，购买蜜桃口味奶茶一杯需要花费z元，根据两次购买情况列方程组，把两式相加，整理可得答案． 【详解】解：设小明购买茉莉口味奶茶一杯需要花费x元，购买桂花口味奶茶一杯需要花费y元，购买蜜桃口味奶茶一杯需要花费z元， 由题意得：， ，得， ∴， ∴现各买一杯，需要花费41元． 2．小丽、小红去文具店买学习用具，小丽买了3支笔、7支改正液、1个文件袋花了64元，小红买了4支笔、10支改正液、1个文件袋花了79元，小明看到后表示自己也准备三种学习用具各买1个，则他共需___________元． 【答案】 【分析】设三种学习用具的单价，根据两人的花费列出方程组，通过对方程组变形，整体计算得到三种学习用具各买一件的总费用． 【详解】设1支笔的价格为元，1支改正液的价格为元，1个文件袋的价格为元. 根据题意列方程组得： 将得： ， 将得： ， 得： ， ∴他共需元． 3．一种饮料有大、中、小3种包装，1瓶大包装比一瓶中包装加一瓶小包装贵0.4元，2瓶小包装比1瓶中包装贵0.2元，大、中、小包装各买1瓶，需9.6元，问3种包装的饮料每瓶各多少元？ 【答案】1瓶小包1.6元，1瓶中包3元，1瓶大包5元 【分析】设1瓶小包x元，1瓶中包y元，1瓶大包z元，根据“1瓶大包装比一瓶中包装加一瓶小包装贵0.4元，2瓶小包装比1瓶中包装贵0.2元，大、中、小包装各买1瓶，需9.6元”得出方程组，求出方程组的解即可． 【详解】解：设1瓶小包x元，1瓶中包y元，1瓶大包z元， 根据题意得：， 解得：， 答：1瓶小包1.6元，1瓶中包3元，1瓶大包5元． 题型18.方案问题应用 1．我校运动会购买奖品，商店有A，B两种笔记本可供选择，A笔记本每本5元，B笔记本每本3元，现有50元钱全部用完，购买A笔记本和B笔记本作为奖品，请问有几种购买方案（   ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】B 【分析】设两种笔记本的购买数量为未知数，根据总花费列出二元一次方程，求方程的非负整数解的个数即可得到购买方案数． 【详解】解：设购买A种笔记本本，B种笔记本本，均为非负整数， 根据题意得：， ∴， ∵为非负整数，5与3互质， ∴能被3整除，且， ∴可取， ∴有4种购买方案． 2．杭州市临安区某社区活动中心准备了手绘团扇与非遗书签赠送给参与活动的市民，已知赠送6把手绘团扇和4枚非遗书签，一共需要花费200元；赠送10把手绘团扇和8枚非遗书签，一共需要花费340元．商店推出两种优惠方案，只能选择其中一种方案参与：方案一：搭配套餐优惠，购买3把团扇+3枚书签的套装，套装按原价打八折，剩余单品按原价购买； 方案二：满减优惠，购买所有商品按原价计算总价，满300减50，满600减120，请你通过计算，购买20把手绘团扇和20枚非遗书签的成本总和最少为______元． 【答案】574 【分析】先设未知数，根据已知条件列二元一次方程组求出手绘团扇和非遗书签的单价，再分别计算两种优惠方案购买指定数量商品的总费用，比较后得到最小成本总和． 【详解】解：设把手绘团扇的价格为元，枚非遗书签的价格为元， 根据题意得： 解得 计算方案一的总费用： 购买把手绘团扇和枚非遗书签，可凑成套把团扇枚书签的套装，剩余把团扇和枚书签按原价购买， 总费用为：（元） 计算方案二的总费用： 原价总费用为（元）， 因为，可享受满减优惠， 总费用为（元） 因为，所以成本总和最少为元． 3．我市对某主干道进行改造，为了尽快完成施工任务，计划每小时挖掘土方，现租用甲、乙两种型号的挖掘机，有关信息如下表： 型号 挖掘土石方量（单位：台•时） 租金（单位：元／台•时） 甲型 18 120 乙型 24 150 (1)若租用甲、乙两种型号的挖掘机共9台，恰好完成每小时的挖掘量，甲、乙两种型号的挖掘机各需租用多少台？ (2)若租用的挖掘机不限台数，又恰好完成每小时的挖掘量，请问哪种方案租金最省，最省租金为多少？ 【答案】(1)需要租用甲种型号的挖掘机6台，需要租用乙种型号的挖掘机3台； (2)租用甲种型号的挖掘机2台，租用乙种型号的挖掘机6台时租金最省，最省租金为1140元． 【分析】（1）设需要租用甲种型号的挖掘机x台，需要租用乙种型号的挖掘机y台，根据一共租用9台挖掘机且恰好完成每小时的挖掘量建立方程组求解即可； （2）设租用甲种型号的挖掘机m台，租用乙种型号的挖掘机n台，根据恰好完成每小时的挖掘量建立方程，求出方程的非负整数解，并计算对应的租金，比较即可得到答案． 【详解】（1）解：设需要租用甲种型号的挖掘机x台，需要租用乙种型号的挖掘机y台， 由题意得，， 解得， 答：需要租用甲种型号的挖掘机6台，需要租用乙种型号的挖掘机3台； （2）解：设租用甲种型号的挖掘机m台，租用乙种型号的挖掘机n台， 由题意得，， ∴， ∵m、n都是非负整数， ∴为非负整数， ∴是不大于10的非负整数，且n为3的倍数， 当时，，此时每小时的总租金为元， 当时，，此时每小时的总租金为元， 当时，，此时每小时的总租金为元， ∵， ∴租用甲种型号的挖掘机2台，租用乙种型号的挖掘机6台时租金最省，最省租金为1140元． 题型19.几何综合问题应用 1．在长方形中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中，，求阴影部分图形的总面积（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设小长方形的长为，宽为，则根据图形，列二元一次方程组，求得小长方形的长和宽，再根据阴影部分面积等于长方形减去5个小长方形的面积，即可求得答案． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为，依题意得： ， 解得：， 阴影部分图形的总面积为：． 2．在一个大长方形中放入六个完全相同的小长方形（阴影部分），所标尺寸如图所示，则每个小长方形的面积为______．    【答案】 【分析】设小长方形的长为、宽为，根据图形找出等量关系列方程组求解即可． 【详解】解：设小长方形的长为、宽为， 由题意得，， 解得：， ∴每个小长方形的面积为． 3．定义：在解方程组时，我们可以先令，得，再令，得，最后重新组成方程组，这种解二元一次方程组的方法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法． (1)用轮换对称解法解方程组． (2)如图，小亮和小莹一起搭积木，小亮所搭的“小塔”高度为，小莹所搭的“小树”高度为，设每块A型积木的高为，每块B型积木的高为，求A、B型积木的高分别是多少厘米？ 【答案】(1)，过程见解析； (2)A、B型积木的高分别是，． 【分析】（1）根据材料提示方法计算即可； （2）根据题意列方程组，由材料提示方法计算即可． 【详解】（1）解：， ①②得，， ∴③， ①②得，④， ∴③④得，， 解得，， 把代入③得， 故答案为：； （2）解：根据题意，得 ①＋②，得， ． ②①，得， 解方程组得． A、 B型积木的高分别是，． 题型20. 图表信息、古代数学问题应用 1．王林、李华和张明三人玩飞镖游戏，各投5支镖，规定在同一环内得分相同，中靶和得分情况如图，则张明的得分是（   ） A．18分 B．20分 C．21分 D．23分 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设投中外环得x分，投中内环得y分，则张明得分分，根据王林得23分和李华得19分，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入中即可求解． 【详解】解：设投中外环得x分，投中内环得y分，则张明得分分， 根据题意，得， 解得：， ∴， 即张明得分为21分， 故选：C． 2．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方一一九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，如图是一个未填完的幻方，则的值为_____． 【答案】5 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用．根据“每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，”列出方程组，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：5 3．西汉《九章算术》中有这样一个问题：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数、琎价各几何？白话的意思是：一起买美玉，每人出钱，多4钱；每人出钱，少3钱．问几人、玉价多少？ 【答案】人数为42人，玉价为17钱 【分析】利用二元一次方程组解决问题． 【详解】解：设人数为人，玉价为钱，根据题意得， 解得 ∴人数为42人，玉价为17钱． 题型21.其他综合问题应用 1．某饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为：开水的体积开水降低的温度=温水的体积×温水升高的温度．已知温水温度，水流速度；开水温度，水流速度．小明拿空水杯先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失）．小明同学的接水时间为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，根据总体积和题给热传递等量关系列方程组，求解后计算总接水时间即可得到结果． 【详解】解：设小明接温水的时间为，接开水的时间为， 根据题意列方程组： 整理第二个方程得 ，即 ，变形得 ， 将代入第一个方程： 化简得：， 解得 ， 将代入，得， ∴方程组的解为， 总接水时间为 ． 故选：A． 2．如图，某新型休闲凳可无缝叠在一起，从而节省了收纳空间，那么高的收纳柜恰好可以收纳_____把休闲凳． 【答案】6 【分析】设每把休闲凳的腿高为，厚度为，高的收纳柜恰好可以收纳把休闲凳，先根据图形中的数据建立二元一次方程组，解方程组可得的值，再根据收纳柜的高度建立一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：设每把休闲凳的腿高为，厚度为，高的收纳柜恰好可以收纳把休闲凳， 由题意得：， 解得， 则， 解得， 所以高的收纳柜恰好可以收纳6把休闲凳． 3．为落实“健康第一”的教育理念，在体育锻炼中增强体质、锻炼意志学校准备购进一批足球，促进校园体育活动开展． (1)传统足球表面由黑色五边形和白色六边形共32个皮块围成，且白皮块数与黑皮块数比是，求每个足球表面白皮、黑皮的块数； (2)学校决定购买A、B两个品牌的足球，已知购买3个A品牌足球和4个B品牌足球共需440元，购买1个A品牌足球和2个B品牌足球共需180元，求A、B两种品牌足球的单价． 【答案】(1)每个足球表面有白皮20块，黑皮12块 (2)A品牌足球的单价为80元，B品牌足球的单价为50元 【分析】（1）利用“按比例设元”的思想，设白皮有块，黑皮有块，根据总数32块可列方程； （2）抓住题目里的两个等量关系：3个A加4个B等于440，1个A加2个B等于180，直接列方程，解出来就是各自的单价， 【详解】（1）解：因为白皮块数与黑皮块数比是，所以设白皮有块，黑皮有块， 由题意得：，则 解得： 所以白皮块数为： 黑皮块数为： 答：每个足球表面有白皮20块，黑皮12块． （2）解：设A品牌足球的单价为元，B品牌足球的单价为元， 根据题意，列方程组得： 由得： 将代入，得： 把代入③，得： 即： 答：A品牌足球的单价为80元，B品牌足球的单价为50元． 分层精练 一、单选题 1．下列说法正确的是（   ） A．含有未知数的式子是一元一次方程 B．只含一个未知数，且未知数次数为1的整式方程是一元一次方程 C．X+- -2是一元一次方程 D．二元一次方程只有一个解 【答案】B 【详解】解：A选项中，含有未知数的式子不一定是一元一次方程，例如，含有未知数，但不是一元一次方程，故错误； B选项的描述符合一元一次方程的定义，故正确； C选项中，的分母含未知数，不是整式方程，不属于一元一次方程，故错误； D选项中，二元一次方程有无数组解，故错误． 2．已知 ​是方程的解，则a的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】解：∵​是方程的解， ∴ 解得： 3．若，则的值为（ ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】根据非负数的性质得关于、的二元一次方程，解方程，然后代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴． 4．已知关于，的二元一次方程组的解是，则关于和的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察两个二元一次方程组可得，解方程组即可得解． 【详解】解：关于，的二元一次方程组的解是， ， 得，， ， 将代入得，， ， 方程组的解是． 二、填空题 5．已知方程组，则________． 【答案】8 【分析】将乘以2，得，再减去即可得到解答． 【详解】解：， 由得：， 由得：． 6．若关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于x，y的二元一次方程组的解是________． 【答案】 【分析】观察两个方程组的结构，可利用换元法将待求方程组转化为已知解的方程组，再根据同解性求解即可． 【详解】解：对于方程组，设， 则原方程组可化为． ∵关于，的二元一次方程组的解是． ∴方程组的解为． ∴． 得，解得， 将代入，得，． ∴原方程组的解为． 7．甲从某一地点出发，前往某地，途中经过下坡路和平路，再按原路返回．已知上坡每小时走3千米，下坡每小时走5千米，平路每小时走4千米．去时走了80分钟，回程走了90分钟．设去时下坡路长，平路长，为求和的值，可列的二元一次方程组为______． 【答案】 【分析】先统一时间单位，将分钟换算为小时，根据总时间等于各段路程所用时间之和，结合原路返回时去时的下坡路变为回程的上坡路，平路长度和速度不变，分别根据去程和回程的总时间列方程即可． 【详解】解：速度单位为千米/小时，需统一单位，80分钟小时，90分钟小时， 去时：下坡路程为，速度为，用时，平路用时为，总时间为， 回程：上坡路程为，速度为，用时，平路路程为，速度为，用时，总时间为， ∴可列方程组． 8．中国古代以算筹为工具来记数、列式和进行各种数与式的演算，《九章算术》第八章算为“方程”，其中有一例为：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x，y的系数与相应的常数项，即可表示方程，则表示的方程是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了列二元一次方程，弄清图的意义是解题的关键． 根据题意可知：从左到右列出的算筹数分别表示方程中左边的未知数x，y的系数以及等式右边相应的常数项，一个竖线表示一个，一条横线表示一十，据此列出方程即可． 【详解】解：根据题知：从左到右列出的算筹数分别表示方程中左边的未知数x，y的系数以及等式右边相应的常数项，一个竖线表示一个，一条横线表示一十， 所以该图表示的方程是：． 故答案为：． 三、解答题 9．解方程组： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用代入消元法即可求解； （2）先将原方程组化简，再根据加减消元法即可求解． 【详解】（1）解：， 把代入得，， 解得， 把代入得，， ∴原方程组的解为． （2）解：将方程组化为， 得，， 得，， 得，， 解得， 把代入得，， 解得， ∴原方程组的解为． 10．已知方程组中为非正数，为负数． (1)求的取值范围； (2)化简：； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法进行消元，得到和的表达式，再根据和的取值范围列式运算即可； （2）根据绝对值的性质化简运算即可． 【详解】（1）解：， 可得： ， ∵为非正数 ∴， 解得：， 可得： ， ∵为负数， ∴， 解得：， ∴， （2）∵， ∴ ． 11．长沙市立信中学拟组织七、八年级师生去参观长沙博物馆，请根据以下素材完成相应的任务． 项目主题 探究“租车方案”问题 素材1 客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用．60座客车每辆每天的租金比45座的贵220元． 素材2 八年级师生在这个客运公司租了5辆60座和3辆45座的客车到长沙博物馆，一天的租金共计8620元． 素材3 如果七年级租用45座的客车a辆，则恰好所有师生都有座位，且无多余空位；如果租用60座的客车则可少租2辆，且有一辆车上空余15个座位． 解决问题： (1)任务1：根据素材1、2，解决下列问题： 客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ (2)任务2：根据素材3，并结合任务1的结论，解决下列问题： 七年级若同时租用两种客车，要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，应该怎样租用才合算？ 【答案】(1)60座和45座的客车每辆每天的租金分别是1160元和940元； (2)租用6辆60座客车和1辆45座客车最合算． 【分析】（1）设出两种客车的租金，根据租金差和总租金列出二元一次方程组，求解得出单价； （2）设七年级租用45座客车数量，根据人数不变列出一元一次方程求出总人数，再设租用45座客车m辆，60座客车n辆，列出二元一次方程，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：设60座和45座的客车每辆每天的租金分别是元、元， 由题意得：， 解得：， 答：60座和45座的客车每辆每天的租金分别是1160元和940元； （2）解：由题意得：， 解得：， 所以七年级共人， 设租用45座客车m辆，60座客车n辆，满足： ， 化简得：， 因为m、n为正整数， 当时，，总租金为； 当时，，总租金为； ∵， ∴租用6辆60座客车和1辆45座客车最合算． 12．2026年福建掀起了足球热，举办闽超．龙岩市某中学为了响应“足球进校园”的号召，在商场购买A、B两种品牌的足球，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多30元，购买2个A品牌足球和3个B品牌足球共需340元． (1)求购买一个A品牌足球和一个B品牌足球各需多少元？ (2)该学校决定购买A种品牌足球m个，B品牌足球n个，并且A种品牌足球个数少于B种品牌足球，如果此次购买A、B两种品牌足球总费用为1050元，那么该中学购进A、B品牌足球多少个，请你设计购买方案． 【答案】(1)购买一个A品牌足球需要50元，购买一个B品牌足球需要80元 (2)学校有1种购买足球的方案，购买A品牌足球5个、B品牌足球10个 【分析】（1）利用公式“总费用购买A品牌足球共花的费用购买B品牌足球共花的费用”列出两个等量关系式，组成二元一次方程组求解； （2）根据题意列出二元一次方程，利用二元一次方程的整数解求得答案． 【详解】（1）解：设购买一个A品牌足球需要x元，购买一个B品牌足球需要y元， 依题意得：， 解得：． 答：购买一个A品牌足球需要50元，购买一个B品牌足球需要80元． （2）解：根据题意得：， 即且． ∵105的个位数是5，m、n均为正整数，个位数为或， ∴的个位数得为或， ∵偶数，且是正整数， ∴的个位数只能为0， ∴是5的倍数， 当时，，与题意不符，舍去； 当时，，，符合题意； 当时，，与题意不符； ∴． 答：学校有1种购买足球的方案，购买A品牌足球5个、B品牌足球10个． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05二元一次方程组专项训练 题型梳理归纳 题型1.二元一次方程定义 题型2.二元一次方程组定义 题型3.二元一次方程（组）解的判定 题型4.代入消元、加减消元法解二元一次方程组 题型5.根据实际问题列二元一次方程组 题型6根据几何图形列二元一次方程组 题型7.已知二元一次方程组的解求参数 题型8.方程组同解问题 题型9. 二元一次方程组特殊解法 题型10.二元一次方程组错解复原问题 题型11.构造二元一次方程组求解 题型12.行程问题应用 题型13.工程问题应用 题型14.销售利润、和差倍分问题应用 题型15.分配、年龄、数字问题应用 题型16.三元一次方程组求解 题型17.三元一次方程组应用 题型18.方案问题应用 题型19.几何综合问题应用 题型20. 图表信息、古代数学问题应用 题型21.其他综合问题应用 题型22.分层精练12道题 核心题型精讲 题型1.二元一次方程定义 1．下列各式，属于二元一次方程的是（     ） A．B．C． D． 2．已知 是关于x、y的二元一次方程，则_____． 3．根据题意分别设合适的未知数，列出二元一次方程： (1)甲数的2倍比乙数的多2； (2)将一摞笔记本分给若干个同学，若每个同学分8本，则差1本． 题型2.二元一次方程组定义 1．下列方程组中，不是二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 2．若方程组是二元一次方程组，则“……”可以是_______． 3．哪些是二元一次方程组？为什么？ （1）；（2）；（3）；（4） 题型3.二元一次方程（组）解的判定 1．已知是方程的解，则a的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 2．写一个解是的二元一次方程组_______． 3．已知下列三组数值：，， (1)哪几组数值是方程的解？ (2)哪几组数值是方程的解？ (3)哪几组数值是方程组的解？； 题型4.代入消元、加减消元法解二元一次方程组 1．用代入消元法解二元一次方程组，下列变形正确的是（   ） A．由①得 B．由①得 C．由②得 D．由②得 2．已知，则_____________． 3．解方程组： (1)； (2)． 题型5.根据实际问题列二元一次方程组 1．2025年新能源汽车充电实行分时电价．某市峰时段（）电费1.2元/度，谷时段（次日）电费0.4元/度，服务费统一为0.6元/度．小涛某月充电100度，总费用为160元．设峰时段充电x度，谷时段充电y度，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 2．2026年新春，重庆无人机表演大放异彩，点亮山城夜空．重庆某工厂计划批量生产表演专用无人机，现有工人共40名，每名工人每天可生产无人机机身5台或生产机翼12片．已知1台无人机机身需要搭配4片机翼才能组装成套．设安排人生产机身，人生产机翼，恰好使每天生产的机身与机翼配套，则可列方程组为：_______． 3．为了响应“足球进校园”的目标，某校计划为学校足球队购买一批足球，已知购买1个A品牌的足球和1个B品牌的足球共需140元；购买4个A品牌的足球和2个B品牌的足球共需360元． (1)求A，B两种品牌的足球的单价． (2)该校打算通过“京东商城”网购20个A品牌的足球和3个B品牌的足球，“五一”期间商城打折促销，其中A品牌打八折，B品牌打九折，问：学校购买打折后的足球所花的费用比打折前节省了多少钱？ 题型6根据几何图形列二元一次方程组 1．如图，个大小、形状完全相同的小长方形，组成了一个周长为的大长方形，设小长方形的长为，宽为，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 2．将8个一样大小的小长方形进行拼图，可以拼成如图1所示的大长方形；或拼成如图2所示的大正方形，中间留下了一个边长为的小正方形，求小长方形的长和宽．若设小长方形的长为，宽为，则下列可列方程组________． 3．把图1中周长为的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片、、、和一张长方形纸片，并将它们按图2的方式放入周长为的长方形中．设正方形的边长为，正方形的边长为． (1)用和的代数式表示：正方形的边长为___________，正方形的边长___________，长方形的长为___________，长方形的宽为___________．由图1可得___________． (2)求图2阴影部分的周长． 题型7.已知二元一次方程组的解求参数 1．关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的值为（   ） A． B．5 C．6 D．7 2．已知方程组的解满足，则m的值为_____． 3．已知关于、的方程组 (1)请写出方程的一组正整数解； (2)若方程组的解满足，求的值； (3)不管取任何值，方程总有一个公共解，请直接写出这个解． 题型8.方程组同解问题 1．已知关于、的方程组和的解相同，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．已知方程组与的解相同，则的值为_____________． 3．已知方程组和有相同的解，求的值． 题型9. 二元一次方程组特殊解法 1．学习数学就是一个不断发现问题，分析问题和解决问题的思维过程．在数学课上，老师出了这样一道题：已知关于m、n的二元一次方程组的解是，求关于x、y的二元一次方程组的解，小明经过思考后直接得到，解得，小明的这种求解思想是（   ） A．换元思想 B．数形结合思想 C．分类讨论思想 D．方程思想 2．已知方程组则的值是________． 3．【问题情境】小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个题目： 解方程组：． 【观察发现】 (1)如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把也看成一个整体，通过换元，可以解决问题．例如：设，，则原方程组可化为__________，解关于a，b的方程组，得，所以．解这个方程组，得__________； 【探索应用】 (2)运用上述方法解下面的方程组： 题型10.二元一次方程组错解复原问题 1．在解关于，的方程组时，甲看错了①中的，解得；乙看错了②中的，解得．则正确的方程组是（    ） A． B． C． D． 2．已知方程组，甲正确地解得，而乙粗心，他把看错了，从而解得，则_____，_____． 3．解答下列问题： (1)定义运算“*”，规定 ，其中，为常数，且 ，，请求出的值； (2)甲、乙两人同时解方程组，甲解题时看错了①中的，解得，乙解题时看错②中的，解得，试求原方程组的解． 题型11.构造二元一次方程组求解 1．定义运算“*”，规定 ，其中a、b为常数，且，，则（   ） A．-3 B．5 C．25 D．29 2．若定义，其中，为常数，且，，则的值为_______________． 3．甲、乙两人共同计算一道整式乘法题：．甲由于把第一个多项式中的“”看成了“”，得到的结果为；乙由于漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为． (1)求正确的a、b的值． (2)计算这道乘法题的正确结果． 题型12.行程问题应用 1．甲、乙两地相距，一艘轮船往返于两地，从甲地顺流航行到乙地用了，从乙地逆流航行回甲地用了，则这艘轮船在静水中的速度为（    ） A． B． C． D． 2．某体育场的环形跑道长，甲、乙分别以一定的速度练习慢跑和自行车，如果反向而行，他们每隔相遇一次．如果同向而行，那么每隔乙就追上甲一次．则甲的速度是______． 3．某种自行车轮胎，若安装在前轮，行驶后报废；若安装在后轮，行驶后报废．小明新买了一辆自行车，同时安装了一对新轮胎（两个轮胎相同）． (1)如果小明在行驶一段路程后，将前、后轮胎交换位置，继续行驶直到两个轮胎同时报废．设交换前行驶了，交换后又行驶了．请根据题意，列出关于、的方程组． (2)计算和的值，并求出这辆自行车最多可以行驶多少千米． (3)如果小明希望在总行驶里程达到时恰好交换轮胎，并且交换后仍然继续行驶到两个轮胎同时报废．请问他的这个想法能否实现？请通过计算说明理由． 题型13.工程问题应用 1．某公司有新员工和老员工若干名．已知1名新员工每天制造的零件个数比1名老员工少30，1名新员工与2名老员工每天共可制造180个零件，则1名新员工与1名老员工每天各能制造多少个零件？设1名新员工每天能制造个零件，1名老员工每天能制造个零件．根据题意可列方程组为（） A．B．C． D． 2．2台大收割机和5台小收割机同时工作共收割小麦，3台大收割机和2台小收割机同时工作共收割小麦，设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦 和，则可列方程组______． 3．某公司目前有A，B两款植保无人机为农户提供农药喷洒服务，据了解3架A款植保无人机和2架B款植保无人机每小时可为440亩土地进行农药喷洒，2架A款植保无人机和3架B款植保无人机每小时可为460亩土地进行农药喷洒，求A，B两款植保无人机每小时分别可为多少亩土地进行农药喷洒？ 题型14.销售利润、和差倍分问题应用 1．某班需采购本和尺子作为奖品，尺子3套、本2个，共需34元；尺子2套、本3个，共需36元，通过设适当的未知量可列出方程组若用可得，下列关于“”的意义解释正确的是（    ） A．每套尺子比每个本贵2元 B．每套尺子比每个本便宜2元 C．尺子比本多买了2个 D．尺子比本少买了2个 2．某校为了解学生对不同竞赛科目的感兴趣程度，老师对学生们做了一次“我最喜爱的竞赛科目”问卷调查（只可选择数学、物理、化学、生物学其中1个科目）．若4个科目都有人选且选物理的人数比选生物学的人数少8，选数学的人数是选生物学人数的整数倍，选生物学与数学的人数之和是选物理与化学的人数之和的5倍，选化学与数学的人数之和比选物理与生物学的人数之和多24，则选数学的人数是_______． 3．某校利用体育大课间抽查七年级学生体育项目练习情况，共进行了两次抽查（每名学生只抽查一个项目），两次抽查合格率相同，跳绳为，排球为．第一次抽查跳绳和排球共44人合格，第二次抽查跳绳和排球共100人合格，且第二次抽查跳绳的人数是第一次抽查跳绳人数的2倍，第二次抽查排球的人数是第一次抽查排球人数的3倍． (1)求学校第一次抽查的学生总人数． (2)若八年级进行了一次跳绳抽查，跳绳的合格人数与七年级两次抽查的跳绳合格总人数相同，且合格率为，求八年级跳绳抽查的学生人数． 题型15.分配、年龄、数字问题应用 1．某玩具厂共有名生产工人，每个工人每天可生产玩具车架个或车轮个，且车架与个车轮可配成一套，设有个工人生产车架，个工人生产车轮，下列方程正确的是（    ） A．B． C． D． 2．小强问他的数学老师今年多少岁了，数学老师说：“我像你这么大时，你才1岁．你到我这么大时，我就40岁了．”那么数学老师今年的岁数是____________岁． 3．我国古代夏禹时期的“洛书”（如图所示）就是一个三阶“幻方”（如图所示），观察图、图，我们可以寻找出“九宫图”中各数字之间的关系，即每行、每列和对角线的数字之和必须相等．在显示部分数据的新“幻方”（如图所示）中，求，的值． 题型16.三元一次方程组求解 1．解三元一次方程组，若先消去，组成关于、的二元一次方程组，则应对方程组进行的变形为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．已知，则的值为_____． 3．在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单． 例如，解二元一次方程组时，将看成一个整体，则②可变为，从而解得．请用整体思想完成： (1)已知关于，，的三元一次方程组，则_______； (2)已知关于，的二元一次方程组的解为，那么关于，的二元一次方程组的解为_____________； (3)已知关于，的方程组：，求，的值． 题型17.三元一次方程组应用 1．小明两次购买三种口味奶茶的数量和总价如表．现各买一杯，需要花费的钱数是（   ） 口味 次数 茉莉 桂花 蜜桃 总价 第一次 2杯 3杯 4杯 126元 第二次 4杯 3杯 2杯 120元 A．41元 B．31元 C．40元 D．30元 2．小丽、小红去文具店买学习用具，小丽买了3支笔、7支改正液、1个文件袋花了64元，小红买了4支笔、10支改正液、1个文件袋花了79元，小明看到后表示自己也准备三种学习用具各买1个，则他共需___________元． 3．一种饮料有大、中、小3种包装，1瓶大包装比一瓶中包装加一瓶小包装贵0.4元，2瓶小包装比1瓶中包装贵0.2元，大、中、小包装各买1瓶，需9.6元，问3种包装的饮料每瓶各多少元？ 题型18.方案问题应用 1．我校运动会购买奖品，商店有A，B两种笔记本可供选择，A笔记本每本5元，B笔记本每本3元，现有50元钱全部用完，购买A笔记本和B笔记本作为奖品，请问有几种购买方案（   ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 2．杭州市临安区某社区活动中心准备了手绘团扇与非遗书签赠送给参与活动的市民，已知赠送6把手绘团扇和4枚非遗书签，一共需要花费200元；赠送10把手绘团扇和8枚非遗书签，一共需要花费340元．商店推出两种优惠方案，只能选择其中一种方案参与：方案一：搭配套餐优惠，购买3把团扇+3枚书签的套装，套装按原价打八折，剩余单品按原价购买； 方案二：满减优惠，购买所有商品按原价计算总价，满300减50，满600减120，请你通过计算，购买20把手绘团扇和20枚非遗书签的成本总和最少为______元． 3．我市对某主干道进行改造，为了尽快完成施工任务，计划每小时挖掘土方，现租用甲、乙两种型号的挖掘机，有关信息如下表： 型号 挖掘土石方量（单位：台•时） 租金（单位：元／台•时） 甲型 18 120 乙型 24 150 (1)若租用甲、乙两种型号的挖掘机共9台，恰好完成每小时的挖掘量，甲、乙两种型号的挖掘机各需租用多少台？ (2)若租用的挖掘机不限台数，又恰好完成每小时的挖掘量，请问哪种方案租金最省，最省租金为多少？ 题型19.几何综合问题应用 1．在长方形中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中，，求阴影部分图形的总面积（    ） A． B． C． D． 2．在一个大长方形中放入六个完全相同的小长方形（阴影部分），所标尺寸如图所示，则每个小长方形的面积为______．    3．定义：在解方程组时，我们可以先令，得，再令，得，最后重新组成方程组，这种解二元一次方程组的方法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法． (1)用轮换对称解法解方程组． (2)如图，小亮和小莹一起搭积木，小亮所搭的“小塔”高度为，小莹所搭的“小树”高度为，设每块A型积木的高为，每块B型积木的高为，求A、B型积木的高分别是多少厘米？ 题型20. 图表信息、古代数学问题应用 1．王林、李华和张明三人玩飞镖游戏，各投5支镖，规定在同一环内得分相同，中靶和得分情况如图，则张明的得分是（   ） A．18分 B．20分 C．21分 D．23分 2．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方一一九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，如图是一个未填完的幻方，则的值为_____． 3．西汉《九章算术》中有这样一个问题：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数、琎价各几何？白话的意思是：一起买美玉，每人出钱，多4钱；每人出钱，少3钱．问几人、玉价多少？ 题型21.其他综合问题应用 1．某饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为：开水的体积开水降低的温度=温水的体积×温水升高的温度．已知温水温度，水流速度；开水温度，水流速度．小明拿空水杯先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失）．小明同学的接水时间为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 2．如图，某新型休闲凳可无缝叠在一起，从而节省了收纳空间，那么高的收纳柜恰好可以收纳_____把休闲凳． 3．为落实“健康第一”的教育理念，在体育锻炼中增强体质、锻炼意志学校准备购进一批足球，促进校园体育活动开展． (1)传统足球表面由黑色五边形和白色六边形共32个皮块围成，且白皮块数与黑皮块数比是，求每个足球表面白皮、黑皮的块数； (2)学校决定购买A、B两个品牌的足球，已知购买3个A品牌足球和4个B品牌足球共需440元，购买1个A品牌足球和2个B品牌足球共需180元，求A、B两种品牌足球的单价． 分层精练 一、单选题 1．下列说法正确的是（   ） A．含有未知数的式子是一元一次方程 B．只含一个未知数，且未知数次数为1的整式方程是一元一次方程 C．X+- -2是一元一次方程 D．二元一次方程只有一个解 2．已知 ​是方程的解，则a的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 3．若，则的值为（ ） A． B．1 C． D．2 4．已知关于，的二元一次方程组的解是，则关于和的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 5．已知方程组，则________． 6．若关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于x，y的二元一次方程组的解是________． 7．甲从某一地点出发，前往某地，途中经过下坡路和平路，再按原路返回．已知上坡每小时走3千米，下坡每小时走5千米，平路每小时走4千米．去时走了80分钟，回程走了90分钟．设去时下坡路长，平路长，为求和的值，可列的二元一次方程组为______． 8．中国古代以算筹为工具来记数、列式和进行各种数与式的演算，《九章算术》第八章算为“方程”，其中有一例为：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x，y的系数与相应的常数项，即可表示方程，则表示的方程是_____． 三、解答题 9．解方程组： (1)； (2)； 10．已知方程组中为非正数，为负数． (1)求的取值范围； (2)化简：； 11．长沙市立信中学拟组织七、八年级师生去参观长沙博物馆，请根据以下素材完成相应的任务． 项目主题 探究“租车方案”问题 素材1 客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用．60座客车每辆每天的租金比45座的贵220元． 素材2 八年级师生在这个客运公司租了5辆60座和3辆45座的客车到长沙博物馆，一天的租金共计8620元． 素材3 如果七年级租用45座的客车a辆，则恰好所有师生都有座位，且无多余空位；如果租用60座的客车则可少租2辆，且有一辆车上空余15个座位． 解决问题： (1)任务1：根据素材1、2，解决下列问题： 客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ (2)任务2：根据素材3，并结合任务1的结论，解决下列问题： 七年级若同时租用两种客车，要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，应该怎样租用才合算？ 12．2026年福建掀起了足球热，举办闽超．龙岩市某中学为了响应“足球进校园”的号召，在商场购买A、B两种品牌的足球，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多30元，购买2个A品牌足球和3个B品牌足球共需340元． (1)求购买一个A品牌足球和一个B品牌足球各需多少元？ (2)该学校决定购买A种品牌足球m个，B品牌足球n个，并且A种品牌足球个数少于B种品牌足球，如果此次购买A、B两种品牌足球总费用为1050元，那么该中学购进A、B品牌足球多少个，请你设计购买方案． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $