精品解析：吉林省长春市朝阳区长春北湖学校2025-2026学年下学期八年级期中数学试题

长春北湖学校2025-2026学年度下学期八年级 期中考试 数学学科试卷 命题人：翟冠楠 审题人：邢秋红 满分：120分 时长：90分钟 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分式有意义的条件是分母不为0，据此求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴． 2. 某种纳米材料的直径为0.0000000025米．将数据“0.0000000025”用科学记数法表示（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查小于1的正数的科学记数法表示，科学记数法的表示形式为，要求满足，为整数． 与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，的值为原数中第一个非零数字排在小数点后的位数． 【详解】解：． 3. 在平面直角坐标系中，把点向下平移三个单位长度后，得到对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点平移的坐标变化规律，上下平移只改变纵坐标，规律为上加下减，横坐标不变，根据规律计算即可得到结果． 【详解】解：点向下平移三个单位长度， 平移后点的横坐标不变，仍为，纵坐标为， 平移后对应点的坐标为． 4. 点在一次函数的图象上，则的值为（ ） A. 9 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将点的横坐标代入解析式即可求出纵坐标的值． 【详解】解：点在一次函数的图象上， ． 5. 若分式的值为0，则实数x的值为（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】分式值为0需要满足分子为0且分母不为0，据此计算即可得到结果. 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， 解得 . 6. 如图，在中，交对角线于点E，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂线的性质得到，利用三角形内角和定理求出的度数，根据平行四边形的性质得到，进而得到． 【详解】解：， ， 又， ， 四边形是平行四边形， ， ． 7. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别在轴和轴的正半轴上，点是的中点，点是上一点，连接，已知且．若点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的性质得出直角和相等的边，证明，得出相等的线段，然后利用线段中点的性质以及线段的数量关系进行求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 8. 如图，已知轴，垂足为，，分别交反比例函数的图象于点，．若，则的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例系数k的几何意义，设，则，根据k的几何意义，得到，，进而得到，故的面积为6，列出方程求解即可． 【详解】解：设，则， ∵轴，垂足为D，分别交双曲线于点A，B，， ∴，， ∴， 则， 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 点P的坐标为，则点P关于x轴的对称点的坐标为_______________ 【答案】 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标规律，横坐标相同，纵坐标互为相反数，即可求解； 【详解】解：∵点P的坐标为， ∴点P关于x轴的对称点的坐标为． 10. 如果反比例函数的图象在第一、三象限，那么m的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限， ∴， 解得． 11. 如图，直线经过点，，则关于的不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据函数图象得，关于的不等式的解集是． 12. 若点和是一次函数图象上的两点，则____．（填“”“ ”“ ”） 【答案】 【解析】 【分析】先根据一次函数解析式判断函数的增减性． 再比较两点横坐标的大小． 即可得到纵坐标与的大小关系． 【详解】解∶在一次函数中，， 随的增大而增大， 点和，且． ∴． 13. 如图，在中，为的中点，，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据中点的性质结合可推出，再由等边对等角结合三角形内角和定理可证得，可判定为直角三角形，再利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：为的中点， ， ， ， ，， ，即， ，即， 是直角三角形， ， ， 在中，由勾股定理得． 14. 如图，已知正方形的边长为4，点是对角线上一点，于点，于点，连接，．给出下列结论：①；②四边形的周长为8；③；④；⑤的最小值为2．其中正确结论有________个． 【答案】 3 【解析】 【分析】①证明是等腰直角三角形，则，即可判断；②根据①可知四边形为矩形，则四边形的周长，即可判断；③延长交于G，延长交于H．先证明，得，由与互余，可得，；⑤当时，即时，的最小值等于，即可判断． 【详解】解：连接， ∵是正方形的对角线，则， 而，则为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴；故①错误； ∵四边形为矩形， ∴四边形的周长；故②正确； 延长交于G，延长交于H， 在正方形中， ∴， 又∵ ∴； 由②知四边形是矩形， ∴， ∴； 由①知， 又∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴，，故④正确 ； 又∵，与互余， ∴与互余， ∴，即，故③正确； 由， ∴当最小时，最小， 则当时，即时，的最小值等于；故⑤错误； 综上，正确的有②③④共3个． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算零指数幂、负整数指数幂、乘方，再进行加减运算； （2）先计算积的乘方，再算单项式乘单项式，然后算单项式除以单项式． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式， 当时，原式． 17. 某工厂现在平均每天比原计划多生产台机器，现在生产台机器所需时间与原计划生产台机器所需时间相同，求现在平均每天生产多少台机器？ 【答案】现在平均每天生产台机器． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设现在平均每天生产台机器，则原计划平均每天生产台机器，根据题意得，然后解方程并检验即可，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 【详解】解：设现在平均每天生产台机器，则原计划平均每天生产台机器， 根据题意得，， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合实际， 答：现在平均每天生产台机器． 18. 如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，A，B两点均在小正方形的顶点上，请按下列要求，在图1，图2，图3中各画一个四边形（所画四边形的顶点均在小正方形的顶点上） （1）在图1中画四边形，使其为中心对称图形，但不是轴对称图形； （2）在图2中画以A，B，M，N为顶点的平行四边形，且面积为5； （3）在图3中画以A，B，E，F为顶点的平行四边形，且其中一条对角线长等于3． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据要求作出图形即可（答案不唯一）． （2）画边长为的正方形即可． （3）根据要求作出图形即可． 【详解】解：（1）如图1中，四边形ABCD即为所求作． （2）如图2中，四边形ABMN即为所求作． （3）如图3中，四边形ABEF即为所求作． 【点睛】本题考查作图-中心对称，轴对称变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 19. 如图，反比例函数（）的图象经过点和点，直线经过点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式． （2）连接，，求的面积． 【答案】（1）， （2）9 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，坐标系中点的坐标的特点，三角形的面积公式； （1）将点代入直线解析式可求出，把代入直线解析式可求出，再代入即可求出； （2）过点作轴于点，交于点，利用反比例函数解析式先求出点坐标，再由三点坐标可求出的底和高，最后利用三角形的面积公式即可求出面积． 【小问1详解】 解：将点代入直线，得， ， 一次函数的表达式为， 把代入，得， ， 把代入，得， ， 反比例函数的表达式为． 综上所述：一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解：如图，过点作轴于点，交于点， 点在反比例函数的图象上， ， ， 轴，， ， ，即， . 20. 如图，平行四边形中，点在上． （1）请用无刻度的直尺和圆规作于点．（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，连接，求证：四边形是矩形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查作垂线和矩形的判定，平行四边形的性质，正确作出图形是解答本题的关键． （1）根据“过直线外一点作已知直线的垂线”进行作图即可； （2）根据证明，得，再根据平行四边形的性质可证，即可证明四边形是矩形 【小问1详解】 解：如图，即为所作； 【小问2详解】 证明：由作图得 ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 21. 如图，是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量（千瓦时）关于已行驶路程（千米）的函数图象． （1）当时，求关于的函数表达式； （2）当蓄电池剩余电量为12千瓦时的时候汽车开始报警，提示要及时充电，请计算报警时汽车能行驶多少千米？ 【答案】（1）； （2）千米． 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法求出关于的函数表达式即可； （2）把代入（1）中的函数表达式，即可求出报警时汽车能行驶的千米数． 【小问1详解】 解：设，把点，代入， 得， 解得， ； 【小问2详解】 当时，则， ， 答：报警时汽车能行驶千米． 22. 【感知】如图①，在中，点、分别是、的中点，连接，可以得到：，且．（不需要证明） 【探究】（1）如图②，在四边形中，点、、、分别为、、、的中点，判断四边形的形状，并加以证明． 【应用】（2）在（）的条件下，连接、，则四边形满足什么条件时，四边形是菱形？你添加的条件是： ；（只添加一个条件） （3）如图③，在四边形中，点、、、分别为、、、的中点，对角线、相交于点．若，＝，＝，则四边形的面积为 ． 【答案】（1）四边形是平行四边形，理由见解析；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）利用三角形的中位线定理可得出、，继而可判断出四边形的形状； （2）添加条件，同探究的方法判断出，即可判断出，即可得出结论； （3）根据中位线的性质得出，进而可得，，然后根据即可求解． 【详解】解：（1）四边形是平行四边形．证明如下： 如图，连接． 、分别是、的中点， ，且， 、分别是、的中点， ，且， ，且， 四边形是平行四边形． （2）添加． 理由：连接，， 由（1）知，， 是的中点，是的中点， ， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形； 故答案为； （3）∵， ∴， 点、、、分别是、、、的中点， ，且，，且． ∴，， ∴， ∴． ，，，． ，， ． 【点睛】此题主要考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定，菱形的判定以及平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）过点作轴的垂线，将一次函数的图象向上平移，交轴于点，交直线于点，连接．当是以为腰的等腰三角形时，求平移的距离． 【答案】（1）， （2）5或6 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）设平移后的函数解析式为（），先求出C、D的坐标，然后分；讨论，根据两点间距离公式构建关于h的方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点， ∴，， ∴，， ∴反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：设平移后的函数解析式为（）， 当时，；当时，， ∴， 当时，则， 解得； 当时，， 解得或（舍去）， 综上，平移的距离5或6． 24. 如图，在四边形中，，，，，．点P从点A出发，以秒的速度向点B运动；同时点Q从点C出发，以秒的速度向点D运动．规定其中一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动．设点Q运动的时间为t秒． （1）直接写出边的长为________cm； （2）当四边形是矩形时，求t的值； （3）在点Q运动过程中，当是等腰三角形时，求t的值； （4）在点P，Q运动过程中，当时，直接写出t的值． 【答案】（1）； （2）； （3）的值为或3或； （4）的值为4或6． 【解析】 【分析】（1）过点B作于点H，证明四边形是矩形，求得，，再根据勾股定理求解即可； （2）根据列方程求解即可； （3）分，，三种情况讨论，分别列方程求解即可； （4）分和两种情况讨论，分别列方程求解即可． 【小问1详解】 解：过点B作于点H， ，， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，． 故答案为：． 【小问2详解】 解：，，， 当四边形是矩形时，， ， 解得； 【小问3详解】 解：当时， ， ， ， ； 当时，； 当时，，， 在中，， ， 解得； 综上所述，当是等腰三角形时，t的值为3或或； 【小问4详解】 当时，如图， 四边形是平行四边形 此时， 由可列方程 解得； 当时，如图， 过点P作于点G， ， ， ， 四边形是矩形， ，，， 若，则， ， ， ， 解得； 综上所述，当时，t的值为4或6． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，注意分情况讨论等腰三角形的三种情形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春北湖学校2025-2026学年度下学期八年级 期中考试 数学学科试卷 命题人：翟冠楠 审题人：邢秋红 满分：120分 时长：90分钟 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 某种纳米材料的直径为0.0000000025米．将数据“0.0000000025”用科学记数法表示（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，把点向下平移三个单位长度后，得到对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 点在一次函数的图象上，则的值为（ ） A. 9 B. 1 C. D. 5. 若分式的值为0，则实数x的值为（ ） A. B. 3 C. D. 4 6. 如图，在中，交对角线于点E，若，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别在轴和轴的正半轴上，点是的中点，点是上一点，连接，已知且．若点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知轴，垂足为，，分别交反比例函数的图象于点，．若，则的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 点P的坐标为，则点P关于x轴的对称点的坐标为_______________ 10. 如果反比例函数的图象在第一、三象限，那么m的取值范围是_______． 11. 如图，直线经过点，，则关于的不等式的解集是________． 12. 若点和是一次函数图象上的两点，则____．（填“”“ ”“ ”） 13. 如图，在中，为的中点，，，，则______． 14. 如图，已知正方形的边长为4，点是对角线上一点，于点，于点，连接，．给出下列结论：①；②四边形的周长为8；③；④；⑤的最小值为2．其中正确结论有________个． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算： （1） （2） 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 某工厂现在平均每天比原计划多生产台机器，现在生产台机器所需时间与原计划生产台机器所需时间相同，求现在平均每天生产多少台机器？ 18. 如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，A，B两点均在小正方形的顶点上，请按下列要求，在图1，图2，图3中各画一个四边形（所画四边形的顶点均在小正方形的顶点上） （1）在图1中画四边形，使其为中心对称图形，但不是轴对称图形； （2）在图2中画以A，B，M，N为顶点的平行四边形，且面积为5； （3）在图3中画以A，B，E，F为顶点的平行四边形，且其中一条对角线长等于3． 19. 如图，反比例函数（）的图象经过点和点，直线经过点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式． （2）连接，，求的面积． 20. 如图，平行四边形中，点在上． （1）请用无刻度的直尺和圆规作于点．（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，连接，求证：四边形是矩形． 21. 如图，是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量（千瓦时）关于已行驶路程（千米）的函数图象． （1）当时，求关于的函数表达式； （2）当蓄电池剩余电量为12千瓦时的时候汽车开始报警，提示要及时充电，请计算报警时汽车能行驶多少千米？ 22. 【感知】如图①，在中，点、分别是、的中点，连接，可以得到：，且．（不需要证明） 【探究】（1）如图②，在四边形中，点、、、分别为、、、的中点，判断四边形的形状，并加以证明． 【应用】（2）在（）的条件下，连接、，则四边形满足什么条件时，四边形是菱形？你添加的条件是： ；（只添加一个条件） （3）如图③，在四边形中，点、、、分别为、、、的中点，对角线、相交于点．若，＝，＝，则四边形的面积为 ． 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）过点作轴的垂线，将一次函数的图象向上平移，交轴于点，交直线于点，连接．当是以为腰的等腰三角形时，求平移的距离． 24. 如图，在四边形中，，，，，．点P从点A出发，以秒的速度向点B运动；同时点Q从点C出发，以秒的速度向点D运动．规定其中一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动．设点Q运动的时间为t秒． （1）直接写出边的长为________cm； （2）当四边形是矩形时，求t的值； （3）在点Q运动过程中，当是等腰三角形时，求t的值； （4）在点P，Q运动过程中，当时，直接写出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $