16.3.2 一次函数的图象 第2课时 课件 2025-2026学年华东师大版数学八年级下册

该初中数学课件聚焦一次函数图象的应用，核心知识点包括一次函数与坐标轴交点的求法、用交点法画图象及实际问题中自变量取值范围对图象的影响。课堂通过“手机电量问题”等实际情境导入，连接一次函数概念，以交点坐标意义为学习支架，帮助学生构建从具体到抽象的知识脉络。 其亮点在于结合手机电量、汽车行驶等实际问题培养数学眼光，通过归纳交点公式和探究自变量范围发展数学思维，用表格坐标等数学语言表达。实例丰富如“弹簧长度与悬挂质量”函数，学生能联系生活理解知识，教师可借助结构化例题提升教学效率。

华师版 八年级 数学（下） 第16章 数及其图象 16.3　一次函数 16.3.2　一次函数的图象 第2课时　一次函数图象的应用 1 1.会求一次函数图象与两坐标轴的交点坐标，初步感悟函数与方程的关系. 2.能正确画出具有实际意义的一次函数图象. 手机电量问题 手机满电时电量100%，每小时耗电5%，电量y与使用时间x（小时）的关系：y=-5x+100 问：手机能用多少小时？（与x轴交点） 问：初始电量是多少？（与y轴交点） 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 例1 作出一次函数 y = －2x + 5 的图象 列表： x … 0 2.5 … y = -2x+5 … … 0 5 描点、连线: A B y x 取坐标轴上的点或是坐标是整数的点比较简单. y = -2x+5 一次函数 y = kx + b (k≠0) (1) 当 x = 0 时， y =0 · k + b = b， 所以一次函数 y = kx + b 经过 ( 0 ， b ) 点. (2) 当 y = 0 时， k x + b = 0， x = 所以一次函数 y = k x + b 经过( ， 0)点. 归纳总结 探究新知 知识模块一　一次函数图象与坐标轴的交点 【自主探究】 求直线y＝－2x－3与x轴和y轴的交点，并画出这条直线． 解：因为x轴上点的纵坐标等于0，y轴上点的横坐标等于0，所以，当y＝0时，x＝－1.5，点(－1.5，0)就是直线与x轴的交点；当x＝0时，y＝－3，点(0，－3)就是直线与y轴的交点． 1. 一次函数图象与坐标轴的交点 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 作出一次函数 y=－2x+5的图象 列表： x … 0 2.5 … y=-2x+5 … … 0 5 描点、连线: A B y=-2x+5 y x 取坐标轴上的点或是坐标是整数的点比较简单. 讲授新课 （1）与y轴交点 求法：令x=0，得y=b 交点坐标：(0, b) 几何意义：函数图象在y轴上的截距 （2）与x轴交点 求法：令y=0，解方程kx+b=0 交点坐标：(-,0)（k≠0） （3）用坐标轴交点法画图 步骤： 求与y轴交点(0,b) 2. 求与x轴交点(-,0) 3. 连接这两点并延长 例2 如图，直线 y＝2x＋3 与 x 轴相交于点 A，与 y 轴相交于点 B. (1)求 A，B 两点的坐标； (2) 过点 B 作直线 BP 与 x 轴相交于点 P， 且使 OP＝2OA，求△ABP 的面积． 解：(1)令y＝0，得x＝ ∴A 点坐标为 ( ，0 )； 令 x＝0，得 y＝3， ∴B 点坐标为(0，3)． (2) 设 P 点坐标为(x，0)，依题意得x＝±3. ∴P 点坐标为 P1(3，0)或 P2(－3，0)． ∴S△ABP＝ × ×3＝ ， 或S△ABP2＝ × ×3＝ . 直线 y = kx+b （k ≠ 0）与 坐标轴的交点 注意：|b|，| | 是直线 y＝kx＋b(k≠0) 与坐标轴的两交点和原点构成的直角三角形的两直角边的长． 与 x 轴的交点坐标为 ( ，0) 与 y 轴的交点坐标为 (0 ，b) 方程 kx + b = 0 的解是 x = 方法总结 2. 实际问题中一次函数图象的特点 （1）自变量取值范围 实际问题中，自变量通常有实际意义，需考虑： 非负性：时间、长度、数量等≥0， 取值范围限制：如整数解、最大值限制等 （2）图象特征 可能只是直线的一部分（线段或射线） 需标注端点和实际意义 注意单位统一 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 问题1 作出一次函数 y=－2x+5的图象 列表： x … 0 2.5 … y=-2x+5 … … 0 5 描点、连线: A B y=-2x+5 y x 取坐标轴上的点或是坐标是整数的点比较简单. 练一练 合作探究 范例1.求直线y＝3x＋9与x轴和y轴的交点A和B，并求△AOB的面积． 分析：求y＝3x＋9与x轴和y轴的交点，可以利用“自主探究”中的方法．求△AOB的面积时，由于它是直角三角形，所以只需求出两直角边的长即可． 解：当y＝0时，0＝3x＋9， 解得x＝－3，∴点A的坐标是(－3，0)， 当x＝0时，y＝9，∴点B的坐标是(0，9). ∴OA＝3，OB＝9， ∴S△AOB＝OA·OB＝×3×9＝ 例3 本节问题1 中，汽车距北京的路程 s (km) 与汽车在高速公路上行驶的时间 t (h) 之间的函数关系式是 s = 285 - 95t ，这里自变量的取值范围是什么？试画出这个函数的图象 O 190 285 1 2 3 t (时) 95 4 s (千米) 当s=0时，t的值为3，又t≥0，所以自变量t的取值范围为0≤t≤3. 思考：该图象是直线的一部分，线段两个端点反映了怎样的实际情境 ? (0，285) 表示刚准备出发的时候，(3，0) 表示行驶了3个小时刚到北京. 分析：我们可以在表示时间的 t 轴和表示路程的 s 轴上分别选取适当的单位长度，画出平面直角坐标系. 一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象： 当x≤a或x≥a时，函数y＝kx＋b的图象是射线； 当a≤x≤c(a<c)时，函数y＝kx＋b的图象是线段； 当x取几个整数时，函数y＝kx＋b的图象是一条直线上的几个点． 一次函数的图象可能是一条直线，也可能是一条线段，还可能是一条射线，一条折线或离散的点，这全部取决于自变量的___________，因此在解题时应具体问题具体分析． 取值范围 3. 含参一次函数图象过定点 这类函数形如： y=f(m)⋅x+g(m) 通用步骤： 把方程整理成 A(m)⋅x+B(m)⋅y+C(m)=0 的形式，其中 A,B,C 是 m 的函数（常为一次多项式）。 2. 将方程按 m 降幂排列（或分离 m 的项与不含 m 的项）： m⋅P(x,y)+Q(x,y)=0 其中 P,Q 与 m 无关。 3. 要使它对任意 m 成立，必须同时满足： P(x,y)=0 Q(x,y)=0 4. 联立解 得到的 交点就是定点 因为正比例函数是一次函数y=kx+b，当b=0时的特殊情况 所以正比例函数y=kx是经过（0,0）和（1,k）的一条直线，即正比例函数过原点. 归纳总结 1.求交点坐标 例1 求直线y=-2x-3与x轴和y轴的交点，并画出这条直线. 解：直线与x轴的交点为 （ ，0），与y轴的 交点为（0，-3）. 过两点画出直线. -3 O -2 2 3 1 2 3 -1 -1 -2 x 1 y y=-2x-3 例2 如图，直线y＝2x＋3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B. (1)求A，B两点的坐标； 解：(1)令y＝0，得x＝- ∴A点坐标为（ - ，0）； 令x＝0，得y＝3， ∴B点坐标为(0，3)． 今有一根弹簧，不悬挂重物时的长度为 12 cm，悬挂的重物每增加 1 kg (重物不超过 8 kg)，弹簧的长度就增加 0.5 cm.写出弹簧的长度 y (cm)和悬挂物的质量 x (kg)之间的函数关系式，指出自变量的取值范围，并画出这个函数的图象. 解：函数关系式为 自变量 x 的取值范围为 0≤x≤8. 函数图象如图： 知识模块二　实际问题中的一次函数的图象 范例2.本书16.3.1一次函数的知识模块一中，汽车距北京的路程s(km)与汽车在高速公路上行驶的时间t(h)之间的函数关系为s＝570－95t，请画出这个函数的图象. 解：∵ ∴ 在实际问题中，我们可以在表示时间的t轴和表示路程的s轴上分别选取适当的单位长度，画出平面直角坐标系．如图所示. 2,求面积 例2 如图，直线y＝2x＋3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B. (2)过点B作直线BP与x轴相交于点P， 且使OP＝2OA，求△ABP的面积． (2)设P点坐标为(x，0)，依题意，得x＝±3. ∴P点坐标为P1(3，0)或P2(－3，0)． ∴S△ABP1＝ × ×3＝ ， S△ABP2＝ × ×3＝ . ∴△ABP的面积为 或 . 一次函数 与坐标轴的交点 实际问题中的一次函数 与 x 轴的交点是( ，0)，与 y 轴的交点是(0，b) 自变量的取值范围决定函数图象 课后思考： 1. 在实际问题中，什么情况下一次函数的图象是射线？什么情况下是线段？ 2. 你能举出生活中哪些现象可以用一次函数图象表示？ $