精品解析：吉林长春力旺实验初级中学2025-2026学年下学期八年级数学学情自测

吉林长春力旺实验初级中学2025-2026学年下学期 八年级数学学情自测 一．选择题（共8小题） 1. 绿色植物靠吸收光量子来进行光合作用，已知每个光量子的波长约为0.000688毫米，则每个光量子的波长可用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法表示绝对值小于1的数，将写成的形式即可，其中，n是负整数，解题的关键是注意n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：． 故选：B． 2. 若把分式中的x，y同时扩大为原来的3倍，则该分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大为原来的3倍 C. 缩小为原来的 D. 缩小为原来的1.5倍 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，能够正确利用分式的基本性质是解题的关键．分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．根据分式的基本性质，可得答案． 【详解】解：把和都扩大3倍后，原式为，约分后缩小为原来的． 故选：C． 3. 关于x的方程＝2+有增根，则k的值为（　　） A. ±3 B. 3 C. ﹣3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据增根的定义可求出x的值，把方程去分母后，再把求得的x的值代入计算即可. 【详解】解：∵原方程有增根， ∴最简公分母x﹣3＝0， 解得x＝3， 方程两边都乘（x﹣3）， 得：x﹣1＝2（x﹣3）+k， 当x＝3时，k＝2，符合题意， 故选D． 【点睛】本题考查的是分式方程的增根，在分式方程变形的过程中，产生的不适合原方程的根叫做分式方程的增根.增根使最简公分母等于0，不适合原分式方程，但是适合去分母后的整式方程． 4. 已知，在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象与性质，根据反比例函数图象与性质即可得到答案，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴反比例函数的图象在第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大， ∵， ∴， ∴， 故选：． 5. 如图，在中，对角线，相交于点O，添加下列一个条件后，不能使成为矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形和菱形的判定，熟练掌握矩形和菱形的判定是解题的关键；根据矩形和菱形的判定逐项判断即可． 【详解】解：、四边形是平行四边形，， 是矩形， 故本选项不符合题意； 、四边形是平行四边形，， 是矩形， 故本选项不符合题意； 、四边形是平行四边形，， 是菱形， 故本选项符合题意； 、， 是直角三角形， ， 四边形是平行四边形， 是矩形， 故本选项不符合题意； 故选：． 6. 如图，规格相同的某种盘子整齐地摞在一起，若这摞盘子的个数为x，盘子摞在一起的厚度为，则y与x之间的函数图象关系（不考虑自变量取值范围）大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是列函数关系式，一次函数的图象，根据题意可得函数为，再判断图象即可. 【详解】解：由题意得：每增加一个盘子，厚度增加， 一个盘子的厚度为， 与x之间满足的关系式为， 即图象是经过一二三象限，与y轴交于正半轴的一次函数， 故选D． 7. 如图，点是反比例函数图象上一点，轴于点，与反比例函数 图象交于点，，连接，，若的面积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质可知，，再根据反比例函数的面积关系解答即可． 【详解】解：∵点是反比例函数图象上一点， ∴设点， ∵轴于点， ∴点 ∴， ∵， ∴, ∵， ∴， ∴ ∵点在反比例函数图象上，， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数的面积关系，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 8. 甲、乙、丙、丁四所学校举行了航天知识竞赛，并将各校竞赛成绩的优秀率及参赛人数以点的形式描在平面直角坐标系中，其中点的横坐标x表示该校参赛人数，纵坐标y表示竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值），其中描述甲、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次航天知识竞赛中成绩优秀人数最多的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数图像与性质求解即可得到结论． 【详解】解：描述甲、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，设反比例函数表达式为，则令甲、乙、丙、丁， 过乙点作轴平行线交反比例函数于，过丙点作轴平行线交反比例函数于，如图所示： 由图可知， 甲、、、丁在反比例函数图像上， 根据题意可知优秀人数，则 ①，即乙、丁两所学校优秀人数相同； ②，即乙学校优秀人数比甲、丁两所学校优秀人数多； ③，即丙学校优秀人数比甲、丁两所学校优秀人数少； 综上所述：丙学校优秀人数甲学校优秀人数丁学校优秀人数乙学校优秀人数， 在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是乙学校， 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数图像与性质的实际应用题，读懂题意，并熟练掌握反比例函数的图像与性质是解决问题的关键． 二．填空题（共6小题） 9. 计算：________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据零指数幂和负整数指数幂进行求解即可． 【详解】解： ． 10. 若代数式有意义，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义，则分母不为零，据此得到，即可求解． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， ∴， 故答案为 11. 如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是_____． 【答案】 【解析】 【分析】由交点坐标，代入求出的值，再根据方程组的解就是两个对应的一次函数图象的交点坐标求出方程组的解即可． 【详解】解：∵一次函数与的图象相交于点， ∴， 解得， ∴， ∴的解是． 12. 如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的四边形的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定和性质，菱形的周长，过点作于，于，由题意易得四边形是平行四边形，进而由平行四边形的面积可得，即可得到四边形是菱形，再解可得，即可求解，得出四边形是菱形是解题的关键． 【详解】解：过点作于，于，则， ∵两张纸条的对边平行， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 又∵两张纸条的宽度相等， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， 在中，，， ∴， ∴四边形的周长为， 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在坐标轴上，已知点，连接，则所在直线的表达式是______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴，由“一线三垂直”模型，构造全等三角形，得出点坐标，最后由待定系数法求函数表达式即可． 【详解】解：过点作轴，如图所示： ， ， ， 则， 在和中， ， ， ， ， ， 则， ， 设所在直线的表达式是，将代入表达式得， 所在直线的表达式是． 14. 一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始的4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完．假设每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量（单位：升）与时间（单位：分）之间的部分关系如图所示．下列四种说法：其中正确的是____． ①每分钟的进水量为5升； ②每分钟的出水量为1.25升； ③从计时开始8分钟时，容器内的水量为25升； ④容器从进水开始到水全部放完的时间是20分钟． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，解答本题的关键是明确题意，正确地从图象中获取信息．根据题意和函数图象中的数据，可以计算出各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由图象可得， 每分钟的进水量为（升），故①正确； 每分钟的出水量为（升），故②错误； 从计时开始8分钟时，容器内的水量为：（升），故③正确； 容器从进水开始到水全部放完的时间是：（分钟），故④正确． 故答案为：①③④． 三．解答题（共10小题） 15. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】先对等式进行变形，再对分式进行约分，最后代入求值即可． 【详解】解：由得，， 将代入上式得， 原式． 16. 解方程： （1） （2）． 【答案】（1） （2）原方程无解 【解析】 【分析】（1）（2）先将分式方程去分母转化为整式方程，再进行求解整式方程，最后进行检验即可． 【小问1详解】 解： 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解； 【小问2详解】 解： 解得， 检验：当时，， ∴原方程无解． 17. 如图，在矩形中，相交于点，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，四边形的面积为__________． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（）由，可得四边形是平行四边形，又由矩形的性质可得，据此即可求证； （）由菱形的性质可得，，进而可得为等边三角形，过点作于点，则，，可得，即得，进而即可求解； 本题考查了平行四边形的判定，矩形的性质，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， 过点作于点，则，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 某化工厂采用机器人和机器人搬运化工原料，机器人比机器人每小时少搬运10千克，机器人搬运900千克所用时间与机器人搬运1000千克所用时间相等．求机器人，每小时分别搬运多少千克化工原料． 【答案】机器人A每小时搬运90千克化工原料，机器人B每小时搬运100千克化工原料． 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，解题的关键是根据“工作时间相等”这一等量关系列出分式方程． 设机器人A每小时搬运的重量为未知数，结合机器人B与A的搬运量关系表示出B的速度，再根据时间相等的条件列方程求解． 【详解】解：设机器人A每小时搬运千克化工原料，则机器人B每小时搬运千克化工原料， ， 解得：， 检验：当时，，所以是原方程的解， 则机器人B每小时搬运：（千克）． 答：机器人A每小时搬运90千克，机器人B每小时搬运100千克． 19. 已知与成正比例，且时． （1）求与之间的函数关系式； （2）当时，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正比例的定义可设，即，然后把时，代入可计算出，从而可确定与之间的函数关系式； （2）把代入（1）的解析式中解方程得出对应的值． 【小问1详解】 解：与成正比例， 设， ， 当时，， ， 解得：， 与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：把代入得， 解得：． 20. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图像为直线l，已知两点、． （1）在直线l位于第一象限的部分找一点C，使得．用直尺和圆规作出点C（不写画法，保留作图痕迹）； （2）直接写出点C的坐标为______； （3）点P在x轴上，的最小值为______． 【答案】（1）见解析 （2） （3）10 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，一次函数图象上的点的坐标特征，最短路径问题，两点之间的距离公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． （1）作线段的垂直平分线交直线于点即为所求； （2）由线段垂直平分线的定义得，点是线段的中点，轴，可得点的坐标，再将代入，即可得点的坐标； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则当、、三点共线时，的值最小，即的值最小，最小值为的长度，由此求解即可． 【小问1详解】 解：如图，作线段的垂直平分线交直线于点即为所求， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵是线段的垂直平分线， ∴点是线段的中点，轴． ∵、， ∴，即． 将代入得，， 解得， ∴点的坐标为． 故答案为：． 【小问3详解】 解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点， ∴， ∴要使的值最小，即的值最小， ∴当、、三点共线时，的值最小，最小值为的长度． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴的最小值是10． 故答案为：10． 21. 直线与反比例函数的图象分别交于点和点，与坐标轴分别交于点C和点D． （1）求直线的解析式； （2）观察图象，当时，直接写出的解集． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据反比例函数解析式求出点A、B的坐标，然后利用待定系数法求直线的解析式即可； （2）根据交点坐标和函数图象可直接得出答案． 【小问1详解】 解：∵点和点在的图象上， ∴， ∴，， 把，代入得， 解得：， ∴直线的解析式为：； 【小问2详解】 解：∵直线与反比例函数的图象分别交于点和点， ∴由图象可得，当时，的解集为． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法的应用以及利用函数图象求不等式解集，熟练掌握待定系数法及数形结合思想的应用是解题的关键． 22. 如图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图2所示． （1）将水从加热到需要 ； （2）在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式； （3）加热一次，水温不低于的时间有多长？ 【答案】（1）3.2 （2） （3）一个加热周期内水温不低于的时间为 【解析】 【分析】本题考查的知识点是一次函数的图像与性质、求反比例函数的解析式、利用函数解决实际问题，解题关键是掌握反比例函数解析式的求法及利用函数解决实际问题． （1）依题得开始加热时每分钟上升，则水温从加热到所需时间用温度差每分钟加热的温度即，即可求解； （2）结合（1）中可得点在反比例函数的图像上，代入即可求得k值，从而得到反比例函数解析式； （3）分类讨论，降温过程中水温等于的时间加热过程中水温等于的时间即为加热一次水温不低于的时长，其中降温过程中水温等于的时间利用（2）中的函数解析式即可求得． 【小问1详解】 解： 开机加热时每分钟上升， 水温从加热到，所需时间为， 故答案为：3.2； 【小问2详解】 解：设水温下降过程中，与的函数关系式为， 由题意得，点在反比例函数的图像上， ， 解得：， 水温下降过程中，与的函数关系式是； 【小问3详解】 解：在加热过程中，水温为时，， 解得：， 在降温过程中，水温为时，， 解得：， ， 一个加热周期内水温不低于的时间为． 23. 甲骑电动车，乙骑自行车从都梁公园门口出发沿同一路线匀速游玩，设乙行驶的时间为，甲、乙两人距出发点的路程、关于x的函数图象如图1所示，甲、乙两人之间的路程差y关于x的函数图象如图2所示，请你解决以下问题： （1）甲的速度是 ，乙的速度是 ； （2）对比图1．图2可知： ， ； （3）请写出甲乙两人之间的距离d与x之间的函数关系式（注明x的取值范围）． （4）乙出发 h，甲、乙两人相距？ 【答案】（1）25，10 （2）10；1.5 （3） （4）或 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． （1）根据题意和函数图象中的数据可以求得甲乙的速度； （2）根据题意和图象中的数据，可以分别得到、的值； （3）利用待定系数法分段求函数关系式； （4）由图象可知甲乙相距有两种情况，然后分别计算两种情况下乙出发的时间即可解答本题． 【小问1详解】 解：由图可得， 甲的速度为：，乙的速度为：， 故答案为：25，10； 【小问2详解】 解：由图可得， ， ， 故答案为：10；1.5； 【小问3详解】 解：当时，设， 代入得，， 解得 ∴； 甲乙第一次相遇时，， 当时，设，则， 解得， ； 当时，设，则， 解得， ； 当时，设，则， 解得， ． 综上，与的关系式为 【小问4详解】 解：由题意可得， 前，乙行驶的路程为：， 则甲、乙两人路程差为是在甲乙相遇之后， 设乙出发时，甲、乙两人路程差为， ， 解得， ，得； 即乙出发或时，甲、乙两人路程差为． 故答案为：或． 24. 如图，在长方形电子屏中，，，一条公益广告画面的动态效果设计如下：动点P从点C出发沿着折线，以的速度匀速运动，O为BC中点，连接，随着点P的移动，画面逐渐展开，当点P运动到点B时，画面全部展开． （1）直接写出展开的画面面积（单位：）关于点P的运动时间t（单位：）的函数表达式，并写出自变量t的范围； （2）当展开的画面面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，播放时间持续，求播放结束时展开的画面面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意：，分点P在上，点P在上，点P在上，求解即可； （2）利用分类思想解答，确定最终要计算的表达式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意：． 因为，，， O为BC中点， ． 当点P在上时，； 当点P在上时，，此时最长时间为， 故； 当点P在上时，，此时最长时间为，故； 综上所述，． 【小问2详解】 解：当展开的画面面积达到电子屏面积的时，此时面积为， 若，解得，不在范围内，舍去； 若，解得，在范围内，符合题意，此时开始播放广告语，因为播放时间持续，结束时间为，此时满足， 故求面积时，应该选择第三阶段的表达式，此时． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林长春力旺实验初级中学2025-2026学年下学期 八年级数学学情自测 一．选择题（共8小题） 1. 绿色植物靠吸收光量子来进行光合作用，已知每个光量子的波长约为0.000688毫米，则每个光量子的波长可用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 若把分式中的x，y同时扩大为原来的3倍，则该分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大为原来的3倍 C. 缩小为原来的 D. 缩小为原来的1.5倍 3. 关于x的方程＝2+有增根，则k的值为（　　） A. ±3 B. 3 C. ﹣3 D. 2 4. 已知，在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，对角线，相交于点O，添加下列一个条件后，不能使成为矩形的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，规格相同的某种盘子整齐地摞在一起，若这摞盘子的个数为x，盘子摞在一起的厚度为，则y与x之间的函数图象关系（不考虑自变量取值范围）大致为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点是反比例函数图象上一点，轴于点，与反比例函数 图象交于点，，连接，，若的面积为，则（ ） A. B. C. D. 8. 甲、乙、丙、丁四所学校举行了航天知识竞赛，并将各校竞赛成绩的优秀率及参赛人数以点的形式描在平面直角坐标系中，其中点的横坐标x表示该校参赛人数，纵坐标y表示竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值），其中描述甲、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次航天知识竞赛中成绩优秀人数最多的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 二．填空题（共6小题） 9. 计算：________． 10. 若代数式有意义，则实数的取值范围是__________． 11. 如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是_____． 12. 如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的四边形的周长为______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在坐标轴上，已知点，连接，则所在直线的表达式是______． 14. 一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始的4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完．假设每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量（单位：升）与时间（单位：分）之间的部分关系如图所示．下列四种说法：其中正确的是____． ①每分钟的进水量为5升； ②每分钟的出水量为1.25升； ③从计时开始8分钟时，容器内的水量为25升； ④容器从进水开始到水全部放完的时间是20分钟． 三．解答题（共10小题） 15. 已知，求代数式的值． 16. 解方程： （1） （2）． 17. 如图，在矩形中，相交于点，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，四边形的面积为__________． 18. 某化工厂采用机器人和机器人搬运化工原料，机器人比机器人每小时少搬运10千克，机器人搬运900千克所用时间与机器人搬运1000千克所用时间相等．求机器人，每小时分别搬运多少千克化工原料． 19. 已知与成正比例，且时． （1）求与之间的函数关系式； （2）当时，求的值． 20. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图像为直线l，已知两点、． （1）在直线l位于第一象限的部分找一点C，使得．用直尺和圆规作出点C（不写画法，保留作图痕迹）； （2）直接写出点C的坐标为______； （3）点P在x轴上，的最小值为______． 21. 直线与反比例函数的图象分别交于点和点，与坐标轴分别交于点C和点D． （1）求直线的解析式； （2）观察图象，当时，直接写出的解集． 22. 如图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图2所示． （1）将水从加热到需要 ； （2）在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式； （3）加热一次，水温不低于的时间有多长？ 23. 甲骑电动车，乙骑自行车从都梁公园门口出发沿同一路线匀速游玩，设乙行驶的时间为，甲、乙两人距出发点的路程、关于x的函数图象如图1所示，甲、乙两人之间的路程差y关于x的函数图象如图2所示，请你解决以下问题： （1）甲的速度是 ，乙的速度是 ； （2）对比图1．图2可知： ， ； （3）请写出甲乙两人之间的距离d与x之间的函数关系式（注明x的取值范围）． （4）乙出发 h，甲、乙两人相距？ 24. 如图，在长方形电子屏中，，，一条公益广告画面的动态效果设计如下：动点P从点C出发沿着折线，以的速度匀速运动，O为BC中点，连接，随着点P的移动，画面逐渐展开，当点P运动到点B时，画面全部展开． （1）直接写出展开的画面面积（单位：）关于点P的运动时间t（单位：）的函数表达式，并写出自变量t的范围； （2）当展开的画面面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，播放时间持续，求播放结束时展开的画面面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $