精品解析：内蒙古自治区呼和浩特市回民区2025-2026学年八年级下学期5月期中数学试题

八年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，考试时间90分钟，试卷分值100分． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 要使二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积是（　　） A. 5 B. 4 C. D. 8 5. 若，则（） A. B. C. D. 6. 两艘轮船从同一港口同时出发，甲船时速40海里，乙船时速30海里，两个小时后两船相距100海里，已知甲船的航向为北偏东，则乙船的航向（ ） A. 南偏西 B. 北偏西 C. 南偏东或北偏西 D. 南偏西或西偏北 7. 图，四边形为菱形，对角线，相交于点，于点，连接，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，的面积为，与交于点，分别过点作的平行线相交于点，点是的中点，点是四边形边上的动点，则的最小值是（ ） A. B. C. 3 D. 5 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 如图，在中，若，则_____°． 10. 如图是扬州市某园林的正八边形窗户示意图，则_______________°． 11. 已知，，则式子的值为_________． 12. 如图，已知正方形的边长为4，E是边延长线上一点，，F是边上一点，将沿翻折，使点E的对应点G落在边上，连接交折痕于点H，则的长为__________． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 计算： （1）； （2）． 14. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形顶点称为格点，线段的端点在格点上．请按下列要求画出一个四边形，且四边形的顶点都在格点上． （1）在图①中，画一个面积为4的平行四边形（非正方形）；使平行四边形的四个顶点均在格点上； （2）在图②中，画一个面积为6的矩形（非正方形），使矩形的四个顶点均在格点上； （3）在图③中，画一个周长为的菱形（非正方形）．使菱形的四个顶点均在格点上． 15. 物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降，实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离是，物体C到定滑轮A的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若滑块B向左滑动了，求此时物体C升高了多少？ 16. 如图，在中，，D是的中点，，， （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 17. 通过适当运算，将分母中的二次根式化为有理式的过程，称为分母有理化． 如这些运算都称为分母有理化． （1）将下列二次根式分母理化：___________，___________ （2）甲、乙两人化简时，写出两种不同的解答过程． 甲： 乙： 请你仔细阅读甲、乙两人的解题过程，对甲、乙两人的解答作出评判（　　） A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲、乙全对 D．甲、乙全错 （3）已知有理数a、b满足求a、b的值． 18. 如图1，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是和，连接，以线段为边向右侧作菱形，且，点在轴上． （1）填空：点的坐标为 ， 度． （2）连接，点是线段上一动点，点在轴上，且．过点作的平行线，过点作的平行线，两线相交于点． ①如图2，当时，求的长度； ②求证：四边形是菱形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，考试时间90分钟，试卷分值100分． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 要使二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数一定为非负数是解题的关键． 直接利用二次根式有意义的条件列不等式求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴ ， ∴ ． 故选B． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算性质，需根据二次根式的化简、乘方、加减、乘法法则逐一判断选项． 【详解】解：∵，∴A选项错误． ∵，∴B选项错误． ∵与是不同的最简二次根式，不能合并为，∴C选项错误． ∵，∴D选项正确． 3. 下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的判定定理，逐一判断即可． 【详解】解：A、由图可知，对角线与两邻边的夹角均为，即邻边相等，则根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可判定选项A一定是菱形； B、由三角形内角和定理可知对角线夹角为，即对角线垂直，则根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可判定选项B一定是菱形； C、根据图中数据，只能说明同旁内角互补，不能说明一定是菱形； D、由图可知对角线平分内角，即所分成的两个角均为，由平行线性质可推出三角形为等边三角形，故邻边相等，则选项D一定是菱形； 则只有选项C不一定是菱形． 4. 如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积是（　　） A. 5 B. 4 C. D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形面积公式等知识，熟练掌握勾股定理，正确作出辅助线构建直角三角形是解题的关键． 连接，由勾股定理求得，再由勾股定理逆定理可得，由即可求解． 【详解】解：连接，如图： ∵，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 5. 若，则（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据二次根式的性质直接化简，根据条件，，简化根式，需利用平方根的性质和绝对值的意义进行化简． 【详解】解：∵，， ∴（负数的立方为负）， 故，从而，根式有意义． ∵， ∴， 又∵，且，∴， ∴原式， 即，与选项A一致． 故选：A． 6. 两艘轮船从同一港口同时出发，甲船时速40海里，乙船时速30海里，两个小时后两船相距100海里，已知甲船的航向为北偏东，则乙船的航向（ ） A. 南偏西 B. 北偏西 C. 南偏东或北偏西 D. 南偏西或西偏北 【答案】C 【解析】 【分析】先计算两船航行2小时后的路程，利用勾股定理逆定理判断两船航行方向互相垂直，再结合甲船的方位角分情况得到乙船的航向即可． 【详解】解：由题意得，两船航行2小时后，甲船行驶路程为海里，乙船行驶路程为海里， ∵， ∴ 由勾股定理逆定理可得，甲乙两船的航行方向夹角为， 已知甲船航向为北偏东，计算得，分两种情况： 乙船航行方向为北偏西或乙船航行方向为南偏东； 因此乙船的航向为南偏东或北偏西． 7. 图，四边形为菱形，对角线，相交于点，于点，连接，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据菱形的性质得，结合等腰三角形的性质、三角形内角和定理可得，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到，利用等腰三角形的性质得，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 8. 如图，的面积为，与交于点，分别过点作的平行线相交于点，点是的中点，点是四边形边上的动点，则的最小值是（ ） A. B. C. 3 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知，当垂直于菱形的一边时，有最小值，过点作于点，当点为的中点时，为的中位线，得，，证明平行四边形是矩形，得，求出，即可得出结论． 【详解】解：由题意知，，， ∴四边形是平行四边形， 又∵，， ∴， ∴平行四边形是菱形； ∵点是的中点，点是四边形边上的动点， ∴当垂直于菱形的一边时，有最小值， 过点作于点， 当点为的中点时，连接， 则为的中位线， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是矩形， ∴， 解得：， ∴， 即的最小值是． 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 如图，在中，若，则_____°． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据平行四边形对角相等可得 10. 如图是扬州市某园林的正八边形窗户示意图，则_______________°． 【答案】135 【解析】 【详解】解：． 11. 已知，，则式子的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先将所求代数式利用完全平方公式变形为 ，再分别计算与的值，代入变形后的式子计算即可得到结果． 【详解】解： 已知，， ∴ ， ∴． 12. 如图，已知正方形的边长为4，E是边延长线上一点，，F是边上一点，将沿翻折，使点E的对应点G落在边上，连接交折痕于点H，则的长为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查正方形与折叠，勾股定理与折叠，正确求出和的长度是解题关键．根据正方形和折叠的性质结合勾股定理可求出，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵正方形的边长为4， ∴，， ∴． 由翻折可知，，，， ∴， ∴． 设，则，．　 在中，，即， 解得：， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）运用二次根式的混合运算法则计算即可； （2）运用乘法公式，二次根式的混合法则计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 14. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形顶点称为格点，线段的端点在格点上．请按下列要求画出一个四边形，且四边形的顶点都在格点上． （1）在图①中，画一个面积为4的平行四边形（非正方形）；使平行四边形的四个顶点均在格点上； （2）在图②中，画一个面积为6的矩形（非正方形），使矩形的四个顶点均在格点上； （3）在图③中，画一个周长为的菱形（非正方形）．使菱形的四个顶点均在格点上． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）见详解 【解析】 【分析】（1）根据“一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”，并结合平行四边形的面积公式，即可获得答案； （2）根据“有一个角为直角的平行四边形为矩形”，并结合矩形的面积公式，即可获得答案； （3）根据“四条边均相等的四边形为菱形”，并根据勾股定理确定菱形的边长，据此作图即可． 【小问1详解】 解：如下图， ∵且， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形即为所求； 【小问2详解】 解：如下图， ∵且， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， 且 ∴四边形即为所求； 【小问3详解】 解：如下图， ∵， ∴四边形为菱形，且该菱形的周长， ∴四边形即为所求． 15. 物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降，实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离是，物体C到定滑轮A的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若滑块B向左滑动了，求此时物体C升高了多少？ 【答案】（1）绳子的总长度为 （2）此时物体C升高了 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合题意得，运用勾股定理算出，即可求出绳子的总长度； （2）理解题意得，然后算出，再结合勾股定理得，因为绳子的总长度为，即可作答． 【小问1详解】 解：根据题意得． ， ， 答：绳子的总长度为； 【小问2详解】 解：∵滑块B向左滑动了， 即， ， 在中，， 由（1）得绳子的总长度为， ， ∴物体C升高的高度 答：此时物体C升高了． 16. 如图，在中，，D是的中点，，， （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的判定即可证明； （2）根据矩形的性质和三角形面积公式即可求解． 【小问1详解】 证明：∵，D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵D是的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 17. 通过适当运算，将分母中的二次根式化为有理式的过程，称为分母有理化． 如这些运算都称为分母有理化． （1）将下列二次根式分母理化：___________，___________ （2）甲、乙两人化简时，写出两种不同的解答过程． 甲： 乙： 请你仔细阅读甲、乙两人的解题过程，对甲、乙两人的解答作出评判（　　） A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲、乙全对 D．甲、乙全错 （3）已知有理数a、b满足求a、b的值． 【答案】（1）， （2）C （3）， 【解析】 【分析】本题主要考查了分母有理化，解题的关键是找准有理化因式． （1）根据乘以有理化因式或根据平方差公式因式分解化简计算即可； （2）根据（1）中方法进行判断即可； （3）根据方法一，进行分母有理化计算得出，根据为有理数，进而即可求得的值，即可求解． 【小问1详解】 解： 故答案为：，； 【小问2详解】 根据（1）中的方法进行计算可知，甲、乙都对 故选：C． 【小问3详解】 解： 是有理数 ． 18. 如图1，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是和，连接，以线段为边向右侧作菱形，且，点在轴上． （1）填空：点的坐标为 ， 度． （2）连接，点是线段上一动点，点在轴上，且．过点作的平行线，过点作的平行线，两线相交于点． ①如图2，当时，求的长度； ②求证：四边形是菱形． 【答案】（1）， （2）① ②见解析 【解析】 【分析】本题是四边形的综合题，考查了菱形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，所对的直角边等于斜边的一半，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并数形结合分类讨论是解题的关键． （1）利用勾股定理，可求得的长度，从而知道菱形的边长，再利用菱形的性质，等腰三角形的性质，以及三角形的内角和定理，即可求得点的坐标和的度数； （2）①利用等腰三角形“三线合一”的性质，勾股定理，所对的直角边等于斜边的一半计算，即可得出答案； ②连接，设交于点，先利用菱形的性质，求得，接着利用外角得，从而推出，接着证明，得到，，接着证明，推出，从而知道，，借助，，可得到四边形是平行四边形，加上邻边相等，即可得证． 【小问1详解】 解：∵点，的坐标分别是和， ∴，． ∵°， ∴， ∵以线段为边向右侧作菱形， ∴，， ∴，． ∴． 故答案为：，． 【小问2详解】 ①解：当时，点在上时，作交于，如图， 由（1）可知，，，， ∴， ， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． ②证明：连接，设交于点，如图所示， 由（1）可知，四边形是菱形，，，， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ， ∴． ∵， ， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∵，， ∴四边形是平行四边形，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $