辽宁省2025-2026学年九年级数学下学期阶段测试

**基本信息** 辽宁九年级数学阶段测试卷以本土冰雪文旅、新能源汽车等真实情境为载体，融合数学文化与跨学科元素，梯度覆盖中考核心知识，突出建模与创新能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|科学记数法、视图、轴对称、概率、方程|新情境题（冰雪游客统计）、跨学科题（生物基因概率）、数学文化题（《算学启蒙》追及问题）| |填空题|5/15|因式分解、统计方差、反比例函数、解直角三角形|结合农场花卉统计分析稳定性，考查数据意识| |解答题|8/75|函数建模、圆的证明与计算、几何转化思想、二次函数新定义|射灯抛物线建模（模型意识）、几何倍角转化（推理能力）、等距零点抛物线（创新意识），贴合中考综合题命题趋势|

Sheet1 题号 题型 分值 知识点 难度系数（预估） 1 单选题 3 科学计数法 0.94 2 单选题 3 几何体的三视图 0.95 3 单选题 3 轴对称图形的识别 0.95 4 单选题 3 整式的运算 0.85 5 单选题 3 概率计算 0.85 6 单选题 3 一元一次方程 0.7 7 单选题 3 一元二次方程跟的判别式 0.7 8 单选题 3 三角形的中位线、相似三角形 0.8 9 单选题 3 圆周角定理、弧长计算 0.8 10 单选题 3 角平分线、垂直平分线尺规作图以及性质，解直角三角形 0.65 11 填空题 3 因式分解 0.85 12 填空题 3 统计量（方差、平均数） 0.95 13 填空题 3 反比例函数k的几何意义 0.7 14 填空题 3 解直角三角形 0.8 15 填空题 3 平行四边形、菱形的性质，三角形中位线定，勾股定理 0.45 16 解答题 10 实数混合运算、分式化简 0.8 17 解答题 8 二元一次方程组、一次函数与不等式（利润问题） 0.75 18 解答题 8 统计图表、中位数、众数、样本估计总体 0.8 19 解答题 8 一次函数图像、行程问题 0.7 20 解答题 8 二次函数实际应用 0.6 21 解答题 8 圆的切线判定、相似三角形的判定、勾股定理 0.65 22 解答题 12 全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理 0.5 23 解答题 13 新定义（零点）、二次函数的平移、二次函数的图像和性质 0.4 $ 辽宁九年级数学下学期阶段测试 答案及解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B D D D B D A A D D 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．【答案】B 【解析】.故选：B. 2．【答案】D 【解析】这个几何体的俯视图为 .故选：D． 3．【答案】D 【解析】解：由题意可得， A选项图形是轴对称图形，不符合题意， B选项图形是轴对称图形，不符合题意， C选项图形是轴对称图形，不符合题意， D选项图形不是轴对称图形，符合题意.故选：D． 4．【答案】D 【解析】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意.故选：D． 5．【答案】B 【解析】列表如下： 共有4种等可能的结果，其中他们的子女可以卷舌的结果有： ，，共2种， 他们的子女可以卷舌的概率为．故选B． 6．【答案】D 【解析】解：设快马天可以追上慢马, 由题意得，.解得，慢马走了天，D说法错误.故选：D. 7．【答案】A 【解析】解：∵关于的方程有两个不相等实数根， ∴且 解得：且.故选A． 8．【答案】A 【解析】解：取的中点，连接，如图， 是的中点，是的中点， 是的中位线， 平行于，， ∵四边形是平行四边形， ，平行于， 是的中点， ， 平行于，， ∴四边形是平行四边形， ， ，是的中点， ， ，．故选：A. 9．【答案】D 【解析】解：， ， 的长为，故选：D. 10．【答案】D 【解析】解：连接， ∵，， ∴， 由作法得平分，垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 则即， 解得．故选：D． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．【答案】（3分） 【解析】. 故答案为：. 12．【答案】丁（3分） 【解析】解：∵， ∴开花时间最长的是甲、丁， ∵， ∴开花时间最长且最平稳的是丁． 故答案为：丁 13．【答案】20 （3分） 【解析】如图，过点C作于点E， ∵，， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴点C的横坐标为， ∴点C的坐标为， 把点代入得：.故答案为：20 14．【答案】4.7（3分） 【解析】过点D作于点E，如图所示： 则四边形为矩形， ∴，， 在中，， ∴， 解得：， ∴．故答案为4.7 ． 15．【答案】（3分） 【解析】解：如图，取的中点，的中点，连接，，过点作于， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵、分别为、的中点， 为的中点， 为的中点， ∴，，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴．故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．【答案】（1） （2） 【解析】（1）解：原式…………………………2分 ……………………………………………4分 ；……………………………………………………5分 （2）解：原式 …………………………7分 ……………………9分 ，……………………………………10分 17．【答案】（1）12万元,16万元； （2）,利润最小值为35万元. 【解析】（1）解：设插混式汽车每台售价万元，纯电式汽车每台的售价万元， 由题意得，，……………………………………2分 解得． 答：插混式汽车每台售价12万元，纯电式汽车每台20万元．………………………3分 (2) ……………………………………4分 . 由题意得：……………………………………5分 解得．……………………………………6分 ， 随的增大而增大． 又， 当时，最小．……………………………………7分 万元 答：w关于的a函数表达式为，利润最小值为35万元．…………………8分 18．【答案】（1）， （2） （3）140人 【解析】(1)解：七年级20名同学中组有：1人，组有：人，组有6人，则组有人， ∴组所占百分比为：，则； 八年级中出现次数最多的是81分， 故八年级众数；……………………………………………………………2分 (2)解：七年级同学的中位数为第10名、第11名的平均数， 由（1）可得，第10，11数据在C组是83，83， ∴；……………………………………………………………5分 (3)解：， 答：两个年级参加此次竞赛活动成绩在87分及以上的学生人数共有人．…………………………8分 19．【答案】（1）31,45 （2）210米 【解析】（1）31 ; 45 . …………………………………………………2分 （2）解：设折线①中线段所在直线的函数解析式为， 将，代入得， 解得， 折线①中线段所在直线的函数解析式为；…………………………4分 （3）解：设所在直线的函数解析式为，将代入得， 解得， 所在直线的函数解析式为，……………………………………………5分 联立， 解得， 时，全全警官追上安安警官，……………………………………………6分 ……………………………………………………………7分 全全警官加速追上安安警官时与B的距离为210米．…………………………8分 20．【答案】（1） （2）能 【解析】（1）解：∵点到水平地面的高度均为，点到点的水平距离为， ∴点M的坐标为， 设抛物线的解析式为：，………………………………1分 把代入得：， 解得：，…………………………………………………………………2分 ∴抛物线的解析式为：；……………………………3分 （2）解：∵抛物线向右平移后与抛物线重合， ∴抛物线的解析式为： ，…………………………4分 令， 解得： 把代入得…………………………………………………………5分 令， 解得：，， 令， 解得：，， ∴该沙发的长度最大值为： ．………………………………7分 ∵, ∴这款沙发能完全摆放在这两盏射灯在墙上的照射区域内. ……………………………8分 21．【答案】（1）证明略 （2） 【解析】（1）证明：连接 是的切线 ………………………………………………1分 ……………………………………2分 ………………………………………3分 ……………………………………4分 即 （2）是的直径 ………………………………………………………………5分 ………………………………………………………………6分 , ,, ………………………………………………………………7分 ………………………………………………………………8分 22．【答案】（1） （2）,证明略 （3） 【解析】（1）（1）解：小浩同学思路：延长至点，使得，连接，…………1分 ， ， ，， ， ， ，， ，………………………………………………………………2分 ，即，………………………………………………………………3分 ；……………………………………………………………………………4分 小轩同学思路：作，交于点D,作,………………………1分 , ， ， ， ，……………………………………………………………………………2分 ，……………………………………………………………3分 .………………………………………………………………4分 （2）解：，证明如下，…………………………………………………5分 如图，延长至点，使，连接，……………………………………6分 ，， ，， ，， ，…………………………………………………7分 ， 设，则， ， ， ， ，， ，…………………………8分 ； （3）解：如图，过点作，交于点，作,交于点， ， ， ，， ， ，………………………………………………………………………9分 , ，, 则 ………………………………………………………………………10分 ……………………………………………………………………………11分 ,,, ………………………………………………………………12分 23．【答案】（1）； （2）, （3）或 【解析】（1）解：根据“零点”的定义，令, 得：, 的零点为-1和3, ………………………………………………………………2分 ， 顶点的坐标为.……………………………………………………………3分分 （2）解：根据题意得：,………………………………………………………4 将沿轴方向平移个单位得或， 平移后顶点坐标为或…………………………………5分 的顶点在直线 把代入得：， 解得 , …………………………………………………………6分 把代入得：， 解得 （3）解：① 由（2）可得 对称轴为直线 当时，随的增大而减小 当, 的函数值随的增大而减小 …………………………………………………………7分 .…………………………………………………………8分 ② 当即时， 此时，随的增大而减小 时，， ，……………………………………………………………9分 解得（与题意不符，舍掉） 当时， 此时，随的增大而增大 时，； 时， 解得（与题意不符，舍掉） 当即时， 当即时， 时， ………………………………………………………10分 解得（与题意不符，舍掉） 当即时， 时， ……………………………………………………11分 解得（与题意不符，舍掉） 综上，或………………………………………………………………13分 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 应用场景：中考练习卷 辽宁九年级数学下学期阶段测试 （考试时间：120分钟，分值：120分） 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（原创）（新情境题）2026年，辽宁省依托本土的冰雪资源优势，不断壮大冰雪文旅产业，丰富冬季休闲游玩项目。春节假期文旅市场迎来热潮，全省各地冰雪游玩景点游客络绎不绝，共计接待冰雪旅游游客65.4万人次。将65.4万用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 2．将一个长方体沿四条棱切割掉一个三棱柱后，得到如图所示的几何体，则该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 3．生活中有许多对称美的图形，下列不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 4．（原创）下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5．(跨学科题)在生物学中，人的卷舌由显性基因控制，不卷舌由隐性基因控制，即控制卷舌、不卷舌的基因分别是和，组合、都能卷舌，只有不能卷舌。如果一个家庭中爸爸是基因（能卷舌），妈妈是基因（不能卷舌），那么他们的孩子能卷舌的概率为（ ） A. 1 B. C. D. 0 6．（数学文化）我国元代数学家朱世杰所著的《算学启蒙》（1299年）中有这样一个问题，“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之”．其大意为：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马天可以追上慢马，下列说法错误的是（ ） A. 慢马在领先的12天里，一共走了里 B. 快马每天比慢马多走里 C.快马追上慢马需要的天数可列方程 D. 快马追上慢马时，慢马走了20天 7．（原创）若关于的方程有两个不相等的实数根，则x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．如图，在中，是的中点，是的中点，交于点，若，则的长为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 9．如图，四边形内接于，过点作，交于点．若，圆的半径为2，则的长为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在中，小聪按照以下步骤进行作图： ①在和上分别截取和，使，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点； ②分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线分别交，于点和点． 根据以上作图，若，，，，则的长为（    ） A．4 B． C． D． 第二部分（非选择题 共100分） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．分解因式：____________． 12．某农场培育甲、乙、丙、丁四种花各50株，这四种花开花时间（单位：天）的统计结果如下表： 种类 甲 乙 丙 丁 平均数 3.5 2.9 2.4 3.5 方差 1.25 0.76 1.25 0.76 则这四种花中，开花时间最长且最平稳的是____________． 13．如图，在中，，轴，垂足为，反比例函数的图象经过点，交于点．若，则 ． 14．如图，小明站在与树（）相距的点C处，测得树顶A的仰角为，小明的眼睛距地面的高度，则这棵树的高度为______（结果精确到，参考数据：，，）． 15．如图，在矩形中，、分别为、边上的点，且，为上一点，且，、分别为、的中点，则 ． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．计算： (1) ； (2) ． 17．解锁新能源汽车，驶向未来的科技引擎．在科技飞速发展的今天，新能源汽车如雨后春笋般出现在大街小巷，其具有能耗成本低，驾驶体验舒适，环保性能良好等优点，深受广大消费者的喜爱．某品牌汽车销售公司8月共售出16台插混式汽车和10台纯电式汽车，销售额为392万元，9月共售出20台插混式汽车和15台纯电式汽车，销售额为540万元． (1)求插混式汽车和纯电式汽车每台的售价各是多少万元？ (2)受惠民政策影响，所有车辆每台补贴2万元。已知插混式汽车每台成本为9万元，纯电式汽车每台成本为16万元。在“十一”黄金周期间，销售公司共售出两种新能源汽车25辆，且销售额不少于330万元。设售出纯电式汽车 台，求公司获得的总利润 （万元）与的函数关系式，并求出的最小值． 18．的出现在世界范围内引起轩然大波．近期某校举办了关于的科普知识竞赛，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理和分析（成绩得分用表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．） 下面给出了部分信息： 七年级20名学生的竞赛成绩在A组的数据为：96． 在C组的数据为：82，83，83，84，85，86； 八年级20名学生的竞赛成绩为：79，79，79，79，80，80，81，81，81，81，81，82，82，83，83，84，84，85，85，92． 七、八年级所抽学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 82.05 77 八年级 82.05 81 （1）直接写出：______，______； （2）求七年级所抽取的学生竞赛成绩的中位数； （3）若该校七、八年级共有800人参加了此次竞赛活动，请估计两个年级成绩在87分及以上的学生共有多少人？ 19．随着人工智能的发展，智能机器人警察已经陆续出现，图1是机器人警察安安和全全，他们从街头处出发，准备前往相距米的处（、在同一直线上）巡逻，安安警察比全全警察先出发，且速度保持不变，全全警察出发一段时间后将速度提高到原来的2倍.已知安安警察、全全警察行走的路程（米），（米）与安安警察行走的时间（秒）之间的函数关系图象如图2所示． (1)= ______ ，= ______ ； (2)求折线①中线段所在直线的函数解析式； (3)求全全警察加速后追上安安警察时与的距离． 20．（新情境题）综合与实践 问题情境：如图1，小李同学家在沙发背景墙上方同样的高度处安装了两盏射灯，其在墙上的照射区域的边缘为形状相同的抛物线的一部分． 数学建模：如图2，以左侧射灯在墙上的照射区域的边缘与水平地面的左侧交点为原点，水平地面向右为轴，竖直向上为轴，建立平面直角坐标系（单位长度为）．将左、右两侧的射灯在墙上的照射区域的边缘所在的抛物线分别记为，将抛物线与水平地面的右侧交点记为，顶点记为；抛物线与水平地面的交点分别记为（点在点的左侧），顶点记为；两抛物线的交点记为． 测量数据：两盏射灯之间的距离为，即抛物线向右平移后与抛物线重合，点到水平地面的高度均为，点到点的水平距离为． 问题解决： (1)求抛物线的函数表达式． (2)如图3，小李同学的爸爸想定做一款沙发靠墙摆放，将沙发靠墙的一面抽象为矩形，已知该款沙发的高度, 宽度，请通过计算说明，这款沙发能否完全摆放在这两盏射灯在墙上的照射区域内，请说明理由. (参考数据) 21. （原创）如图,是的直径，是上一点，过点作的切线，交的延长线于点，连接，.过作于点. （1）求证：; （2）若,，求的长. 22. 在数学活动课上，老师给出如下问题：如图3，在中，，，，求的长． ①如图2，小浩同学延长至点，使得，连接，通过可求的长； ②如图3，小轩同学作，交于点D，可得，作通过勾股定理可求的长． （1）请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程； 图2 图1 图3 【类比分析】 老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将倍角关系转化为等角关系，为了帮助学生更好地感悟转化思想，老师提出了下面的问题，请你解答． （2）如图4，在中，，，点D，E分别在，上，，试探究，，之间的数量关系，并证明； 【学以致用】 （3）如图5，在中，,,,是边的中线，点是边上的一点，且,连接,求的长. 图5 图4 试卷第9页，共8页 试卷第8页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 23.（原创）（新情境题）在平面直角坐标系中，对于抛物线，它与轴的两个交点的横坐标称为抛物线的零点，记两个零点为,则称为抛物线的“零点距”.若抛物线可由经过平移得到，且与的“零点距”相等，则称与互为“等距零点抛物线”.已知抛物线,顶点为， （1）求的“零点”及顶点坐标; （2）将沿轴方向平移个单位，再沿轴方向平移个单位，得到抛物线，若与互为“等距零点抛物线”，且的顶点在直线上，求与的值； （3）在（2）的条件下; ①当, 的函数值随的增大而减小，求的取值范围； ②设点是上的动点，其横坐标为,当(为实数)，的最大值为 ,最小值为, 若, 求的值. 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $