精品解析： 辽宁省阜新市第十六中学2024-2025学年九年级下学期月考数学试卷（4月份）

2024-2025学年辽宁省阜新十六中九年级（下）月考数学试卷（4月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的定义即可判断． 【详解】A. 是反比例函数，故此选项错误； B. 是二次函数，故此选项正确； C. 是一次函数，故此选项错误； D. 是正比例函数，故此选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的定义：形如，其中，且a、b、c是常数，掌握二次函数的定义是解题的关键． 2. 的值等于（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值，牢记特殊角的三角函数值是关键． 直接根据特殊角的三角函数值即可得出答案． 【详解】解：， 故选：D． 3. 如图，坡角为α的斜坡AB长5米，若tanα＝，则BC的长为（　　） A. 米 B. 5米 C. 10米 D. 5米 【答案】B 【解析】 【分析】设BC＝x米，根据正切的定义用x表示出AC，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：设BC＝x米， ∵tanα＝， ∴＝， ∴AC＝2x米， 在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，即（5）2＝x2+（2x）2， 解得：x1＝5，x2＝﹣5（舍去）， 则BC＝5米， 故选：B． 【点睛】本题考查度数解直角三角形的应用—坡度坡角问题，准确掌握正切的定义是解题的关键． 4. 如图，的顶点均在正方形网格的格点上，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，连接CD，由，，，可知，，由可得角的正弦值． 【详解】解：如图，连接CD ∵，， ∴ ∴ ∴ 故选C． 【点睛】本题考查了正弦值，勾股定理的逆定理．解题的关键在于构造直角三角形． 5. 在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2向上平移一个单位长度，再向右平移一个单位长度，得到的抛物线解析式是（ ） A. y＝(x－1)2－1 B. y＝(x－1)2＋1 C. y＝(x＋1)2－1 D. y＝(x＋1)2＋1 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据“左加右减，上加下减”的规律写出即可． 【详解】解：∵向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后的顶点坐标， ∴所得抛物线解析式是y=(x-1)2+1， 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式． 6. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】B 【解析】 【分析】根据对称轴公式即可求解． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线， 即， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握抛物线对称轴公式是解题的关键． 7. 已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（ ） A. 图象的开口向下 B. 图象的顶点坐标是 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 图象与x轴有唯一交点 【答案】C 【解析】 【分析】将二次函数解析式化为顶点式求解． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而减小，时，y随x的增大而增大． 8. 下列关于外心的说法正确的是（ ） A. 外心是三个角的平分线的交点 B. 外心是三条高的交点 C. 外心是三条中线的交点 D. 外心是三边的垂直平分线的交点 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的外心的性质以及定义分别分析得出即可． 【详解】解：外心是三边的垂直平分线的交点， 9. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，，则∠AOC的度数是（ ） A. 70° B. 110° C. 135° D. 140° 【答案】D 【解析】 【分析】根据四边形ABCD内接于⊙O，，求得，进而根据圆周角定理即可求得 【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，， ∴ 故选D 【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，圆周角定理，求得是解题的关键． 10. 一次函数与反比例函数的图象如图，则二次函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数与反比例函数图象找出a、b、c的正负，再根据抛物线的对称轴为直线，找出二次函数对称轴在y轴右侧，比对四个选项的函数图象即可得出结论． 【详解】解：一次函数图象过第一、二、四象限， ， ， 二次函数开口向下，二次函数对称轴在y轴右侧； 反比例函数的图象在第二、四象限， ， 二次函数的图象与y轴交点在x轴下方． 满足上述条件的函数图象只有选项A． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 在△ABC中，∠C=90°，AB=15，sin A=，则BC的长为__________ 【答案】9 【解析】 【分析】根据正弦的定义得到sinA==，然后把AB=15代入计算即可． 【详解】解：在△ABC中，∠C=90°， ∴sinA==， ∴BC=AB=×15=9． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了解直角三角形，锐角三角函数定义等知识点，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键． 12. 若抛物线与x轴一个交点为，则另一个交点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】设另一个交点坐标为(b，0)，先求出二次函数的对称轴，再根据对称性即可得． 【详解】解：设另一个交点的坐标为(b，0)， ∵二次函数y=x2+4x+ m的对称轴为x= ，且与x轴的一个交点坐标为(1，0)， ∴， 解得b =−5， 则另一个交点的坐标为(−5，0)， 故答案为：(−5，0)． 【点睛】本题考查了二次函数与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数的对称性是解题关键． 13. 若函数的图象与轴有两个公共点，则的范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．分和两种情况讨论，然后根据二次函数的定义和判别式的意义得到且，进而求解即可． 【详解】解：当时，，此时是一次函数，与x轴有一个公共点； 当时，是二次函数， ∵函数与x轴有两个公共点， ∴， ∴． 故答案为：且． 14. 若⊙O的半径为，点A与圆心O的距离为，则点A与⊙O的位置关系是______． 【答案】圆外 【解析】 【分析】判断点到圆心的距离与圆的半径的大小关系可得答案． 【详解】解：∵⊙O的半径为，点A与圆心O的距离为， ∴点A在⊙O外． 15. 如图，是的直径，是的弦，且，则_____． 【答案】##120度 【解析】 【分析】由已知可得，弦三等分半圆，从而不难求得的度数． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴弦三等分半圆， ∴弦和和对的圆心角均为， ∴． 故答案是：． 【点睛】本题利用了弧、弦与圆心角的关系求解，注意半圆对的圆心角为． 16. 如图，小明为了测量旗杆AB高度，采用如下方案：在点C处测得旗杆顶B的仰角为45°，从与点C相距6m的E处测得旗杆顶B的仰角为60°．若，则旗杆AB的高度是______m（精确到0.1m）．（参考数据：）． 【答案】16.1 【解析】 【分析】延长CE交BA于G，则∠BGE=90°，设BG=xm．根据观测的角度和直角三角形的边角关系用x来表示GE和CG，进而表示出CE，根据点C和点E的距离列出方程并求解可得BG的长度，再根据CD和EF的长度确定AG的长度，即可求出AB的长度． 【详解】解：如下图所示，延长CE交BA于G，则∠BGE=90°． 设BG=xm． ∵在点C处测得旗杆顶B的仰角为45°，从点E处测得旗杆顶B的仰角为60°， ∴，． ∴CE=CG-GE=． ∵点E与点C相距6m， ∴． ∴． ∴． ∵． ∴AG=1.9m． ∴． 故答案为：16.1． 【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握该知识点是解题关键． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，特殊锐角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用算术平方根的定义，零指数幂，特殊锐角三角函数值计算后再算加减即可； （2）利用特殊锐角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，二次根式的性质计算后再算加减即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 计算： （1） （2）． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）利用有理数的乘方法则，二次根式及绝对值的性质，特殊锐角三角函数值计算后再算加减即可； （2）利用特殊锐角三角函数值，零指数幂计算后再算加减即可． 【小问1详解】 原式 ； 【小问2详解】 原式 ． 19. 如图，在△ABC中，∠B=30°，，AD⊥BC于点D．若AD=4，求BC的长． 【答案】 【解析】 【分析】分别解两个直角三角形求出BD和CD的长即可． 【详解】解：∵AD⊥BC， ∴∠ADB=∠ADC=90°， ∵∠B=30°， ∴AB=2AD=8， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形、含30°角直角三角形的性质以及勾股定理等知识，求出BD和CD的长是解题的关键． 20. 已知二次函数． （1）直接写出x轴两交点和顶点坐标； （2）在平面直角坐标系中画出的图象． 【答案】（1），； （2）见解析 【解析】 【分析】（1）将函数解析式化为顶点式和交点式，即可得到答案； （2）利用“五点法”进行画图即可． 【小问1详解】 解：， 该函数与x轴的交点坐标为，，顶点坐标为； 【小问2详解】 解： 21. 某网店正在热销一款电子产品，其成本为10元/件，销售中发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间存在如图所示的关系： （1）请求出y与x之间的函数关系式； （2）该款电子产品的销售单价为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元； 【答案】（1）y＝﹣10x+300 （2）该款电子产品销售单价定为20元时，每天销售利润最大，最大销售利润为1000元 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解可得； （2）设该款电子产品每天的销售利润为w元，根据“总利润＝每件的利润×销售量”可得函数解析式，配方成顶点式后利用二次函数的性质求解可得； 【小问1详解】 解：设y与x的函数关系式为，将（20，100），（25，50）代入y＝kx+b， 得 ， 解得 ， ∴y与x的函数关系式为y＝﹣10x+300； 【小问2详解】 解：设该款电子产品每天的销售利润为w元， 由题意得w＝（x﹣10）•y ＝（x﹣10）（﹣10x+300） ＝﹣10x2+400x﹣3000 ＝﹣10（x﹣20）2+1000， ∵﹣10＜0， ∴当x＝20时，w有最大值，w最大值为1000． 答：该款电子产品销售单价定为20元时，每天销售利润最大，最大销售利润为1000元； 【点睛】本题考查了一次函数性质，二次函数的性质，解题的关键是理解题意，得出利润关于销售单价的函数关系式． 22. 如图，中，，以为直径作，交于点D，交的延长线于点E，连接、． （1）求证：D是的中点； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理、等腰三角形的三线合一的性质即可证得结论； （2）根据题意证明，得到，求出，即可求出半径． 【小问1详解】 证明：是的直径， ， ， ， 是等腰三角形， ， D是的中点； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 23. 如图，以等边三角形的边为直径画圆，交于点D，于点F，连接，且． （1）求证：； （2）求线段的长度． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质、圆的性质、平行线的判定与性质以及勾股定理的应用，解题关键是利用等边三角形的内角为，结合圆的半径相等推出平行关系，再通过直角三角形的性质和勾股定理求解． （1）判定是等边三角形，得到，，因此，判定，即可证明； （2）由含度角的直角三角形的性质得到，由勾股定理求出，进而再由勾股定理即可求出的长． 【小问1详解】 证明：连接， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 设圆的半径为，则， 是等边三角形， ， 由（1）知是等边三角形，， ， 在中，，， ， （直角三角形中，角所对的直角边是斜边的一半）， ，即， 又，， ， ， ， 在中，由勾股定理： ． 24. 如已知二次函数的图象过点和点，且与y轴交于点C，D点在抛物线上且横坐标是． （1）求抛物线的解析式； （2）写出这个二次函数图象的对称轴、顶点坐标： （3）抛物线的对称轴上有一动点，求出的最小值． 【答案】（1） （2）二次函数图象的对称轴为直线、顶点坐标为 （3） 【解析】 【分析】（1）将点和点，代入解析式，待定系数法求解析式即可求解； （2）将解析式化为顶点式即可求解； （3）根据二次函数图象的对称性得出的最小值为的长，勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象过点和点， ∴ 解得： ∴； 【小问2详解】 解：， ∴二次函数图象的对称轴为直线、顶点坐标为 【小问3详解】 解：令中，，则， ∴， ∵，关于对称轴对称， 则， 连接，交对称轴于点，则此时取最小值， ∵,， ∴， 此时． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数图象的性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年辽宁省阜新十六中九年级（下）月考数学试卷（4月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列函数中，是二次函数是（ ） A. B. C. D. 2. 的值等于（　　） A. B. C. D. 3. 如图，坡角为α斜坡AB长5米，若tanα＝，则BC的长为（　　） A. 米 B. 5米 C. 10米 D. 5米 4. 如图，的顶点均在正方形网格的格点上，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 5. 在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2向上平移一个单位长度，再向右平移一个单位长度，得到的抛物线解析式是（ ） A. y＝(x－1)2－1 B. y＝(x－1)2＋1 C. y＝(x＋1)2－1 D. y＝(x＋1)2＋1 6. 抛物线的对称轴是（ ） A 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 7. 已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（ ） A. 图象的开口向下 B. 图象的顶点坐标是 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 图象与x轴有唯一交点 8. 下列关于外心的说法正确的是（ ） A. 外心是三个角的平分线的交点 B. 外心是三条高的交点 C. 外心是三条中线的交点 D. 外心是三边的垂直平分线的交点 9. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，，则∠AOC度数是（ ） A. 70° B. 110° C. 135° D. 140° 10. 一次函数与反比例函数的图象如图，则二次函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 在△ABC中，∠C=90°，AB=15，sin A=，则BC的长为__________ 12. 若抛物线与x轴的一个交点为，则另一个交点的坐标为______． 13. 若函数的图象与轴有两个公共点，则的范围是______． 14. 若⊙O的半径为，点A与圆心O的距离为，则点A与⊙O的位置关系是______． 15. 如图，是的直径，是的弦，且，则_____． 16. 如图，小明为了测量旗杆AB高度，采用如下方案：在点C处测得旗杆顶B的仰角为45°，从与点C相距6m的E处测得旗杆顶B的仰角为60°．若，则旗杆AB的高度是______m（精确到0.1m）．（参考数据：）． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 计算： （1） （2）． 19. 如图，在△ABC中，∠B=30°，，AD⊥BC于点D．若AD=4，求BC的长． 20. 已知二次函数． （1）直接写出x轴两交点和顶点坐标； （2）在平面直角坐标系中画出的图象． 21. 某网店正在热销一款电子产品，其成本为10元/件，销售中发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间存在如图所示的关系： （1）请求出y与x之间的函数关系式； （2）该款电子产品的销售单价为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元； 22. 如图，中，，以为直径作，交于点D，交的延长线于点E，连接、． （1）求证：D是的中点； （2）若，，求的半径． 23. 如图，以等边三角形的边为直径画圆，交于点D，于点F，连接，且． （1）求证：； （2）求线段长度． 24. 如已知二次函数的图象过点和点，且与y轴交于点C，D点在抛物线上且横坐标是． （1）求抛物线的解析式； （2）写出这个二次函数图象的对称轴、顶点坐标： （3）抛物线的对称轴上有一动点，求出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $