命题大赛 宁夏2026年普通高等学校招生全国统一考试试卷猜想卷（三）数学

**基本信息** 高中数学模拟预测卷，覆盖函数、几何、概率等模块，以基础题巩固知识，综合题（如流行病学应用、立体几何公垂线段）考查数学思维与应用能力，适配高考命题趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|集合、向量、等比数列、抛物线、三角函数、导数、圆锥、函数性质|基础概念辨析，如充要条件判断、离心率计算| |多选题|3题|复数、概率、圆|多选项综合判断，如事件独立性、圆的位置关系| |填空题|3题|函数最值、二项式定理、数列求和|简洁计算，如利用导数求最值、裂项相消法| |解答题|6题|数列通项与求和、函数单调性、椭圆方程、概率应用、立体几何|分层设计，流行病学问题体现数学语言表达现实世界，立体几何公垂线段与内切球考查空间观念与创新意识|

2026年普通高等学校招生全国统一考试猜想卷（三） 数学命题细目表 一、双向命题细目表 题号 题型 分值 知识模块 主要考点 核心能力 预计难度 1 单选 5 集合与不等式 一元二次不等式、指数不等式、集合并集运算 理解、运算求解 易 2 单选 5 平面向量 向量共线的坐标表示、充分必要条件判断 推理、概念辨析 易 3 单选 5 数列 等比数列与等差数列综合、前n项和比值 运算求解、推理 较易 4 单选 5 圆锥曲线 抛物线定义、中点坐标、焦半径 数形结合、运算求解 中 5 单选 5 平面向量+解三角形 外接圆性质、向量数量积、三角恒等变换求最值 转化化归、综合运算 中 6 单选 5 导数与函数 曲线切线方程、参数取值范围 导数工具应用、推理 中 7 单选 5 立体几何 圆锥体积、内切球、球表面积 直观想象、运算求解 中 8 单选 5 函数 中心对称图形、对数函数性质、函数值大小比较 抽象概括、逻辑推理 较难 9 多选 6 复数 复数四则运算、虚部、共轭、象限、模 基础运算、概念辨析 易 10 多选 6 概率统计 事件关系、条件概率、相互独立事件、概率运算性质 逻辑推理、数据分析 中 11 多选 6 解析几何+向量 点与圆的位置关系、直线方程、圆与三角形、向量模的最值 数形结合、综合应用 较难 12 填空 5 三角函数 三角恒等变换、辅助角公式、三角函数最值 运算求解、恒等变形 中 13 填空 5 二项式定理 二项展开式系数、赋值法求系数和 运算求解、赋值思想 中 14 填空 5 数列 递推关系求通项、分式函数最值 推理、运算、函数思想 较难 15 解答 13 数列 正项数列递推求通项、对数运算、裂项相消求和 运算求解、逻辑推理 中 16 解答 15 导数 函数与导函数的单调性讨论、函数不等式证明（凸性） 论证推理、导数应用 中 17 解答 15 解析几何 椭圆标准方程求解、弦的垂直平分线性质、弦长计算 综合运算、推理证明 较难 18 解答 17 概率统计 全概率公式、条件概率、随机变量期望、最优决策 数学建模、数据分析、实际应用 较难 19 解答 17 立体几何 折叠问题、线面垂直证明、线面角、二面角、异面直线公垂线段、内切球、不等式证明 直观想象、逻辑推理、综合创新 难 二、按知识模块统计的命题分布表 知识模块 涉及题号 题量 分值 占总分比例 集合与常用逻辑用语 1、2 2 10 6.67% 函数与导数 6、8、16 3 27 18.00% 数列 3、14、15 3 23 15.33% 三角函数与解三角形 5、12 2 10 6.67% 平面向量 2、5、11、 3 16 10.67% 立体几何 7、19 2 22 14.67% 解析几何/圆锥曲线 4、11、17 3 26 17.33% 概率与统计 10、18 2 23 15.33% 复数 9 1 6 4.00% 二项式定理（计数原理） 13 1 5 3.33% 评价 这份试卷知识覆盖较全面： · 函数与导数、解析几何、数列、概率统计为主干板块，符合新高考命题趋势； · 复数、二项式定理作为基础小题出现，覆盖面广； · 立体几何（第7题+第19题压轴）分值较高，且第19题涉及折叠、公垂线段、内切球等多种立体几何要素，综合性强； · 三角与向量交叉命题（第5题），体现跨模块融合。 三、按能力要求统计表 能力维度 主要对应题号 分值估计 占比 说明 基础知识理解与辨析 1、2、9、10、13 27 18.00% 概念理解、性质辨析、公式直接应用 运算求解能力 3、4、7、12、13、15、17 53 35.33% 覆盖计算各层次，强调算理结合 逻辑推理能力 2、8、10、14、15、16、18、19 74 49.33% 贯穿全卷，是核心能力 直观想象能力 7、11、17、19 49 32.67% 空间图形与解析图形并重 数据分析能力 10、18 23 15.33% 概率统计情境理解与运算 数学建模与应用意识 18 17 11.33% 流行病学背景下的概率决策模型 综合创新能力 5、8、11、16、18、19 75 50.00% 压轴与中高档题体现明显 注：能力维度存在交叉，上表标注"主要体现"，分值比例不简单相加。 四、难度评价 · 本卷难度整体略高于猜想卷（二），中高档题型占比较高（约58%）； · 选择题中档偏难居多（第5、6、8题均有较高思维含量）； · 解答题中第15题（数列）较为平稳，第16—19题难度逐步攀升； · 压轴（第19题）立体几何综合了折叠、空间角、公垂线段、内切球与不等式证明，对空间想象与逻辑推理能力要求极高。 五、分题命题意图简析 第1题集合 · 命题意图：考查一元二次不等式与指数不等式的求解及集合并集运算。 · 定位：送分基础题。 · 考查层级：基础知识+简单运算。 第2题向量与逻辑 · 命题意图：考查向量共线的坐标关系及充分必要条件判断。 · 定位：基础概念题。 · 特点：逻辑语言与向量知识结合。 第3题等比数列 · 命题意图：考查等差中项条件与等比数列前n项和公式的使用。 · 定位：较易计算题。 · 特点：需要建立方程再求比值。 第4题抛物线 · 命题意图：考查抛物线定义、中点坐标与焦半径。 · 定位：中档解析几何小题。 · 特点：利用中点条件转化长度关系。 第5题外接圆与向量数量积 · 命题意图：综合考查外接圆、正弦定理与向量数量积的最值。 · 定位：中档偏难小题。 · 特点：跨模块融合，需要较强的转化能力。 第6题曲线切线 · 命题意图：考查含参直线与曲线相切时的参数范围问题。 · 定位：中档偏难单选题。 · 特点：运用导数建立方程后转化为函数值域问题。 第7题圆锥内切球 · 命题意图：考查圆锥结构、内切球半径与表面积。 · 定位：中档立体几何题。 · 特点：需要利用圆锥的轴截面求解内切球半径。 第8题中心对称函数 · 命题意图：考查函数的对称性、对数运算及函数值比较。 · 定位：较难单选题。 · 特点：需要先确定参数a，再利用对称性进行大小比较。 第9题复数 · 命题意图：考查复数四则运算及几何意义。 · 定位：多选基础题。 · 特点：概念覆盖面广。 第10题概率运算 · 命题意图：考查条件概率、相互独立事件、事件运算。 · 定位：多选中档题。 · 特点：四个选项考查不同概率性质，概念理解要求较高。 第11题圆与解析几何综合 · 命题意图：考查点与圆的位置关系、直线方程、内切圆判定、向量模的最值。 · 定位：多选压轴。 · 特点：综合性强，四个选项覆盖多个角度。 第12题三角函数最值 · 命题意图：考查三角恒等变换（降幂、辅助角）求最值。 · 定位：填空中档题。 · 特点：运算量适中。 第13题二项式定理 · 命题意图：考查二项展开式中项的系数、赋值法求系数和。 · 定位：填空中档题（两空）。 · 特点：两空设计，第一空直接求系数，第二空用赋值法。 第14题递推数列最值 · 命题意图：考查递推关系求通项、分式型函数最值。 · 定位：填空压轴。 · 特点：递推->通项->函数最值三步递进。 第15题数列（13分） · 命题意图：考查正项数列递推求通项、对数换底、裂项相消求和。 · 定位：解答题起始题。 · 特点：入口平稳，运算规范。 第16题导数（15分） · 命题意图：考查指数型函数的单调性讨论、函数凸性及不等式证明。 · 定位：解答题第二题。 · 特点：第(1)问基础，第(2)问需要构造函数证明，有一定抽象性。 第17题椭圆（15分） · 命题意图：考查椭圆标准方程、弦中点与垂直平分线、弦长计算。 · 定位：解析几何常规大题。 · 特点：设而不求、韦达定理是核心方法。 第18题概率统计（17分） · 命题意图：考查全概率公式、条件概率、随机变量期望、方案决策。 · 定位：概率应用压轴。 · 特点：流行病学背景，贴近实际，设计两个问层层递进，决策型问题是新高考热点。 第19题立体几何综合（17分） · 命题意图：考查折叠图形中的线面垂直、线面角、二面角、异面直线公垂线段、内切球半径、不等式证明。 · 定位：全卷终极压轴。 · 特点： · 融折叠、空间角、公垂线段、内切球、不等式五大要素于一体； · 第三问引入"公垂线段"新概念，现场定义、现场应用，是新定义题型； · 空间想象与代数运算结合，综合创新度极高。 六、与高考标准的匹配评价 1.知识覆盖：覆盖完整，主干突出，符合高考要求。 本卷覆盖高考数学全部核心模块： · 集合、不等式、向量、复数、二项式定理 · 函数与导数、数列、三角、解三角形 · 立体几何、解析几何、概率统计 2.能力考查（对标高考评价体系） 高考评价维度 本卷体现 评价 基础性 第1、2、3、9、12题 基础入口明确 综合性 第5、8、11、15—19题 跨模块融合明显 应用性 第10、18题 概率情境贴近现实 创新性 第8题（对称函数）、第19题（公垂线段新定义+不等式） 创新力度强 3.难度梯度 · 易→中→较难→难，层次清晰； · 区分度主要体现在第5—8题的中高档选择题和第16—19题的综合解答题； · 压轴题（第19题）难度值较高，具备较强的选拔功能。 4.命题风格特点 与猜想卷（二）对比，本卷有以下特色： · 立体几何占比提升并作为压轴，且创新性地引入"公垂线段"新定义； · 概率统计大题以流行病学为背景，体现数学建模与决策思维； · 导数大题以指数型函数为主，侧重凸性与不等式证明； · 小题中档题较多，思维密度较大。 七、本卷与猜想卷（二）的对比速览 对比维度 猜想卷（二） 猜想卷（三） 总体难度 中档为主 中高档偏多，略难 压轴板块 导数（第19题） 立体几何（第19题，含新定义） 创新亮点 二进制概率情境 公垂线段新定义、流行病学决策 数列 解三角形+数列综合（15题） 纯数列递推（15题） 立体几何大题 常规线面角+二面角（17题） 折叠+公垂线段+内切球+不等式（19题） 概率大题 二进制计数（16题） 流行病学决策模型（18题） 小题思维密度 中等 较高 跨模块融合 适量 较多（第5、11题等） 八、结论性评价：基础入口稳、中档梯度细、压轴创新强、区分效果好 具体来说： · 知识覆盖全面，主干突出，符合高考大纲要求 · 难度梯度合理，从易到难过渡自然 · 创新性强（公垂线段新定义、流行病学决策模型） · 应用情境真实（第18题贴近生活） · 跨模块融合体现新高考命题方向 数学命题细目表 第4页（共9页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 猜想卷（三） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知集合，，则（　　） A． B． C． D． 2．已知向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，且满足，，成等差数列，则（    ） A．15 B．17 C．80 D．82 4．已知是抛物线的焦点，是上一点，直线交轴于点．若为的中点，则（    ） A．3 B． C．4 D． 5．已知的外接圆半径为，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．已知直线与曲线相切，则实数b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知圆锥的底面半径为2，其体积为，则该圆锥内切球（球与圆锥的底面与侧面均相切）的表面积为（   ） A． B． C． D． 8．已知函数是中心对称图形，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知复数，则下列结论正确的有（    ） A．的虚部是 B．的共轭复数是 C．在复平面内对应的点在第二象限 D． 10．已知事件A，B均为随机事件，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若事件A，B相互独立，，，则 C．若，则 D．若，则 11．已知，，，点在圆上运动，则（    ） A．点在圆内 B．直线的方程为 C．圆为的内切圆 D．的最大值为88 三、填空题 12．函数的最大值为________. 13．已知，则______，______． 14．已知数列的前n项和为，若，，记，则的最大值为______． 四、解答题 15．已知正项数列满足. (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 16．已知函数 (1)设，分别讨论函数与在上的单调性； (2)证明：当时，. 17．已知椭圆的左焦点为，离心率为． (1)求的方程； (2)设点，过点且不与坐标轴垂直的直线交于、两点，且，求． 18．流行病学调查表明某种疾病是由致病菌和致病菌共同引起的，且至少杀灭其中一种致病菌即可痊愈. (1)若有某种治疗方案，有的概率能杀灭致病菌.若这种治疗方案能杀灭致病菌，则它有的概率能杀灭致病菌.若这种治疗方案不能杀灭致病菌，则它有的概率能杀灭致病菌.求使用治疗方案痊愈的概率； (2)若市面上仅有两款药物和药物对疾病有疗效，且这两种药物的疗程各均为天（假定药物使用时，均按疗程服用天），超过天无效时需换药进行治疗.若使用完两种药物仍不见效，依靠自身的免疫能力再经过天也能痊愈已知药物杀灭致病菌和致病菌的概率分别为、，且对于同一种药物，杀灭两种致病菌的事件相互独立，药物杀灭致病菌和致病菌的概率均为.请问应先使用哪种药物可使得痊愈的平均天数更短？ 19．如图1，在梯形中，，是线段上的一点，，，将沿翻折到的位置． (1)如图2，若是的中点，二面角为直二面角，证明：平面． (2)如图2，若二面角为直二面角，，分别是，的中点，若直线与平面所成角为，，求平面与平面所成锐二面角余弦值的取值范围． (3)我们把与两条异面直线都垂直相交的线段叫做两条异面直线的公垂线段，公垂线段的长度是两条异面直线上两点间距离的最小值．如图3所示，点为线段的中点，，分别在线段，上（不包含端点），且为，的公垂线段，记四面体的内切球半径为，比较与的大小，并证明你的结论． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《猜想卷（三）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D D B D B B BD ABD 题号 11 答案 BCD 1．C 【详解】由， ， 则. 2．A 【分析】根据题意，利用共线向量的坐标表示，列出方程，求得的值，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由向量，若，可得， 解，解得或， 所以是的充分不必要条件. 3．D 【分析】根据等差数列的性质和等比数列的通项公式列方程求解的值，从而利用等比数列的求和公式计算可得结果. 【详解】设各项均为正数的等比数列的公比为， ∵，，成等差数列，∴， ∴，∴，，解得. 则. 4．D 【详解】 由抛物线得焦点，设， 因为是的中点，所以的坐标为， 因为在抛物线上，将坐标代入得： ， 再由两点间距离公式： . 5．B 【分析】利用正弦定理求出，，利用平面向量数量积的运算性质、三角恒等变换并结合角的取值范围可求得的最大值. 【详解】由正弦定理可得，则，， 因为，所以， 所以 ， 因为，所以， 故当时，取最大值. 6．D 【分析】先设出切点坐标，根据导数的几何意义求出切线斜率，进而得到切线方程，再结合切线方程与已知直线方程的关系，得到关于的表达式，最后通过求导得出函数的最值即可确定的取值范围. 【详解】由函数，得， 设切点坐标为，则切线的斜率， 所以切线方程为，其中， 即切线方程为. 整理可得， 又因为直线与曲线相切， 所以，. 设，则， 令，解得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 故函数在时取极小值， 且当时，. 综上所述，函数的值域为，所以实数的取值范围. 7．B 【分析】利用圆锥的体积公式求出圆锥的高，进而求出母线长，利用几何法求出球的半径，最后利用球的表面积公式求解． 【详解】已知圆锥底面半径，体积为，设圆锥的高为，则 ，解得， 设圆锥母线长为，则， 设圆锥内切球半径为，则截面图如下： 则，，， ，即， ， 该内切球的表面积为． 8．B 【分析】根据对称性，结合定义域可知对称中心为，再根据定义式求出即可判断A；代入计算即可判断B；利用函数单调性判断CD即可． 【详解】因为函数的定义域是，所以， 所以，所以A错误； 因为，所以，所以B正确； ， 又在上单调递增，在上也单调递增， 所以是增函数，又，所以，所以C错误； 因为，所以， 又因为，所以，所以D错误． 9．BD 【详解】， 的虚部是1，故A错误； ，故B正确； 在复平面内对应的点为，位于第一象限，故C错误； ，故D正确． 10．ABD 【详解】选项A，，若，则，A正确. 选项B，若相互独立，则，根据和事件概率公式，B正确. 选项C，，.若，可得， 当时，则互斥，时，此时等式两边都为0，等式成立但，推不出，C错误. 选项D，，.已知， 代入得 ，消去后得，D正确 11．BCD 【分析】对于A，根据点与圆的位置关系的判定即可判断；对于B，根据点坐标求直线方程即可；对于C，判断出直线与圆的位置关系，结合圆心在内部即可判断；对于D，设，进而可得化为，结合即可判断． 【详解】对于A，，则点在圆外，故A错误； 对于B，直线的方程为， 整理为，故B正确； 对于C，直线的方程为与圆相切， 直线的方程为与圆相切， 直线的方程为， 圆心到直线的距离，则圆与直线相切， 又圆心在内， 所以圆为的内切圆，故C正确； 对于D，设， 因为，，三点， 所以 ， ， 因为点P在圆上运动， 则，解得， 所以， 当时，取得最大值88，故D正确． 12． 【详解】，其中，所以的最大值为. 13． 0 【分析】运用二项式的通项公式，结合求导的运算法则进行求解即可. 【详解】展开式的通项 ， 令，得，则，即． 设， 则． 令，得． 14． 【分析】借助与的关系结合等比数列定义可得数列的通项公式，即可得表达式，再借助作商法得到的单调性后即可得解. 【详解】当时，，则， 即，又，则， 故数列是以为首项，为公比的等比数列， 即，则，则， 解不等式，即， 由，故或， 即当或时，，当时，， 故的最大值为. 15．(1) (2) 【分析】（1）根据已知式子化简得出， 即可根据等比数列的定义证明； （2）根据小问一结果得出， 即可得出，根据裂项相消法得出答案. 【详解】（1）因为，所以， 又为正项数列，所以，即， 又因为，所以是首项为，公比为的等比数列， 所以. （2）由（1）知，所以，则 所以， . 16．(1)在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减. (2)证明见解析 【分析】（1）求导，根据导数计算即可； （2）分，两种情况，利用结合函数单调性计算即可证明. 【详解】（1）由题意得， 令，得；令，得. 所以在上单调递增，在上单调递减. 由，得， 令，得；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减. （2）因为，所以， ①当时，，由（1）知在上单调递增， 所以，因为，所以， 所以； ②当时，令， 则，， 由（1）知在上单调递增， 所以，所以， 所以在上单调递减，所以， 即当时，. 综上，当时，. 17．(1) (2)或 【分析】（1）根据题意求出、的值，即可得出椭圆的方程； （2）设直线的方程为，设点、，将该直线方程与椭圆方程联立，求出线段的中点坐标，可得出线段的中垂线方程，将点的坐标代入中垂线方程，可求出的值，再利用弦长公式可求出的值. 【详解】（1）由的焦点为，可知的半焦距，         因为的离心率为，所以，则．             又，所以， 故的方程为． （2）由已知，设直线的方程为， 设点、． 联立，得， ， 由韦达定理可得，， 所以． 故线段的中点坐标为，    则线段的垂直平分线的方程为．             若，则线段的垂直平分线过点， 所以， 化简整理得，解得或．                 当时，因为，， 所以；             当时，因为，， 所以．             综上，的值为或． 18．(1) (2)先使用药物可使得痊愈的平均天数更短 【分析】（1）根据条件概率公式求解即可； （2）分别求药物能治愈疾病的概率，再求出分别使用两种药物痊愈的分布列，再求期望，比较即可得解； 【详解】（1）设使用治疗方案能杀灭致病菌为事件，使用治疗方案能杀灭致病菌为事件，使用治疗方案痊愈为事件 则，， 不能杀灭致病菌的概率为， 不能杀灭致病菌的条件下，不能杀灭致病菌的概率为， 因此，既不能杀灭致病菌也不能杀灭致病菌的概率为， 所以， 即使用治疗方案痊愈的概率为. （2）设表示药物能治愈疾病的概率，表示药物能治愈疾病的概率， 则有，， 设先用药物再用药物来治愈疾病所需的天数为，先用药物再用药物来治愈疾病所需的天数为， 则，，， 所以， 同理得，，， 则有， 从而有，因此需先使用药物可使得痊愈的平均天数更短. 19．(1)证明见解析； (2)； (3)，证明见解析. 【分析】（1）由题可得，结合平面平面，即可证得平面； （2）建立空间直角坐标系，设，根据求出的范围，将平面与平面所成锐二面角的余弦值表示为的函数，再求范围. （3）是四面体的表面积，可证， ，从而证得结论. 【详解】（1）由题意知， 而是的中点， 所以， 又平面平面， 平面平面平面， 所以平面， （2）在平面内作的垂线作为轴，所以轴， 如图以为坐标原点，分别以为轴正半轴建立空间直角坐标系： 因为，设， 所以， 则， 所以， . 设平面的法向量， 得， 取， ， 解得. 设平面的法向量， 得，取，得， 设平面与平面所成锐二面角为，则 ， 由于在上单调递增，故， 故， 所以平面与平面所成锐二面角余弦值的取值范围是； （3），证明如下： S是四面体的表面积，，令与面所成角为， ， ， 因为是公垂线，上的点和上的点的最短距离是， （取不到等号）， ， ， . 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $绝密★启用前 2026年普通高等学校招生全国统一考试猜想卷（三） 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上， 写在本试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.已知集合A={x2-x-2<0},B={x3-1>0},则AUB=() A.(-n,0) B.(0,2) C.(-1,+w) D.（-1,2) 2.已知向量a=(,2),b=(m,m),则“m=2”是“a/仍”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 3.已知各项均为正数的等比数列{a}的前n项和为Sn,且满足4,344，-4，成等差数列， 则章() A.15 B.17 C.80 D.82 4.己知F是抛物线C:x2=6y的焦点，M是C上一点，直线M交x轴于点N.若M为N 的中点，则FN=() A.3 B.2 C.4 9-2 D. 5.已知△ABC的外接圆半径为2，若A=写，则ABc的最大值为() A.5+6√5 B.6+45 C.7+33 D.4+75 6.已知直线1：y=:+b与曲线y=上+nx相切，则实数b的取值范围是() A.[12) B.（m,1] c.(0,n2] D.[h2,+) 7。已知圆锥S0的底面半径为2，其体积为”，则该圆锥内切球（球与圆锥的底面与侧面 均相切)的表面积为() A.号 B.4π C.8π 2π D.3 数学试题第1页（共4页） 8.已知函数f)=n2+x+a2+x+1是中，心对称图形，则() -x A.a=1 B.f(a-1)=0 c D.fa-引a-到a 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知复数：品，则下列结论正确的有《) A.z的虚部是i B.z的共轭复数是1-i C.z在复平面内对应的点在第二象限 D.z=2 10.己知事件A,B均为随机事件，则下列结论正确的是() A若P()-片则P(国-月 B.若事件A,B相互独立，P(A)=方PD)}别P(AUB)- C.若P(A|B)=P(B|A),则P(A)=P(B) D.若P(AB)=P(AB),则P(A)=P(B) 11.已知A(-2,-2),B(-2,6),C(4,-2),点P在圆0：x2+y2=4上运动，则() A.点A在圆O内 B.直线BC的方程为4x+3y-10=0 C.圆O为△ABC的内切圆 D.PAP+PBP+|PCP的最大值为88 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.函数f(x)=cos2x+4 sinxcosx-sin2x的最大值为 13.已知(2x+1)°=4+ac+1)+4x+)2+ax+1)3++4(x+1)°，则4=— 9 4+4+24++206— 14.已知数列{a,}的前n项和为S,若4=2，aH=3.+2,记了m)=neN,则f(m)的 最大值为 数学试题第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知正项数列a}满是4-2。+3a442双=0. (1)求{a}的通项公式： 1 (2)i记b,=10g,4.-l10g24+ ,求数列b}的前n项和S. 16.(15分) 已知函数f(x)=-xe-x (1)设g(x)=f'(x),分别讨论函数f(x)与(x)在(-∞，+∞)上的单调性： (2)证明：当0<t<x时，ft)+f(x)<ft+x) 17.(15分) 已知椭圆C+方1a>b>0的左焦点为P-L,0,离心率为Y2 2 (1)求C的方程： 1 (②)设点B0,3),过点F且不与坐标轴垂直的直线交C于P、Q两点，且BP=BO, 求PO. 数学试题第3页（共4页） 18.(17分) 流行病学调查表明某种疾病S是由致病菌：和致病菌B共同引起的，且至少杀灭其中一 种致病菌即可痊愈 (①)若有某种治疗方案M,有的概率能杀灭致病菌α若这种治疗方案能杀灭致病菌a, 则它有的概率能杀灭致病菌B.若这种治疗方案不能杀灭致病菌α，则它有子的概率能杀 灭致病菌B.求使用治疗方案M痊愈的概率： (2)若市面上仅有两款药物A和药物B对疾病$有疗效，且这两种药物的疗程各均为3天 (假定药物使用时，均按疗程服用3天)，超过3天无效时需换药进行治疗.若使用完两种药 物仍不见效，依靠自身的免疫能力再经过3天也能痊愈已知药物A杀灭致病菌和致病菌P 47 的概率分别为5、10，且对于同一种药物，杀灭两种致病菌的事件相互独立，药物8杀灭 致病菌α和致病菌B的概率均为 9请问应先使用哪种药物可使得痊愈的平均天数更短？ 19.(17分) 如图1，在梯形ABCD中，ABIICD,E是线段AB上的一点，BE=CD=CE=√2，BC=2, 将△ADE沿DE翻折到△PDE的位置. 图1 图2 图3 (1)如图2，若M是BC的中点，二面角P-ED-B为直二面角，证明：MB⊥平面PED. (2)如图2，若二面角P-ED-B为直二面角，M,N分别是BC,PE的中点，若直线MW 面PBC所成角为9，sm6>3,求平面PBC与平面PBC所成锐三面角余弦值的 范围 (3)我们把与两条异面直线都垂直相交的线段叫做两条异面直线的公垂线段，公垂线段 的长度是两条异面直线上两点间距离的最小值.如图3所示，点K为线段CE的中点，G, H分别在线段PK,CD上（不包含端点），且GH为PK,CD的公垂线段，记四面体CKGH 的内切球半径为，比较与21 1 KG CH 的大小，并证明你的结论 数学试题第4页（共4页） 2026年普通高等学校招生全国统一考试猜想卷（三） 数学参考答案及评分标准 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上， 写在本试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 题号 1 3 4 5 6 7 8 答案 C D D B D B B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 10 11 答案 BD ABD BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.5 13.-144 0 148 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 解：(1)因为2aH+3a.a1-2G=0,所以(2a+1-a)(a1+2a,)=0, 1分 又{，}为正项数列，所以24H-a.=0,即a=20, 1 3分 又因为4=)，所以a}是首项为，公比为号的等比数列， 4分 所以a，=】 …6分 (2)由(1 )知 所以1og24=lg2 =log22m=-n,则log24+=-(n+1), 2 ....8f 1 1 111 所以&iog,4og,4(-0-0+i+方n110分 .13分 16.(15分) 数学试题答案第1页（共11页） 解：(1)由题意得f'(x)=(x-1)e-, 令f'(x)>0,得x>1;令f"(x)<0,得x<1. .1分 所以f(x)在(1，十0)上单调递增，在(-0,1)上单调递减2分 由g(x)=f'(x)=(x-1)e-x,得g(x)=e-x+(x-1)e-x.(-1)=(2-x)e-x,3分 令g(x)>0,得x<2;令g(x)<0,得x>2,.4分 所以g(x)在(-n,2)上单调递增，在(2，+w)上单调递减.… 5分 （2)因为0<t<x,所以x<x+t, 6分 ①当x≥1时，1≤x<x+t,由(1)知f(x)在(1，+m)上单调递增， 7分 所以f()<fx+),因为t>0,所以f0=-e4<0,8分 所以f)+f(x)<ft+x); 9分 ②当0<x<1时，令h(x)=f(t)+f(x)-f(x+t), .10分 则l(x)=f(x)-f'(t+x),0<X<t+x<2,11分 由(1)知g(x)=f(x)在(0,2)上单调递增，所以f'(x)<f'(t+x),所以h(x)<0,…12分 所以h(x)在[0,1)上单调递减，所以(x)<h(O)=f(O)=0,… ..13分 即当0<x<1时，f()+f(x)<ft+x) 14分 综上，当0<t<x时，f()十f(x)<ft+X).15分 17.(15分) 解：(1)由C的焦点为P(-1,),可知C的半焦距c=1,因为C的离心率为5 所以=2 a 2 则a=√2. 1分 又a2=b2+C2,所以b2=1,.2分 故C的方程为y1. 3分 (2)由已知，设直线P9的方程为y=k(x+1)(k≠0)，设点P(31,y)、Q(x2,2).4分 联立 2得0+2r+4x+2产2=0， 5分 △=16k4-4(2k2+1)(2k2-2)=8k2+8>0, 6分 由韦达定理可得x+书2= 。42 2k2-2 1+28·1+2 7分 数学试题答案第2页（共11页） 所以y+y=k(+1)+k(x2+1)=k(3+x3)+2k=k 42） +2k= 2k 、1+2k2 1+2k2·.8分 2k2 故线段P2的中点坐标为 2k2+1'2k2+1 9分 2k2 k 则线段PQ的垂直平分线的方程为y= 10分 若B=B@,则线段吧的垂直平分线过点8Q》所以-片一名2 3k1+2k21+2k’ 化简整理得2k2-3k+1=0,解得k=二或k=1. 11分 当k=}时，因为5+西=-号=1， 2 .12分 所@-k-*Faj--一4-9 13分 当k=1时，因为x+x2= 3=0, 4 .14分 所以p=+Rk-小M+R+广-4-+F《到 +04 .15分 3 综上，P@的值为5V5或4 3 3 15分 18.(17分) 解：(I)设使用治疗方案M能杀灭致病菌为事件D,使用治疗方案M能杀灭致病菌B为 事件E,使用治疗方案M痊愈为事件F】分 则P(D)-号，P(a到D-P(@10)=片，不能杀灭致病菌a的概率为P(⊙=1-P(D)=1-号} 33 3分 不能杀灭致病菌Q的条件下，不能杀灭致病菌P的概率为P(区D)=1-P(②D)=1-1 4分 数学试题答案第3页（共11页） 因此，既不能杀灭致病商女也不能杀灭致病菌B的概率为：Dn到-P列P国D列-号 .5分 所以P(F)=P(DUE)=1-P(DOE)=1- 1.3 6分 44 即使用治疗方案M痊愈的概率为 3 4 6分 (2)设P(A)表示药物A能治愈疾病S的概率，P(B)表示药物B能治愈疾病S的概率， ……………7分 则有1-(106)列1--品 99 100 …8分 设先用药物A再用药物B来治愈疾病s所需的天数为X,先用药物B再用药物A来治愈疾病 S所需的天数为X2,9分 则P(X=3)=P(A4,P(X=6)=(1-P(A)P(B),P(X=9)=[1-P(4]1-P(B)], … .10分 所以 E(X)=3P(A+6[-P(A]P(B)+9[1-P(A]--P(B)]=11分 9-6P(4-3P(B)+3P(4P(B)=9-6x47-3x9 3x47x99 50 100 =3.1818,12分 50100 同理得P(X,=3)=P(B),P(x,=6)=(（1-P(B)·P(A),P(X,=9)=[1-P(A)]1-P(B)], .14分 则有 E(X)=3P(B)+6[1-P(B)]P(A)+9[1-P(A)]-[1-P(B)]=15分 9-6P(B)-3P(A)）+3P(A)P(B)=9-6x99 3x4 +3x47.90 =3.0318,16分 100 50 50100 从而有E(X)>E(X),因此需先使用药物B可使得痊愈的平均天数更短.17分 19.(17分) 解：(1)由题意知∠BEC=∠ECD=∠AEC=90°，∠PED=∠AED=45°，而BE=CE,M是BC 的中点，所以ME⊥ED, 1分 又平面PED⊥平面BCDB,平面PED∩平面BCDE=DE,MEC平面BCDE,2分 数学试题答案第4页（共11页） 所以E平面PED,3分 (2)在平面PDE内作ED的垂线作为z轴，所以MB⊥z轴， B M 如图以E为坐标原点，分别以EM,ED为x,y轴正半轴建立空间直角坐标系： 因为BE=CD=CE=√2，BC=2,设PE=t(t>0), 所以E(0,0,0),M1,0,0),B(1,-1,0),C(1,10),D(0,2,0), 4分 则 ,N .5分 BC=(0,2,0),EP= a9 EC=11,0) 6分 设平面PBC的法向量=(，片，)， h·BC=2y=0 得 ·BP=-X1+ 2 t+1+ 2 7分 2 √2，√2 sin= t 3 ,解得√<t<2.8分 h+2,+ 1 Vt4+6t2+86 2 4 设平面PEC的法向量乃=(32，y2,22), 2,EC=x3+y2=0 得 ,取x3=1,得乃=(1，-1,1)，9分 29+ tz2=0 2 设平面PBC与平面PEC所成锐二面角为&，则 -t+1 n'n -t+1 2 2W2 .10分 2+1 2 t+ 数学试题答案第5页（共11页） 由于y=i+2在(E,2)上单调递增，故2W5<t+名<3，…11分 1 2W2 /√2+16 1+ 故万 2 i+ 3’3 12分 2+16 所以平面PBC与平面PEC所成锐二面角余弦值的取值范围是 3’3 .12分 21,1 S是四面体的表面积，么0侧S1,令KG与面CGh所成角为2， gH班：CH:KGsina3 GH.CH.KG,1B分 6 CH.8g=KG.G 2 因为GH是公垂线，CD上的点和PK上的点的最短距离是GH, ScxG>SkGH,Scw>Scc(取不到等号)， ..15分 :.S>CH.GH+KG.GH=GH.(CH+KG), c班.CHKG>cH-(CH+kG)r,16分 1>21+1】 KG CH 17分 数学试题答案第6页（共11页) 2026年普通高等学校招生全国统一考试猜想卷（一） 数学试题解析 1.C 解：由A={xx2-x-2<0={xx-2)(x+1)<0}={x1<x<2 B={x3-1>0={x3>={x>0以，则AUB=(-1,+∞) 2.A 解：由向量a=(m,2),b=(m,m),若a/1b,可得mxm=2×m, 解m2-2=m-2)=0,解得m=2或m=0,所以m=2是a/乃的充分不必要条件. 3.D 解：设各项均为正数的等比数列{4}的公比为q>0,4,3a4,-a4成等差数列， ∴6a=6-4,6a4=44（q-q）,∴d-q-6=0,q>0,解得q=3. 则s=19-1+q=1+=82 S41-g 4.D 解：白抛物线c:-6y得生友0引 设N(,0), 因为是N的中点，所以M的坐标为台》 因为M在抛物线上，将M坐标代入x2=6y得： 再击丙点离公式1时0-0十0-星厚 0 5.B 解：由正弦定理可得C=1B-4,则BC=45inA=4x5-25,AB=4如C, sinA sinC 2 数学试题答案第7页（共11页） 因为A=于所以B0, 2π) BA.BC-BBCcos B=4sin Cx 23 cosB=83sin(A+B)cos B (sin Acos +cos s )cosc 1 -cos B+-sin B cos B (2 2 =12cos2 B+4v3 sin B cos B=6(1+cos 2B)+2v3 sin 2B π =23 sin 2B+6cos2B+6=4v3 sin 2B++6, 3 因为Be0, 2π 3 33,故当2B+=”B ,所以5<2B+亚≤π， +32时，BA.Bc取最大值6+4V5 6.D 解：山同数yxe0o),为y 设切点坐标为(G)>0,则切线的斜率=-是+1， x 所以切线方程为y-= 】区=为)，其中%=+n, 又因为直线y=+b与曲线y=上+nx相切，所以k= 1,1 2+nx-1 b= Xn 设g)-是+n-1>0,则g-是+日令8（倒-0，解得x=2, 2,1 当0<x<2时，g'(x)<0,8(x)在(0,2)上单调递减： 当x>2时，8'(x)>0,8(x)在(2，+o)上单调递增， 故函数g(x)在x=2时取极小值g(2)=2+h2-1=n2,且当x→+∞时，s创→+. 2 综上所述，函数8(x)的值域为[n2,+o),所以实数b的取值范围[ln2,+o). 7.B 解：已知图锥底面半径r=2,体积为V-327,设圆锥的高为，则r=πh=江2h=32 9 3 3 9 解行么设园锥母线长为1，则1=厅+T +2=10 1 设圆锥内切球半径为R,则截面图如下： 数学试题答案第8页（共11页） 则PA=PB=1=10 P0=h 3’AB=2r=4, Se=Sa+Sag+Saa即P04AB-PA+PB+A)R, PO·AB 8x4 3 .R= PA+PB+AB 10,10 一=1，.该内切球的表面积为S=4πR2=4π. +4 33 8.B 解：因为函数f(x)的定义域是(-2,0)，所以f(x)+f(-2-x)=ax2+(←2-x)]=0,所以 a=0,所以A错误； 因为fx)=h2++x+,所以fa-)=1n1+(-1+19=0,所以B正确， -x f=h2-(+=n名-++，又-1在（←20）上单调造增， =(+在(2.0)上也单调递指，所以)是指函数，又时，所以 》f〔所以c错误： 因为)+-2-0，所以a引-〔引-() 又因为(》)，所以()(》0，所以D债误 9.BD 2 2(1+i) 解：1斤0-1+2 +)=1+i,∴z的虚部是1，故A错误：z=1-i,故B正确： z在复平面内对应的点为(1,1)，位于第一象限，故C错误：=(（P+1P)=2,故D正确。 10.ABD 解：蓝项0+A国1若到-台则P0-1片号 ,A正确， 选项，若4B相互独立，则4剧=代0®)=宁日，根超和事件字公式 数学试题答案第9页（共11页） P(AUB)=P(4+P(B)-PCAB)=11_12. 。,B正确， 2363 选项C,代A-PB》，P0-A.若Pd)=0，可得 P(B) P(A) P(AB)_P(AB).P(AB) 1 1 =0, P(B)P(A) P(B)P(A) 当PAB)=0时，则A,B互斥，P(④= ?P时，此时等式两边都为0，等式成立但 P()≠P(B),推不出P(A)=P(B),C错误. 选项D,P(AB)=P(A)-P(AB),P(AB)=P(B)-P(AB)已知P(AB)=P(AB): 代入得P(A)-P(AB)=P(B)-P(AB),消去P(AB)后得PA)=P(B),D正确 11.BCD 解：对于A,（-2)+(-2)=8>4,则点A在圆O外，故A错误： 对于B,直线BC的方程为y-66生2x+2),整理为4x+3w-10=0,故B正确； 对于C,直线AB的方程为x=-2与圆O相切，直线AC的方程为y=-2与圆O相切， -10 直线BC的方程为4x+3y-10=0,圆心O到直线BC的距离d= V32+42 =2,则圆0与直线 BC相切，又圆心O在△ABC内，所以圆O为△ABC的内切圆，故C正确； 对于D,设P(x,y),因为A(-2,-2),B(-2,6),C(4,-2)三点， 所以PA+PB+PC=(x+2)2+(y+2)+(x+2)2+(y-6)2+(x-4)2+(y+2)2, =3x2+3y2-4y+68,因为点P在圆x2+y2=4上运动，则x2=4-y2≥0，解得-2≤y≤2， 所以3x2+3y2-4y+68=3(x2+y2)-4y+68=-4y+80, 当y=-2时，PA+PB+PC取得最大值88，故D正确. 12解：j()=cox--smx+4 ineo=cos2x+2sin2x=5gm(2+0,其中m0-片，所 以f(x)的最大值为√5 13解：(2x+1)=[2(x+1)-1展开式的通项 T=Cg-[2(x+1](-1'=(-1.2-Cg(x+1)9-, 数学试题答案第10页（共11页） 令9-r=2,得r=7,则T3=(-1)7×22×C(x+1)2=-144(x+1)2,即4，=-144. 设f(x)=(2x+1)°=4+4x+1)+4(x+1)2+4(x+1)3+…+a,(x+1)°， 则f"(x)=18(2x+1)83=4+2a(x+1)+3a(x+1)2+.+9a,(x+1)8. 令=克得rata1a++多4=12(-0 14.解：当n≥2时，4=Sn-1+2,则a+1-a=Sn+2-(S,%-1+2)=Sn-S,m-1=a, 即aH=2a(n≥2)，又4=2，则4=S+2=4+2=24, 故数列{a}是以2为首项，2为公比的等比数列， 即&=2，则四=号则a+= 2+1 (+1)2 解不等式(+1) f(n) 2=+2n+1≥1，即n-2n-1≤0， 2n2 2” 由n∈N,故n=l或n=2, 即当n=1或n=2时，f(n+1)≥f(n),当n≥3时，f(n+1)≤f(n), 故了四的最大值为f(③)-8 329 数学试题答案第11页（共11页）