2026年普通高等学校招生全国统一考试（考前预测卷）数学试题

**基本信息** 该模拟卷全面覆盖高中数学核心知识，通过函数性质、解析几何、概率统计等题型，考查数学抽象、逻辑推理与数学建模能力，适配高考模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|集合、向量、正态分布、双曲线离心率等|第8题结合函数奇偶性与单调性，考查逻辑推理；第7题焦点三角形问题，体现几何直观| |填空题|3题/15分|等比数列、三角函数图像、古典概型|第14题纸牌游戏概率，融入生活情境，培养数据意识| |解答题|5题/77分|解三角形、统计直方图、立体几何、解析几何、导数|18题轨迹方程与三角形证明及面积最值，考查模型观念；19题导数证明与方程求解，发展创新意识|

绝密★启用前（最后一卷） 2026年普通高等学校招生全国统一考试 数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.C2.A3.D 4.B 5.A 6.B7.A8.C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.AC 10.ABD 11.ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.5 13.月 4 【部分试题解析】 7.如图，设AF,=m,由双曲线的定义知AF-AF,=2a,所以 AF=m+2a,又F4A=AB,所以BF=2a又BF-BF,=2a, 则BF=4a,在△BFF,中，BF=4a,BF,=2a,F,F=2c,由 4a+2a>2c,得到e=C<3,又e>1,所以1<e<3,故A选项正确 8.因为f(x)是定义在R上的偶函数，gx是定义在R上的奇函数，且两函数在 (-0,0]上单调递减，所以f(x)在[0，+∞)上单调递增，gx)在0，+0)上单调递 减，g(x在R上单调递减，所以f1)<f(2),g0)=0>g1)>g2,所以 fg(1)<fg2),gf(1)>gf(2),gg1月<gg2月，故C选项正确， B,D选项错误；若f(1>f(2,则f（fI)>ff(2),故A选项错误 9由r川22层->0可：右-x0和0+a上调遥塔。 但不能直接得出x<x2,且x,x2≠0时，∫x)<fx2),比如：x=-1,2=1 数学参考答案第1页（共10页） 时，f-=x-+1=},=x-1=}此时f>f,故D 选项错误 10.对于D选项，若y<2x,因为x≥0，所以y<4x,故2x<4x后，解得 无>分故D选项正确， 11.对于C选项，设上底面中心为Q,则00=√A4-(0A-0,4)2=V2, 外接球球心必在中轴线OO所在直线上，设外接球球心为G,半径为R,令 R2=0A2+G02 G0=x>0,则 R2=0+G0,若球心在0和Q之间（棱台内部），则 R2=(22}+x2 G0,=00,-x=V2-x则 =+5-解行r=-,故球心不可能 在棱台内部，若球心在0点下方，则G0=00,+x=√2+x,则 R2=(22+x2 ,解得x=2,满足条件，则R2=(22)+(V2=10, R=(V+2+x 待到R=0,所以该楼台的外接球的体积为-专小可-400r,放C 3 选项正确；对于D选项，因为在正四棱台ABCD-A,B,CD,中A,D=A,B,O为 BD中点，所以A,O⊥BD,AC⊥BD,又因为AC,A,Oc平面AACC, A,OAC=C,所以BD⊥平面AACC,又因为BDc平面A,BD,所以平面 A,BD⊥平面AA,CC;同理可得平面C,BD⊥平面AA,CC;所以平面AACC内 的点P到平面A,BD与平面C,BD的距离，分别为点P到OA与OC的距离，设点 P到04的距离为d,设点P到0C的距离为d,则dd,=过点P作O4的垂 3 线，垂足为M,过点P作OC,的垂线，垂足为N,则四边形OMPN为矩形，则 oP=PM+oM=d+≥24-手所以oP≥25 ,当且仅当 3 d=d,=5时等号成立，所以OP的最小值为25，故D选项正确 3 3 数学参考答案第2页（共10页） 14.由于六张牌的数字之和不是3的倍数，因此不可能出现三位同学牌面的数字之 和都相同的情况，设事件A表示存在两位同学，他们的牌面数字之和相同且同 时最小，事件B表示第一、二位同学分到的牌面数字之和均不小于第三位同学 面数字之和，考虑三位同学的发顺序，则PBA)A=当1发 生时，这两位同学的发牌组合只能是{1,4}和2,3，{1,5和2,4，{2,5和 3,4三种可能，所以P叫山C=,当A不发生时，A表示仅有一位同学 的牌面数字之和最小，由对称性可得P(B团写，所以 Pr=P叫4P4+P叫r司-甘号 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) (l)因为bsinC+csinC=asinA-bsinB, 由正弦定理得bc+C2=a2-b2,…（2分) 即b2+c2-a2=-bc, 由余弦定理得cosA=b+c2-a2 (4分) 2bc 又因为Ae(0,,所以A= 3.(6分） (2)法一：因为AB1AD,所以∠BAD=,∠CAD= 6 …(7分 因为S。HBC=S。HBD+S4cp,…(8分） 所以2 cbsin1- 2π1。 =cAD-simz+bAD-sin乃 32 22 6 ) 即)x3x5x51x 1 =x34Dx1+-x54Dx-. 、2 、) 解得AD=15V5 (13分) 11 法二：如图所示，设∠ADB=0,AD=x,则∠ADC=元-0，…(7分) 因为AB⊥AD,所以∠BAD= 2”∠CAD=T 6 数学参考答案第3页（共10页） 所以∠ABD=T-日，∠ACD=0- 6 (8分 ) 数学参考答案第3页（共10页） AD AC 在△ACD中，根据正弦定理， 元sin(π-0)①… (9分) 6 AD AB 在△ABD中，根据正弦定理， simπ- sin0②(10分） 2 联立①、②可得5sim0-刀 =3cos0 (11分) 6 解得sin0= 11 4’c0s0= 5W3 (12分) 14 带回②可得x=4D=155 (13分) 11 16.(15分) (1)由题意10×0.005+0.010×2+0.020+0.025+a=1,解得a=0.030,.(1分) 成绩在[90,100]的频率为0.1，在80,90)的频率为0.25，在[70,80的频率为0.3， 因为0.1+0.25=0.35,0.1+0.25+0.3=0.65， (3分) 所以选报物理方向的最低分x在[70,80)内，则(80-x)×0.03+0.25+0.1=0.6,,(5分 解得x≈72，所以估计报物理方向的学生本次成绩不低于72分.…(6分) (2)由题可知，成绩在区间80,90)的频数为100×0.025×10=25， 成绩在区间[90,100]的频数为100×0.010×10=10， 利用分层抽样，从中抽取7份， 成绩在80,90)的频数为25× 7 =5, 25+10 7 成绩在[90,100的频数为10× =2, (8分) 25+10 再从这7份答卷中随机抽取3份，X的所有可能取值为0,1,2，…(9分 Px=0)=C.C-10-8 =35 (10分 数学参考答案第4页（共10页） PX=)=C.C=204 C335=7' (11分) 数学参考答案第4页（共10页） P(x-2-CC-5-1 C 357’…。 (12分 故X的分布列为： (13分) 0 2 所以X的数学期望为：E(X)=0×2+1x4+2x1=6 2 > 77 ，.（15分 17.(15分) (I)因为∠PAB=∠PAC,PA=PA,PB=PC,所以△PAB=△PAC, 则AB=AC,在圆锥PO中，PO⊥平面ABC,BCc平面ABC, 则BC⊥P0, (2分) 又因为AM为直径，则BC⊥AM,又BC⊥PO,AM∩P0=O,AM,POC平面 APM, 所以BC⊥平面APM, (4分) 又因为APC平面APM,所以BC⊥AP,. (5分) 又因为E,F分别是母线PB,PC上靠近点B,C的三等分点， 所以PE=PF且EF11BC,又BC⊥AP,所以AP1EF(6分) PB PC (2)由∠PAB=60°得，△PAB,△PAC均为等边三角形， 则AB=AC=BC=3,如图，以O为坐标原点，垂直于AM 的直线为x轴，OM所在的直线为y轴，OP所在的直线为 z轴，建立空间直角坐标系，PA=3,△ABC的高为 B 23 0P=VAp2-0AF-V32-V3=6 (7分) 数学参考答案第5页（共10页） 则aio4,小c m-9π-6 数学参考答案第5页（共10页） E,F分别是母线PB,PC上靠近点B,C的三等分点， 所以匹-m5692则5 际x-5则5} EF=(-2,0,0), (9分) m.EF=-2x=0 设平面AEF的法向量为m=(x,1,),则 mE=+4 3*6 =01 令y=1,则m=01,-22), (11分) [元.EF=-2x2=0 设平面EFB的法向量为万=(x2,y,22), 则 .6 2.元二1x2+2二3=0” 令z2=1,则i=(0,22,1, (13分) m元 因为m.n=0,所以cosm,i= =0 (14分) 故二面角A-EF-B的余弦值为0 (15分) 18.(17分) (1)直线AM的斜率为y（任≠-2)，直线BM的斜率为y。(x≠2)， x+2 x-2 由题意可：本2点2r+2y-42.2分) 所以C的方程为+号=1.x士2到： (3分) 42 (2)(i)法一：依题意设P(x,y),0(-x,-y),Gx,y), 直线P2的斜率为(k>0),则c=二，ko=片二当=出 xI-xo -x1-x0x1+x0 ，.(4分) 所以krokco= -=1 (6分) x2-x号 2 又kco=k0= -_k 4-x2x2’所以kc= k (8分) 进而有PG⊥PQ,即△PQG是直角三角形. (9分) 数学参考答案第6页（共10页） 法二：由题意设P(xo,yo),Q(-x,-y),G(x,y1),则E(,0 因为Q,E,G三点共线，所以.片==少+ x-xo 2Xo+xo …(5分) 又因为点P,G在C上，所以+公-l+片-1, (6分) 42 42 两式相减得kG=- xo+x (8分) 2(y+y) 所以kpe·kpG= xo+x 2(y+y (+6+=-1,所以P01PG.(9分) (x+xo)(yo+y) (ii)法一：设P(x,y),则直线PO的方程为y=ax(k>0), 2 [y=kx, x1= V2k2+1 联立x2,y 解得 2k (10分） 4T2 =1, V2k2+1 1 1 所以直线PG的方程为y=x-)+y=x++c= ,k2+1 +k书.(11分) 联立PG的方程和C的方程、可科是小“+2-4=0 4x（k2+1） 则x+x= (13分) kK2+2 以sw[K型 8k2+1k 8k(k2+1 Γ(k2+22k2+1)2k4+5k2+2 (14分) 21-k)1+k+k2+k3+k4+k）+k2(1-k)1+k) 令(Spoc)=0,即 1=0 (2k4+5k2+2 注意到k>0,得k=1,… (15分) 所以SP06在区间(0□)内单调递增，在区间(L,+∞)内单调递减， (16分) 所以当=1时，5台 （17分) 法二：设QG的中点为N,直线PQ的斜率为k,则其方程为y=x(k>O). 数学参考答案第7页（共10页） y=kx, 2 由x+y 解得x= (10分) =1, V1+2k2 42 1 由(1)得kG= k 直线QG的方程为y= x+ 2 V1+2k2 直线ON的方程为y=友x, 2k2 联立得xv= (11分) (k2+2V1+2k2 1 2kv1+k2 2V1+k2 +2k2,.(12分) 从而3.oo-2oNo0=+201+2 2k1+k2） …（13分 8k1+k2) 进而S.o6=4S.0w-(k2+21+2k) .(14分） 以下同解法一. 19.(17分) (1)x∈(0，π），令g(x)=f(x)-x-1=e.c0sx-x-1,…(1分) g'(x）=e(c0SX-Sinx)-1,.（2分) 令F(x)=e'(cosx-sinx)-1,xe(0,π，F'(x)=-2 e*.sinx<0, 则F()在(0，π）上单调递减，(3分 g'(x)=F(x)<F(O)=0,g(x)在(0，π)上单调递减， (4分 则x∈(0，π)，g(x)<g(0)=0,即f(x)-x-1<0, 所以x∈(0，π时，fx<X+1… (5分) 数学参考答案第8页（共10页） (2)(i)f'(x)=e*(cosx-sinx), 当2<或号<号政g<2x时，0， 当行<x行经<受时，c0 4 4 数学参考答案第8页（共10页） 于是在(2，.（孕.受2）上递增，在7行.停孕上 递减， …(6分) 而-)=f-经=f=3)=0f0=1f)=-e<-1, 又x<0时，e∈(0,1)，cosx∈[-1,1]，f(x)∈(-1,1)，f(x的部分图象大致如图， yf(x) 观察图象知，当xe0受时，又气>，必有无∈牙受， (8分 令x)=g-f)=-f)-g-ecos,e, 因八在匠)上递减，则ee0s在孕上递减， 因此，A)=-e在（孕上递增， ,(9分） 则当e时Me后要 42 所以的取值范围是民c,0 42 (i)不存在， 因<，则当无≤孕时，而无>，必有写+受 4 即x+x1≥元不成立， (11分) 2 当e写x)时，不存在或者≤-受有+<π-子子 22’ 即x+x1≥匹 2 不成立， .（12分） 当e时，e(受孕， 令o田=f5-)-fw,x(匠，， (13分 42 数学参考答案第9页（共10页) ) ox)--/(-x)-f(x)=-e(sinx-cos.x)-e(cosx-sinx) 数学参考答案第9页（共10页） =(cosx-sinx)e-) 而当xe孕时，c09-sinr<0,-0<0则p(>0, 即p)在匠孕上培. p60>p(经-0，因此，f0-动>f,e2, (14分 于是得/)>f)=. 又xe(受孕，受e0孕，1函数在(-受孕上递增，故有 2’41 -X>X+1, 即+<，。+≥号不成立， π (16分) 2 综上，不存在x<x<元，使得x+x≥成立 (17分 2 数学参考答案第10页（共10页） 绝密★启用前（最后一卷） 2026年普通高等学校招生全国统一考试（模拟） 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．已知向量，，若，则 A．-9 B．-4 C．4 D．9 3．设随机变量服从正态分布，若，则 A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.9 4．已知等差数列的前项和为，，则 A．10 B．15 C．20 D．25 5．已知复数，在复平面内，复数，对应的点分别为，，且点与点关于直线对称，则 A． B． C． D． 6．若，，则 A． B． C． D．2 数学试题第1页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 7．设，分别为双曲线（，）的左、右焦点，过的直线交双曲线右支于A，B两点，若，则双曲线的离心率可以是 A．2 B．3 C．4 D．5 8．已知是定义在R上的偶函数，是定义在R上的奇函数，且，在单调递减，则 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知函数，，，则 A． B．的零点为 C．曲线上任意一点处切线的倾斜角不小于 D．若，且，，则 10．已知点，均在抛物线C：上，F是C的焦点，则 A． B．直线轴 C．若，则 D．若，则 11．在正四棱台中，，O为和的交点，平面内的点P到平面与平面的距离之积为，则 A．该棱台的侧面积为 B．平面 C．该棱台的外接球的体积为 D．的最小值为 数学试题第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．等比数列中，，，则的前4项和等于________． 13．直线与函数的图象的相邻两个交点的距离是________． 14．某同学在课下进行一场纸牌游戏，其规则如下：现有标注数字1—5和7的六张纸牌，随机发给三位同学，每位同学分到2张牌，则第一、二位同学分到的牌面数字之和均不小于第三位同学的牌面数字之和的概率为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分） 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求A； （2）若，，D为边上一点，且，求AD． 16．（15分） 某地区从高三年级的物理测试中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图． （1）该地区某学校建议此次物理测试成绩在本地区前的学生选科报物理方向，试估计报物理方向的学生本次成绩不低于多少分？（结果保留整数） （2）从成绩位于区间和的答卷中，采用分层抽样随机抽取7份，再从这7份中随机抽取3份，设成绩在的答卷份数为随机变量，求的分布列及数学期望． 数学试题第3页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 17．（15分） 如图，圆锥PO的顶点为P，其母线长为3，点A，B，C，M都在底面圆O上，AM为直径，且，，设E，F分别是母线PB，PC上靠近点B，C的三等分点． （1）证明：； （2）当时，求二面角的余弦值． 18．（17分） 已知点，，动点满足直线AM与BM的斜率之积为．记M的轨迹为曲线C． （1）求C的方程； （2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G． （i）证明：△PQG是直角三角形； （ii）求△PQG面积的最大值． 19．（17分） 已知函数 （1）证明：时，； （2）设的解为（，2，…），． （i）当时，求的取值范围； （ii）判断是否存在，使得，并说明理由． 数学试题第4页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $