精品解析：2026年江西南昌市初三下学期复习检测卷 数学

初三复习检测卷数学 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. 下列各数中，是有理数的是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 在一个标准大气压下，四种气体的沸点如下表所示，则沸点最高的是（ ）． 气体 氧气 氢气 氮气 二氧化碳 沸点（单位：） A. 氧气 B. 氢气 C. 氮气 D. 二氧化碳 3. 景德镇瓷器名扬天下，下列器皿中，主视图和左视图不相同的是（ ） A. B. C. D. 4. 2026年央视春晚通过85种语言向全球传播，全网共计1939个话题登上热搜榜．小明随机抽取了其中6个话题，统计其日阅读量，数据（单位：亿次）如下：4.2，5.5，3.8，4.2，6.1，5.5对于这组数据，下列说法正确的是（ ）． A. 平均数是4.2 B. 中位数是4.85 C. 众数是5.5 D. 方差是0 5. 某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点B，E，C三点共线，，，．当时，的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 定义：若一个点的纵坐标是横坐标的5倍，则称这个点为“五倍点”．下列函数存在五倍点的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 化简：_____． 8. 因式分解：__________． 9. 据报道，2026年2月19日，南昌汉代海昏侯国遗址公园单日接待游客超60000人次，创历史新高．将数据60000用科学记数法表示为______． 10. 如图，3个相同的小矩形与2个相同的大矩形拼成一个矩形，若每个小矩形的宽和每个大矩形的宽均为x，则矩形的周长为________．（用含x的代数式表示） 11. 南昌市胜利路蜜雪冰城推出营销活动，每人限购1杯，价格如图，已知某团体中购买茉莉奶绿的人数是蜜桃四季春的2倍，而买新鲜冰淇淋的人数是买蜜桃四季春的一半，共花费80元，则这个团体共有________人． 12. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，点是坐标轴的正半轴上的一点，若射线、、构成轴对称图形，则线段的长为__________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 按要求完成以下小题 （1）计算： （2）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，若，．求． 14. 解不等式组并将解集在数轴上表示出来． 15. 阅读下列分式的计算过程，请你观察和思考，并回答所提出的问题． 计算： 原式…（第一步） …（第二步） …（第三步） （1）上述计算过程是从第______步开始出现错误； （2）请写出此题正确的计算过程． 16. 2026年，中国航天载人工程将实施：A．天舟十号货运补给；B．神舟二十三号载人飞行；C．神舟二十四号载人飞行；D．梦舟一号无人实验四项任务，某学校科技节开展模拟任务，将四项任务分别写在四张相同的卡片上． （1）小航天迷李明从中随机抽取一张，恰好抽到D“梦舟一号无人实验”的概率是______； （2）若李明随机抽取一张后，张华再从剩余的卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人抽到的恰好都是载人飞行的概率． 17. 如图在正方形的网格中，点A、B、C均为格点，请仅用无刻度直尺完成下列作图： （1）在图1中，作一个等腰直角三角形； （2）在图2中，作出的外心O． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在中，，C为上一点，且，于，连接，． （1）求证：； （2）延长至，使，连接．求证：为圆的切线． 19. 如图1是人在进地铁闸门口刷脸的情景图，图2是其侧面示意图，该人脸识别闸机的屏幕长，支架顶端为的中点，且到地面的距离，屏幕与竖直方向夹角，摄像头安装在屏幕顶端处．一名乘客直立时额头点距地面距离，此时人到闸机的距离．（结果精确到0.1） （1）求此时摄像头到这位乘客的距离； （2）如图3，当这位乘客绕腰点向前倾斜（即），此时．据现有技术规定：只有当摄像头到额头的水平距离，且竖直距离时，才能有效识别．请判断此乘客是否被有效识别，并说明理由．（参考数据：，，，，，） 20. 如图，已知点坐标为，线段与轴正半轴的夹角为，将线段绕点逆时针旋转得到线段． （1）点坐标为__________；（用含，的代数式表示） （2）若，同时落在反比例函数上． ①当时，求及的值； ②求的值． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 2025年12月12日至14日，首届“滕王阁杯”青少年模拟联合国大会在南昌市举行．为了解学生对联合国会议流程、议事规则的理解情况以及对各自参加的委员会满意程度，组委会从600名参会学生中随机抽取50名学生代表进行问卷调查，调查数据整理如下： 参加委员会的学生分布以及对该组织满意度统计表 人数（人） 占比 满意度平均分（分） 联合国粮食及农业组织（） 8 8.3 国际海事组织（） 7 7.9 联合国妇女地位委员会（） 9 8.6 联合国毒品和犯罪问题办公室（） 6 7.8 社会、文化与人道主义委员会（） 10 a 8.1 联合国统计委员会（） b 8.4 国际电信联盟（） 5 8.2 合计 50 根据以上信息，解答下面问题： （1）__________，__________． （2）估计600名参会学生中，参会后自评“非常了解”联合国会议流程、议事规则的人数为多少人？ （3）与参会前相比，参会后“不了解”人数占比下降了__________． （4）请根据计算综合得分判断：在“”和“”这两个委员会中，谁可能当选“最佳委员会”？附：参与度得分=；综合得分=满意度平均分+参与度得分． 22. 背景材料 年南昌市体育与健康学业水平考试新增乒乓球选考项目．训练时，发球机以固定频率向考生连续供球，考生将球回击到对面台面．已知乒乓球台台面长，球网高，球网位于台面中线． 数学建模 如图，以出球口垂直端线上的投影点为原点，以端线为轴，竖直方向为轴建立如右坐标系．发球点距离台面高度为，发射的水平速度是，乒乓球飞行过程中距离台面的竖直高度与水平移动的距离之间的关系式是． 解决问题 当时，乒乓球恰好经过点，乒乓球落在台面后进行反弹，反弹后的运动轨迹也是抛物线，其顶点位于第一次落点正前方，且距离台面的高度为处． （1）求值； （2）求反弹后抛物线的解析式； （3）判定此时学生在距离底线外，不低于桌面处是否能接住球？并说明理由； （4）保持不变，改变发球点的高度．若乒乓球既要过网（含擦网）又要落在桌面上（含底线），直接写出的取值范围． 六、综合与实践（本大题共12分） 23. 定义：若过四边形的一个顶点的直线把四边形面积平分，则称这条直线为“等积线”，等积线截四边形所得线段的长称为“等积线长”． 【特例感知】 （1）如图1，在矩形中，，，则矩形的等积线长为______； （2）如图2，在四边形中，，点为的中点，且，若，，求四边形的等积线的长． 【探索发现】 （3）如图3，在四边形中，为的中点，交于，连接．求证：为四边形的等积线． 【拓展应用】 （4）如图4，在四边形中，对角线，相交于点，若，，，，直接写出四边形等积线的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三复习检测卷数学 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. 下列各数中，是有理数的是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵选项A中可能表示有理数，也可能表示无理数，∴A错误． ∵是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数，∴B错误． ∵0是整数，整数属于有理数，∴C正确． 属于开方开不尽的无理数，∴D错误． 2. 在一个标准大气压下，四种气体的沸点如下表所示，则沸点最高的是（ ）． 气体 氧气 氢气 氮气 二氧化碳 沸点（单位：） A. 氧气 B. 氢气 C. 氮气 D. 二氧化碳 【答案】D 【解析】 【详解】解：， 即四个沸点中最大的是二氧化碳的沸点， 因此沸点最高的是二氧化碳． 3. 景德镇瓷器名扬天下，下列器皿中，主视图和左视图不相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三视图的定义，主视图是从物体正面看所得到的图形，左视图是从物体左面看所得到的图形．分别判断各选项中几何体的主视图和左视图即可． 【详解】解：A．主视图和左视图形状不相同，故本选项符合题意； B．主视图和左视图形状相同，故本选项不符合题意； C．主视图和左视图形状相同，故本选项不符合题意； D．主视图和左视图形状相同，故本选项不符合题意． 4. 2026年央视春晚通过85种语言向全球传播，全网共计1939个话题登上热搜榜．小明随机抽取了其中6个话题，统计其日阅读量，数据（单位：亿次）如下：4.2，5.5，3.8，4.2，6.1，5.5对于这组数据，下列说法正确的是（ ）． A. 平均数是4.2 B. 中位数是4.85 C. 众数是5.5 D. 方差是0 【答案】B 【解析】 【详解】解：先将数据从小到大排序得： 计算平均数：，A错误． 计算中位数：数据共个，中位数为第个和第个数据的平均数，即，B正确． 判断众数：和都出现次，均为出现次数最多的数，即该组数据的众数为和，C错误． 判断方差：数据不完全相等，方差不可能为，D错误． 5. 某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点B，E，C三点共线，，，．当时，的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先在 中求出的度数，利用平行线的性质得到的度数，然后在中求出的度数，最后利用三角形外角的性质求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴． 6. 定义：若一个点的纵坐标是横坐标的5倍，则称这个点为“五倍点”．下列函数存在五倍点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据五倍点定义，五倍点满足，存在五倍点即联立原函数与得到的方程有实数解，判断方程是否有实根即可得到结果． 【详解】解：∵五倍点的纵坐标是横坐标的倍， ∴五倍点满足， 若函数存在五倍点，则联立函数解析式与所得方程有实数解． 对选项A：联立，得，整理得，方程无解，故A不存在五倍点． 对选项B：联立，得，整理得，方程无实数解，故B不存在五倍点． 对选项C：联立，得，整理得．∵判别式，∴方程有两个不相等的实数根，故C存在五倍点． 对选项D：联立，得，整理得．∵判别式，∴方程无实数根，故D不存在五倍点． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 化简：_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义计算． 【详解】解：∵， ∴． 8. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：=； 故答案为 9. 据报道，2026年2月19日，南昌汉代海昏侯国遗址公园单日接待游客超60000人次，创历史新高．将数据60000用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【详解】解： 10. 如图，3个相同的小矩形与2个相同的大矩形拼成一个矩形，若每个小矩形的宽和每个大矩形的宽均为x，则矩形的周长为________．（用含x的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】观察图形，根据小矩形和大矩形的拼接关系，分别用含的代数式表示出小矩形的长和大矩形的长，进而表示出矩形的长和宽，最后根据矩形周长公式求解即可． 【详解】解：由图可知，小矩形的长等于个小矩形的宽．   每个小矩形的宽为，   小矩形的长为． 由图可知，大矩形的长等于个小矩形的宽与个小矩形的长之和．   大矩形的长为．   矩形的长为大矩形的长，即，矩形的宽为大矩形的宽与大矩形的长之和，即，   矩形的周长为． 11. 南昌市胜利路蜜雪冰城推出营销活动，每人限购1杯，价格如图，已知某团体中购买茉莉奶绿的人数是蜜桃四季春的2倍，而买新鲜冰淇淋的人数是买蜜桃四季春的一半，共花费80元，则这个团体共有________人． 【答案】 14 【解析】 【分析】设购买蜜桃四季春的人数为人，根据题意分别表示出购买茉莉奶绿和新鲜冰淇淋的人数，结合图示单价和总花费列出方程求解即可． 【详解】解：设购买蜜桃四季春的人数为人．则购买茉莉奶绿的人数为人，购买新鲜冰淇淋的人数为人，根据共花费80元列方程求解即可． 由图可知，茉莉奶绿单价6元，蜜桃四季春单价7元，新鲜冰淇淋单价2元． 根据题意，得， 整理，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 所以这个团体共有人． 12. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，点是坐标轴的正半轴上的一点，若射线、、构成轴对称图形，则线段的长为__________． 【答案】 或或 【解析】 【分析】分射线，射线，射线为对称轴分类讨论即可解答． 【详解】①若以射线为对称轴， ， ； ②若以射线为对称轴， ； ③若以射线为对称轴，作， ，， ， ， ， ， ． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 按要求完成以下小题 （1）计算： （2）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，若，．求． 【答案】（1） （2）24 【解析】 【分析】（1）根据零指数幂计算即可； （2）根据勾股定理求出对角线的长，然后利用菱形面积公式计算即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解：四边形是菱形，，， ，， ， ， 则． 14. 解不等式组并将解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【解析】 【详解】解：解得 解得 ∴ 在数轴上表示如下： 15. 阅读下列分式的计算过程，请你观察和思考，并回答所提出的问题． 计算： 原式…（第一步） …（第二步） …（第三步） （1）上述计算过程是从第______步开始出现错误； （2）请写出此题正确的计算过程． 【答案】（1）二 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）第二步计算同分母分式加减时，错误去掉了公分母； （2）按照正确的分式加减计算方法计算即可． 【小问1详解】 解：第一步对分母因式分解后通分，符合分式运算法则， 第二步计算同分母分式加减时，错误去掉了公分母， 因此计算过程从第二步开始出现错误； 【小问2详解】 解： 16. 2026年，中国航天载人工程将实施：A．天舟十号货运补给；B．神舟二十三号载人飞行；C．神舟二十四号载人飞行；D．梦舟一号无人实验四项任务，某学校科技节开展模拟任务，将四项任务分别写在四张相同的卡片上． （1）小航天迷李明从中随机抽取一张，恰好抽到D“梦舟一号无人实验”的概率是______； （2）若李明随机抽取一张后，张华再从剩余的卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人抽到的恰好都是载人飞行的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式计算即可． （2）画树状图得出所有等可能的结果数和两人抽到的恰好都是载人飞行的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：∵有四张卡片， ∴航天迷李明从中随机抽取一张，恰好抽到D“梦舟一号无人实验”的概率是． 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中两人抽到的恰好都是载人飞行的结果有2种， ∴两人抽到的恰好都是载人飞行的概率为． 17. 如图在正方形的网格中，点A、B、C均为格点，请仅用无刻度直尺完成下列作图： （1）在图1中，作一个等腰直角三角形； （2）在图2中，作出的外心O． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理及其逆定理作图即可； （2）取格点M，N，连接，取格点E，F，连接，交于点D，取格点G，连接，交于点O，则点O即为所求作的的外心O． 【小问1详解】 解：如图1，三角形即为所求的等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴三角形是等腰直角三角形； 【小问2详解】 解：如图2，点O即为所求的的外心O． ∵四边形是正方形， ∴垂直平分， ∵四边形是矩形， ∴点D是的中点． ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴点O是的外心． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在中，，C为上一点，且，于，连接，． （1）求证：； （2）延长至，使，连接．求证：为圆的切线． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）证明为等腰直角三角形，得到，证明为等边三角形，得到，即可通过证明； （2）由为等边三角形，得到，利用全等的性质求出，由圆周角和圆心角的性质得到，即可推出，，证明为的中位线，由中位线的性质求出，即可求出，得到结果． 【小问1详解】 解：∵，， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：∵为等边三角形， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵为中点，且，即为中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴为圆的切线． 19. 如图1是人在进地铁闸门口刷脸的情景图，图2是其侧面示意图，该人脸识别闸机的屏幕长，支架顶端为的中点，且到地面的距离，屏幕与竖直方向夹角，摄像头安装在屏幕顶端处．一名乘客直立时额头点距地面距离，此时人到闸机的距离．（结果精确到0.1） （1）求此时摄像头到这位乘客的距离； （2）如图3，当这位乘客绕腰点向前倾斜（即），此时．据现有技术规定：只有当摄像头到额头的水平距离，且竖直距离时，才能有效识别．请判断此乘客是否被有效识别，并说明理由．（参考数据：，，，，，） 【答案】（1）此时摄像头到这位乘客的距离约为； （2）此乘客被有效识别，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）过点作交延长线于点，延长交于点，易得，解直角三角形求出，证明四边形是矩形，得到，即可解答； （2）在（1）图的基础上，过点作于点，过点作于点，由（1）知，四边形是矩形，证明四边形是矩形，得到，，解直角三角形求出，，进而得到，即可求出摄像头到额头的水平距离；求出，在中，解直角三角形求出，得到，即可求出竖直距离，即可解答． 【小问1详解】 解：过点作交延长线于点，延长交于点， ∵， ∴， ∵为的中点，， ∴， 在中，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 答：此时摄像头到这位乘客的距离约为； 【小问2详解】 解：此乘客被有效识别，理由如下： 在（1）图的基础上，过点作于点，过点作于点， 由（1）知，四边形是矩形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴，， ∴， ∴，即摄像头到额头的水平距离为，在范围内； ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴，即竖直距离为，在范围内， ∴此乘客被有效识别． 20. 如图，已知点坐标为，线段与轴正半轴的夹角为，将线段绕点逆时针旋转得到线段． （1）点坐标为__________；（用含，的代数式表示） （2）若，同时落在反比例函数上． ①当时，求及的值； ②求的值． 【答案】（1）为 （2）①即 ​，；②． 【解析】 【分析】（1）过作轴于，过作交于，利用旋转得到的全等三角形关系，结合点A的坐标推导点B横纵坐标的表达式． （2）①因为点A、B都在反比例函数上，所以两点坐标均满足，代入和得到的B点坐标，建立关于和的方程求解． ②等于在x轴方向的水平距离与y轴方向的竖直距离的比值，再结合A、B在反比例函数上得到的和的关系，代入计算即可． 【小问1详解】 解：过作轴于，过作交于． 则， ∴， 由旋转性质得，， ∴， ∴， 可证， 得，． 结合， 得的横坐标为，纵坐标为． 故点坐标为 ． 【小问2详解】 解：① ∵、都在上， ∴对：，对：， ∴． 当时， ， 解得（，舍去负根）， ∴​． 即 ​，． ② ∵是与轴正半轴的夹角， ∴过作轴于， 在中，，， ∴，  设​， 对等式两边同除以， 得， 得 ， 解得（，舍去负根）， 故． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 2025年12月12日至14日，首届“滕王阁杯”青少年模拟联合国大会在南昌市举行．为了解学生对联合国会议流程、议事规则的理解情况以及对各自参加的委员会满意程度，组委会从600名参会学生中随机抽取50名学生代表进行问卷调查，调查数据整理如下： 参加委员会的学生分布以及对该组织满意度统计表 人数（人） 占比 满意度平均分（分） 联合国粮食及农业组织（） 8 8.3 国际海事组织（） 7 7.9 联合国妇女地位委员会（） 9 8.6 联合国毒品和犯罪问题办公室（） 6 7.8 社会、文化与人道主义委员会（） 10 a 8.1 联合国统计委员会（） b 8.4 国际电信联盟（） 5 8.2 合计 50 根据以上信息，解答下面问题： （1）__________，__________． （2）估计600名参会学生中，参会后自评“非常了解”联合国会议流程、议事规则的人数为多少人？ （3）与参会前相比，参会后“不了解”人数占比下降了__________． （4）请根据计算综合得分判断：在“”和“”这两个委员会中，谁可能当选“最佳委员会”？附：参与度得分=；综合得分=满意度平均分+参与度得分． 【答案】（1），5 （2）252人 （3）44 （4）“最佳委员会”是“” 【解析】 【分析】（1）根据占比、频数、总数之间的关系求解即可； （2）用样本估计总体的方法求解即可； （3）分别求出参会前、参会后“不了解”人数的占比，再相减即可； （4）分别计算“”和“”这两个委员会的得分即可． 【小问1详解】 解：， 【小问2详解】 解：（人） 答：参会后自评“非常了解”联合国会议流程、议事规则的人数为人； 【小问3详解】 解：； 【小问4详解】 解：“”得分：（分）， “”得分：（分）， ∴“最佳委员会”是“”． 22. 背景材料 年南昌市体育与健康学业水平考试新增乒乓球选考项目．训练时，发球机以固定频率向考生连续供球，考生将球回击到对面台面．已知乒乓球台台面长，球网高，球网位于台面中线． 数学建模 如图，以出球口垂直端线上的投影点为原点，以端线为轴，竖直方向为轴建立如右坐标系．发球点距离台面高度为，发射的水平速度是，乒乓球飞行过程中距离台面的竖直高度与水平移动的距离之间的关系式是． 解决问题 当时，乒乓球恰好经过点，乒乓球落在台面后进行反弹，反弹后的运动轨迹也是抛物线，其顶点位于第一次落点正前方，且距离台面的高度为处． （1）求值； （2）求反弹后抛物线的解析式； （3）判定此时学生在距离底线外，不低于桌面处是否能接住球？并说明理由； （4）保持不变，改变发球点的高度．若乒乓球既要过网（含擦网）又要落在桌面上（含底线），直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）不能，见解析 （4） 【解析】 【分析】（1）将，代入解析式进行计算即可； （2）先求出第一次的落点坐标和反弹后的顶点坐标，设反弹后的抛物线的顶点式为：，利用待定系数法求出即可； （3）计算学生接球位置，将代入反弹后的抛物线的解析式，根据即可得出结果； （4）先求球过网条件：乒乓球台台面长的一半，不低于球网，得出；再求球落在乒乓球台台面上的条件，令，则，得出，由，可得；综合以上两个条件即可得出的取值范围． 【小问1详解】 解：∵当时，乒乓球恰好经过点， ∴将，代入得，， 解得； 【小问2详解】 解：第一次落点：令，由得， 解得或（不合题意，舍去） ∴第一次落点为； ∵反弹后其顶点位于第一次落点正前方，且距离台面的高度为处， ∴反弹后其顶点的横坐标为：，纵坐标为：，即反弹后其顶点坐标为， 设反弹后的抛物线的顶点式为：， 将代入得，， 解得， ∴反弹后的抛物线的解析式为：，整理为一般式，得：； 【小问3详解】 解：∵学生接球位置在距离底线外，乒乓球台台面长， ∴学生接球位置， 将代入反弹后的抛物线的解析式为：， ∵， ∴此时球已低于桌面高度， ∴学生在距离底线外，不低于桌面处不能接住球； 【小问4详解】 解：保持不变，改变发球点的高度，则： 球过网条件为：乒乓球台台面长的一半，即；不低于球网，即； ∴， 解得； 球同时还要满足落在乒乓球台台面上： 令，则， ∴， 解得或（不符合题意，舍去） 由题意，得， 解得； 综上，的取值范围为：． 六、综合与实践（本大题共12分） 23. 定义：若过四边形的一个顶点的直线把四边形面积平分，则称这条直线为“等积线”，等积线截四边形所得线段的长称为“等积线长”． 【特例感知】 （1）如图1，在矩形中，，，则矩形的等积线长为______； （2）如图2，在四边形中，，点为的中点，且，若，，求四边形的等积线的长． 【探索发现】 （3）如图3，在四边形中，为的中点，交于，连接．求证：为四边形的等积线． 【拓展应用】 （4）如图4，在四边形中，对角线，相交于点，若，，，，直接写出四边形等积线的长． 【答案】（1）5 （2）3 （3）见解析 （4） 【解析】 【分析】（1）先确定矩形的等积线就是矩形的对角线，再根据勾股定理求解即可； （2）延长交的延长线于点F，先证明，则，，故，由题意得，平分四边形的面积，即平分的面积，则，然后结合直角三角形斜边中线的性质求解即可； （3）过点作交的延长线于点，连接交于点，先进行面积转换得到，然后根据平行线分线段成比例定理得到，则平分的面积，即可求证； （4）先证明，求出，取的中点，连接，求出，过点作交的延长线于点，连接交于点，同理可得，则平分的面积，可证明，则，故，过点作于点，再解即可． 【小问1详解】 解：连接， ∵四边形是矩形， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴是矩形的一条等积线， 由矩形的对角线相等可得也是， ∵ ∴ ∴矩形的等积线长为； 【小问2详解】 解：延长交的延长线于点F， ∵ ∴ ∵点为的中点 ∴， ∴ ∴， ∴ 由题意得，平分四边形的面积，即平分的面积， ∴ ∵， ∴； 【小问3详解】 证明：过点作交的延长线于点，连接交于点， ∴， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∵点为的中点， ∴ ∴ ∴平分的面积， ∴平分四边形的面积 ∴为四边形的等积线； 【小问4详解】 解：∵， ∴， ∴ ∴ ∴ 解得（舍负） 取的中点，连接 ∴ ∴ ∴ 过点作交的延长线于点，连接交于点， ∴， ∴ ∴ ∴ ∵为四边形的等积线 ∴平分的面积， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， 过点作于点 ∵ ∴ ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $