7.4.1 二项分布 导学案-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

该高中数学导学案聚焦二项分布，涵盖伯努利试验、n重伯努利试验的概念特征，二项分布的定义、概率公式、分布列及均值方差。通过掷硬币、婴儿性别等实例引入伯努利试验，结合射击、有放回抽样等问题链构建n重伯努利试验认知，形成从具体到抽象的学习支架。 以问题驱动概念辨析，情境化例题（如高尔顿板小球下落）和分层检测设计为亮点。通过实例观察培养数学眼光，问题探究发展数学思维，分布列书写与公式应用提升数学语言表达能力，助力学生掌握二项分布建模方法。

7.4.1 二项分布 导学案 一、学习目标 1.理解伯努利试验与n 重伯努利试验的概念及核心特征。 2.掌握二项分布的定义、概率公式与分布列写法，能熟练计算 。 3.会判断随机变量是否服从二项分布，掌握建模步骤。 4.熟记二项分布的均值与方差公式并能直接应用。 二、抽象概念，内涵辨析 问题1 下列3个随机试验各自会产生哪些结果？他们的结果之间有什么共同特征？ 1. 掷一枚质地均匀的硬币 2. 某妇产医院出生婴儿的性别 3.袋子中有4个红球，6个白球，从中抽取一个球 我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验， 我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为 n重伯努利试验. 追问 n重伯努利试验有何特征？ 思考：下面3个随机试验是否为n重伯努利试验?如果是，那么其中的伯努利试验是什么?对于每个试验，定义“成功”的事件为A，那么A的概率是多大?重复试验的次数是多少？ (1)抛掷一枚质地均匀的硬币10次。 (2）某飞碟运动员每次射击中靶的概率为 0.8，连续射击3次。 (3)一批产品的次品率为5%，有放回地随机抽取20件。 追问 伯努利试验和n重伯努利试验有何不同 探究 某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续3次射击，中靶次数X的概率分布列是怎样的? 问题4 能否通过对以上实例和问题的分析，归纳总结二项分布的试验特征，并尝试概括出二项分布的定义呢? 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作 X～B(n，p). 追问 二项分布与两点分布有何关系? 三、例题巩固，深度探究 例1 将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求 （1）恰好出现5次正面朝上的概率； （2）正面朝上出现的频率在[0.4，0.6]内的概率. 例2 如图7.3-2是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落人底部的格子中，格子从左到右分别编号为0，1，2，·····，10，用X表示小球最后落人格子的号码，求X的分布列. 四、归纳总结 思考：如何确定一个二项分布模型？ 对于一个离散型随机变量，除了关心它的分布列外，我们还应关心它的均值和方差等数字特征.那么，一个服从二项分布的随机变量的均值和方差，也是我们所关心的重要指标. 问题5 假设随机变量X～B（n，p），那么X的均值和方差各是什么? 五、目标检测，检验效果 1.抛硬币 4 次，X = 正面朝上次数， (1) 写出 X 的分布列 (2) ， 2.5 只鸡接种疫苗，不感染概率 0.8 (1) 无鸡感染的概率 (2) 恰 1 只感染的概率 3.判断正误并说明理由 (1) 12 道四选一单选题，猜对题数 (2) 100 件含 10 件次品，不放回抽 6 件，次品数 七、课堂小结 1. 伯努利试验：两个结果。 2. n 重伯努利试验：独立、重复、概率不变。 3. 二项分布：，公式 。 4. 期望与方差：，。 5. 二项分布判断：定试验→定 n、p→验独立→写分布。 八、作业布置 1. 必做：教材第 80~81 页 习题 7.4 第 1、2、3 题。 2. 选做：探究 “二项分布的性质”，小组合作完成学习报告。 学科网（北京）股份有限公司 $