二项分布（二）探究 二项分布的期望和方差导学案-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

二项分布（二）探究 二项分布的期望和方差 答案 探究 假设随机变量X服从二项分布B(n，p)，那么X的均值和方差各是什么？ 我们知道，抛掷一枚质地均匀的硬币，“正面朝上”的概率为0.5，如果掷100次硬币，期望有100×0.5＝50(次)正面朝上．根据均值的含义，对于服从二项分布的随机变量X，我们猜想E(X)＝np. 我们不妨从简单开始，先考察n较小的情况． (1) 当n＝1时，X服从两点分布，分布列为P(X＝0)＝1－p，P(X＝1)＝p. 均值和方差分别为E(X)＝p，D(X)＝p(1－p). (2) 当n＝2时，X的分布列为P(X＝0)＝(1－p)2，P(X＝1)＝2p(1－p)，P(X＝2)＝p2. 均值和方差分别为E(X)＝0×(1－p)2＋1×2p(1－p)＋2×p2＝2p， D(X)＝02×(1－p)2＋12×2p(1－p)＋22×p2－(2p)2＝2p(1－p). 一般地，可以证明： 如果X～B(n，p)，那么E(X)＝np，D(X)＝np(1－p). 下面我们对均值进行证明． 令q＝1－p，由kC＝nC， 可得E(X)＝kCpkqn－k＝nCpkqn－k＝npCpk-1qn-1-(k-1). 令k－1＝m，则E(X)＝npCpmqn-1-m＝np(p＋q)n-1＝np. 例题1：解：(1)X的可能取值为1，2，3， P(X＝1)＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝， 故抽取次数X的分布列为 X 1 2 3 P E(X)＝1×＋2×＋3×＝. (2)每次检验取到新球的概率均为，故Y～B(5，)，所以E(Y)＝5×＝3. （上课要学生列出分布列） 例题2：解：(1)由题可知随机变量X服从二项分布：X～B(3，)， P(X＝0)＝C×()3＝，P(X＝1)＝C××()2＝， P(X＝2)＝C×()2×＝，P(X＝3)＝C×()3＝， 所以随机变量X的分布列如下： X 0 1 2 3 P 均值为E(X)＝3×＝2，D(X)＝3××＝. 例题3：南昌瓷板画：融合了中国传统绘画、陶瓷彩绘和西方摄影术的精髓，从绘画到烧制流程复杂，精品率非常低，在制作过程会出现常规品和精品两种情况. (1)某新匠人一天能制作两件作品，制作第一件作品精品率为，第二件作品在第一件是精品的前提下的精品率为，第二件作品在第一件是常规品的前提下的精品率为，求该新匠人第二件作品是精品的概率； (2)某老匠人水平稳定且一天能制作三件作品，每一件瓷板画作品的精品率为，若常规品每件盈利100元，精品每件盈利300元；求该老匠人一天盈利的分布列和期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析，375元 【知识点】利用全概率公式求概率、二项分布的均值、均值的性质、利用二项分布求分布列 【分析】（1）根据题意利用全概率公式求解； （2）根据二项分布求分布列及期望即可. 【详解】（1）设新匠人第一件作品是精品为事件，第二件作品是精品为事件， 由题意. （2）设老匠人一天制作精品作品的件数为，盈利为, 由题意，，， 所以, ， ， ， 所以分布列为： 300 500 700 900 （元）. 课堂练习.答案：100，199　 解析：由P(X＝k)＝C··，可知X～B， ∴E(X)＝300×＝100．E(Y)＝E(2X－1)＝2E(X)－1＝200－1＝199. 学科网（北京）股份有限公司 $ 二项分布（二）探究 二项分布的期望和方差 【学习目标】 1. 会利用公式求服从二项分布的随机变量的概率、均值及方差； 2. 能利用二项分布解决一些简单的实际问题. 【重点】1.探究二项分布的均值及方差；2.二项分布的实际应用 【难点】1.二项分布的实际应用 1、 知识回顾： （1）重伯努利试验的定义； （2）二项分布的概率计算公式P(X＝k)＝_____________________(k＝0,1,2，…，n)， 若随机变量服从二项分布，记作___ __ 2、 探究：假设随机变量服从二项分布B(n, p)，那么的均值和方差各是什么? （1） 当n＝1时，X分布列为 E(X)＝ ，D(X)＝ . 此时： (2) 当n＝2时，X分布列为 E(X)＝ ，D(X)＝ . 此时：E(X)＝ ，D(X)＝ . 猜想：若X~B(n, p)，则有 证明： 3、 应用： 例题1：袋中装有5个乒乓球，其中2个旧球，现在无放回地每次取一球检验． (1)若直到取到新球为止，求抽取次数X的分布列及其均值； (2)若将题设中的“无放回”改为“有放回”，求检验5次取到新球个数Y的均值． 例题2：D公司开发了两款AI图像检测模型(分别记为甲模型、乙模型)，用于检测图像中的特定目标．已知甲模型在单张图像中检测到目标的概率为，乙模型在单张图像中检测到目标的概率为.假设每张图像在同一模型中的检测结果相互独立，现用甲、乙模型分别独立地检测3张图像，记甲模型检测到目标的图像张数为X，乙模型检测到目标的图像张数为Y. (1)写出随机变量X的分布列、均值及方差； (2)求事件“X＋Y＝3”的概率． 例题3：南昌瓷板画：融合了中国传统绘画、陶瓷彩绘和西方摄影术的精髓，从绘画到烧制流程复杂，精品率非常低，在制作过程会出现常规品和精品两种情况. (1)某新匠人一天能制作两件作品，制作第一件作品精品率为，第二件作品在第一件是精品的前提下的精品率为，第二件作品在第一件是常规品的前提下的精品率为，求该新匠人第二件作品是精品的概率； (2)某老匠人水平稳定且一天能制作三件作品，每一件瓷板画作品的精品率为，若常规品每件盈利100元，精品每件盈利300元；求该老匠人一天盈利的分布列和期望. 课堂练习： 小结： 学科网（北京）股份有限公司 $