7.4.2超几何分布导学案-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

7.4.2超几何分布 【教学目标】 1、通过具体实例了解超几何分布的概念和特征 2、会求超几何分布的概率及其分布列 3、能用超几何分布解决简单的实际问题 【知识梳理】 1.超几何分布：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为___________，. 其中，，，. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从 . 2.超几何分布的均值：________. 3.求超几何分布的均值的步骤 4.区别二项分布与超几何分布的方法有哪些 知识辨析 （1）超几何分布的总体里只有两类物品．( ) （2）超几何分布的模型是不放回抽样．( ) （3）超几何分布与二项分布的期望值都为np.( ) （4）超几何分布与二项分布的均值相同（） （5）超几何分布与二项分布没有任何联系（） （6）将一枚硬币连抛三次，正面向上的次数X服从超几何分布（） （7）盒子中有4个白球3个黑球，有放回的摸取3个球黑球的个数X服从超几何分布（） （8）某射手的命中率为0.8，现对目标射击3次，命中目标的次数X服从超几何分布（） 重难点突破 1．从装有个白球，个红球的密闭容器中逐个不放回地摸取小球. 若每取出个红球得分，每取出个白球得分. 按照规则从容器中任意抽取个球，所得分数的期望为（    ） A． B． C． D． 2．从一批含有13件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为ξ，则E(5ξ＋1)＝(    ) A．2 B．1 C．3 D．4 3．一个不透明的袋子中装有3个黑球，n个白球，这些球除颜色外大小、质地完全相同，从中任意取出3个球，已知取出2个黑球，1个白球的概率为，设X为取出白球的个数，则（    ） A． B． C．1 D．2 4．有甲、乙两个盒子，甲盒子里有个红球，乙盒子里有个红球和个黑球，现从乙盒子里随机取出个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为个，则随着的增加，下列说法正确的是（    ） A．增加，增加 B．增加，减小 C．减小，增加 D．减小，减小 5．“英才计划”由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动. (1)若数学组的7名学员中恰有3人来自中学，从这7名学员中选取3人，表示选取的人中来自中学的人数，求的分布列和数学期望； (2)在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利.已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，.假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响.当时，求甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值. 6．多巴胺是一种神经传导物质，能够传递兴奋及开心的信息.近期很火的多巴胺穿搭是指通过服装搭配来营造愉悦感的着装风格，通过色彩艳丽的时装调动正面的情绪，是一种“积极化的联想”.小李同学紧跟潮流，她选择搭配的颜色规则如下：从红色和蓝色两种颜色中选择，用“抽小球”的方式决定衣物颜色，现有一个箱子，里面装有质地、大小一样的4个红球和2个白球，从中任取4个小球，若取出的红球比白球多，则当天穿红色，否则穿蓝色.每种颜色的衣物包括连衣裙和套装，若小李同学选择了红色，再选连衣裙的可能性为0.6，而选择了蓝色后，再选连衣裙的可能性为0.5. (1)写出小李同学抽到红球个数的分布列及期望； (2)求小李同学当天穿连衣裙的概率. 学案6 7.4.2超几何分布学案答案 知识梳理 1. 超几何分布 2. 3.（1）先判断随机变量服从超几何分布，找出参数N，M，n的取值. （2）利用公式，，求出分布列. （3）利用均值定义求出均值. 4.一般地，超几何分布的模型是“取次品”，是不放回抽样，而二项分布的模型则是“独立重复试验”，对于抽样，则是有放回抽样，当产品的数量充分大，且抽取数量较小时，即便是不放回抽样，也可视其为二项分布，解题时应从本质上给予区分，切忌混淆. 知识辨析 正确；正确；正确；正确；正确；正确；错误；错误. 1．A 【详解】解：设得分为，根据题意可以取，，. 则，， ， 则分布列为： 4 3 2 所以得分期望为. 2．C. 【详解】的可能取值为. ，，. ∴的分布列为： ξ 0 1 2 P 于是， 故. 3．A 【详解】由题可知，，解得， X的可能取值为， ，，，， ∴. 4．C 【详解】由题意可知，从乙盒子里随机取出个球，含有红球个数服从超几何分布，即，其中，其中，且，. 故从甲盒中取球，相当于从含有个红球的个球中取一球，取到红球个数为. 故， 随机变量服从两点分布，所以，随着的增大，减小； ，随着的增大，增大.故选：C. 5．(1)分布列见解析，(2) 【详解】（1）由题意知，的可能取值有0，1，2，3，， ，，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 P . （2）因为甲、乙两人每次答题相互独立，设甲答对题数为，则， 设乙答对题数为，则，设“甲、乙两位同学在每轮答题中取胜”, 则 由，又，所以， 则，又，所以， 设，所以，由二次函数可知当时取最大值， 所以甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值为. 6．(1)分布列见解析，(2). 【详解】（1）设抽到红球的个数为X，则X的取值可能为4，3，2， ，，， 所以X的分布列为： X 4 3 2 P 故. （2）设A表示穿红色衣物，则表示穿蓝色衣物，B表示穿连衣裙，则表示穿套装. 因为穿红色衣物的概率为， 则穿蓝色衣物的概率为， 穿红色连衣裙的概率为，穿蓝色连衣裙的概率为， 则当天穿连衣裙的概率为. 所以小李同学当天穿连衣裙的概率为. 学科网（北京）股份有限公司 $