精品解析：2026年重庆市武隆县巷口中学等校中考一模数学试题

数学试题 (全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟) 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图(包括作辅助线)请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：(本大题10个小题，每小题4分，共40分)在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. -4的相反数是（ ） A. B. C. 4 D. -4 2. 五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面看到的视图是（　　） A. B. C. D. 3. 已知点在反比例函数的图象上，则的值为（　　） A. 5 B. C. 10 D. 4. 如图，，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，与位似，点为位似中心，且，则与的面积之比是（　　） A. B. C. D. 6. 黑点按如图所示的方式拼成图案，其中第①个图案中有3个小黑点，第②个图案中有8个小黑点，第③个图案中有15个小黑点，第④个图案中有24个小黑点……，按照这一规律，则第⑦个图案中小黑点的个数是（　　） A. 35 B. 42 C. 48 D. 63 7. 估计的值应在（　　） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 8. 如图，等边的边长为与的交点为等边的中心，则图中阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，正方形的边长为，点在边上，，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，的平分线交于点，则的长为（　　） A. B. C. D. 10. 已知整式(a，b，c均为整数，其中)，令．下列说法： ①若，为二项式，且，时，使分式的值为整数的的整数值只有2个； ②若且，，无论取何值，值始终为正数的代数式有6个； ③若且，当时代数式的值恒为10． 其中正确的个数是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：(本大题6个小题，每小题4分，共24分)请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 小倩在网购时凑单购买了一份口味随机的万州烤鱼，已知有蒜香、鱼香、酸菜、豆豉、香辣、麻辣、泡椒7种口味，其中香辣、麻辣、泡椒味偏辣，则小倩恰好收到偏辣口味万州烤鱼的概率是___________． 12. 若正多边形的一个内角比它的一个外角大，则这个多边形的边数为______． 13. 预计2025年我国规模以上工业原油产量为216000000吨，创历史新高．数据216000000用科学记数法表示为___________． 14. 某校社团文化节于3月底启动，4月初正式面向全校开放．社团联合会统计，4月1日参与活动的学生大约有1200人，4月3日参与活动的学生大约有2028人，那么从4月1日到4月3日参与活动的学生人数的日平均增长率为___________． 15. 如图，是的直径，内接于，，交于点，以，为邻边构造平行四边形，为上一点，连接，，，交于点．若，，则的长度为___________． 16. 我们规定：若一个两位数比它的各个数位上的数字之和的倍还多，则称这个两位数为“七三数”．例如：两位数，因为 ，所以是“七三数”．按照这个规定，最小的“七三数”是______；对于一个四位数，它的千位数字与十位数字组成的两位数，与它的百位数字与个位数字组成的两位数均为“七三数”，令．若能被整除，满足条件的四位数的最大值与最小值之差为______． 三、解答题：(本大题2个小题，每小题8分，共16分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形(包括辅助线)，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 求不等式组：的所有整数解． 18. 学习了等腰三角形“三线合一”的性质后，小颖进行了深入的研究，她发现了等腰三角形底边上中线的另一种作法，并与她的同伴进行交流．现在你作为她的同伴，请根据她的想法与思路，完成以下作图和填空： （1）第一步：构造中线 小颖已经作好了等腰一腰的垂直平分线(如图)，该垂直平分线交于点．请你利用尺规作图，作另一腰的垂直平分线，这条垂直平分线交于点，交的垂直平分线于点，作射线交于点，即为边上的中线(不写作法，保留作图痕迹)． （2）第二步：利用三角形全等证明她的猜想． 证明：垂直平分垂直平分， ． 在和中， ， ③___________． ， 是边上的中线． 四、解答题：(本大题7个小题，每小题10分，共70分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形(包括辅助线)，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 节假日期间，甲、乙两部电影票房大卖，很多观众在某电影评分软件上对这两部电影进行了评分．针对这两部电影，各随机抽取名观众的评分数据，进行整理、描述和分析(观众对电影的评分用表示，满分为分，共分为组：，，．，．)，下面给出了部分信息： 电影甲的个评分数据是： ； 电影乙的评分数据中，在组的数据是： ； 电影乙评分数据扇形统计图 甲、乙两部电影评分数据统计表 电影 甲 乙 平均数 中位数 众数 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中___________，___________，___________； （2）根据以上数据，你认为电影甲和电影乙这两部电影哪一部更受喜爱？请说明理由(写出一条理由即可)； （3）已知在此评分软件上，对电影甲进行评分的用户共有名，对电影乙进行评分的用户共有名，请估计对甲、乙两部电影评分在组的用户一共有多少人？ 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 列方程解下列问题： 校门口的创新文具店，售卖，两款中考专用套装文具，款的售价比款的售价高8元，3套款文具与5套款文具的销售总金额相同． （1）求，两款套装文具的售价分别是多少元？ （2），两款套装文具的进价都比它们各自售价的一半要高，其中款高出部分的金额比款高出部分金额的还少1元．文具店老板用3200元购进款套装文具的数量比用2400元购进款套装文具的数量少100套．求款套装文具的进价是多少元？ 22. 如图，在菱形中，，对角线，为的中点．动点从点出发沿的路径，以1个单位每秒的速度匀速运动，同时动点从点出发以相同的速度沿射线匀速运动，当点到达终点时两个点同时停止运动．点为射线上一个动点，连接 ，在点的运动过程中始终满足．设运动时间为t秒，的面积为，动点到的距离为． （1）请直接写出分别关于t的函数表达式，并写出自变量t的取值范围； （2）在给定的坐标系中画出函数的图象，并分别写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当时t的取值范围(近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2)． 23. 如图是一片重点考古区域的平面图，为四个勘探站点．已知位于的正东方向约处，位于的东北方向，且在的北偏东方向，在的正北方向，且在的北偏西方向．(参考数据：) （1）求的长度(结果保留小数点后一位)； （2）某天，考古队员甲、乙同时分别从出发沿进行勘探，勘探的平均速度都为．甲、乙都携带对讲机在途中交流勘探情况，由于对讲机信号受地下土层和地形遮挡而削弱，对讲机之间有效接收距离缩短至．在考古勘探过程中，甲、乙两个队员能否通过对讲机进行交流？若能，请求出在哪个时间段内可以进行交流；若不能，请说明理由． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点(点在点左侧)，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线上方抛物线上的一动点，连接与交于点，在轴上有一线段(点在点的左侧)，连接．当取得最大值时，求点的坐标及周长的最小值； （3）在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为点的对应点，连接，点为抛物线上的一动点(不与点重合)．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 25. 在Rt中，为射线上一点，连接． （1）如图1，点在的延长线上，过点作线段的垂线，分别交，于点，．若 ，求的度数； （2）如图2，点在的延长线上（），是上一点，连接并延长交于点．是的中点，过点作的垂线交于点，连接交于点．若，点在点的左侧，求证： ； （3）如图．将绕点顺时针旋转得到线段．过点作的垂线，作 于点，连接 是上一点，连接 ，连接，将沿所在直线翻折到所在的平面内，得到，延长至点，使得，连接 ，当取得最小值时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 (全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟) 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图(包括作辅助线)请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：(本大题10个小题，每小题4分，共40分)在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. -4的相反数是（ ） A. B. C. 4 D. -4 【答案】C 【解析】 【分析】根据相反数的定义（只有符号不同的两个数，叫做互为相反数）即可求解． 【详解】-4的相反数是4， 故选：C． 【点晴】此题主要考查相反数，解题的关键是熟知相反数的定义． 2. 五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面看到的视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】解： 从正面看，可得选项C的图形． 3. 已知点在反比例函数的图象上，则的值为（　　） A. 5 B. C. 10 D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵ 点在反比例函数的图象上， ∴ 将，代入解析式得 ， ∴ ． 4. 如图，，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质和邻补角的定义，即可求解． 【详解】解：如图，，， ， ． 5. 如图，与位似，点为位似中心，且，则与的面积之比是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据与位似，得出，，证明，得出，根据相似三角形的性质得出答案即可． 【详解】解：， ， 与位似， ∴，， ∴， ∴， ∵， ， 即与的面积之比是． 6. 黑点按如图所示的方式拼成图案，其中第①个图案中有3个小黑点，第②个图案中有8个小黑点，第③个图案中有15个小黑点，第④个图案中有24个小黑点……，按照这一规律，则第⑦个图案中小黑点的个数是（　　） A. 35 B. 42 C. 48 D. 63 【答案】D 【解析】 【分析】分析每个图案小黑点的个数，找出共同的特点，总结规律，解决问题． 【详解】第①个图案中有个小黑点，第②个图案中有个小黑点，第③个图案中有个小黑点，第④个图案中有个小黑点，， 第个图案有个小黑点， 第⑦个图案中小黑点的个数是个． 7. 估计的值应在（　　） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 【答案】C 【解析】 【分析】先将原式化简得到，估算出的范围，再估算出的范围，即可求解． 【详解】解： ， ， ， 的值在和之间． 8. 如图，等边的边长为与的交点为等边的中心，则图中阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，连接，作所在圆的圆心，连接，记与的交点为，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，连接，作所在圆的圆心，连接，记与的交点为， 点为等边的中心，， ∴，，， ， ， ， 是等边三角形，，， . 9. 如图，正方形的边长为，点在边上，，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，的平分线交于点，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接并延长交的延长线于，在上取点，使，连接，可证是等腰直角三角形，得到，，即得，再证明，得到，，进而可得是等腰直角三角形，得到，，再得到，最后利用相似三角形的性质解答即可求解． 【详解】解：如图，连接并延长交的延长线于，在上取点，使，连接， ∵四边形是正方形，边长为， ，， ∴， 是等腰直角三角形， ，， ， 由旋转可得，，， ， ∵， ， 又 ， ，， ， ∵， 是等腰直角三角形， ，， ∴， ， ∴， 平分， ， ∴， ∴， ∴， ． 10. 已知整式(a，b，c均为整数，其中)，令．下列说法： ①若，为二项式，且，时，使分式的值为整数的的整数值只有2个； ②若且，，无论取何值，值始终为正数的代数式有6个； ③若且，当时代数式的值恒为10． 其中正确的个数是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式的定义和题中的条件，可得，，代入分式化简得，再根据值为整数，得，解方程即可；利用二次函数的性质，可得当时，的值始终为正数，根据条件分类讨论即可；设，，（，均为整数），根据题意，可得，则可求得，的值，再代入计算即可． 【详解】解：①为二项式， a，b，c中有一个的值为0，即为2个数的平方和， ， 不为0的两个数只能是和， ，且，， ，且， ，， 分式的值为整数， ，解得或，只有2个，故①正确； ②，， 抛物线的开口向上，当，即与x轴无交点时，的值始终为正数， 且，，，a，b，c均为整数， ，或， 当时，a，b，c均为1，则，满足题意； 当时，，，，则，满足题意；，，，则，不满足题意；，，，则，满足题意； 当时，，，，则，满足题意；，，，则，满足题意；，，，则，满足题意； 综上所述：无论取何值，值始终为正数的代数式有6个，故②正确； ③设，，（，均为整数）， ， ，整理得， 则， ，均为整数， 是3的倍数，即，，，，， ， ，，， 当时，， 代数式的值为10、2或，故③错误； 综上所述：正确的说法个数是2个． 二、填空题：(本大题6个小题，每小题4分，共24分)请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 小倩在网购时凑单购买了一份口味随机的万州烤鱼，已知有蒜香、鱼香、酸菜、豆豉、香辣、麻辣、泡椒7种口味，其中香辣、麻辣、泡椒味偏辣，则小倩恰好收到偏辣口味万州烤鱼的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】确定所有等可能的结果总数，再确定事件“收到偏辣口味”包含的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：根据题意，所有等可能出现的结果共有种，其中恰好收到偏辣口味的结果有种. ∴小倩恰好收到偏辣口味万州烤鱼的概率是． 12. 若正多边形的一个内角比它的一个外角大，则这个多边形的边数为______． 【答案】 5 【解析】 【分析】根据多边形内角与相邻外角互补列方程求出外角度数，再利用任意多边形外角和为即可求出边数． 【详解】解：设这个正多边形的一个内角为，则相邻外角为． 由多边形内角与相邻外角和为，得： 解得： 则外角为． 任意多边形的外角和为，正多边形各外角相等， 该多边形边数为． 13. 预计2025年我国规模以上工业原油产量为216000000吨，创历史新高．数据216000000用科学记数法表示为___________． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定形式中和的值即可． 【详解】∵， ∴， ∵把原数变成时，小数点向左移动了位， ∴， ∴． 14. 某校社团文化节于3月底启动，4月初正式面向全校开放．社团联合会统计，4月1日参与活动的学生大约有1200人，4月3日参与活动的学生大约有2028人，那么从4月1日到4月3日参与活动的学生人数的日平均增长率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设日平均增长率为，则，再解方程即可. 【详解】解：设日平均增长率为，则， 解得(不合题意，舍去)． ∴从4月1日到4月3日参与活动的学生人数的日平均增长率为. 15. 如图，是的直径，内接于，，交于点，以，为邻边构造平行四边形，为上一点，连接，，，交于点．若，，则的长度为___________． 【答案】 【解析】 【分析】记交于点，连接，由，得到，推出，得到垂直平分，结合平行四边形的性质可得，再根据勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质求出，证明，根据相似三角形的性质求出，最后根据，即可求解． 【详解】解：记交于点，连接． ， ， ， ， 垂直平分， 在平行四边形中，，， ， 由勾股定理得， 为直径， ， ， ， ， ，即， 解得， 在中，， ， ， ， ， ， ， 中，， ， 又， ， ， ． ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 16. 我们规定：若一个两位数比它的各个数位上的数字之和的倍还多，则称这个两位数为“七三数”．例如：两位数，因为 ，所以是“七三数”．按照这个规定，最小的“七三数”是______；对于一个四位数，它的千位数字与十位数字组成的两位数，与它的百位数字与个位数字组成的两位数均为“七三数”，令．若能被整除，满足条件的四位数的最大值与最小值之差为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设是“七三数”，则 ，化简整理得，当时，取得最小值，从而可得最小的“七三数”；由与均为“七三数”，则 ， ，整理得，，所以 ，又能被整除，所以是整数，则是的整数倍，由题意可知，，，，求出，再根据是的整数倍，可得，即有，则时，，则，，此时为；时，，则，，此时为，然后相减即可． 【详解】解：设是“七三数”， ∴ ，化简整理得，当时，取得最小值， ∴最小的“七三数”是， ∵与均为“七三数”， ∴ ， ， ∴ ，， ∴ ， ∵能被整除， ∴是整数， ∴是的整数倍， 由题意可知，，，， ∴，， ∵是的整数倍， ∴若时，则， ∴ ，不符合题意， ∴， ∴，， ∴， ∵是的整数倍， ∴， ∴， 时，，则，，此时为； 时，，则，，此时为； ∴的最小值为，最大值为， ∴满足条件的四位数的最大值与最小值之差为． 三、解答题：(本大题2个小题，每小题8分，共16分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形(包括辅助线)，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 求不等式组：的所有整数解． 【答案】，0，1，2，3 【解析】 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解集为， 不等式组的所有整数解为，0，1，2，3． 18. 学习了等腰三角形“三线合一”的性质后，小颖进行了深入的研究，她发现了等腰三角形底边上中线的另一种作法，并与她的同伴进行交流．现在你作为她的同伴，请根据她的想法与思路，完成以下作图和填空： （1）第一步：构造中线 小颖已经作好了等腰一腰的垂直平分线(如图)，该垂直平分线交于点．请你利用尺规作图，作另一腰的垂直平分线，这条垂直平分线交于点，交的垂直平分线于点，作射线交于点，即为边上的中线(不写作法，保留作图痕迹)． （2）第二步：利用三角形全等证明她的猜想． 证明：垂直平分垂直平分， ． 在和中， ， ③___________． ， 是边上的中线． 【答案】（1）见解析 （2）①；②；③． 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线的作图方法作图即可； （2）证明，得到．根据等腰三角形三线合一即可得到结论． 【小问1详解】 解：如图，即为所求， 【小问2详解】 证明：垂直平分垂直平分， ． 在和中， ， ． ， 是边上的中线． 四、解答题：(本大题7个小题，每小题10分，共70分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形(包括辅助线)，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 节假日期间，甲、乙两部电影票房大卖，很多观众在某电影评分软件上对这两部电影进行了评分．针对这两部电影，各随机抽取名观众的评分数据，进行整理、描述和分析(观众对电影的评分用表示，满分为分，共分为组：，，．，．)，下面给出了部分信息： 电影甲的个评分数据是： ； 电影乙的评分数据中，在组的数据是： ； 电影乙评分数据扇形统计图 甲、乙两部电影评分数据统计表 电影 甲 乙 平均数 中位数 众数 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中___________，___________，___________； （2）根据以上数据，你认为电影甲和电影乙这两部电影哪一部更受喜爱？请说明理由(写出一条理由即可)； （3）已知在此评分软件上，对电影甲进行评分的用户共有名，对电影乙进行评分的用户共有名，请估计对甲、乙两部电影评分在组的用户一共有多少人？ 【答案】（1） （2）电影甲更受喜爱，理由见解析 （3）人 【解析】 【分析】（1）根据中位数、众数、百分比的计算方法求解即可； （2）通过比较平均数、中位数、众数等统计量来判断哪个电影更受欢迎； （3）根据用样本估计总体的方法求解即可． 【小问1详解】 解：∵电影甲的个评分数据中出现的次数最多， ∴； ∵，电影乙的个评分数据从高到低排列，第个数据都是， ∴，即：； ∵ ， ∴； 故答案为： ； 【小问2详解】 答：电影甲更受喜爱，理由①：∵观众对电影甲的评分众数大于对电影乙的评分众数， ∴电影甲更受喜爱； 理由②：∵观众对电影甲评分的平均数大于对电影乙评分的平均数， 电影甲更受喜爱； 理由③：∵观众对电影甲评分的中位数大于对电影乙评分的中位数， 电影甲更受喜爱；(写出一条理由即可)； 【小问3详解】 解： (人)， 答：估计对甲、乙两部电影评分在组的用户一共有人． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先对分子分母因式分解，将除法转化为乘法，再进行通分、约分；最后代入的值（注意零指数幂和绝对值的计算）求解。 【详解】解：原式 ， ， 原式． 21. 列方程解下列问题： 校门口的创新文具店，售卖，两款中考专用套装文具，款的售价比款的售价高8元，3套款文具与5套款文具的销售总金额相同． （1）求，两款套装文具的售价分别是多少元？ （2），两款套装文具的进价都比它们各自售价的一半要高，其中款高出部分的金额比款高出部分金额的还少1元．文具店老板用3200元购进款套装文具的数量比用2400元购进款套装文具的数量少100套．求款套装文具的进价是多少元？ 【答案】（1）款套装文具的售价是20元，款套装文具的售价是12元 （2）16元 【解析】 【详解】解：(1)设款套装文具的售价是元，则款套装文具的售价是元， 由题意列方程， 解得， 则． 答：款套装文具的售价是20元，款套装文具的售价是12元； (2)设款套装文具的进价中超出其售价一半的部分为元， 由题意列方程， 解得． 经检验，是分式方程的解，且符合题意． ． 答：款套装文具的进价是16元． 22. 如图，在菱形中，，对角线，为的中点．动点从点出发沿的路径，以1个单位每秒的速度匀速运动，同时动点从点出发以相同的速度沿射线匀速运动，当点到达终点时两个点同时停止运动．点为射线上一个动点，连接，在点的运动过程中始终满足．设运动时间为t秒，的面积为，动点到的距离为． （1）请直接写出分别关于t的函数表达式，并写出自变量t的取值范围； （2）在给定的坐标系中画出函数的图象，并分别写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当时t的取值范围(近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2)． 【答案】（1）， （2）画图见解析，当时，随的增大而增大；当时，随t的增大而减小(答案不唯一)；②当时，随t的增大而减小(答案不唯一)； （3） 【解析】 【分析】（1）先利用菱形对角线互相垂直的性质，结合勾股定理求出菱形的另一条对角线长，进而得到的面积和C到的距离． 对，按P的运动路径分P在上、P在上两个阶段，因为P的运动速度已知，所以用时间t表示或的长度，结合三角形面积公式写的表达式，同时确定对应t的取值范围． 对，先明确点E到的距离就是中边上的高，因为，长度可由t表示，所以根据三角形面积公式反推该高的长度，得到的表达式，确定t的取值范围． （2）画函数图象时，根据两个函数的分段情况和表达式，确定关键点坐标，描点连线，再结合图象走势总结函数性质． （3）求解时，分不同的t区间，分别解对应区间的不等式，或者直接从图象上找图象在图象上方对应的t范围． 【小问1详解】 解：如答图1，当点在上，即时，连接，过点作的垂线，垂足为点． 四边形是菱形，为对角线的中点， ， 即，解得 ． 如答图2，当点在上，即时，， ∴， ，即， 解得 ∴； 由题意知 ． ． 【小问2详解】 解：画出图象如答图3； 性质：当时，随的增大而增大；当时，随t的增大而减小(答案不唯一)； ②当时，随t的增大而减小(答案不唯一)； 【小问3详解】 解：∵，，且， ∴当时，， 解得或（舍去）， ∴ 当时，， 解得， ∴， ∴ ， ∴ 综上：， ∴． 【点睛】解题技巧：若函数表示的是图形面积，确定自变量取值范围时，要注意面积不能为0，距离可以为0；画函数图象时，需根据自变量取值范围确定端点和拐点处是实心还是空心． 23. 如图是一片重点考古区域的平面图，为四个勘探站点．已知位于的正东方向约处，位于的东北方向，且在的北偏东方向，在的正北方向，且在的北偏西方向．(参考数据：) （1）求的长度(结果保留小数点后一位)； （2）某天，考古队员甲、乙同时分别从出发沿进行勘探，勘探的平均速度都为．甲、乙都携带对讲机在途中交流勘探情况，由于对讲机信号受地下土层和地形遮挡而削弱，对讲机之间有效接收距离缩短至．在考古勘探过程中，甲、乙两个队员能否通过对讲机进行交流？若能，请求出在哪个时间段内可以进行交流；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）能，在出发后小时之间甲、乙能够通过对讲机进行交流 【解析】 【分析】（1）过点作的垂线，交的延长线于点，可得是等腰直角三角形，设，解，再由建立方程求解即可； （2）过点作的垂线，垂足为点，由题意，设，解中， ．在等腰中， ，则，解得，那么．设小时时，甲、乙队员分别在位置，过点作于点，最后对运用勾股定理建立方程及其即可． 【小问1详解】 解：如答图1，过点作的垂线，交的延长线于点． 由题意，． 设． 在中， ． 在等腰中，， 则， 解得， ． ； 【小问2详解】 解：能． 如答图2，过点作的垂线，垂足为点． 由题意，设， 在中， ． 在等腰中， ， ， 解得， ． 如答图2，设小时时，甲、乙队员分别在位置，过点作于点， ， ， ． 在中，由勾股定理列方程， 解得． 答：在出发后小时之间甲、乙能够通过对讲机进行交流． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点(点在点左侧)，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线上方抛物线上的一动点，连接与交于点，在轴上有一线段(点在点的左侧)，连接．当取得最大值时，求点的坐标及周长的最小值； （3）在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为点的对应点，连接，点为抛物线上的一动点(不与点重合)．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2）， （3）或，过程见解析 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）先求出直线的表达式为，过点作轴的平行线，分别交于点，设，可得．根据，可得，从而得到，连接，可得四边形是平行四边形，作关于轴的对称点，连接，，可得，即可求解； （3）根据平移的性质可得，．作关于轴的对称点，可得，过点作轴的垂线，垂足为点，根据，可得，从而得到，可得到点在直线上，可求出，将沿直线翻折，得到，与抛物线的交点为，连接 ，延长交于点，由对称性得 ，根据 ，可得，即可解答． 【小问1详解】 解：， ， ， ． 将点的坐标代入， 得解得 抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：将代入，得， ， 设直线抛物线的表达式为， 将代入得： 解得： 直线的表达式为． 如下图1，过点作轴的平行线，分别交于点， ， ． 设， ． ， ， ， 当时，取得最大值， 当时，， ． 如上图1，连接 ， ， ， 四边形是平行四边形， ． 作关于轴的对称点，连接，， ， ， 周长的最小值为； 【小问3详解】 解：， ， 是等腰直角三角形， 抛物线沿射线方向平移个单位长度相当于向右平移2个单位长度，向上平移2个单位长度， ， ． 如图2，作关于轴的对称点， ， ． 如图2，过点作轴的垂线，垂足为点． ， 点在直线上，且， ， ． ， ， ， ， ， 点在直线上． 令， 解得(舍去)， ． 如图2，将沿直线翻折，得到，与抛物线的交点为，连接 ，延长交于点， 由对称性得， ． ∵， ∴． ∵ ， 即， 解得， ． 设． ， ， ①． ， ， ②． 由①②可得， ， 解得． ， 所在直线的表达式为． 令， 解得(舍去)， ． 综上所述，点的坐标为或． 25. 在Rt中，为射线上一点，连接． （1）如图1，点在的延长线上，过点作线段的垂线，分别交，于点，．若，求的度数； （2）如图2，点在的延长线上（），是上一点，连接并延长交于点．是的中点，过点作的垂线交于点，连接交于点．若，点在点的左侧，求证：； （3）如图．将绕点顺时针旋转得到线段．过点作的垂线，作于点，连接是上一点，连接，连接，将沿所在直线翻折到所在的平面内，得到，延长至点，使得，连接，当取得最小值时，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角形外角的性质和三角形的内角和解题即可； （2）过点作的垂线交的延长线于点，连接，证明 以及 ，得到为等腰直角三角形，进而证明； （3）延长交直线于点，连接，证明 ，推出点的运动轨迹是以为圆心，长为半径的半圆，点的运动轨迹与点的运动轨迹关于直线对称，作关于的对称点，连接，以为圆心，长为半径作半圆，当点运动到半圆与的交点处时，取得最小值，进而解题． 【小问1详解】 解：在中， ， ， ， ， 解得， ， ， ； 【小问2详解】 证明：如图，过点作的垂线交的延长线于点，连接， 由题意知为斜边上的中点， ， ， 在和 中， ， ， ， ， ． 设 ， ， ． ， ， ； 在和 中， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ； 【小问3详解】 解：；理由如下： 如图，延长交直线于点，连接， ，， 为等腰直角三角形， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ，即， 与重合； ， ， ， ， ∴点的运动路径是以为圆心，长为半径的半圆， 点与点关于直线对称， 点的运动路径与点的运动路径关于直线对称； 如图，作关于的对称点，连接，以为圆心，长为半径作半圆，此为点的运动路径； 为等腰直角三角形，， ， 连接，随着点的运动，当点运动到半圆与的交点处时，取得最小值， 点与点关于对称， ， ， ． 在中，设边上的高为， 由三角形面积公式可得， ， 解得， 根据轴对称性可知， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $