1.2《等腰三角形》同步练习 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 这份同步练习通过基础巩固、综合应用、探究拓展三层设计，覆盖等腰三角形性质与判定，强化推理能力和几何直观，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|等腰三角形边角计算、基本性质|单选1直接考查底角分类，填空6简单求顶角，夯实概念| |提升层|全等证明、角平分线应用、综合计算|解答11结合全等证明等腰三角形，单选4中线与角度综合，培养推理能力| |拓展层|动点问题、多结论判断、探究性问题|解答17动点D位置变化探究线段关系，单选5多结论辨析，发展创新意识|

1.2《等腰三角形》 一、单选题 1.如果等腰三角形的一个角为30°，那么等腰三角形底角的度数为() A.75° B.30 C.75°或30° D.65°或30° 2.中国古建筑是结构决定外观，这种传统结构形式侧面很容易呈现出等腰三角形.如图所示 的这种建筑剖面图，建筑屋顶是一个等腰三角形，它的底角为30°，腰为10m,则底边上的高 是() 10m A.5m B.10m C.15m D.20m 3.如图，∠BAC=30°，P是∠BAC平分线上的一点，PM‖AC,PD⊥AC,PD=4,则AM=() B D A.4 B.8 C.10 D.12 4.如图，在△ABC中，AB=AC.AD是BC边上的中线，点E在边AB上，且BD=BE.若 ∠BAC=100°，则∠ADE的大小为() A.40° B.30 C.20° D.10° 5.如图，在△ABC中，AB=AC=4,BAC=90°，点D是BC的中点，点E是AB边上的动点， 连接DE,过点D作DF⊥DE交AC于点F,连接EF.下列结论：①△ADE≌△CDF;②ADEF是 等腰直角三角形；③BE+CF=EF；④四边形AEDF的面积为4.其中正确的个数有() A B D A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题 6.等腰三角形的一个底角为30°，则它的顶角的度数是 7.如图，D为△ABC内一点，CD平分LACB,BD⊥CD,LA=LABD,若BD=2,BC=5,则AC的长 为 B D A 8.如图，C,E和B,D,F分别在LGAH的两边上，且AB=BC=CD=DE=EF,若∠1=90°，则 ∠A的度数为 G D F 9.如图已知△ABC中，AD为BC边上的中线，AE平分∠CAD交BC边于点E, ∠BAD+∠CAE=90°，AD=5,则AC=—· D E C 10.如图，AB=BC=AD,AD∥BC,∠B=50°，点E在四边形ABCD的边上，若△ABE是等腰三 角形，则∠BAE的度数是 D B 三、解答题 11.已知，如图：C是AB上一点，点D,E分别在AB两侧，AD∥BE,且AD=BC,BE=AC. (1)求证：CD=CE; (2)猜想△BEF是等腰三角形吗？并说明理由. I2.如图，在△ACE中，点D在边AC上，EC=ED,AE与BD相交于点O,且AE=BE, ∠1=∠2. B (1)求证：△AEC≌△BED; (2)若L2=40°，求∠BDE的度数， 13.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，D为BC的中点，DE1AC于E, 、E B C D (1)求LEDC的度数； (2)若AB=8,求CE的长. 14.如图，在△ABC中，点D在边BC上. (1)若AD=BD=AC,LDAC=24°，求∠4的度数； (2)若AD为△ABC的中线，△ABD的周长比△ACD的周长大3，AB=9,求AC的长. y 人3 4△ D 15.如图，在△ABC中，AB=AC=12cm,∠BAC=120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的平 分线，DF∥AB交AE的延长线于点F. (1)求证：△ADF是等腰三角形； (2)求DF的长. 16.如图，在△ABC中，AB=AC,BD平分∠ABC,过点A作AD∥BC交BD于点D,连接CD. D (1)求证：△ABD是等腰三角形； (2)若∠BAC=80°，求LBDC的度数. 17.综合与探究 数学活动课上，老师带领同学们以等腰三角形为背景，探究线段之间的关系 已知，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，D是直线BC上的一个动点，连接AD,在直线AD的 右侧作∠DAE=90°，且AE=AD,连接DE,CE. B B ① ② (1)图①是“智慧小组”在探究过程中画出的图形，此时点D在线段BC上，请直接写出线段 BD与CE的数量关系是 ,BD与CE的位置关系是 (2)图②是“善思小组”在探究过程中画出的图形，此时点D在线段BC的延长线上，请判断(1) 中的结论是否仍然成立，并说明理由； (3)“希望小组”在探究过程中提出了一个新的问题：在点D运动的过程中，若BC=8,CE=3 ,请直接写出线段CD的长. 18.【发现结论】(1)如图①，在△ABC中，AB=AC,LBAC=90°，过点A作AH⊥BC于点H.求 证：H=8C. 【结论应用】如图②，在△ABC和△ADE中，AB=AC,AD=AE,且LBAC=LDAE=90°，点D, B,C在同一条直线上，AH为△ABC中BC边上的高，连接CE. (2)∠DCE的度数为_； (3)猜想AH,CD,CE之间的数量关系，并说明理由. 【拓展应用】 (4)在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，在同一平面内有一点P,满足CP=1,BP=6.且 ∠BPC=90°，请求出△ACP的面积. H ② 参考答案 一、单选题 1.C 解：根据三角形内角和为180°， ①若30°为顶角，则底角为180°，30=75°： 2 ②若30°为底角，则底角为30°. 底角为75°或30°， 故选：C. 2.A 解：如图，AD⊥BC,LC=LB=30°，AB=AC=10m, AD=24B=5m, 即底边上的高是5m, 故选：A. 3.B 解：如图，过点P作PE⊥AB于点E,则LPEA=90°， B 、D D :P是∠BAC平分线上的一点，PD⊥AC,PD=4, :PE =PD =4, :∠BAC=30°，PMI‖AC, ∠EMP=∠BAC=30°， :PM =2PE=8, AP是∠BAC的平分线， :ZBAP=ZCAP PM II AC, LMPA=∠CAP, .∠BAP=∠MPA, .AM PM =8. 故选：B 4.C 解：，AB=AC,AD是BC边上的中线，LBAC=I00°， .∠B=∠C=180°-∠B1C=40,4D⊥BC, 2 .∴.∠ADB=90°， .BD BE, ∠BDE=∠BED-180∠B=70, 2 ∴.LADE=LADB-∠BDE=20°； 故选C. 5.C 解：AB=AC=4,∠BAC=90°， ∴△ABC是等腰直角三角形，∠C=45°， ,点D是BC的中点， .BD=CD,AD⊥BC,AD平分∠BAC, ∴.LADC=90°，LDAE=LDAC=45°， .∠DAE=LC=45°， ∴.△ACD是等腰直角三角形，CD=AD, DF⊥DE, ∴.∠EDF=90°， ∴.∠ADE+∠ADF=∠CDF+∠ADF, ∴.LADE=∠CDF, ∠EAD=∠C .AD=CD ∠ADE=∠CDF ∴.△ADE≌△CDF(ASA),故①正确； ,△ADE≌△CDF, .'DE=DF, 又∠EDF=90°， ∴.ADEF是等腰直角三角形，故②正确； ,△ADE≌△CDF, ∴.AE=CF, AB=AC, .AB-AE=AC-CF ∴.BE=AF, ∴.BE+CF=AF+AE>EF,故③错误； .△ADE≌△CDF, .S西边形AEDP=S.ED+S.ADF=ScDF+SADF=SACD, 四边形AEDF的面积是4，故④正确. 综上，正确的有3个. 故选：C 二、填空题 6.120°/120度 解：等腰三角形的一个底角为30°， ∴.它的顶角的度数是180°-30°×2=120°. 故答案为：120° 7.9 延长BD与AC交于点E, ZA=ZABD, ∴.BE=AE, BD⊥CD, ∴.LBDC=LEDC=90°， ∴.∠CBD+∠BCD=90°，∠CED+LECD=90°， 又CD平分∠ACB, ∴.LBCD=LECD, .∴.LCBD=∠CED ∴BC=CE, ∴.BD=DE, .BD=2,BC=5, ∴AE=BE=2BD=4, :AC=AE+CE=AE+BC=4+5=9. 故答案为：9. 8.18° 解：：AB=BC, ∴.设LACB=LA=a, ∠CBD=LA+∠ACB=2a, :BC=CD ∠CDB=LCBD=2a, ∠DCE=∠A+∠CDA=a+2a=3a, CD=DE :ZCED ZDCE =3a, .∠EDF=∠A+∠AED=a+3a=-4a, :DE =EF .∠EFD=∠EDF=4a, .∠GEF=LA+∠AFE=a+4a=90°， ∴.a=18°， .∠A的度数为18° 故答案为：18°. 9.10 解：如图，延长AD至点F,使得AD=DF,连接BF, A :AD=5, AF=10, :AD为BC边上的中线， :BD =CD, 在△ACD和△FBD中， (AD=FD ∠ADC=∠FDB, CD=BD △ACD≌△FBD(SAS), AC=BF,∠C=LDBF, :AE平分∠CAD .∠CAE=∠DAE, :∠BAD+∠CAE=90°， ∠BAD+∠DAE=∠BAE=90°， :∠ABE+∠AEB=90°， .'∠AEB=∠C+∠CAE, ∠ABE+∠C+∠CAE=LABE+LDBF+LCAE=LABF+LCAE=90°， .∠BAD=∠ABF, .AF BF, .AC=AF=10, 故答案为：10. 10.50°或65°或130° 解：如图，当EA=EB时，此时点E在边BC上时， D ∴.∠BAE=∠ABC=50°； 当AB=BE时，此时点E与点C重合时， ∴∠BAE=∠BEA=180°-∠ABC)=65°， 当D、E重合时，则AB=AD=AE, ∴.∠ABD=∠ADB, AD∥BC, .∠BAE+∠ABC=180°， .∴.∠BAE=180°-∠ABC=130°， 综上，∠BAE的度数为50°或65°或130°. 故答案为：50°或65°或130°. 三、解答题 11.(1)证明：AD∥BE, ∴.∠A=∠B, 在△ADC和△BCE中， AD=BC ∠A=∠B AC=BE ∴.△ADC≌△BCE(SAS ..CD CE. (2)解：△BEF是等腰三角形，理由如下： 由(1)可知CD=CE, ∴.LCDE=LCED, 由(1)可知△ADC≌△BCE, .∴.∠ACD=LBEC, .ZCDE+ZACD ZCED+ZBEC 即∠BFE=∠BEF, ∴.BE=BF, ∴.△BEF是等腰三角形 12.(1)证明：.∠1=∠2， ∴.∠I+∠AED=∠2+∠AED, ∴.LAEC=LBED, 在△AEC和△BED中， EC=ED ∠AEC=∠BED, AE=BE ∴△AEC≌△BED(SAS; (2)解：∠2=40°，∠1=∠2， ∴.∠1=L2=40°， 由(1)知：△AEC≌△BED, ∴.EC=ED,LC=LBDE, <c=☑EDc=180P-∠4Xf1s0-409=70, ∴.LBDE=∠C=70°， 即∠BDE的度数为70°. 13.(1)解：AB=AC,∠BAC=120°， 2B=∠C=180-∠B4Cj=X180-120r=30, :DE⊥AC于E, ∠AED=LCED=90°， ∠EDC=90°-30°=60°. (2)解：如图：连接AD, A :AB=AC,D为BC的中点， AD⊥BC, 由(1)知∠B=30°，∠EDC=60°， ·LADE=30°， 在Rt△ABD中，AB=8,∠B=30°， 4054B=4, 在RtAADE中，AD=4,∠ADE=30°， AB=54D=2, :AC=AB=8, CE=AC-AE=8-2=6. 14.(1)解：：AD=BD=AC,∠DAC=24°， △ACD是等腰三角形， ∠4=3=180,24=789： 2 (2)解：：AD为△ABC的中线， :BD =CD :△ABD的周长=AB+BD+AD,△ACD的周长=AC+CD+AD, :周长差=AB+BD+AD-AC+CD+AD)=AB-AC=3, AC=AB-3=9-3=6. 15.(1)证明：：AE是∠BAD的角平分线， .∠DAF=∠BAF, :DF∥AB, ∠DFA=∠BAF, ∠DAF=∠DFA, :DA=DF △ADF是等腰三角形； (2):AB=AC,∠BAC=120°，AD是△ABC的中线， LB=∠C=30°，AD1BC, .AD=4B=6cm, 2 ∴.DF=6cm. 16.(1)证明：.BD平分∠ABC, ∠ABD=LDBC, AD∥BC, ∠ADB=∠DBC, ∠ABD=∠ADB, ∴AB=AD, :AABD为等腰三角形. (2)解：：AB=AC,∠BAC=80°， ∠ABC=LACB=50°， ,AD∥BC, ∠DAC=∠BCA=50°， :△ABD为等腰三角形， :AB AD, AB=AC, :AD=AC ∠ADC=∠ACD=65°， BD平分∠ABC, ∠ABD=∠ABC=25°， 2 :∠ADB=∠ABD=25°， LBDC=∠ADC-LADB=40°. 17.(1)解：BD=CE,BD⊥CE. 证明：：LBAC=LDAE=90°，AB=AC, ∠BAD=∠CAE,LB=∠ACB=45°， 在△ABD与△ACE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE .△ABD≌△ACE(SAS ·BD=CE,LB=LACE=45 ∠BCE=∠ACB+LACE=90° BD⊥CE 故答案为：BD=CE,BD⊥CE; (2)成立.理由如下： :LBAC=LDAE=90°， :∠BAC+LCAD=∠DAE+∠CAD. :ZBAD =Z CAE 在△ABD和△ACE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE ∴.AABD≌AACE(SAS). ∴.BD=CE,LABC=LACE. .在△ABC中，∠BAC=90°， ∴.∠ABC+∠ACB=90° ∴.∠ACE+∠ACB=90°，即∠BCE=90°. .BD⊥CE. (3)①当点D在BC上时，如图， D 由(1)可知△ABD≌△ACE .BD=CE=3 CD=BC-BD=8-3=5; ②当点D在CB延长线上时，如图， A D B E 由(2)可知，△ABD≌△ACE .BD=CE=3 CD=BC+BD=8+3=11 综上所述，CD=5或11. 18.(1)证明：在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°， ∴.∠ABC=LACB=45 ,AH⊥BC, ∠BAH=∠CAH=45°，BH=CH=BC, 2 ∴.∠ABC=LACB=LBAH=LCAH, ∴.BH=AH, AH=BC. 2 (2)解：∠DCE的度数为90°；理由如下： ,∠BAC=∠DAE=90,AB=AC,AD=AE, ∴.∠DAB=90°-LBAE=LEAC,∠ABC=∠ACB=∠ADE=LAED=45°， B (AB=AC ∠DAB=∠EAC, AD=AE ∴.△DAB≌△EAC(SAS), ∴LADB=∠AEC, ∴.∠CDE+∠DEC=∠AED+∠AEC+∠CDE=∠AED+∠ADB+∠CDE =∠AED+∠ADE=90°， ∴.LDCE=90°， 故答案为：90°. (3)解：AH,CD,CE之间的数量关系为CE+2AH=CD. 理由如下：在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°， .∴.LABC=LACB=45 ,AH⊥BC, .∠BAH=∠CAH=45°，BH=CH=BC, 2 ∴.∠ABC=LACB=LBAH=LCAH, ∴.BH=AH=CH, ,△DAB≌△EAC(SAS), ∴.CE=DB, ..CE+2AH DB+BH +HC=CD. (4)解：过点A作AM⊥BP于点M,连接AP,过点A作AH⊥AP交BP于点H, LBAC=∠HAP=90°， ∴.∠BAH=90°-LHAC=∠CAP, 设AC,BP的交点为点N, ,·∠BAC=∠BPC=90°，∠ANB=∠PNC, ∴.∠ABH=∠ACP, B ∠BAH=∠CAP AB=AC ∠ABH=∠ACP .△ABH≌△ACP(ASA, .'AH AP,BH CP,S.ABH=S.ACP, 在△AHP中，AH=AP,∠HAP=90°， .∴.∠AHP=∠APH=45° AM⊥BP, ∠HAM=∠PAM=45°，MH=PH=HP, ∴.∠AHM=∠HAM=∠PAM=∠APH, .∴.MH=AM=MP, AM=HP」 2 ,CP=1,BP=6, ∴.BH=CP=1, ∴.HP=BP-BH=5, ·AM= 2 Sm=Sm号BHM=1x2 1 55 2 过点A作AF⊥BP于点F,连接AP,过点A作AE⊥AP交PB于点E, .∠BAC=∠EAP=90°， ∴.LBAE=90°-LBAP=LCAP, ,∠BAC=BPC=90°， ∴.∠ABP+∠ACP=180°， ,LABP+∠ABE=180°， E B .∴.∠ABE=∠ACP, 「∠BAE=∠CAP AB=AC ∠ABE=∠ACP ∴.△ABE≌△ACP(ASA), .'AE AP,BE CP,S.ABE=S.ACP 在△AEP中，AE=AP,∠EAP=90°， .∴.∠AEP=∠APE=45 AF⊥BP, ∠EAF=∠PAF=45°，EF=PF=EP, 2 ∴.∠AEF=∠APE=∠EAF=∠PAF, ∴.AF=EF=FP, .AF=TEP, 2 ,CP=1,BP=6, ∴.BE=CP=1, ∴.EP=BP+BE=7, .AF=2' 7 S.4c=S.-BE.AF=xIx1 1 77 2 224 故△4CP的面积为或好· 5