16.3 一次函数（第1课时 一次函数的认识）（教学课件）2025--2026学年华东师大版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦一次函数与正比例函数的概念、解析式及关系，通过自驾游距北京路程、弹簧长度与重物质量等实际情境导入，引导学生从具体问题抽象变量关系，搭建从现实到数学模型的学习支架。 其亮点在于以情境问题链驱动探究，培养数学眼光（观察现实数量关系）和数学思维（归纳定义、辨析一次函数与正比例函数关系），例题与总结帮助规范数学语言表达。如通过汽车行驶时间与路程关系实例，采用对比辨析法梳理知识，学生能联系生活理解概念，教师可借助清晰结构提升教学效率。

16.3.1 一次函数 第十六章 函数及其图象 学 习 目 标 1 2 3 通过实际问题，知道一次函数的概念，能够认出一次函数和正比例函数的解析式； 能根据实际问题中的数量关系，列出一次函数解析式，并确定自变量取值范围； 经历由实际问题引出一次函数解析式的过程，体会数学与现实生活的联系。 暑假小明的爸爸带领全家去北京自驾游．汽车驶上A地的高速公路后，小明观察里程碑，发现汽车的平均车速是95千米/小时．已知A地直达北京的高速公路全程为285千米。 小明如何根据行驶时间估计自己和北京的距离？ 情景导入 情境1 3 分析：我们知道汽车距北京的路程随着行车时间的变化而变化，要想找出这两个变量的关系，并据此得出相应的值，显然，应该探求这两个变量的函数关系式．为此，我们设汽车在高速公路上行驶时间为t时，汽车距北京的路程为s千米，根据题意，s和t的函数关系式是s＝285-95t. 你能举出一个类似这样函数关系的例子吗？ 4 一次函数与正比例函数 问题1 暑假里小明的爸爸带领全家去北京自驾游，汽车驶上 A 地的高速公路后，小明发现汽车匀速行驶的速度是 95 km / h，已知 A 地直达北京的高速公路全程为 285 km，小明想知道汽车从 A 地驶出后，距北京的路程和汽车在高速公路上行驶的时间有什么关系，以便根据时间估计自己距北京的路程. 1 (2) 我们设汽车在高速公路上匀速行驶的时间为 t h，汽车距北京的路程为 S km，如何用函数关系式来描述汽车从地方驶出后距北京的路程和汽车在高速公路上行驶的时间之间的关系? S = 285 - 95t. (1) 问题1 中有哪些变量 ? 距北京的路程 行驶的时间 根据题意回答下面的问题： 新知探究 一次函数 如果设青蛙的数量为，分别表示青蛙嘴的数量、眼睛的数量、腿的数量、扑通声，你能列出相应的函数解析式吗？ 嘴的数量 眼睛的数量 腿的数量 扑通声 非常好，祝贺你已经立于不败之地了！！！ 7 新知探究 一次函数 春假时，小明的爸爸带领全家去北京自驾游。已知地直达北京的高速公路全程为285 km，汽车驶上地的高速公路后，小明发现汽车匀速行驶的速度是95 km/h 。 这时在车内有点无聊的小明想：如何根据行驶时间估计自己和北京的距离呢？爸爸告诉他，可以结合数学和物理的知识来计算哦。 8 观察上面得到的三个函数关系式: s=570-95t y=-6x＋5 y=0.3x+6 ①等号的右边都有 项； ②这两项分别为关于自变量的 项， 项。 2 常数 一次 知识点 一次函数的定义 1 获取新知 通过对一般规律的探索过程，从实际问题中抽象出一次函数和正比例函数的概念.掌握本节课知识的关键点。 若两个变量 x、y之间的关系可以表示成y=kx+b （k,b为常数，k≠0）的形式，则称 y是x的一次函数.（x为自变量，y为因变量.） y=kx+ b (k,b为常数，k≠0） 一次项 常数项 一次项系数 一次函数y＝kx＋b的结构特征： ①k≠0； ②自变量x的次数是1； ③常数项b可以是任意实数． 10 问题2 弹簧下端悬挂重物，弹簧会伸长，弹簧的长度 y (cm) 是所挂重物质量 x (kg)的函数，已知一根弹簧在不挂重物时长 6 cm，在一定的弹性限度内，每挂 1 kg 重物弹簧伸长 0.3 cm，求这个函数关系式. 这就是所求的函数关系式，( 其中自变量 x 的取值范围由问题的 “弹性限度” 确定 ) y = 0.3x + 6 解： 因为每挂 1 kg 重物弹簧伸长 0.3 cm， 所以挂 x kg 重物时弹簧伸长______ cm. 又因为不挂重物时弹簧的长度为 6 cm ， 所以挂 x kg 重物时弹簧的长度为___________cm， 即有， . 0.3x (0.3x + 6) 新知探究 一次函数 春假时，小明的爸爸带领全家去北京自驾游。已知地直达北京的高速公路全程为285 km，汽车驶上地的高速公路后，小明发现汽车匀速行驶的速度是95 km/h 。 解：设汽车在公路匀速上行驶的时间为t小时，汽车距北京的路程为s千米． ●A 北京★ 行驶了95t 千米 距北京s 千米 全程285千米 则s 与t 之间的函数关系式为 . 13 新知探究 一次函数 通过学习物理中的弹簧测力计，我们知道：弹簧下端悬挂重物，弹簧会伸长。数学上，可以用函数来表示弹簧的长度(cm)和所挂重物质量(kg)的关系。 已知一根弹簧在不挂重物时长6 cm， 在一定的弹性限度内， 每挂1 kg的重物弹簧伸长0.3 cm，求这个函数关系式. 14 y = k x (k≠0的常数) 比例系数 自变量 正比例函数 一般形式 正比例函数y=kx(k≠0)的结构特征： ①k≠0； ②x的次数是1. 为什么强调k是常数，k≠0呢？ 特别地，当b＝0时，y＝kx(k为常数，k≠0)，y叫做x的正比例函数． 常数k既可以是正数也可以是负数，因此，正比例函数是成正比例的量的拓展与再抽象. 一次函数 正比例 函数 一次函数与正比例函数的关系 正比例函数一定是一次函数，一次函数不一定是正比例函数 16 上述函数关系式都是用自变量的一次整式表示的，我们称它们为一次函数. 一次函数通常可以表示为 y = kx + b 的形式 ，其中 k、b 是常数，且 k ≠ 0. 特别地，当 b = 0 时，一次函数 y = kx ( 常数 k≠0 ) 也叫做正比例函数. 问题 1、问题 2 中得到的函数，都是一次函数. 知识要点 1.判定一个函数是一次函数的条件： 自变量是一次整式，一次项系数不为零； 2.判定一个函数是正比例函数的条件： 自变量是一次整式，一次项系数不为零，常数项为零． 归纳总结 新知探究 一次函数 已知一根弹簧在不挂重物时长6 cm， 在一定的弹性限度内， 每挂1千克的重物弹簧伸长0.3 cm，求这个函数关系式. 6厘米 (6+0.3)厘米 1kg 1kg 1kg 1kg 1kg 1kg 1kg (6+0.6)厘米 1kg y = 0.3x + 6(x的取值范围由弹簧的弹性限度确定) 19 新知探究 一次函数 观察这几个函数有什么共同点？ . ① 都有两个变量； ② 都是用一次整式表示的数量关系； ③ 两个变量之间互相关联. 20 例1 已知函数y=(m-3)x|m|-2+n-2,求符合下列条件的 m,n的值: (1)此函数是一次函数; 例题讲解 解： (1)由|m|-2=1得m=±3. ∵m-3≠0,∴m≠3, ∴当m=-3,n为任意实数时此函数是一次函数. 21 例1 已知函数y=(m-3)x|m|-2+n-2,求符合下列条件的 m,n的值: (2)此函数是正比例函数. 解： (2)由|m|-2=1得m=±3. ∵m-3≠0,n-2=0, ∴m≠3,n=2, ∴当m=-3,n=2时此函数是正比例函数. 22 例2 已知函数 (1) 若它是一次函数，求 m 的值； 解：∵ 是一次函数， ∴ m2－24＝1 且 m－5≠0. ∴ m＝±5 且 m≠5. ∴ m＝－5. ∴ 当 m＝－5 时，函数 是一次函数． 典例精析 解：∵ 是正比例函数， ∴ m2－24＝1 且 m－5≠0 且 m＋1＝0. ∴ m＝±5 且 m≠5 且 m＝－1. 这样的 m 不存在， ∴ 不可能是正比例函数. 【方法总结】若 y = kxn + b 是一次函数，则 k ≠ 0，且 n = 1；当 k ≠ 0，且 b＝0 时，该函数为正比例函数． 例2 已知函数 (2) 它可能是正比例函数吗？若能，求出 m 的值． 归纳总结 　　上述函数关系式都是用自变量的一次整式表示的，我们称它们为一次函数． 一次函数 一次函数通常可以表示的形式， 其中是常数，. 一次项 常数项 一次项系数 一次函数的结构特征： ①； ②自变量的次数是1； ③常数项可以是任意实数． 归纳总结 正比例函数 一次函数通常可以表示的形式， 其中是常数，. 特别地，当时，，y叫做x的正比例函数． 一次项 一次项系数 正比例函数的结构特征： ①； ②的次数是1. ③无常数项，或常数项为0． ④正比例函数是特殊的一次函数。 例2 写出下列各题中x与y之间的函数关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ (1)汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程y(千米)与行驶时间x(时)之间的关系； (2)圆的面积S(厘米2)与它的半径r(厘米)之间的关系； (3)某水池有水15立方米，现打开水管进水，进水速度为5立方米/时，x小时后这个水池内有水y立方米． 27 解：(1)由“路程＝速度×时间”，得y＝60x，y是x的 一次函数，也是x的正比例函数． (2)由圆的面积公式，得S＝πr2，S不是r的一次函数， 也不是r的正比例函数． (3)这个水池每时增加5立方米的水，x小时后增加5x 立方米的水，因而y＝15＋5x，y是x的一次函数， 但不是x的正比例函数． 28 归纳总结 一次函数 判断函数是否为一次函数的方法 等号两边是否为整式 是 恒等变形 否 是否可以表示的形式． 是 是一次函数 否 不是一次函数 一次函数 一次函数的概念 正比例函数的概念 函数关系式的确定 感谢聆听! $