期末考前满分冲刺之基础常考和中等易错题-2025-2026学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版）

**基本信息** 本专项聚焦期末基础常考与中等易错点，分层覆盖代数、几何、统计核心知识，通过选填解答多样题型强化知识应用与易错突破，培养数学眼光、思维与语言。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础常考|10类型（含二次根式、一次函数等）|选填为主，少量解答，侧重概念理解与基础应用|从代数运算到几何性质，再到统计分析，构建知识网络| |中等易错|10类型（含特殊平行四边形、函数应用等）|选填解答结合，突出性质辨析与综合应用|以基础知识点为核心，延伸至易错点与跨模块结合，体现知识迁移|

期末考前满分冲刺之基础常考和中等易错题 【基础常考】 类型一、二次根式的值与有意义(选、填) 1．若在实数范围内有意义，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．当时，二次根式的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．若，则代数式的值为______． 4．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 类型二、中位数、众数、方差(选、填) 1．某同学参加学校举行的“十大歌手”评选活动，位评委分别给出了评分，去掉一个最高分、一个最低分后，剩下的个评分与原始的个评分相比一定不发生变化的是（     ） A．中位数 B．加权平均数 C．算术平均数 D．众数 2．某校九年级开展经典诵读比赛，随机抽取10名学生的参赛成绩（单位：分）：85， 92， 90， 88， 92， 95， 92， 86， 90，92，则这组数据的众数和中位数分别是（     ） A．92，  90 B．92，  91 C．90，  92 D．92，  92 3．甲、乙、丙三名同学参加短跑测试，已知他们几次测试成绩的平均数相同，方差如下：，，，则成绩最稳定的是______． 4．甲、乙两队进行足球点球大赛，两队所得的平均分数相同，其中甲所得分数的方差为15，乙所得分数如下：3，4，5，10，8，则成绩比较稳定的是________． 类型三、(正比例)一次函数的定义与平移(选、填) 1．下列函数：①：②；③：④，其中是一次函数的是（    ） A．只有④ B．①② C．①④ D．②④ 2．下列函数中，为正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 3．将直线向下平移3个单位所得的直线解析式是_____________． 4．在平面直角坐标系中，将直线沿y轴向下平移5个单位后，得到一条新的直线，该新直线与x轴的交点坐标是_________． 类型四、勾股数、构成直角三角形的条件、赵爽弦图(选、填) 1．下列以为三边长的三角形中，是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各组数中为勾股数的是（    ） A．7，12，13 B． C．，， D．8，15，17 3．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中，，则中间小正方形的边长____． 4．沭阳花木节以赵爽弦图为背景制作一个展台．该图由四个全等的直角三角形（直角边分别为和，斜边为）围绕一个正方形拼成一个大正方形（如图）．若图中直角三角形的面积为，中间小正方形的面积为，则__________． 类型五、数轴上表示无理数与根式化简(选、填) 1．如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（    ） A． B． C． D． 2．如图，数轴上的点A与原点重合，点B表示的数是3，点C在数轴上方，连接，，且，以点A为圆心，为半径画弧交数轴于点D（点D在点B右侧），则点D表示的数为（    ） A． B． C． D． 3．实数和在数轴上如图所示，化简的结果是________． 4．已知a，b对应的点在数轴上的位置如图所示，化简的结果等于______． 类型六、中位线与斜中定理(选、填) 1．如图，在平行四边形中，，点E为上一点，连接，，点M，N分别是，的中点，连接，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．不确定 2．如图，中，，点为的中点，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，，于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线交于点，连接，则的长是（     ）． A． B． C． D． 3．如图，在中，对角线、相交于点，，点、分别为 、的中点，连接、，若，则___________． 4．如图，在中，平分，于点E，点F是的中点，若，，则的长为__________． 类型七、二次根式的运算(选、填、解) 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．化简：_____． 4．计算： (1)； (2)． 类型八、一次函数的图象与性质(选、填、解) 1．关于的一次函数，下列说法正确的是（     ） A．一次函数的图象过第一、三、四象限 B．一次函数的图象过点 C．随的增大而减小 D．与轴交点的坐标为 2．已知一次函数的图象经过不同的两点和，则一次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 3．如果点，都在一次函数的图象上，那么______．（填“＞”或“＜”） 4．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于两点，且直线经过点，与直线相交于点，点的纵坐标为，直线交轴负半轴于点，且． (1)求直线的解析式； (2)请直接写出当时，的解集； (3)若点在直线的图象上，且满足，求出点的坐标； (4)为直线上一动点，轴上是否存在一点，使以为顶点的四边形是平行四边形？如果不存在，请说明理由；如果存在，请写出所有符合条件的点的坐标，并写出其中一个点的坐标的求解过程． 类型九、数据的分析(解) 1．某校开展牛顿杯物理竞赛，并对竞赛成绩开展抽样调查（成绩为百分制，为卓越奖，为优秀奖；为鼓励奖）． 【数据的收集】随机抽取名学生成绩如下： 93.5    75.5    89.5    81    46.5    95.5    82    77.5    81.5    55.5 99       70.5    86       92    95.5    52       57    65.5    68       85.5 【数据的整理】成绩频数分布表如下： 分组 组中值 划记 频数 一 正 【数据的描述】成绩频数分布直方图如下： 【数据的分析与应用】根据以上信息，回答下列问题： (1)填空： ； ；并补全成绩的频数分布直方图； (2)求本次抽样的平均数（计算平均数时，用这组数据的组中值代表该组的实际数据）； (3)若该校参加竞赛的学生共有人，估算该校获得卓越奖的人数． 2．青少年不仅要学习好，还要关注时事热点，关心国家的现状和未来．某校为了解九年级学生对时事热点的掌握程度，特举办了一场“中国事，我知道”的调研．随机抽取60名九年级学生，将其分为3组，每组20人，把学生掌握情况分为5类：其中“完全不理解”记为0分，“了解”记为1分，“理解”记为2分，“掌握”记为3分，“应用”记为4分，现把3个小组的得分进行统计分析，过程如下： 【数据整理】 【数据分析】 平均数 众数 中位数 第1组 4 3 第2组 1 第3组 2 (1)请补全第1小组得分条形统计图． (2)第2小组得分扇形统计图中，“得分为4分”这一项所对应的圆心角的度数为____． (3)根据上述图表填空：__________，__________，__________． (4)若该校九年级有1200名学生参加此次调研，请估算九年级学生掌握情况是“应用”的人数． (5)结合上述数据，请你分析对于时事热点哪组掌握程度最弱，并说明原因． 3．2026年4月9日，中国政府网发布相关措施，明确指出基层医疗机构要加强慢性病高风险人群早期发现和干预．某企业研发了甲、乙两款健康指标全方位监测手表，现研发人员对甲、乙两款监测手表的使用满意度的评分进行调查，从结果中各随机抽取10份数据，进行整理、描述和分析（评分满分为100分，用表示，共分为四组：（A．；B．；C．；D．）下面给出了部分信息： 甲款监测手表的评分数据为84，89，94，90，92，85，92，92，95，87 乙款监测手表的评分在C组的数据从低到高排列为90，91，92，92 乙款监测手表的评分扇形统计图 甲、乙两款监测手表的评分统计表 平均数 中位数 众数 甲款 91 92 乙款 89 92 (1)填空：_________，_________，_________； (2)分数越高代表越满意，根据以上数据，你认为哪款监测手表用户更满意？请判断并说明理由；（写出一条理由即可） (3)在此次调查中，500人对甲款监测手表、400人对乙款监测手表进行评分．请估计此次调查中对两款监测手表评分在90分及以上的总人数． 4．节假日期间，甲、乙两部电影票房大卖，很多观众在某电影评分软件上对这两部电影进行了评分．针对这两部电影，各随机抽取名观众的评分数据，进行整理、描述和分析(观众对电影的评分用表示，满分为分，共分为组：，，．，．)，下面给出了部分信息： 电影甲的个评分数据是： ； 电影乙的评分数据中，在组的数据是： ； 电影乙评分数据扇形统计图 甲、乙两部电影评分数据统计表 电影 甲 乙 平均数 中位数 众数 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中___________，___________，___________； (2)根据以上数据，你认为电影甲和电影乙这两部电影哪一部更受喜爱？请说明理由(写出一条理由即可)； (3)已知在此评分软件上，对电影甲进行评分的用户共有名，对电影乙进行评分的用户共有名，请估计对甲、乙两部电影评分在组的用户一共有多少人？ 类型十、 (特殊)平行四边形的证明(解) 1．如图所示，在中，点是对角线，的交点，点分别是、、、的中点， (1)证明：四边形是平行四边形； (2)若，，证明：四边形是正方形． 2．如图，在中，点是边上一点，过点分别作交于点交于点，连接平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于点，若，，求的长． 3．如图，在四边形中，，，平分，，分别是边，的中点，连接并延长，与的延长线相交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 4．如图，中，，分别为，的中点，，，垂足分别为，． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，求的长． 【中等易错】 类型一、特殊平行四边形的性质与添加条件(选) 1．如图，已知四边形是平行四边形，对角线，相交于点，则下列结论中错误的是（    ） A．当时，四边形是菱形 B．当时，四边形是正方形 C．当时，四边形是矩形 D．当时，四边形是菱形 2．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（    ） A．对边相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线相等 3．下列说法正确的是（     ） A．对角线相等的四边形是平行四边形 B．对角线相等且互相平分的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 4．如图，平行四边形对角线交于点O，点M，N，P，Q分别在平行四边形的四条边上（且不与顶点重合）．现有甲、乙、丙三种方案，则能判定四边形是平行四边形的是（   ） 甲：使 ； 乙：使 ； 丙：使均经过点O． A．只有甲、乙 B．只有乙、丙 C．只有甲、丙 D．甲、乙、丙 类型二、平行四边形的性质求解(选、填) 1．如图，已知的顶点，，点在轴正半轴上按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边，于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交边于点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 3．如图，的对角线相交于点O，，点E，F分别为的中点，连接，若，，则的面积是________． 4．如图，中，对角线与交于点O，，当的周长为12时，的周长为____． 类型三、矩形的性质求解(选、填) 1．如图，四边形是矩形，，，则的长为（    ） A．6 B．8 C． D．10 2．如图，在矩形中，，，以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于长为半径作弧交于点P，作射线，过点D作的垂线交的延长线于点Q，则的长为（     ） A． B． C． D．4 3．如图，在矩形中，点E在上，且平分，则的长为______． 4．如图，在矩形中，，，是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足分别为、．求________ ． 类型四、菱形的性质求解(选、填) 1．如图，在菱形中，， E为边上一点，将沿翻折，使点B 的对应点 F 落在的延长线上，连接交 于点 G，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 2．如图，在菱形中，，点、点分别在边、上，且，，则的度数是（） A． B． C． D． 3．如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，菱形的面积为，则的长为___________． 4．如图，菱形的对角线与交于点，过点作于点，连接，若，，则的面积等于_____． 类型五、正方形的性质求解(选、填) 1．如图，在正方形中，点为边上一点，连接，将沿翻折，得到，连接，，，则的度数为（     ） A．25 B．26 C．28 D．30 2．如图，正方形的边长为，以为边在正方形外作等边三角形，连接，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在正方形中，点在边上，点在对角线上，连接，，，分别为，的中点，若，，则的值为_____． 4．如图，在正方形中，连接，E，F为上两点，连接，，延长至点G，使得E为的中点，连接、，若，，则的值为_____． 类型六、一次函数中的(特殊)平行四边形(选、填) 1．如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，已知点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中有一个矩形，点B的坐标是，则的长为（   ） A． B． C．3 D． 3．在平面直角坐标系中的位置如图所示，A，C的坐标分别是，，则B点的坐标是______． 4．已知菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中顶点的坐标是，则顶点的坐标是________． 类型七、一次函数与方程(组)、不等式(选、填) 1．如图，直线与直线交于点P，下列结论错误的是（   ） A．， B．关于x的方程的解为 C．直线上有两点，，若时，则 D．关于x的不等式的解集为 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 3．如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是______． 4．如图，直线与直线的交点坐标为，则不等式的解集为______． 类型八、勾股定理的解决应用(选、填、解) 1．如图，一面镜子斜固定在地面OB上，且，点P是距离地面为（即）的一个光源，光线射出经过镜面D处反射到地面的点E处（入射角等于反射角，即），当光线经过的路径长最短为时，的长为（   ） A． B． C． D． 2．将一根30厘米长的细木棒放入长、宽、高分别为4厘米、3厘米和12厘米的长方体无盖盒子中（不计厚度），则细木棒露在盒外的部分最短为（   ） A．13厘米 B．17厘米 C．18厘米 D．26厘米 3．如图是某款自动感应水龙头的示意图，在距离洗手台台面的点C处连接着出水口D处的水管，水管上的点 E 处安装有红外感应装置，已知出水口点D 到点C的距离为，且，出水口点 D到点E的距离为，则红外感应装置到洗手台台面的距离为_______． 4．消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高4米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为15米． (1)求处与地面的距离． (2)完成处的救援后，消防员发现在处的上方4米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 类型九、一次函数的解决应用(选、填、解) 1．创新角度结合化学知识分析函数图象如图（1）是一定温度下的不饱和溶液及固体，向不饱和溶液中逐渐加入固体，设溶液中溶质的质量为，加入固体的质量为，y与x的函数关系的图象如图（2）所示，下列说法中正确的是（　　） 小贴士1．在一定温度下，向一定量溶剂里加入某种溶质，当溶质不能继续溶解时，所得到的溶液叫做这种溶质的饱和溶液，还能继续溶解溶质的溶液，叫做这种溶质的不饱和溶液． 2．在一定温度下，某固态物质在溶剂里达到饱和状态时所溶解的质量，叫做这种物质的溶解度．（如果不指明溶剂，通常所说的溶解度是指物质在水里的溶解度） A．加入的固体越多，溶液中溶质的质量越大 B． C．加入固体时，溶液中溶质的质量为 D．加入固体时，有的固体未溶解 2．某品牌纯电动汽车的电池容量（）与续航里程（）近似满足一次函数关系．已知当电池容量为时，续航里程约为；当电池容量为时，续航里程约为．根据这些信息，下列说法正确的是（    ） A．电池容量与续航里程成反比例关系 B．当电池容量为时，续航里程约为 C．续航里程每增加，电池容量约增加 D．该函数图象一定经过原点 3．共享电动车是一种新理念下的交通工具，现有，两种品牌的共享电动车，图象反映了收费（元）与骑行时间（分钟）的关系，其中品牌共享电动车的收费方式对应，品牌共享电动车的收费方式对应．当骑行时间为25分钟时，品牌共享电动车比品牌共享电动车收费少__________元． 4．科技是第一生产力，随着人工智能的迅猛发展，快递业迎来了技术革命，为了提高工作效率，某仓库购买机器人进行快递分拣的工作．已知1台甲型机器人的费用比购买1台乙型机器人的费用多2万元；用25万元购买甲型机器人的数量和用20万元购买乙型机器人的数量一样多． (1)请问购买甲、乙两种型号的机器人所需的单价分别为多少？ (2)该公司计划购买这两种型号的机器人共10台（每种机器人至少购买2台），已知甲型机器人每小时分拣快递1800件，乙型机器人每小时分拣快递1500件．若使这10台机器人每小时分拣快递数量总和不少于16000件，则该公司有几种购买方案？哪种方案费用最低，最低费用是多少万元？ 类型十、尺规作图与无刻度尺作图(解) 1．如图，在四边形中，与相交于点． (1)请用无刻度的直尺和圆规作，且点在上（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）的条件下，连接．若，求证：四边形是菱形． 2．学完矩形和正方形的性质后，善于思考的小聪同学利用矩形和正方形的性质解决如下问题：如图，方格纸中每个小正方形的边长均为个单位长度，每个小正方形的顶点叫做格点，点，，均为格点（网格线的交点），请用无刻度直尺按下列要求画图．（保留作图痕迹，体现作图过程） (1)在图中，画出的角平分线； (2)在图中，在的边上找一点，连接，使得平分的面积； (3)在图中，点是上一点，请在上找一点，使得． 3．如图，矩形， ， ． (1)用直尺和圆规作出一个平行四边形，须满足：①平行四边形的面积是矩形面积的一半；②；③与在同侧． (2)在（1）的条件下， ①求证： 是等边三角形； ②若是等腰三角形，请直接写出的值． 4．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．其中A、B两点在格点上．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图1中，作出以为边的菱形； (2)在图1中，在边上作点E，使； (3)在图1中，点G为边上一点，且点G为非格点，在边上作点H，使； (4)在图2中，点M、N都是网格线上的点，与网格线交于点P，在上作点Q，使． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末考前满分冲刺之基础常考和中等易错题 【基础常考】 类型一、二次根式的值与有意义(选、填) 1．若在实数范围内有意义，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式被开方数为非负数，列不等式求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义 ∴ 解得． 2．当时，二次根式的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【详解】解：当时，． 3．若，则代数式的值为______． 【答案】 【详解】解：当，代数式． 4．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 类型二、中位数、众数、方差(选、填) 1．某同学参加学校举行的“十大歌手”评选活动，位评委分别给出了评分，去掉一个最高分、一个最低分后，剩下的个评分与原始的个评分相比一定不发生变化的是（     ） A．中位数 B．加权平均数 C．算术平均数 D．众数 【答案】A 【分析】根据各统计量的定义判断变化情况即可求解． 【详解】解：将7个评分从小到大排序，设为， ∵原始7个数据的中位数为排序后第4个数，即，去掉最高分和最低分后，剩余5个数据排序为，其中位数为第3个数，仍为， ∴中位数一定不发生变化， 加权平均数和算术平均数的总和与数据个数都改变，因此可能发生变化， 众数可能因去掉数据后发生改变． 2．某校九年级开展经典诵读比赛，随机抽取10名学生的参赛成绩（单位：分）：85， 92， 90， 88， 92， 95， 92， 86， 90，92，则这组数据的众数和中位数分别是（     ） A．92，  90 B．92，  91 C．90，  92 D．92，  92 【答案】B 【分析】根据定义先确定众数，再对数据排序后计算中位数即可得到结果． 【详解】∵ 在这组数据中，92共出现4次，出现次数最多， ∴ 这组数据的众数为92； 将这组数据从小到大排序得：85，86， 88， 90，90，92， 92，92，92，95， ∵ 数据个数为10，是偶数，中位数为排序后中间两个数的平均数，即第5个和第6个数的平均数， ∴ 中位数为； 因此这组数据的众数和中位数分别是92和91． 3．甲、乙、丙三名同学参加短跑测试，已知他们几次测试成绩的平均数相同，方差如下：，，，则成绩最稳定的是______． 【答案】丙 【详解】解：∵， ∴， 因此，成绩最稳定的是丙． 4．甲、乙两队进行足球点球大赛，两队所得的平均分数相同，其中甲所得分数的方差为15，乙所得分数如下：3，4，5，10，8，则成绩比较稳定的是________． 【答案】乙 【分析】先求出乙的平均数，然后求出乙的方差，最后比较甲、乙的方差即可得出结论. 【详解】解：乙的平均数为：； 乙的方差为： ； ∵ ∴， ∴成绩较为稳定的是乙． 类型三、(正比例)一次函数的定义与平移(选、填) 1．下列函数：①：②；③：④，其中是一次函数的是（    ） A．只有④ B．①② C．①④ D．②④ 【答案】D 【分析】根据一次函数的定义，逐一判断各函数是否符合要求，即可得到答案，一次函数定义为形如（，为常数，）的整式函数． 【详解】解：① 中，自变量的次数为，不符合一次函数定义，不是一次函数； ② 可整理为 ，其中 ，，符合一次函数定义，是一次函数； ③ ，分母含自变量，不是整式，不符合一次函数定义，不是一次函数； ④ 中，，，符合一次函数定义，是一次函数． 综上，一次函数为②④． 2．下列函数中，为正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据正比例函数的定义判断选项，正比例函数定义为：形如 （ 是不为 的常数）的函数为正比例函数． 【详解】解：A选项含有常数项，属于一次函数，不符合正比例函数定义； B选项中的次数为，属于二次函数，不符合定义； C选项，满足，其中，符合正比例函数定义； D选项属于反比例函数，不符合定义． 3．将直线向下平移3个单位所得的直线解析式是_____________． 【答案】 【分析】根据一次函数图象平移的“上加下减”规律求解即可． 【详解】解：直线向下平移个单位长度后，所得直线的解析式为：． 4．在平面直角坐标系中，将直线沿y轴向下平移5个单位后，得到一条新的直线，该新直线与x轴的交点坐标是_________． 【答案】 【分析】根据一次函数的平移规律，得到平移后新直线的解析式，令求解的值，即可得到新直线与轴的交点坐标． 【详解】解：将直线沿轴向下平移个单位， ∴新直线的解析式为 轴上的点纵坐标为，令，得 解得 因此该新直线与轴的交点坐标是． 类型四、勾股数、构成直角三角形的条件、赵爽弦图(选、填) 1．下列以为三边长的三角形中，是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理的逆定理，验证四个选项中数据是否满足“较小两边平方的和等于最大边的平方”，由此即可得出结论． 【详解】解：A．最长边为，，，能构成直角三角形，本选项符合题意； B．最长边为，，，，不能构成直角三角形，本选项不符合题意； C．最长边为，，，，不能构成三角形，本选项不符合题意； D．最长边为，，，，不能构成直角三角形，本选项不符合题意． 2．下列各组数中为勾股数的是（    ） A．7，12，13 B． C．，， D．8，15，17 【答案】D 【分析】利用勾股数的定义进行分析即可．此题考查了勾股数，关键是掌握满足的三个正整数，称为勾股数． 【详解】解：A、，，不是勾股数； B、，，但不满足三个数都是整数，不是勾股数； C、，，，都是小数，不是整数，不是勾股数； D、，且，是勾股数； 3．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中，，则中间小正方形的边长____． 【答案】 【分析】由四个全等的直角三角形可知，已知，，先根据勾股定理求出，再求出的长度即可求解． 【详解】解：根据题意得，，，， ∴， ∴． 4．沭阳花木节以赵爽弦图为背景制作一个展台．该图由四个全等的直角三角形（直角边分别为和，斜边为）围绕一个正方形拼成一个大正方形（如图）．若图中直角三角形的面积为，中间小正方形的面积为，则__________． 【答案】5 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用， 根据四个三角形的面积加上小正方形的面积等于大正方形的面积求出，即可得出答案． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 故答案为：5． 类型五、数轴上表示无理数与根式化简(选、填) 1．如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据勾股定理求出图中直角三角形的斜边长度，再结合数轴上的位置确定点表示的数． 【详解】解：根据勾股定理，斜边长度为． ∴， 又∵该线段的一端在数轴上表示的点，另一端为点， ∴ 点表示的数． 2．如图，数轴上的点A与原点重合，点B表示的数是3，点C在数轴上方，连接，，且，以点A为圆心，为半径画弧交数轴于点D（点D在点B右侧），则点D表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】勾股定理求出的长，进而得到的长，即可得出结果. 【详解】解：由题意和勾股定理，得； 故点D表示的数为. 3．实数和在数轴上如图所示，化简的结果是________． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴、二次根式的性质与化简，根据数轴可知，，，再根据化简，最后合并同类项即可得答案，熟练掌握是解题的关键． 【详解】解：由数轴可知，，， ，， ． 故答案为：． 4．已知a，b对应的点在数轴上的位置如图所示，化简的结果等于______． 【答案】 【分析】根据数轴判断、、与0的大小关系，然后根据二次根式的性质以及绝对值的性质即可求出答案．本题考查实数与数轴，化简绝对值，二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型． 【详解】 解：由数轴可知：，，， ∴ ． 故答案为：． 类型六、中位线与斜中定理(选、填) 1．如图，在平行四边形中，，点E为上一点，连接，，点M，N分别是，的中点，连接，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．不确定 【答案】A 【分析】此题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的性质，解题的关键是掌握相关基础性质．根据平行四边形的性质可得，再根据三角形中位线的性质，求解即可． 【详解】解：在平行四边形中，， ∴， ∵M，N分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴． 2．如图，中，，点为的中点，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，，于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线交于点，连接，则的长是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的尺规作图，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线定理． 根据作图可知平分，根据等腰三角形三线合一得到，继而根据直角三角形斜边中线定理得到． 【详解】解：由作图可知平分， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴． 3．如图，在中，对角线、相交于点，，点、分别为 、的中点，连接、，若，则___________． 【答案】 【分析】先由平行四边形对角线互相平分、中位线定理得，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，求出． 【详解】解：四边形是平行四边形， 点是的中点， 又点为的中点， 是的中位线， ， ， ， ， 是直角三角形，， 点为的中点， 是斜边上的中线， ． 4．如图，在中，平分，于点E，点F是的中点，若，，则的长为__________． 【答案】3 【分析】延长交于点M，构造等腰三角形，利用中位线定理得出线段长度． 【详解】解：如图，延长交于点M， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴为的中位线， ∴． 类型七、二次根式的运算(选、填、解) 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式加减乘的运算法则，逐一判断选项即可得到正确结果． 【详解】解：A：∵ 和不是同类二次根式，无法直接合并， ∴，A错误，该选项不符合题意； B：∵， ∴B错误，该选项不符合题意； C：∵， ∴C错误，该选项不符合题意； D：∵，计算正确， ∴D正确，该选项符合题意． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故A错误； B、，故B正确； C、，故C错误； D、，故D错误． 3．化简：_____． 【答案】/ 【分析】利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：． 4．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用算术平方根和立方根的定义先化简，再进行加减运算即可； （）先去括号，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 类型八、一次函数的图象与性质(选、填、解) 1．关于的一次函数，下列说法正确的是（     ） A．一次函数的图象过第一、三、四象限 B．一次函数的图象过点 C．随的增大而减小 D．与轴交点的坐标为 【答案】A 【分析】根据一次函数的系数判断增减性和经过的象限，再代入计算验证点坐标和与轴交点，逐一判断选项即可． 【详解】解：一次函数为，其中，， A.由，，可知一次函数图象经过第一、三、四象限，A正确； B.当时，，则图象不过点，B错误； C.由，可知随的增大而增大，C错误； D.当时，，与轴交点坐标为，不是，D错误． 2．已知一次函数的图象经过不同的两点和，则一次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用待定系数法求得，根据题意得到，求得，据此求解即可判断． 【详解】解：∵一次函数的图象经过不同的两点和， ∴，且， ∴得， ∵， ∴， ∴随的增大而增大，观察四个选项，选项A符合题意． 3．如果点，都在一次函数的图象上，那么______．（填“＞”或“＜”） 【答案】 ＜ 【详解】解：在一次函数中， ， 随的增大而减小， 点，都在该一次函数的图象上，且， . 4．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于两点，且直线经过点，与直线相交于点，点的纵坐标为，直线交轴负半轴于点，且． (1)求直线的解析式； (2)请直接写出当时，的解集； (3)若点在直线的图象上，且满足，求出点的坐标； (4)为直线上一动点，轴上是否存在一点，使以为顶点的四边形是平行四边形？如果不存在，请说明理由；如果存在，请写出所有符合条件的点的坐标，并写出其中一个点的坐标的求解过程． 【答案】(1)直线的解析式为 (2)的解集为 (3)符合条件的点或 (4)存在，或，求解过程见解析 【分析】（1）先将代入，得出，进而求得，，根据题意得出，待定系数法求解析式即可求解； （2）根据函数图象直接写出解集即可； （3）根据，，得出，分两种情况讨论，进而根据三角形的面积公式，即可求解； （4）设，，分三种情况讨论，当为平行四边形的对角线时，当为平行四边形的边，为对角线时，当为平行四边形的边，为对角线时，根据中点坐标公式，即可求解． 【详解】（1）解：∵直线经过点， ∴，解得， ∴， 令，则，令，则， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵点的纵坐标为，且点在直线上， ∴， 将，代入， ∴，解得， ∴直线的解析式为； （2）由题意可得出当时，满足. 故x的解集为； （3）解：由（1）得，， ∴， ∵， ∴， 当点在直线下方时，如图，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点在直线上方时，，如图， ∴，      ∴， ∴， ∴， 综上所述，符合条件的点或； （4）解：存在，或 设，， 当为平行四边形的对角线时，如图， ∴， 解得， ∴； 当为平行四边形的边，为对角线时，如图， ∴，解得， ∴； 当为平行四边形的边，为对角线时，如图， ∴， 解得， ∴ 类型九、数据的分析(解) 1．某校开展牛顿杯物理竞赛，并对竞赛成绩开展抽样调查（成绩为百分制，为卓越奖，为优秀奖；为鼓励奖）． 【数据的收集】随机抽取名学生成绩如下： 93.5    75.5    89.5    81    46.5    95.5    82    77.5    81.5    55.5 99       70.5    86       92    95.5    52       57    65.5    68       85.5 【数据的整理】成绩频数分布表如下： 分组 组中值 划记 频数 一 正 【数据的描述】成绩频数分布直方图如下： 【数据的分析与应用】根据以上信息，回答下列问题： (1)填空： ； ；并补全成绩的频数分布直方图； (2)求本次抽样的平均数（计算平均数时，用这组数据的组中值代表该组的实际数据）； (3)若该校参加竞赛的学生共有人，估算该校获得卓越奖的人数． 【答案】(1)2；6；频数分布直方图见解析 (2)77.5 (3)165 【分析】（1）根据名学生成绩数成绩在的个数得出，数成绩在的个数得出，根据的值补全频数分布直方图； （2）各组组中值乘以频数之和算出20人总成绩，再除以20即可得平均数； （3）用300乘以20人中获卓越奖的比例估算该校获得卓越奖的人数． 【详解】（1）解：根据名学生成绩得，； 频数分布直方图如下， （2）解：本次抽样的平均数：， 答：本次抽样的平均数为77.5； （3）解：（人）， 答：该校获得卓越奖的人数为165人． 2．青少年不仅要学习好，还要关注时事热点，关心国家的现状和未来．某校为了解九年级学生对时事热点的掌握程度，特举办了一场“中国事，我知道”的调研．随机抽取60名九年级学生，将其分为3组，每组20人，把学生掌握情况分为5类：其中“完全不理解”记为0分，“了解”记为1分，“理解”记为2分，“掌握”记为3分，“应用”记为4分，现把3个小组的得分进行统计分析，过程如下： 【数据整理】 【数据分析】 平均数 众数 中位数 第1组 4 3 第2组 1 第3组 2 (1)请补全第1小组得分条形统计图． (2)第2小组得分扇形统计图中，“得分为4分”这一项所对应的圆心角的度数为____． (3)根据上述图表填空：__________，__________，__________． (4)若该校九年级有1200名学生参加此次调研，请估算九年级学生掌握情况是“应用”的人数． (5)结合上述数据，请你分析对于时事热点哪组掌握程度最弱，并说明原因． 【答案】(1)见详解 (2) (3) (4)280人 (5)第2组掌握程度最弱 【分析】（1）根据总人数为 20 人，条形图各得分的人数即可解答； （2）根据调查总人数 20 人，再利用扇形统计图得分为“4分”的百分数即可解答． （3）根据条形统计图的数据、扇形统计图的数据、折线图的数据，以及众数、中位数、平均数的定义即可解答． （4）先计算出三组人数中得分“ 4 ”的百分数，再计算出1200 人的掌握情况是“应用”的人数即可解答． （5）根据表格中数据即可解答． 【详解】（1）解：∵随机调查的总人数为 20 人，“ 0 ”分的人数为 1 人，“1 ”分的人数为 2 人，“ 2”分的人数为 3 人，“ 4”分的人数为 8 人， ∴“ 3 ”分的人数为：（人）， 补全第1小组得分条形统计图如图所示： （2）解：∵第 2 小组得分扇形统计图中“得分为4 分”所占的百分数为， ∴“得分为4分”这一项所对应的圆心角的度数为； （3）解：∵根据扇形统计图可知“得分为 0 分”的人数最多， ∴第2组的众数为0分， ， ∵根据第1 小组得分条形统计图可知，“ 0 ”分的人数为 1 人，“1 ”分的人数为 2 人，“ 2”分的人数为 3 人，“ 3”分的人数为6人，“ 4”分的人数为 8 人， ∴第1组的平均数为， ， ∵第 3 组的折线图可知中位数第 10 和第 11 个分数：2 ， 2， ∴第 3 组的中位数是， ． （4）解：∵ 第 1 组得分为 “4 分”的人数为 8 人，第 2 组得分为“4 分”的人数为 人，第 3 组得分为“4 分”的人数为 2 人， ∴ 三组得 4 分的总人数为 14人， ∵三组总人数为60人， ∴该校九年级有1200名学生参加此次调研，掌握情况是“应用”的人数有（人）． （5）解：第2组掌握程度最弱， 原因：三组平均数分别为，第2组平均数最低，且0分占比最高，中位数最小，整体得分最低，因此掌握程度最弱． 3．2026年4月9日，中国政府网发布相关措施，明确指出基层医疗机构要加强慢性病高风险人群早期发现和干预．某企业研发了甲、乙两款健康指标全方位监测手表，现研发人员对甲、乙两款监测手表的使用满意度的评分进行调查，从结果中各随机抽取10份数据，进行整理、描述和分析（评分满分为100分，用表示，共分为四组：（A．；B．；C．；D．）下面给出了部分信息： 甲款监测手表的评分数据为84，89，94，90，92，85，92，92，95，87 乙款监测手表的评分在C组的数据从低到高排列为90，91，92，92 乙款监测手表的评分扇形统计图 甲、乙两款监测手表的评分统计表 平均数 中位数 众数 甲款 91 92 乙款 89 92 (1)填空：_________，_________，_________； (2)分数越高代表越满意，根据以上数据，你认为哪款监测手表用户更满意？请判断并说明理由；（写出一条理由即可） (3)在此次调查中，500人对甲款监测手表、400人对乙款监测手表进行评分．请估计此次调查中对两款监测手表评分在90分及以上的总人数． 【答案】(1)40；90； (2)甲款监测手表用户更满意，理由见解析 (3)540人 【分析】（1）先根据扇形统计图求出a，再根据平均数和中位数的定义求出b和c； （2）比较两款监测手表的评分数据的平均数的大小，进行判断即可（理由不唯一）； （3）分别求出两款监测手表在90分及以上的人数，再求和即可． 【详解】（1）解：由图可得； 由题意得，甲款评分平均数为：； 乙款共10份数据，各组数量如下： A组：（个）； B组：（个）； C组：（个）； D组：（个）， ∵中位数为第5、6个数的平均数， ； （2）解：甲款监测手表用户更满意，理由如下： 甲款评分的平均数高于乙款的平均数； （3）解：由题意得，甲款的10个数据中，90分及以上有个，频率为， （人）； 乙款中90分及以上对应C、D组，频率为， （人）， ∴总人数（人）． 4．节假日期间，甲、乙两部电影票房大卖，很多观众在某电影评分软件上对这两部电影进行了评分．针对这两部电影，各随机抽取名观众的评分数据，进行整理、描述和分析(观众对电影的评分用表示，满分为分，共分为组：，，．，．)，下面给出了部分信息： 电影甲的个评分数据是： ； 电影乙的评分数据中，在组的数据是： ； 电影乙评分数据扇形统计图 甲、乙两部电影评分数据统计表 电影 甲 乙 平均数 中位数 众数 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中___________，___________，___________； (2)根据以上数据，你认为电影甲和电影乙这两部电影哪一部更受喜爱？请说明理由(写出一条理由即可)； (3)已知在此评分软件上，对电影甲进行评分的用户共有名，对电影乙进行评分的用户共有名，请估计对甲、乙两部电影评分在组的用户一共有多少人？ 【答案】(1) (2)电影甲更受喜爱，理由见解析 (3)人 【分析】（1）根据中位数、众数、百分比的计算方法求解即可； （2）通过比较平均数、中位数、众数等统计量来判断哪个电影更受欢迎； （3）根据用样本估计总体的方法求解即可． 【详解】（1）解：∵电影甲的个评分数据中出现的次数最多， ∴； ∵，电影乙的个评分数据从高到低排列，第个数据都是， ∴，即：； ∵ ， ∴； 故答案为： ； （2）答：电影甲更受喜爱，理由①：∵观众对电影甲的评分众数大于对电影乙的评分众数， ∴电影甲更受喜爱； 理由②：∵观众对电影甲评分的平均数大于对电影乙评分的平均数， 电影甲更受喜爱； 理由③：∵观众对电影甲评分的中位数大于对电影乙评分的中位数， 电影甲更受喜爱；(写出一条理由即可)； （3）解： (人)， 答：估计对甲、乙两部电影评分在组的用户一共有人． 类型十、 (特殊)平行四边形的证明(解) 1．如图所示，在中，点是对角线，的交点，点分别是、、、的中点， (1)证明：四边形是平行四边形； (2)若，，证明：四边形是正方形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（）由平行四边形的性质得，进而由三角形中位线的性质可得，即可求证； （）连接，先证明四边形是平行四边形，再证明四边形是菱形，进而证明即可求证． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点分别是、的中点， ∴，， 同理可证，， ∴，， ∴四边形是平行四边形 （2）证明：如图，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵点分别是、的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 由（）知，四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， ∵，， ∴， ∵点是的中点， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 2．如图，在中，点是边上一点，过点分别作交于点交于点，连接平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于点，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用，证明四边形是平行四边形，再利用角平分线和平行线的性质，证得，证得结果； （2）利用菱形的性质与证得三角形是等边三角形，再利用菱形的对角线互相平分和垂直解出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∵平分， ∴， ∴， 则， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． （2）解：由（1）知，四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴三角形是等边三角形，， 又∵四边形是菱形， ∴， 在中，， ∴． 3．如图，在四边形中，，，平分，，分别是边，的中点，连接并延长，与的延长线相交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)的长为10 【分析】（1）根据，平分，可得，从而得到，可证得四边形是平行四边形，即可求证； （2）根据菱形的性质，得到，．利用勾股定理即可得到的长，再结合三角形中位线性质，可得四边形是平行四边形，即可求解． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：连接，交于点，如图， 由题意得，菱形的边长为13，对角线， ， 点、分别是边、的中点， ， 、是菱形的对角线， ， ， ， ， 又， ， 四边形是平行四边形， ． 4．如图，中，，分别为，的中点，，，垂足分别为，． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由已知得是的中位线，则，再由，，得，根据对边互相平行的四边形是平行四边形可证四边形是平行四边形，再由两个内角为直角即可得出结论； （2）先根据中位线的性质得，由中点的定义得，由矩形的性质得，，即可由勾股定理求出，再根据即可求解． 【详解】（1）证明：∵中，，分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴，即， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形为矩形； （2）解：由（1）知，是的中位线， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴． 【中等易错】 类型一、特殊平行四边形的性质与添加条件(选) 1．如图，已知四边形是平行四边形，对角线，相交于点，则下列结论中错误的是（    ） A．当时，四边形是菱形 B．当时，四边形是正方形 C．当时，四边形是矩形 D．当时，四边形是菱形 【答案】B 【详解】解：A、当时，四边形是菱形，正确； B、当时，四边形是矩形，不是正方形，故错误； C、当时，四边形是矩形，正确； D、当时，四边形是菱形，正确． 2．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（    ） A．对边相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线相等 【答案】D 【详解】解：矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是对角线相等． 3．下列说法正确的是（     ） A．对角线相等的四边形是平行四边形 B．对角线相等且互相平分的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 【答案】B 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：∵对角线互相平分的四边形才是平行四边形，仅对角线相等不能判定是平行四边形， ∴A错误； ∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形， ∴对角线相等且互相平分的四边形是矩形， ∴B正确； ∵对角线互相垂直平分的四边形才是菱形，仅对角线互相垂直不能判定是菱形， ∴C错误； ∵对角线互相垂直平分且相等的四边形才是正方形，仅互相垂直平分的四边形是菱形， ∴D错误． 4．如图，平行四边形对角线交于点O，点M，N，P，Q分别在平行四边形的四条边上（且不与顶点重合）．现有甲、乙、丙三种方案，则能判定四边形是平行四边形的是（   ） 甲：使 ； 乙：使 ； 丙：使均经过点O． A．只有甲、乙 B．只有乙、丙 C．只有甲、丙 D．甲、乙、丙 【答案】D 【分析】根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判断甲方案；由平行四边形的性质得到，证明，得到，再证明，得到，据此可判断乙方案；证明，得到，同理可证明，据此可判断丙方案． 【详解】解：当时，可以根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，故甲方案符合题意； ∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故乙方案符合题意； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴当使经过点O时，， ∴， ∴， 同理可证明， ∴四边形是平行四边形，故丙方案符合题意； 类型二、平行四边形的性质求解(选、填) 1．如图，已知的顶点，，点在轴正半轴上按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边，于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交边于点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据作图步骤可知是的角平分线，利用平行四边形对边平行的性质及角平分线定义可证为等腰三角形，从而得到，利用勾股定理求出的长，结合点坐标即可求出点坐标． 【详解】解：由作图步骤可知，平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点在边上，且轴， ∴点的纵坐标为， 又∵点的横坐标为，点在点右侧， ∴点的横坐标为， ∴点的坐标为． 2．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直角三角形的性质可得，即得，利用平行四边形的性质得，再根据勾股定理解答即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 3．如图，的对角线相交于点O，，点E，F分别为的中点，连接，若，，则的面积是________． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质可得，再由中点的性质可得，，在中，利用勾股定理可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵点E为的中点， ∴，， ∵， ∴， 在中，，， ∴，即， ∴， ∴， ∵点F为的中点， ∴， ∴． 4．如图，中，对角线与交于点O，，当的周长为12时，的周长为____． 【答案】6 【分析】根据平行四边形的性质得到，进而得到垂直平分，则，将的周长转化为的值，再利用平行四边形的周长求解即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， 、、， ， 垂直平分， ， ， ， ， 的周长为：． 类型三、矩形的性质求解(选、填) 1．如图，四边形是矩形，，，则的长为（    ） A．6 B．8 C． D．10 【答案】B 【分析】根据矩形的性质得出，利用邻补角求出，判定为等边三角形即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ，， 是等边三角形， ． 2．如图，在矩形中，，，以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于长为半径作弧交于点P，作射线，过点D作的垂线交的延长线于点Q，则的长为（     ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】令与的交点为，由矩形的性质，得到，由作法可知，平分，进而证明，推出，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，令与的交点为， 在矩形中，，， ，， ， ， ， 由作法可知，平分， ， 又， ， ， ， 在中，． 3．如图，在矩形中，点E在上，且平分，则的长为______． 【答案】 【分析】在中可求得的长，由角平分线的定义和平行的性质可证得，则可求得的长，则可求得的长． 【详解】解：四边形为矩形， ，，， ，， ∴， ∴， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 4．如图，在矩形中，，，是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足分别为、．求________ ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，由矩形性质可得，，，，然后通过勾股定理得出，则有，然后通过即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵在矩形中，，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴． 类型四、菱形的性质求解(选、填) 1．如图，在菱形中，， E为边上一点，将沿翻折，使点B 的对应点 F 落在的延长线上，连接交 于点 G，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据菱形的性质可得，由折叠的性质得：，，可得为等腰直角三角形，，，再由菱形的面积解答即可． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴，， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴，，即为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．如图，在菱形中，，点、点分别在边、上，且，，则的度数是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据菱形的性质得出，，，利用直角三角形性质求出，进而求出，证明，得到，结合判定为等边三角形，最后利用角的和差关系求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，菱形的面积为，则的长为___________． 【答案】 【分析】由菱形的面积公式可得的长，由菱形的性质可得为的中点，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可解答． 【详解】解：四边形是菱形， ， ，， ， ， ， ， 在中，为的中点， ． 4．如图，菱形的对角线与交于点，过点作于点，连接，若，，则的面积等于_____． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理解三角形，直角三角形斜边中线定理． 根据菱形的性质以及直角三角形斜边中线定理，得到，，继而根据勾股定理得到，继而得到，根据菱形的面积计算公式得到，继而得到． 【详解】解；∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴. 类型五、正方形的性质求解(选、填) 1．如图，在正方形中，点为边上一点，连接，将沿翻折，得到，连接，，，则的度数为（     ） A．25 B．26 C．28 D．30 【答案】A 【详解】解：由折叠得到的， ，， 正方形， ， ， ， ， ， ． 2．如图，正方形的边长为，以为边在正方形外作等边三角形，连接，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于点，延长交于点，容易证明四边形是矩形，则，由等边三角形的性质可得，，由勾股定理可得，则，利用三角形面积公式进行计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点，延长交于点， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， 由勾股定理可得，， ∴， ∴． 3．如图，在正方形中，点在边上，点在对角线上，连接，，，分别为，的中点，若，，则的值为_____． 【答案】 / 【分析】先通过赋值法确定正方形边长及相关线段长度，再利用中位线定理得到线段的平行关系与长度，结合正方形的性质构造等腰直角三角形，最后用勾股定理求出的长度，进而得到的值． 【详解】解：如图，取中点为，连接、， 设， ，，四边形是正方形， ，， ， ， 、分别是、的中点， 且， ， 又、分别是、的中点， 且， ∵在正方形中，， ， ， 过点作交延长线于点， 为等腰直角三角形， ，， ， ， 在中，， ． 4．如图，在正方形中，连接，E，F为上两点，连接，，延长至点G，使得E为的中点，连接、，若，，则的值为_____． 【答案】/ 【分析】过点B作，过点A作交于点P，连接，过点A作，交于点H，设，则，先证明，，进而依据判定和全等得，，继而依据判定和全等得，在中，由勾股定理得，则，由此可得，再证明和全等得，，则，，然后证明和全等得，据此可得的值． 【详解】解：过点B作，过点A作交于点P，连接，过点A作，交于点H，如图所示： ∴，， ∴是直角三角形， ∵， 设，则， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴，， ∵E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 类型六、一次函数中的(特殊)平行四边形(选、填) 1．如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，已知点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作轴于点，作轴于点，由正方形的性质，可得，，证明，可得，，即可得点的坐标． 【详解】解：作轴于点，作轴于点，则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点的坐标为， ∴，， ∴，， ∴点的坐标为． 2．如图，在平面直角坐标系中有一个矩形，点B的坐标是，则的长为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】连接，根据两点间距离公式求出的长，再根据矩形的对角线相等即可求解． 【详解】解：连接， ∵点B的坐标是， ∴， ∵四边形是矩形， ∴． 3．在平面直角坐标系中的位置如图所示，A，C的坐标分别是，，则B点的坐标是______． 【答案】 【分析】利用平行四边形“对边平行且相等”的性质，通过点的平移规律来求解未知点的坐标． 【详解】解：在中，，， ∵，， ∴， ∴，， ∴． 4．已知菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中顶点的坐标是，则顶点的坐标是________． 【答案】 【分析】延长交轴于，根据菱形的性质求解即可 【详解】解：延长交轴于， 四边形是菱形， 轴， ， ，， 点的纵坐标为， 在中，， ， ， 点的横坐标为， ． 类型七、一次函数与方程(组)、不等式(选、填) 1．如图，直线与直线交于点P，下列结论错误的是（   ） A．， B．关于x的方程的解为 C．直线上有两点，，若时，则 D．关于x的不等式的解集为 【答案】D 【详解】解：A、∵直线经过一、二、四象限， ∴，，故正确，不符合题意； B、∵直线与直线交于点P，点P的横坐标为3， ∴关于x的方程的解为，故正确，不符合题意； C、根据函数图像得到：直线上，y随x的增大而增大， ∵直线上有两点，，， ∴．故正确，不符合题意； D、根据函数图像得到：关于x的不等式的解集为，即不等式的解集为，故选项错误，符合题意． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图象找出的图象在的图象上方时，对应的横坐标的取值范围即可． 【详解】解：∵直线与直线交于点， ∴由图象可得，当时，， 即不等式的解集为． 3．如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是______． 【答案】 【分析】 解决本题的关键是理解两函数图象的交点坐标就是对应方程组的解. 观察待求解的方程组，将其变形后可发现正是题目中两个一次函数的解析式，因此直接读取图象交点坐标即可得到方程组的解. 【详解】解：∵一次函数 与 的图象相交于点 . ∴方程组 的解为 . 即方程组 的解为. 4．如图，直线与直线的交点坐标为，则不等式的解集为______． 【答案】 【分析】根据图象可得当直线的图象在直线的图象上方时的取值范围即为的解集． 【详解】解：由图象可得：的解集为． 类型八、勾股定理的解决应用(选、填、解) 1．如图，一面镜子斜固定在地面OB上，且，点P是距离地面为（即）的一个光源，光线射出经过镜面D处反射到地面的点E处（入射角等于反射角，即），当光线经过的路径长最短为时，的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出关于直线对称的线段，所以最短路线为三点共线且时最短，过P作垂线构建矩形，再利用等腰三角形的性质可得答案． 【详解】解：作点关于的对称点，连接， 当且、、三点共线时，光线经过的路径长最短， ∴，作于F， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 2．将一根30厘米长的细木棒放入长、宽、高分别为4厘米、3厘米和12厘米的长方体无盖盒子中（不计厚度），则细木棒露在盒外的部分最短为（   ） A．13厘米 B．17厘米 C．18厘米 D．26厘米 【答案】B 【分析】由勾股定理求出盒子的对角线长，从而即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：盒子底面对角线长为（厘米）， 盒子的对角线长：（厘米）， ∴细木棒露在盒外的部分最短为（厘米）． 3．如图是某款自动感应水龙头的示意图，在距离洗手台台面的点C处连接着出水口D处的水管，水管上的点 E 处安装有红外感应装置，已知出水口点D 到点C的距离为，且，出水口点 D到点E的距离为，则红外感应装置到洗手台台面的距离为_______． 【答案】15 【分析】在中，由勾股定理得，再根据求出的长度即可． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴是直角三角形 ， ∵在中，，， ∴ ， ∵， ∴ ， 红外感应装置到洗手台台面的高度的长为． 4．消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高4米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为15米． (1)求处与地面的距离． (2)完成处的救援后，消防员发现在处的上方4米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【答案】(1)点处与地面的距离为米； (2)消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，正确确定每个线段的长度． （1）由题意可得，米，米，米，利用勾股定理求得，即可求解； （2）根据题意可得，米，米，由勾股定理可得米，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，米，米，米， 由勾股定理可得，（米）， 米， 则点处与地面的距离为米； （2）解：由题意可得，米，米， 根据勾股定理可得，米， ∴米， 则消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米． 类型九、一次函数的解决应用(选、填、解) 1．创新角度结合化学知识分析函数图象如图（1）是一定温度下的不饱和溶液及固体，向不饱和溶液中逐渐加入固体，设溶液中溶质的质量为，加入固体的质量为，y与x的函数关系的图象如图（2）所示，下列说法中正确的是（　　） 小贴士1．在一定温度下，向一定量溶剂里加入某种溶质，当溶质不能继续溶解时，所得到的溶液叫做这种溶质的饱和溶液，还能继续溶解溶质的溶液，叫做这种溶质的不饱和溶液． 2．在一定温度下，某固态物质在溶剂里达到饱和状态时所溶解的质量，叫做这种物质的溶解度．（如果不指明溶剂，通常所说的溶解度是指物质在水里的溶解度） A．加入的固体越多，溶液中溶质的质量越大 B． C．加入固体时，溶液中溶质的质量为 D．加入固体时，有的固体未溶解 【答案】D 【分析】图（2）中，纵轴表示溶液中溶质的质量，横轴表示加入的固体的质量，当加入的固体在时溶液中溶质的质量一直在增加，当加入的固体质量后溶液中溶质的质量不再变化，从而A选项不正确；，故B不正确；加入固体时，溶液中溶质的质量与加入时的相等，为，故C不正确；加入固体时，溶液中溶质的质量与加入时的相等，为，有的固体未溶解，故D正确． 【详解】解：分析图（2）中的信息如下图： 结合图象分析如下： 当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而不变，故A不正确； 当时，，即，故B不正确； 当时，，故C不正确； 当时，，即溶液中溶质质量为，故有固体溶解了，有的固体未溶解，故D正确． 2．某品牌纯电动汽车的电池容量（）与续航里程（）近似满足一次函数关系．已知当电池容量为时，续航里程约为；当电池容量为时，续航里程约为．根据这些信息，下列说法正确的是（    ） A．电池容量与续航里程成反比例关系 B．当电池容量为时，续航里程约为 C．续航里程每增加，电池容量约增加 D．该函数图象一定经过原点 【答案】B 【分析】先根据题意设出一次函数解析式，代入已知两组对应值求出解析式，再逐一判断各选项即可． 【详解】解：设续航里程为电池容量为的函数解析式为． 将，代入解析式得： ， 解得：， ∴函数解析式为 ， ∵ 函数是一次函数，不是反比例函数，∴ A错误． 当时，， ∴当电池容量为时，续航里程约为， ∴ B正确． 电池容量每增加，续航里程增加，行驶途中增加续航里程，电池容量不会增加，∴ C的说法错误． ∵ 题目说明电池容量与续航里程仅近似满足一次函数关系，给出的数值为近似值，无法确定函数一定经过原点，∴ D错误． 3．共享电动车是一种新理念下的交通工具，现有，两种品牌的共享电动车，图象反映了收费（元）与骑行时间（分钟）的关系，其中品牌共享电动车的收费方式对应，品牌共享电动车的收费方式对应．当骑行时间为25分钟时，品牌共享电动车比品牌共享电动车收费少__________元． 【答案】1 【分析】利用待定系数法，根据图象上的关键点坐标分别求解出和的函数表达式，需要注意的是是分段函数； 求解出当骑行时间为25分钟时，对应的和，再求解价格差． 【详解】解：是分段函数，由图可知， 当时，， 当时，设， 将，代入中， 可得， 解得， 当时，设， 所以； 是正比例函数图象，设， 将代入中， 可得， 解得， 所以的解析式为； 当时，， ， ． 4．科技是第一生产力，随着人工智能的迅猛发展，快递业迎来了技术革命，为了提高工作效率，某仓库购买机器人进行快递分拣的工作．已知1台甲型机器人的费用比购买1台乙型机器人的费用多2万元；用25万元购买甲型机器人的数量和用20万元购买乙型机器人的数量一样多． (1)请问购买甲、乙两种型号的机器人所需的单价分别为多少？ (2)该公司计划购买这两种型号的机器人共10台（每种机器人至少购买2台），已知甲型机器人每小时分拣快递1800件，乙型机器人每小时分拣快递1500件．若使这10台机器人每小时分拣快递数量总和不少于16000件，则该公司有几种购买方案？哪种方案费用最低，最低费用是多少万元？ 【答案】(1)甲型机器人单价为10万元，乙型机器人单价为8万元 (2)共有5种购买方案，购买甲型机器人4台、乙型机器人6台时总费用最低，最低费用为88万元 【分析】（1）设甲型机器人单价为x万元，则乙型机器人单价为万元，根据“用25万元购买甲型机器人的数量和用20万元购买乙型机器人的数量一样多．”列出方程，即可求解； （2）设购进甲型机器人m台，则购进乙型机器人台，根据题意，列出不等式组，求出m的取值范围，设所需费用为w万元，列出w关于m的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设甲型机器人单价为x万元，则乙型机器人单价为万元，根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 此时， 答：甲型机器人单价为10万元，乙型机器人单价为8万元； （2）解：设购进甲型机器人m台，则购进乙型机器人台，根据题意得： ， 解得：， 根据题意得：m为正整数， 所以m取4，5，6，7，8， 所以共有5种购买方案， 设所需费用为w万元，则 ， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时，所需费用最低，最低费用为88万元， 即共有5种购买方案，购买甲型机器人4台、乙型机器人6台时总费用最低，最低费用为88万元． 类型十、尺规作图与无刻度尺作图(解) 1．如图，在四边形中，与相交于点． (1)请用无刻度的直尺和圆规作，且点在上（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）的条件下，连接．若，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据“作一个角的基本作图”解答即可； （2）根据证明，得，结合得四边形是平行四边形，由根据等腰三角形三线合一得，题目得证． 【详解】（1）解：根据“作一个角的基本作图”的基本作图，作图如下： 则即为所求； （2）证明：由（1）得，， 在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 即， 平行四边形是菱形． 2．学完矩形和正方形的性质后，善于思考的小聪同学利用矩形和正方形的性质解决如下问题：如图，方格纸中每个小正方形的边长均为个单位长度，每个小正方形的顶点叫做格点，点，，均为格点（网格线的交点），请用无刻度直尺按下列要求画图．（保留作图痕迹，体现作图过程） (1)在图中，画出的角平分线； (2)在图中，在的边上找一点，连接，使得平分的面积； (3)在图中，点是上一点，请在上找一点，使得． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】（）在网格上画正方形，然后连接即可； （）根据网格特征，通过矩形的性质找出中点即可； （）根据网格特征，通过正方形的性质即可找出点． 【详解】（1）解：如图，即为所求， 理由：由网格可知，，， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴平分， ∴即为所求； （2）解：如图，点即为所求； （3）解：如图，点即为所求， 理由：由（）可得：，四边形是正方形， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点即为所求． 3．如图，矩形， ， ． (1)用直尺和圆规作出一个平行四边形，须满足：①平行四边形的面积是矩形面积的一半；②；③与在同侧． (2)在（1）的条件下， ①求证： 是等边三角形； ②若是等腰三角形，请直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②的值为，1， 【分析】（1）作线段的垂直平分线，垂足为，在的右侧，以为圆心，为半径作弧，交于点，在射线上截取线段，使得，连接，四边形即为所求； （2）①证明即可； ②分三种情况：，，分别求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，四边形即为所求； （2）①证明：∵平行四边形面积是矩形面积的一半， ∴垂直平分线段， ， ， ， 是等边三角形； ②解：当时， 是等边三角形， ， ； 当时，如图， 是等边三角形，60°， 30°， ， ； 当时，如图， 由30°， 得CM²＋DM²＝DC²， 即， ， ， ， ． 【点睛】本题考查复杂作图，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 4．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．其中A、B两点在格点上．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图1中，作出以为边的菱形； (2)在图1中，在边上作点E，使； (3)在图1中，点G为边上一点，且点G为非格点，在边上作点H，使； (4)在图2中，点M、N都是网格线上的点，与网格线交于点P，在上作点Q，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】（1）根据菱形的定义作图即可； （2）先在网格上取格点J，构造直角边为3和4的直角，由此可得，再由角的关系得，则可得为等腰直角三角形，由此可得； （3）考查交叉对称．连接，与相交于点L，连接并延长交于点H，证明与，则点H即为所求； （4）考查非格点作平行线，方法是构造平行四边形．取与网格竖线的交点T，连接与网格竖线的交于点O，连接延长与网格竖线交于点H，连接并延长交于点Q，则有． 【详解】（1）解：根据勾股定理可得， 则菱形的边长为5， 则以为边的菱形如图所示； （2）解：在网格上取格点J，构造直角边为3和4的直角， 由此可得，则， ∴， ∵， ∴，即， ∴为等腰直角三角形， ∴， 记与的交点为点E，则，如图所示； （3）解：连接，与相交于点L， 连接并延长交于点H， 在菱形中，，， 在与中， ， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 则点H如图所示： ； （4）解：如图，． ． 由图形知，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 即． 1 学科网（北京）股份有限公司 $