精品解析：2026年湖北省邯郸市育华中学中考二模数学试卷

数学 一、选择题（每题3分，共36分） 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 博物馆已逐渐成为公共文化服务和城市旅游的重要阵地与有效载体．下列四幅图是我国部分博物馆的标志，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星，高度大约是21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算结果等于是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是由5个相同的正方体搭成的几何体，每个正方体的棱长均为，这个几何体的俯视图的面积是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中有，，，四个点，其中恰有三点在反比例函数的图象上，根据图中四点的位置，判断这四个点中不在函数的图象上的点是（　　） A. 点M B. 点N C. 点P D. 点Q 7. 如图，教室的水平地面上有一个倒地的簸箕，与地面的夹角，，小明同学将它扶起（绕点逆时针旋转）后平放在地面上，的对应线段为，在这一过程当中，簸箕柄绕点旋转了（ ） A. B. C. D. 8. 某校足球社团共有30名成员，他们的年龄在12岁至16岁之间，在统计全体社团成员的年龄时，14岁和15岁的人数尚未统计完全，并制作了如下面的表格，根据表格，关于全体社团成员年龄的统计量能确定的是（ ）． 年龄（单位：岁） 12 13 14 15 16 人数（单位：名） 7 11 2 A. 平均数和中位数 B. 平均数和方差 C. 众数和中位数 D. 众数和方差 9. 如图，含角的三角板的斜边与量角器的直径重合，点C和点D在量角器的半圆上，点D在量角器上的读数是，则的度数是（ ）． A. B. C. D. 10. 数轴上点A，C表示的数分别为，4．将刻度尺按如图所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，与点C对齐的刻度为，则与原点对齐的刻度为（ ） A. B. C. D. 11. 把二次函数的图象先向右平移个单位再向上平移个单位，如果平移后所得抛物线上的点到轴的距离为的点有且只有个，则应满足的条件为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在菱形框架中并排摆放着3个全等的正六边形螺母（①～③），其中①号螺母的两条边恰好在边，上，③号螺母的两条边恰好在边，上．嘉嘉和淇淇仔细观察后，得出如下结论． 结论I：菱形框架的边长恰好是正六边形螺母边长的4倍； 结论Ⅱ：换种摆法，该菱形框架中最多可以摆放4个这样的正六边形螺母． 针对结论I和Ⅱ，判断正确的是（ ） A. I和Ⅱ都对 B. I和Ⅱ都不对 C. I对Ⅱ不对 D. I不对Ⅱ对 二、填空题（共12分） 13. 若，则“”表示的数是______． 14. 如图，中，平分，交于点E，若，，则长度为______． 15. 方程的两个根分别记作，，若，则______． 16. 如图1，直线a与直线b相交于点O，点P在内部．规定：先以a为对称轴作点P关于a的对称点，再以b为对称轴作点关于b的对称点，从点P到点的变换（两次轴对称）称为“1次T变换”，经过n次T变换的过程为．若经过n次T变换后，点与点P第一次重合，我们就称n为“变换的最优值”． 例如：如图2，当时，点P经过第1次T变换得到点，点经过第2次T变换得到点，点经过第3次T变换得到点，此时点与点P第一次重合，所以为“变换的最优值”． （1）如图3，当时，______为“变换的最优值”． （2）若时，且变换的最优值，则此时为______°． 三、解答题（共72分） 17. 根据如图所示的运算程序，回答下列问题． （1）若输入，计算输出的值； （2）若输出的，求输入的最大整数的值． 18. 数学课上，老师展示了两道习题及其错误的解答过程： 习题1：因式分解：． 解： ………………第一步 ……………第二步 ……第三步 习题2：因式分解：． 解： ………………第一步 ……第二步 ………………………第三步 （1）分别写出习题1，习题2的解答过程是从第几步开始出现错误的； （2）从以上两道习题中任选一题，写出正确的解答过程． 19. 某校为了了解本校学生每天课后进行体育锻炼的时间情况，在5月份某天随机抽取了若干名学生进行调查，调查发现学生每天课后进行体育锻炼的时间都不超过100分钟，现将调查结果绘制成如下两幅尚不完整的统计图表．请根据统计图表提供的信息，解答下列问题： 组别 锻炼时间（分） 频数（人） 百分比 A 0≤x≤20 12 20% B 20＜x≤40 a 35% C 40＜x≤60 18 b D 60＜x≤80 6 10% E 80＜x≤100 3 5% （1）本次调查的样本容量是 ；表中a＝ ，b＝ ； （2）将频数直方图补充完整； （3）已知E组有2名男生和1名女生，从中随机抽取两名学生，恰好抽到1名男生和1名女生的概率是 ； （4）若该校学生共有2200人，请根据以上调查结果估计：该校每天课后进行体育锻炼的时间超过60分钟的学生共有多少人？ 20. 如图，在中，O为的中点，点E，F分别在，上，经过点O，且． （1）求证：四边形为菱形； （2）若E为的中点，，．求的长． 21. 固态电池是当下电池研发的新热点，中国某公司研发一种新固态电池，在实验室反复测试电池耗电与充电的稳定性，电池耗电过程中显示的剩余电量与耗电时间x（小时）的关系为一次函数，测试部分数据如下表： 耗电时间x（小时） 0 16 20 28 …… 显示的剩余电量 100 60 50 30 …… （1）根据上表，求显示的剩余电量与耗电时间x（小时）的函数关系式： （2）下图呈现了该电池的剩余电量与耗电时间x（小时）的函数关系：段对应电池满电状态下的第一次耗电实验；随后对该电池进行30分钟充电，对应图段；充电完成后进行第二次耗电实验，对应图段； ①依据图像信息：充电30分钟后显示的剩余电量为________； ②当该电池显示剩余电量的值为60时，求两次耗电实验过程中对应时间x（小时）？ 22. 【综合与实践】数学活动课上，老师发给每名同学一张矩形纸片（，）和一张正方形纸片（），要求同学们通过折叠，折出一些特殊角． 【操作与判断】 （1）如图1，小明将矩形纸片翻折，使点A的对应点落在边上，折痕为，此时折出的______°； （2）小刚受到小明折叠过程的启发，发现可以利用尺规作图找特殊的线段．如图2，在矩形纸片中，请你用尺规作图在边上取点T，使得，保留作图痕迹，不要求写作法； （3）小亮通过对纸片进行不同形式的折叠后，将矩形纸片按如图3所示的方式折叠，可得到______°； （4）【探究与解决】如图4，小慧将正方形纸片的沿过点H的直线翻折，点G的对应点落在正方形内部的点P处，折痕为，再将沿过点H的直线翻折，使点M的对应点与点P重合，折痕为． ①此时可得到______°；②若，求的长度． 23. 已知半圆O的直径，为半圆O的弦，且，点C在射线上，以为直径作半圆D． （1）如图1，当点C与点O重合时，连接交半圆D于点P，连接． 的度数为______；比较大小：______（填“”“ ”或“”）； （2）如图2，若与半圆D相切于点G，当时，求半圆D的半径长； （3）射线交半圆D于点，若，当两个半圆的半径之间存在2倍关系时，直接写出劣弧的长． 24. 如图是某位同学设计的电脑动画，随着音乐节奏起伏变化，屏幕上就会闪现不同的抛物线，抛物线的统一形式为，且顶点始终在直线上． （1）当，时，求抛物线的顶点坐标和的值； （2）试推断与之间的数量关系，并说明理由； （3）已知，且符合题干的抛物线顶点的横坐标为1，将抛物线向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到抛物线，且抛物线的顶点恰好也在直线上． ①求的值； ②该同学发现电脑屏幕上有一个黑点（位置固定），刚好落在平面直角坐标系中点的位置，该同学通过电脑放大功能，将抛物线横向、纵向同时放大倍得到抛物线，使点落在抛物线上（放大过程中不改变坐标原点的位置），直接写出符合条件的的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 一、选择题（每题3分，共36分） 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的比较大小．熟练掌握两个负数比较大小，绝对值大的反而小，是解题的关键． 根据“正数＞0＞负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小”判断即可． 【详解】解:两个负数比较大小，绝对值大的反而小． ． 故选B． 2. 博物馆已逐渐成为公共文化服务和城市旅游的重要阵地与有效载体．下列四幅图是我国部分博物馆的标志，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念逐项分析即可，轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故该选项不符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项不符合题意； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项不符合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故该选项符合题意． 故选：D． 3. 我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星，高度大约是21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，熟知科学记数法的一般形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：， 故选：C 4. 下列计算结果等于是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查幂的运算，合并同类项，根据合并同类项法则，同底数幂的乘除法逐一计算各选项，判断是否等于即可． 【详解】解：A、10个a相加，即，不符合题意； B、，不符合题意； C、10个a相乘，即，符合题意； D、5个相加，即，不符合题意； 故选：C． 5. 如图是由5个相同的正方体搭成的几何体，每个正方体的棱长均为，这个几何体的俯视图的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得俯视图，根据正方形的面积公式，可得答案． 【详解】解：从上面看这个几何体由四个正方形组成， ∴这个几何体的俯视图的面积是． 6. 如图，在平面直角坐标系中有，，，四个点，其中恰有三点在反比例函数的图象上，根据图中四点的位置，判断这四个点中不在函数的图象上的点是（　　） A. 点M B. 点N C. 点P D. 点Q 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象，利用的正负确定图像的位置是解题的关键． 由可得反比例函数的图象在一、三象限，故不在图像上． 【详解】解： 反比例函数的图象在第一、三象限， 又在第二象限， 四个点中点不在函数的图象上． 故选B． 7. 如图，教室的水平地面上有一个倒地的簸箕，与地面的夹角，，小明同学将它扶起（绕点逆时针旋转）后平放在地面上，的对应线段为，在这一过程当中，簸箕柄绕点旋转了（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，理解图示，根据平角，旋转角的计算即可求解． 【详解】解：如图所示，根据题意，， ∴当小明同学将它扶起（绕点逆时针旋转）后平放在地面上时，旋转角为， ∴． 8. 某校足球社团共有30名成员，他们的年龄在12岁至16岁之间，在统计全体社团成员的年龄时，14岁和15岁的人数尚未统计完全，并制作了如下面的表格，根据表格，关于全体社团成员年龄的统计量能确定的是（ ）． 年龄（单位：岁） 12 13 14 15 16 人数（单位：名） 7 11 2 A. 平均数和中位数 B. 平均数和方差 C. 众数和中位数 D. 众数和方差 【答案】C 【解析】 【分析】通过总人数计算14岁和15岁人数之和为10，众数和中位数固定，平均数和方差随未统计人数变化，无法确定. 本题考查了中位数，众数，平均数，方差，熟练掌握定义是解题的关键. 【详解】解：∵总人数30人，已知12岁7人、13岁11人、16岁2人， ∴14岁和15岁人数之和为人. ∵13岁人数11人，为最多， ∴众数为13岁. ∵数据排序后，累计到13岁为18人，第15和16个数据均在13岁组， ∴中位数为13岁. 平均年龄为，化简为，随a变化； 方差依赖平均数，故均不确定. ∴能确定的统计量是众数和中位数， 故选：C. 9. 如图，含角的三角板的斜边与量角器的直径重合，点C和点D在量角器的半圆上，点D在量角器上的读数是，则的度数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，，由题意可知，，由圆周角定理得到，得到，即可得到答案． 【详解】解：连接，， 由题意可知，， ∴， ∴， ∴． 10. 数轴上点A，C表示的数分别为，4．将刻度尺按如图所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，与点C对齐的刻度为，则与原点对齐的刻度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出对应数轴上9个单位长度，结合刻度尺上对应长度为，求出数轴1个单位长度对应刻度尺长度，即可解答． 【详解】解：∵数轴上点A表示，点C表示， ∴，即对应数轴上9个单位长度． ∵刻度尺上对应长度为， ∴数轴1个单位长度对应刻度尺长度为：， ∵原点到点A的距离为个单位长度， ∴原点对应的刻度为：． 11. 把二次函数的图象先向右平移个单位再向上平移个单位，如果平移后所得抛物线上的点到轴的距离为的点有且只有个，则应满足的条件为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的平移，解题的关键是掌握相关知识．平移后的抛物线解析式为，根据题意可得，即可求解． 【详解】解：平移后的抛物线解析式为，即， 平移后所得抛物线上的点到轴的距离为的点有且只有个， ， 解得：， 故选：C． 12. 如图，在菱形框架中并排摆放着3个全等的正六边形螺母（①～③），其中①号螺母的两条边恰好在边，上，③号螺母的两条边恰好在边，上．嘉嘉和淇淇仔细观察后，得出如下结论． 结论I：菱形框架的边长恰好是正六边形螺母边长的4倍； 结论Ⅱ：换种摆法，该菱形框架中最多可以摆放4个这样的正六边形螺母． 针对结论I和Ⅱ，判断正确的是（ ） A. I和Ⅱ都对 B. I和Ⅱ都不对 C. I对Ⅱ不对 D. I不对Ⅱ对 【答案】A 【解析】 【分析】先求出是等边三角形， 得，再分别证四边形、是平行四边形，得，即可得Ⅰ正确；通过作图可得Ⅱ正确． 【详解】解：如下图， 根据题意，得正六边形的每一个外角是，每一个内角是， ， ， ， 是等边三角形， ， 在菱形框架中并排摆放着3个全等的正六边形螺母， ， ， 在菱形中， ， ， 延长交于点J， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 故菱形框架的边长恰好是正六边形螺母边长的4倍； 可以排列如图所示， 故该菱形框架中最多可以摆放4个这样的正六边形螺母， 故选：A． 二、填空题（共12分） 13. 若，则“”表示的数是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用有理数除法运算结合倒数的定义求解． 【详解】解：由 得 ； 14. 如图，中，平分，交于点E，若，，则长度为______． 【答案】 4 【解析】 【分析】先根据角平分线的定义和平行线的性质得到 ，再根据等角对等边得到，最后利用线段的和差关系求解． 【详解】解：平分， ． ， ， ， ． ， ．  ， ． 15. 方程的两个根分别记作，，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，结合已知可得，即可求解． 【详解】解：∵方程的两个根分别记作，，， ∴ ∵， ∴ ∴ 16. 如图1，直线a与直线b相交于点O，点P在内部．规定：先以a为对称轴作点P关于a的对称点，再以b为对称轴作点关于b的对称点，从点P到点的变换（两次轴对称）称为“1次T变换”，经过n次T变换的过程为．若经过n次T变换后，点与点P第一次重合，我们就称n为“变换的最优值”． 例如：如图2，当时，点P经过第1次T变换得到点，点经过第2次T变换得到点，点经过第3次T变换得到点，此时点与点P第一次重合，所以为“变换的最优值”． （1）如图3，当时，______为“变换的最优值”． （2）若时，且变换的最优值，则此时为______°． 【答案】 ①. 6 ②. 144 【解析】 【分析】根据轴对称的性质，两次轴对称变换相当于一次旋转变换. 当时，旋转角为；当时，旋转角为．点与点第一次重合，说明次变换后的总旋转角度为，据此列式计算即可． 【详解】解：（1）由轴对称的性质可知，1次T变换相当于将点绕点旋转的角度． 当时，每次T变换旋转的角度为． 若经过次T变换后，点与点第一次重合，则旋转的总角度应为， ； （2）当时，，此时1次T变换，点绕点旋转的角度（考虑能使旋转角小于的方向作为旋转方向）为．   变换的最优值，  经过5次T变换，点旋转的总角度为， ， 解得． ，  符合题意． 三、解答题（共72分） 17. 根据如图所示的运算程序，回答下列问题． （1）若输入，计算输出的值； （2）若输出的，求输入的最大整数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入程序框图求解； （2）根据题意列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：当时， ∴输出的值为； 【小问2详解】 解：根据题意得， 解得 ∴输入的最大整数的值为． 18. 数学课上，老师展示了两道习题及其错误的解答过程： 习题1：因式分解：． 解： ………………第一步 ……………第二步 ……第三步 习题2：因式分解：． 解： ………………第一步 ……第二步 ………………………第三步 （1）分别写出习题1，习题2的解答过程是从第几步开始出现错误的； （2）从以上两道习题中任选一题，写出正确的解答过程． 【答案】（1）习题1从第二步开始出现错误，习题2从第一步开始出现错误 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据平方差公式判断习题1，再根据提出负号后括号内的每一项都要变号解答习题2； （2）分别根据平方差公式和完全平方公式解答． 【小问1详解】 习题1：第二步出现错误，应为，习题2：第一步提出负号出现错误，应为； 【小问2详解】 选择习题1写出正确解答过程： ； 若选择习题2，正确解答过程如下： ． 19. 某校为了了解本校学生每天课后进行体育锻炼的时间情况，在5月份某天随机抽取了若干名学生进行调查，调查发现学生每天课后进行体育锻炼的时间都不超过100分钟，现将调查结果绘制成如下两幅尚不完整的统计图表．请根据统计图表提供的信息，解答下列问题： 组别 锻炼时间（分） 频数（人） 百分比 A 0≤x≤20 12 20% B 20＜x≤40 a 35% C 40＜x≤60 18 b D 60＜x≤80 6 10% E 80＜x≤100 3 5% （1）本次调查的样本容量是 ；表中a＝ ，b＝ ； （2）将频数直方图补充完整； （3）已知E组有2名男生和1名女生，从中随机抽取两名学生，恰好抽到1名男生和1名女生的概率是 ； （4）若该校学生共有2200人，请根据以上调查结果估计：该校每天课后进行体育锻炼的时间超过60分钟的学生共有多少人？ 【答案】（1）60，21，30%；（2）见解析；（3）；（4）330人 【解析】 【分析】（1）由的人数除以所占百分比求出样本容量，即可解决问题； （2）将频数分布直方图补充完整即可； （3）画树状图，共有6种等可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生的结果有4种，再由概率公式求解即可； （4）由该校学生总人数乘以每天课后进行体育锻炼的时间超过60分钟的学生所占的百分比即可． 【详解】解：（1）本次调查的样本容量是：， 则，， 故答案为：60，21，； （2）将频数分布直方图补充完整如下： （3）画树状图如图： 共有6种等可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生的结果有4种， 恰好抽到1名男生和1名女生的概率为， 故答案为：； （4）（人）， 即该校每天课后进行体育锻炼的时间超过60分钟的学生共有330人． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．也考查了频数分布直方图和频数分布表． 20. 如图，在中，O为的中点，点E，F分别在，上，经过点O，且． （1）求证：四边形为菱形； （2）若E为的中点，，．求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）8 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得，再根据“角角边”证明，可得，然后说明四边形是平行四边形，最后根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”得出答案； （2）根据菱形的性质得，，再根据勾股定理求出，然后说明是的中位线，最后根据中位线的性质得出答案． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵点O是的中点， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，，即． 在中，． ∵点E是的中点，点O是的中点， ∴是的中位线， ∴． 21. 固态电池是当下电池研发的新热点，中国某公司研发一种新固态电池，在实验室反复测试电池耗电与充电的稳定性，电池耗电过程中显示的剩余电量与耗电时间x（小时）的关系为一次函数，测试部分数据如下表： 耗电时间x（小时） 0 16 20 28 …… 显示的剩余电量 100 60 50 30 …… （1）根据上表，求显示的剩余电量与耗电时间x（小时）的函数关系式： （2）下图呈现了该电池的剩余电量与耗电时间x（小时）的函数关系：段对应电池满电状态下的第一次耗电实验；随后对该电池进行30分钟充电，对应图段；充电完成后进行第二次耗电实验，对应图段； ①依据图像信息：充电30分钟后显示的剩余电量为________； ②当该电池显示剩余电量的值为60时，求两次耗电实验过程中对应时间x（小时）？ 【答案】（1） （2）①；②两次耗电过程中电量为时对应的时间分别为16小时和28.5小时 【解析】 【分析】（1）设一次函数，代入表格中两组值，解方程组求得函数关系式； （2）①代入求出第一次耗电至24小时时剩余电量，由图像得第二次耗电总时长，结合恒定耗电速率求出总耗电量，用第二次耗电结束电量加总耗电量，得充电后电量； ②第一次耗电：将代入（1）函数式求；第二次耗电：设同斜率一次函数，代入已知点求参数，再将代入求即可． 【小问1详解】 解：设显示的剩余电量与耗电时间x的函数关系式为， 由表格数据，当时，， 当时，， 代入得： 解得： 剩余电量与耗电时间x的函数关系式为； 【小问2详解】 ①由图可知，当时，， 即第一次耗电至24小时时剩余电量为， 已知充电时间为30分钟后进入第二次耗电阶段，段从开始，至时电量为， 由于耗电速率恒定（每小时），段总耗时24小时， 总耗电量为：， 故充电后初始电量为：， 即充电30分钟后显示剩余电量为； ②第一段耗电：当时， 解得：， 则即第一次耗电时，小时剩余电量为； 第二段耗电：设函数为， 代入得：， 解得： 令，则， ， 综上，两次耗电过程中电量为时对应的时间分别为16小时和28.5小时． 【点睛】本题考查一次函数实际应用，关键是确定函数表达式，结合场景分析分段函数，利用恒定耗电速率建立关系，从表格、图像提取数据求解． 22. 【综合与实践】数学活动课上，老师发给每名同学一张矩形纸片（，）和一张正方形纸片（），要求同学们通过折叠，折出一些特殊角． 【操作与判断】 （1）如图1，小明将矩形纸片翻折，使点A的对应点落在边上，折痕为，此时折出的______°； （2）小刚受到小明折叠过程的启发，发现可以利用尺规作图找特殊的线段．如图2，在矩形纸片中，请你用尺规作图在边上取点T，使得，保留作图痕迹，不要求写作法； （3）小亮通过对纸片进行不同形式的折叠后，将矩形纸片按如图3所示的方式折叠，可得到______°； （4）【探究与解决】如图4，小慧将正方形纸片的沿过点H的直线翻折，点G的对应点落在正方形内部的点P处，折痕为，再将沿过点H的直线翻折，使点M的对应点与点P重合，折痕为． ①此时可得到______°；②若，求的长度． 【答案】（1） （2）见解析 （3） （4）①；② 【解析】 【分析】（1）根据矩形纸片，得到，由折叠可得； （2）先作的垂直平分线交于，则，再以为圆心为半径画弧交于，则； （3）由矩形得到，，由折叠可得，再由勾股定理求出，得到； （4）①由折叠可得，，根据，得到； ②由折叠可得，，再在中由，得到，解方程即可． 【小问1详解】 解： ∵矩形纸片， ∴， 由折叠可得， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：如图，先作的垂直平分线交于，则，再以为圆心为半径画弧交于，则； 【小问3详解】 解：∵矩形纸片， ∴，， 由折叠可得， ∴， ∴， ∴； 【小问4详解】 解：①∵正方形纸片， ∴，， 由折叠可得，， ∵， ∴， ∴； ②由折叠可得，， ∵， ∴，， ∴，， ∵中， ∴， 解得：． 23. 已知半圆O的直径，为半圆O的弦，且，点C在射线上，以为直径作半圆D． （1）如图1，当点C与点O重合时，连接交半圆D于点P，连接． 的度数为______；比较大小：______（填“”“ ”或“”）； （2）如图2，若与半圆D相切于点G，当时，求半圆D的半径长； （3）射线交半圆D于点，若，当两个半圆的半径之间存在2倍关系时，直接写出劣弧的长． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理，垂径定理求解即可； （2）过点O作于点H，连接，，证明四边形是矩形，利用垂径定理，勾股定理求解即可； （3）分动圆的半径是定圆半径的2倍和一半这两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：以为直径作半圆D，且点C与点O重合， 所以为半圆D直径， 故， 故， 故； 【小问2详解】 解：过点O作于点H，连接，， 因为与半圆D相切于点G， 所以， 所以， 因为， 所以四边形是平行四边形， 因为， 所以四边形是矩形， 所以， 因为，， 所以， 所以， 故； 【小问3详解】 解：当点C与点O重合时，符合要求，过点O作于点S， 则， 所以， 所以， 因为，， 所以 所以， 连接， 因为为半圆D直径， 故， 故， 故； 因为， 所以， 所以是的中位线， 故， 所以， 所以， 所以长； 当点D与点A重合时，，符合要求，过点于点S， 则， 所以， 所以， 因为，， 所以 所以， 所以， 连接， 因为为半圆O直径， 故， 故， 故； 因为， 所以， 所以是的中位线， 故， 所以， 所以长． 24. 如图是某位同学设计的电脑动画，随着音乐节奏起伏变化，屏幕上就会闪现不同的抛物线，抛物线的统一形式为，且顶点始终在直线上． （1）当，时，求抛物线的顶点坐标和的值； （2）试推断与之间的数量关系，并说明理由； （3）已知，且符合题干的抛物线顶点的横坐标为1，将抛物线向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到抛物线，且抛物线的顶点恰好也在直线上． ①求的值； ②该同学发现电脑屏幕上有一个黑点（位置固定），刚好落在平面直角坐标系中点的位置，该同学通过电脑放大功能，将抛物线横向、纵向同时放大倍得到抛物线，使点落在抛物线上（放大过程中不改变坐标原点的位置），直接写出符合条件的的值． 【答案】（1）抛物线的顶点坐标为， （2） （3）①；②的值为或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数应用，位似图形的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）根据抛物线的顶点坐标公式，求得顶点坐标为，再将代入正比例函数解析式，即可求解； （2）根据题意可得，可得顶点坐标，再设抛物线的解析式为，从而可得抛物线 的解析式，结合顶点在上，即可得解； （3）依据题意，由①得抛物线的顶点坐标为，又将抛物线横向、纵向同时放大倍后，可得顶点坐标为，从而抛物线将点代入，即可求解． 【小问1详解】 解：， ， 抛物线的顶点坐标为， 将代入得 ； 【小问2详解】 与之间的数量关系为．理由如下： 由题意，顶点始终在直线上， ∴ ， ． 与之间的数量关系为． 【小问3详解】 ①由题意，， ． 抛物线顶点的横坐标为， 顶点的纵坐标为． 设抛物线的解析式为 抛物线 的解析式为 抛物线 的顶点坐标为 在上 ． ②由①得抛物线的顶点坐标为． 将抛物线横向、纵向同时放大倍后， 顶点坐标为． 抛物线 将点代入得 解得： ∴的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $