第11章 二次根式 单元测试 2025-2026学年苏科版八年级数学下册

**基本信息** 《二次根式》单元卷，覆盖定义、性质、运算及应用，通过基础巩固、规律探究、实际应用等层次设计，培养抽象能力、运算能力与模型意识，适配单元复习检测。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|二次根式定义（第1题）、性质辨析（第6题）、估值（第3题）|结合几何直观（第5题矩形面积）| |填空题|8|有意义条件（第9题）、同类根式（第11题）、化简求值（第16题）|注重概念辨析与运算准确性| |解答题|9|混合运算（第17题）、错误辨析（第18题）、规律探究（第22题）、数形结合（第25题）|突出推理意识与模型应用，如第25题通过构造图形解决最值问题|

第11章《二次根式》单元测试卷 一、单选题 1．下列式子中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．估计的值应在（   ）之间 A．3和4 B．4和5 C．5和6 D．6和7 4．已知，则的值为（   ） A．3 B． C．2 D． 5．如图，在矩形中无重叠地放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（    ） A． B． C． D． 6．有下列各式：①；②；③；④．如果，那么等式成立的是（    ） A．①② B．①④ C．①③ D．①②④ 7．已知等式成立，化简的结果为（   ） A． B． C． D．4 8．化简后等于（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_____． 10．计算_____ 11．与最简二次根式是同类二次根式，则______． 12．已知，，=______ 13．一个面积为的三角形，若其底边长为，则该底边上的高为_________． 14．计算的结果为__________． 15．若，，则用含a，b的式子表示为________． 16．已知，则=______． 三、解答题 17．计算： (1) (2) (3) (4)（，） 18．老师让同学们化简，两名同学得到的结果不同，请你检查他们的化简过程，指出谁的做法是错误的及错误的步骤，并改正． 小丽的做法： ①②③④ 小明的做法： ①②③④ 19．先化简，再求值：－，其中x＝＋1，y＝－1. 20．有一块长方形木板，现将木板的长增加（即），宽增加（即）．得到一个面积为的正方形．求长方形木板的面积． 21．已知实数、、在数轴上的对应点如图所示． (1)化简：____________，____________； (2)化简：． 22．观察下列各式： ； ； ； ． 请你根据上面四个等式提供的信息，猜想： (1)__________； (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用（为正整数）表示的等式：_____； (3)利用上述规律计算：． 23．课堂上，老师讲解了一道题：比较与的大小．解法如下： 解：． ，，，． 我们把这种比较大小的方法称为作差法．请根据以上材料，利用作差法比较实数与的大小． 24．已知，将其分母有理化． 小明同学是这样解答的：请你参考小明的化简方法，解决如下问题： (1)直接写答案：________ (2)计算：； (3)若，求的值． 25．综合与实践 【问题背景】 “数形结合”是数学中重要的思想方法之一，在遇到一些具备一定特征的代数问题时，有时会将其转化为更直观的几何问题解决．例如：已知，是正数，且，求的最小值．如图，令线段，其中，，然后构造和，使，，则，，因此，当点、、三点共线时，如图，的值最小． (1)【解决问题】已知，是正数，且，则的最小值为 ； (2)【实践探究】已知，是正数，且，求的最小值；（请画出示意图并求解） (3)【拓展应用】求的最小值为 （直接写出答案）． 第1页 第1页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【详解】解：∵ 选项A中，被开方数，无意义， ∴A不符合要求； ∵ 选项B中，当时，，无意义， ∴B不符合要求； ∵ 对任意实数，都有，可得，被开方数恒为正数，满足二次根式要求， ∴一定是二次根式，C符合要求； ∵选项D中，当时，无意义， ∴D不符合要求． 2．B 【详解】解：A、，选项计算错误； B、，选项计算正确； C、，选项计算错误； D、左边，右边，由可知选项计算错误． 3．B 【详解】； ∵， 又∵， ∴， 即． ∴， 即． ∴原式的值在4和5之间． 4．C 【详解】解：由题意得， 解得， ∴， ∴． 5．D 【详解】解：两张正方形纸片的面积分别为和 它们的边长分别为 ， 空白部分的面积 ． 故选：D． 6．B 【详解】解：∵，， ∴，． 对于①：，成立，故①符合题意； 对于②：中 ，但由于，，因此和在实数范围内无意义，故不成立，故②不符合题意； 对于③：， ∵，∴，原等式化为，只有当时，才成立，所以该等式不恒成立，故③不成立，故③不符合题意； 对于④：， ∵，∴，成立，故④符合题意； ∴等式成立的是①④． 7．D 【详解】解：根据二次根式的除法法则，由等式成立，可得： ，解得：． 化简： ①： ∵， ∴，故． ② ∵， ∴． ∴． 故选：D． 8．C 【详解】解：∵被开方数非负， ∴， ∵， ∴，即， ∴且， ∴， 故选：C． 9． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，可知，解得． 10．−7 【详解】解：． 11． 【详解】解：，且与最简二次根式是同类二次根式， ， 移项得， 系数化为得． 12．8 【详解】解：∵，， ∴， ∴ 故答案为：． 13． 【详解】解：设该底边上的高为， 整理计算得： 14． 【详解】原式 = = = = = = ． 故答案为：． 15． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 16． 【详解】解：∵， ∴a、b均为负数， ∴． 17．(1) (2) (3)5 (4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 18．小明的做法是错误的，错误的步骤是③，改正见解析 【详解】解：小明的做法是错误的，错误的步骤是③，分子分母需同时乘以． 改正： ． 19．-1 【详解】原式=， ∵， ∴， ∴原式=. 20． 【详解】解： 正方形的面积为， 正方形的边长为， ， ， 又 四边形是正方形， ， ， ， 又， ， 长方形的面积为． 21．(1)， (2) 【详解】（1）解：由数轴可知，， ，， ，； （2）解：由数轴可知，， ，， ． 22．(1)， (2) (3) 【详解】（1）解：， 故答案为：，； （2）解：； 故答案为：； （3）解：原式． 23． 【详解】解：． ， ， ， ， ． 24．(1) (2)44 (3)3 【详解】（1）解：． （2）解：原式 ． （3）解：∵， ∴． 25．(1) (2) (3) 【详解】（1）解：根据题意可知，、、三点共线时，的值最小，即为可取到的最小值， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 故的最小值为． （2）解：如图，构造和，使，，， 过点作，交的延长线于点， 设，， ，， ， 据图可知，当点、、三点共线时，的值最小，最小值为， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 故的最小值为． （3）解：如图，构造和，使，，，过点作，交的延长线于点， 设，则， ，， ， 据图可知，当点、、三点共线时，的值最小，最小值为， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 故的最小值为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $