第11章《二次根式》单元测试 2025--2026学年苏科版八年级数学下册

**基本信息** 苏科八下《二次根式》单元卷，通过选择、填空、解答题（8/8/9题，24/24/72分）覆盖概念、运算、应用，适配单元复习，突出核心素养与分层设计。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|二次根式概念、自变量范围、同类二次根式|基础概念辨析，如判断二次根式个数（题1）| |填空题|8/24|最简二次根式、大小比较、规律探究|结合几何情境（题13正方形阴影面积）| |解答题|9/72|运算、新定义、实际应用（摆钟周期）、综合探究（秦九韶公式）|分层设计，如实际问题（题21）与跨学科探究（题25），体现运算能力与推理意识|

苏科八下第11章《二次根式》单元测试 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A D A D B C A 1．C 【分析】二次根式的定义为：形如的式子叫做二次根式，需要同时满足根指数为2、被开方数非负两个条件，逐个判断统计个数即可． 【详解】解：∵的根指数为2，且，满足条件，∴是二次根式； ∵的被开方数，不满足条件，∴不是二次根式； ∵的根指数为3，不满足条件，∴不是二次根式； ∵的根指数为2，且，满足条件，∴是二次根式； ∵的根指数为2，且，满足条件，∴是二次根式； 综上，符合条件的二次根式共3个． 2．A 【分析】根据二次根式被开方数非负、分式分母不为零的要求，列不等式求解即可得到结果． 【详解】解：函数的自变量应满足，解得， ∴自变量的取值范围是． 3．D 【分析】先将各二次根式化简为最简二次根式，再比较被开方数，被开方数相同的即为同类二次根式． 【详解】解：A选项，，，化简后被开方数都是， ∴是同类二次根式，故A不符合题意； B选项，，，化简后被开方数都是， ∴是同类二次根式，故B不符合题意； C选项，，，化简后被开方数都是， ∴是同类二次根式，故C不符合题意； D选项，是最简二次根式，被开方数为，，被开方数为，， ∴不是同类二次根式，故D符合题意． 4．A 【分析】依据运算程序列出算式，按顺序进行计算即可． 【详解】解：由题意，得 ． 5．D 【详解】解：A．∵二次根式中被开方数必须为非负数，与无意义，∴A错误； B．∵，∴ B错误； C．∵，∴C错误； D．∵，∴D正确． 6．B 【分析】先将化简为，然后估算即可． 【详解】解： ， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴在6和7之间． 7．C 【分析】根据进行化简，由，在数轴上的位置，，先判断，的符号，然后求解即可． 【详解】解： 由图可知，， 所以， 又因为， 所以， 所以， 所以． 8．A 【分析】先根据无理数的估算得出，再根据定义得出，，最后再代入利用平方差公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴ 9．2 【分析】根据最简二次根式的定义，被开方数需为非负数，且不含能开得尽方的因数，据此求解即可． 【详解】解：∵是最简二次根式， ∴被开方数的值需为不含完全平方因数的正整数， ∴可令， 解得（答案不唯一）． 10． 【分析】通过作差法，将两个数通分后比较分子的大小，从而判断两个数的大小关系． 【详解】解： ，， ， ， ， ， ． 11． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 12． 【详解】解：． 13． 【分析】先设三个正方形的边长，再根据图形关系用“大长方形面积减去两个白色正方形面积”表示阴影部分面积，代入边长的具体数值后，通过整式运算与根式化简，最终算出阴影面积为． 【详解】解：设正方形的边长分别为，， ， 观察图形可得：阴影部分面积右侧大长方形面积减去两个白色正方形的面积， 右侧大矩形的高等于正方形的边长，宽等于， ∴阴影面积公式为： ． 14． 【分析】由题意可得，，，再将所求式子进行因式分解，最后整体代入计算即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴ ． 15． 【分析】通过观察给定等式，发现规律为对于正整数n，有．根据此规律，令，求出a和b的值，进而计算． 【详解】解：由规律可得：， 当时，式子为， ∵， ∴，， ∴． 16．方案4 【分析】分别计算出四种方案中天然气管道的长度，然后比较大小即可得解． 【详解】解：设的边长为2，每种方案中天然气管道的长度为， 方案1，， 方案2，∵点D为边的中点，为等边三角形， ∴，， ∴， ， 方案3，， 方案4，∵为等边三角形，点O为三边垂直平分线的交点，延长交于点， ∴，，， ∴，，， ∴ ∴， ∴ ， ∵ ∴方案4中天然气管道总长最短． 17．(1) (2) 【分析】（1）括号后合并同类二次根式即可； （2）利用完全平方公式和平方差公式展开后，再合并同类项得到结果. 【详解】（1）解： （2）解： 18．(1) (2)2 【分析】（1）根据公式直接代入计算即可； （2）根据公式直接代入计算 【详解】（1）解：． （2），， ． 19．，值为5 【分析】本题考查了分式的化简求值，涉及了分式的四则运算以及二次根式的运算，解题的关键是掌握相关运算法则． 先根据分式的四则运算法则对式子进行化简，再将，代入求解即可． 【详解】解：， , ， ； ∵ 则原式． 20．(1)见解析 (2) 【分析】（1）由题意“构造对偶式”，解得其值为，结合题目所给条件即可证明； （2）由题意构造“构造对偶式”，解得其值为8，结合题目所给条件得，和联立即可解答． 【详解】（1）证明：， ， ， 即为定值； （2）解：， ， ， ， 得，，即：， 两边平方得，，解得：， 经检验，是原方程的解． 21．(1) (2)该摆钟需要返厂维修，见解析 【分析】（1）把代入求解即可． （2）把代入求出，然后与相比即可求解． 【详解】（1）解：把代入得：． （2）解：把代入得：， 解得， ∵， 所以该摆钟需要返厂维修． 22．(1)， (2)所有满足条件的有,,； (3) 【分析】（1）依照例题求解即可； （2）由（1）的结论知，求得，根据，均为正整数，分情况讨论即可求解； （3）利用完全平方公式求得，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，且， ∴，； （2）解：∵， 由（1）的结论知， ∴， ∵，均为正整数， ∴的正整数解有，，或，或，； 当，时，，此时； 当，时，，此时； 当，时，，此时； 综上，所有满足条件的有,,； （3）解：， ∵， ∴． 23．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题干的式子，总结规律，即可作答． （2）先运用式子规律化简括号内，再运算二次根式的乘法运算，即可作答． （3）先把原式的每个项进行分母有理化，再进行二次根式的加法运算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，； （2）解： ． （3） ． 24．(1)①；②B；③ (2)①，；② 【分析】（1）①由，再代入计算即可；②由表格信息总结归纳可得答案；③由表格信息总结归纳可得答案； （2）①由（1）的结论可得当时，代数式取得最大值；②由，可得当最大，则最大，结合，，可得当时，最大，最大值为，从而可得答案． 【详解】（1）解：①； ②当时，，， ∴， 当时，， ， ∴ ， ∴ ， ③当时，，， ∴当，满足条件时，； （2）解：①， ，， 结合（1）中结论可得，当时，代数式取得最大值； ，最大值为； ②在中，，， ， ， 当最大，则最大， ，结合（1）中结论可得，， 当时，最大，最大值为， 此时，， 周长的最大值为：． 25．(1)①；②； (2)； (3)见解析； (4)见解析． 【分析】（1）①代入海伦公式求解即可； ②设，则，由勾股定理得，，则，求出即可求解； （2）设，则，由勾股定理得，求出，即可得出答案； （3）根据三角形面积公式，再把代入即可得出结论； （4）根据平方差公式得到，令，得到，，，，再得到，再代入即可得出结论． 【详解】（1）解：①∵的三边的长依次为5、6、7，即， ∴， ∴ ； ②设，则， 在中，， 在中，， ∴， 整理得：， 解得：， ∴； （2）解：如图： 设，则， 在中，， 在中，， ∴， 整理得：， ∴， 将代入，得： ； （3）解：如图： 根据三角形面积公式可得： ， 即； （4）解： ， 令， ∴， ， ， ， ∴， ∴ ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏科八下第11章《二次根式》单元测试 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求） 1．下列式子中：，，，，，二次根式的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．函数的自变量的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 3．下列各组二次根式中，不是同类二次根式的是（   ）． A．与 B．与 C．与 D．与 4．如图，这是一个程序框图．若输入x的值为12，则输出y的值为（   ） A． B． C． D． 5．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．估计的值应在（   ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 7．实数，在数轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为（   ） A． B． C． D． 8．定义：不大于数a的最大整数称为它的整数部分．设的整数部分为a，小数部分为b，则的值为（   ） A．1 B． C．6 D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．若是最简二次根式，请写出一个符合条件的m的值：________． 10．比较大小：______（填，或）． 11．已知，则的值为______． 12．若，用含的式子表示为___________． 13．如图，正方形的边长分别为，和．则图中阴影部分的面积为______． 14．已知，，求的值_____． 15．小明做数学题时，发现：；；；；…；按此规律，若（，为正整数），则______． 16．有甲、乙、丙三个村庄分别位于等边的顶点，在城中村改造时，为保护环境，改善居民的生活条件，政府决定铺设能够连接这三个村庄的天然气管道．设计人员给出了如图四个设计方案（点D为边的中点，点O为三边垂直平分线的交点，实线表示天然气管道），其中天然气管道总长最短的是方案______． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分）计算： (1)； (2)． 18．（6分）对于任意的正数m，n，定义运算“”： (1)计算的结果； (2)计算的结果． 19．（6分）先化简，再求值：，其中，． 20．（8分）阅读材料：已知，求的值． 小明同学是这样解答的： ∵， 又∵， ∴． 这种方法称为“构造对偶式”． 解答问题： (1)已知，试证明为定值． (2)已知，求的值． 21．（8分）某数学学习兴趣小组研究摆钟的“滴答”声与摆长的关系．查阅资料得知：摆钟的摆球来回摆动一次的时间叫做一个周期，它每摆动一个周期发出一次“滴答”声．摆钟的周期计算公式是，其中T表示周期（单位：），表示摆线长（单位：），g取取3．若已知一台摆钟原来的摆线长为． (1)求这台摆钟正常工作时的摆动周期； (2)该摆钟长期使用后零件老化，摆动周期变为1.5秒，请问这台摆钟需要返厂维修吗？请说明理由．（注：当实际摆线长与原摆线长相差超过时，需要返厂维修．） 22．（8分）东东在学习完二次根式后，发现一些含二次根式的式子可以写成另一个式子的完全平方，如式子，东东继续探究：设（其中，，，均为正整数），即有，则可得，东东就找到了把写成一个完全平方式的方法．根据以上信息完成下列问题： (1)若，，，均为正整数，，请用含，的式子分别表示，； (2)若（其中，，均为正整数），求所有满足条件的数； (3)化简：________．（将结果直接填写在答题卡上） 23．（8分）观察下列各式的计算过程，寻找规律： ； 利用发现的规律解决下列问题： (1)化简式子 ；（为正整数）． (2)直接写出式子的值： ； (3)计算：；（为正整数）． 24．（10分）按要求解答问题： (1)【新知探究】 对于正数，，我们称为，的算术平均数，称为，的几何平均数．请观察下面的表格，并解答下面的问题： ，的值 的值 的值 ， ， ， ， ①表格中的___________； ②根据表格，猜想与的大小关系（    ） A．    B．    C．    D． ③当，满足条件：___________时，； (2)【理解应用】 ①已知，，当__________时，代数式取得最大值是__________； ②如图，已知，在中，，，求周长的最大值． 25．（12分）综合与探究 问题情境：我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为秦九韶公式：三角形的三边长分别为a，b，c则其面积．此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，海伦公式：记，则其面积． (1)如图1，的三边的长依次为5、6、7， ①利用上面其中一个公式求的面积． ②请利用勾股定理求出的高的长度． (2)如图2，锐角的三边的长依次为a、b、c，请仿照第（1）问利用勾股定理求出高的长度（用含有a、b、c表达）． (3)在（2）的条件下，证明秦九韶公式． (4)通过秦九韶公式推导出海伦公式． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $