函数与导数：指对幂比较大小、指对幂函数的实际应用问题专项训练-2026届高三数学三轮冲刺

函数与导数：指对幂比较大小、指对幂函数的实际应用问题专项训练 函数与导数：指对幂比较大小、指对幂函数的实际应用问题专项训练 考点目录 指对幂比较大小 指对幂函数的实际应用问题 考点一 指对幂比较大小 例1．（25-26高三上·安徽·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造且，并应用导数得到，结合即可得. 【详解】令且，则， 所以在上单调递减，则， 即， 由于， 且， 所以， 所以. 例2．（25-26高二下·四川成都·期中）已知，，，其中为自然常数（），则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数 ，将问题转化为比较函数值大小即可. 【详解】设，可得，，， 对求导得，令，解得； 当时，，即，在上单调递减. 因为，由单调性得 ，即 . 例3．（25-26高二下·湖北武汉·期中）令，，，则下列大小排列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，则， 所以在上单调递增，所以， 令，则，即，所以， 令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以，即（当且仅当取等号）， 令，则， 令，则， 所以在上单调递减，即， 令，得，即， 所以，即， 综上． 例4．（2026·安徽合肥·二模）设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，，找出中间值，借助对数运算可得，合理放缩计算可得，则可得，即有，综上即可得解. 【详解】由，，则，， 由，则，即， 由，则，即， 故； 由，则， 即，即； 综上可得：. 变式1．（25-26高二下·江苏南京·月考）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过构造函数，将、、转化为函数值，对函数求导确定其在时单调递减，再根据自变量大小比较函数值大小. 【详解】由题意设函数， 则，，， 又因为（）， 令，得， 所以当时，，单调递减， 又因为，且都在递减区间， 所以，即. 变式2．（25-26高二下·河北邢台·月考）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，根据导数与单调性关系即可证出，再根据对数函数单调性得到，即可得证. 【详解】令，则，而， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增． 故在上恒成立，即， 令，则，故，． 综上，． 变式3．（2026·天津东丽·一模）已知则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数、对数函数单调性比较大小 【详解】，因为在上单调递减，所以，即， 在上单调递增，所以，即， ，因为在上单调递增，所以，所以， 所以 变式4．（2026·辽宁鞍山·模拟预测）设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数、对数函数以及余弦函数的单调性分析可知. 【详解】，即， ，即， ，则，可得， 即，所以，即. 考点二 指对幂函数的实际应用问题 例1．（2026·江西宜春·模拟预测）某AI模型对图像中目标识别的准确率与训练样本量的关系为，当识别的准确率达到时，的值约为（参考数据：）（    ） A．1152 B．1386 C．1560 D．1842 【答案】A 【分析】根据题意列出方程，根据指数与对数互化及指数函数的单调性求解即可． 【详解】令，解得， 因为，所以，则的值约为． 例2．（2026·湖北十堰·二模）冷链物流是指冷藏冷冻类物品在生产、贮藏、运输、销售到消费前的各个环节中始终处于规定的低温环境下，以保证物品质量、减少损耗的系统工程.主要包括初级农产品（如蔬菜、水果、肉禽蛋等）、加工食品（如速冻食品、冰淇淋等）和特殊商品（如药品等）.已知某蔬菜的保鲜时间y（单位：小时）与贮藏温度x（单位：℃）之间满足：（其中a，b为常数）.若该蔬菜在贮藏温度为9℃的环境下保鲜时间为261小时，在23℃的环境下保鲜时间为29小时，且该蔬菜所需物流时间为87小时，则该蔬菜在物流过程中的贮藏温度不能超过（   ） A．12℃ B．14℃ C．16℃ D．18℃ 【答案】C 【分析】利用已知条件求出指数函数的参数，再通过不等式求解温度范围. 【详解】已知保鲜时间与贮藏温度的关系为（为常数）. 当时，，代入得：① 当时，，代入得：② 将①②化简可得：，即，解得：， 代入①式求得：， 由题意，即：，即， 则，将代入：， 化简可得： ，当指数大于等于零时不等式成立，即 ，解得：. 所以该蔬菜在物流过程中的贮藏温度不能超过. 例3．（2026·河北秦皇岛·模拟预测·多选）地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定，一般采用里氏震级标准.里氏震级的计算公式为（其中常数是距震中100公里处接收到的0级地震的地震波的最大振幅，是指我们关注的这次地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅）.地震的能量（单位：焦耳）是指当地震发生时，以地震波的形式放出的能量.已知，其中为地震震级.下列说法正确的是（    ） A．若地震震级增加1级，则最大振幅增加到原来的10倍 B．若地震震级增加2级，则放出的能量增加到原来的20倍 C．若最大振幅增加到原来的10倍，则放出的能量增加到原来的倍 D．若最大振幅增加到原来的100倍，则放出的能量也增加到原来的100倍 【答案】AC 【分析】本题首先要读懂公式，然后根据题意合理代入数据进行对数运算对选项进行一一检验即可得到答案. 【详解】设为地震震级加1级的地震震级，新的地震的能量，新的最大振幅为， 设为地震震级加2级的地震震级，新的地震的能量， 因为，所以，故A正确； 因为， 所以，所以B错误； 因为， 所以， 所以C正确； 因为， 所以， 所以D错误. 故选：AC. 例4．（24-25高三下·青海玉树·开学考试·多选）Cobb-Douglas生产函数是宏观经济学和微观经济学中最常用的生产函数之一，函数的数学形式为，其中是总产出，是资本存量，是劳动力，是技术参数，是资本和劳动的产出弹性.当不变时，下列说法正确的是（    ） A．若与均变为原来的倍，且，则变为原来的倍 B．若与均变为原来的倍，且则最少可变为原来的倍 C．若与均变为原来的倍，且，则最少可变为原来的倍 D．若均不变，则函数的增长速度越来越慢 【答案】ABD 【分析】由，得，代入判断A；利用基本不等式判断B；利用判断C；利用导函数的单调性判断D. 【详解】由题意可知，， 当时，，故A对； 当时，，所以， 当且仅当时，取等号，故B对； 当时，因为，所以， 当且仅当时，取等号，故C错； 若均不变，是的函数，且， 因为，所以是减函数，故D对； 故选：ABD. 例5．（2026·宁夏银川·模拟预测）在冷链物流中，某蔬菜的保鲜时间（单位：小时）与贮藏温度（单位：℃）之间满足：（其中，为常数）.若该蔬菜在贮藏温度为的环境下保鲜时间为小时，在的环境下保鲜时间为小时.若该蔬菜运输总物流时间为小时，为保障运输安全，要求保鲜时间不少于运输时长的倍，则该蔬菜在物流过程中的贮藏温度的最大整数数值为________.（参考数据：，，） 【答案】 【分析】把与的值直接代入得到关于、的方程组，解出参数的值；根据保鲜的实际要求列出不等式；对其两边取自然对数转化为不等式，结合的值即可解出的取值范围，并从中确定的最大数值. 【详解】已知保鲜时间与贮藏温度的关系为（，为常数）. 当时，，代入得①， 当时，，代入得②， 将①②化简可得，即，解得， 由运输要求，即， 又因，所以 ， 即 ，而， 其中 ， 所以， 代入可得，因此， 解得. 所以该蔬菜在物流过程中的贮藏温度最大整数值为. 例6．（2025·云南·模拟预测）马赫数是飞行器的运动速度与音速的比值．在不考虑空气阻力的前提下，某飞行器的最大速度（单位：）与燃料的质量（单位：）和飞行器（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是．已知质量为的飞行器所处高空的音速为，若燃料的质量分别为和时，最大速度对应的马赫数分别为1和11，则___________． 【答案】 【分析】由题意可得，计算可求得的值. 【详解】依题意，， 即0.2， 即，，则． 故答案为：. 变式1．（2026·吉林·二模）一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度（单位：）关于时间（单位：）的函数解析式为（为参数）.已知刚开始退潮时水面高度为，若从到，水面高度下降了，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【详解】由题意可得，解得．令， 即，化简得，解得（舍去）． 变式2．（2026·北京通州·一模）在深度学习模型训练中，模型的训练损失值会随训练轮次增加而逐渐下降．当损失值低于初始损失值的时就要对模型进行调整，假设某深度学习模型的训练损失值（为初始损失值，t为训练轮次，k为衰减系数），已知训练到第10轮时（当时），训练损失值降至初始损失值的，则训练到第几轮就要对模型调整（参考数据）（   ） A．24 B．35 C．47 D．100 【答案】C 【分析】由题意可得，将代入，解得，再将代入，由求解即可. 【详解】因为，所以当时，， 即，解得，即， 所以，所以， 所以，解得， 所以训练到第47轮就要对模型调整. 变式3．（25-26高三下·陕西西安·开学考试·多选）蜥蜴的体温与阳光照射的关系式近似为（k为参数），其中为蜥蜴的体温（单位：℃），t为太阳落山后的时间（单位：min）.已知太阳刚落山时，蜥蜴的体温为39℃，下列结论正确的是（    ） A．太阳落山后，蜥蜴的体温始终高于15℃ B．太阳落山后的5min内，蜥蜴的体温始终高于28℃ C．从到，蜥蜴的体温下降了6℃ D．存在太阳落山后的a时刻，使得从到，蜥蜴的体温下降15℃ 【答案】AC 【详解】因为太阳刚落山时，蜥蜴的体温为，所以，解得. 因为，所以，所以太阳落山后，蜥蜴的体温始终高于，A正确. 函数在上单调递减，，所以太阳落山后的5min内，蜥蜴的体温始终不低于，B错误. ，，从到，蜥蜴的体温下降了，C正确. 令，即15，化简得，该方程的两个根为负数， 所以不存在太阳落山后的时刻，使得从到，蜥蜴的体温下降，D错误. 变式4．（2026·河南南阳·模拟预测·多选）在物理学中，声音的强弱叫做响度，单位为宋（sone），响度级为响度的相对量，它反映了人耳依据声压和频率对声音做出的主观响度感受，单位为方（phon），实验发现，响度级LN与响度的关系式为，则（    ）（参考数据：） A．响度级每增加10方，响度约增加一倍 B．响度级为40方，响度为1宋 C．当响度为2宋时，响度级约为45方 D．当响度为8宋时，响度级约为70方 【答案】ABD 【分析】根据给定的函数模型，结合对数运算性质逐项求解判断. 【详解】对于A，响度级增加10方对应的响度为，则， 因此，即，则响度级每增加10方，响度约增加一倍，A正确； 对于B，当时，，则，B正确； 对于C，当时，，解得，C错误； 对于D，当时，，解得，D正确. 故选：ABD 变式5．（2025·四川眉山·模拟预测）某工厂生产某零件，2025年8月共生产该零件1万件，根据市场需求，计划这之后每月的产量在前一个月的产量的基础上增加20%，则2025年10月该工厂这种零件的产量为______万件，2026年2月该工厂这种零件的产量______（填“能”或“不能”）超过3万件.（参考数据：，） 【答案】 1.44 不能 【分析】由题可得第n个月产量的表达式，据此可得的结果；求出2026年2月该工厂这种零件的产量，利用指数式和对数式的互化，以及对数的运算，即可求解. 【详解】记2025年8月为第1个月，该工厂这种零件的产量为， 则第个月该工厂这种零件的产量为，由题意可得（万件）. 2025年10月为第3个月， 则2025年10月该工厂这种零件的产量为. 2026年2月为第7个月，， 因为， 所以. 故答案为：1.44；不能 变式6．（2026·上海奉贤·模拟预测）1798年，人口学家马尔萨斯假设：单位时间内的人口增长量与人口数成正比，进而建立马尔萨斯人口增长模型.19世纪中叶的生物学家们发现，由于人类生存条件的限制，存在人口最大瞬时增长率，当达到时，人口增长率会随着的增长而下降，因此需要改进马尔萨斯的假设．他们假设：①是随着时间连续变化的函数；②存在最大人口数，人口数达到时，；③仅与和有关；④，那么在这些条件下建立的人口增长模型___________．（用含有、、的式子表示） 【答案】 【分析】根据题意，当时，得到，求得，结合，代入化简得到，即可得到答案. 【详解】根据假设，可得， 当时，，代入可得，解得， 由单位时间内的人口增长量与成正比，可得， 将，代入可得， 所以假设下建立的人口增长模型. 故答案为：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $函数与导数：指对幂比较大小、指对幂函数的实际应用问题专项训练 函数与导数：指对幂比较大小、指对幂函数的实际应用问题专项训练 考点目录 指对幂比较大小 指对幂函数的实际应用问题 考点一 指对幂比较大小 例1．（25-26高三上·安徽·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二下·四川成都·期中）已知，，，其中为自然常数（），则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二下·湖北武汉·期中）令，，，则下列大小排列正确的是（   ） A． B． C． D． 例4．（2026·安徽合肥·二模）设，，，则（   ） A． B． C． D． 变式1．（25-26高二下·江苏南京·月考）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二下·河北邢台·月考）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 变式3．（2026·天津东丽·一模）已知则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 变式4．（2026·辽宁鞍山·模拟预测）设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 考点二 指对幂函数的实际应用问题 例1．（2026·江西宜春·模拟预测）某AI模型对图像中目标识别的准确率与训练样本量的关系为，当识别的准确率达到时，的值约为（参考数据：）（    ） A．1152 B．1386 C．1560 D．1842 例2．（2026·湖北十堰·二模）冷链物流是指冷藏冷冻类物品在生产、贮藏、运输、销售到消费前的各个环节中始终处于规定的低温环境下，以保证物品质量、减少损耗的系统工程.主要包括初级农产品（如蔬菜、水果、肉禽蛋等）、加工食品（如速冻食品、冰淇淋等）和特殊商品（如药品等）.已知某蔬菜的保鲜时间y（单位：小时）与贮藏温度x（单位：℃）之间满足：（其中a，b为常数）.若该蔬菜在贮藏温度为9℃的环境下保鲜时间为261小时，在23℃的环境下保鲜时间为29小时，且该蔬菜所需物流时间为87小时，则该蔬菜在物流过程中的贮藏温度不能超过（   ） A．12℃ B．14℃ C．16℃ D．18℃ 例3．（2026·河北秦皇岛·模拟预测·多选）地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定，一般采用里氏震级标准.里氏震级的计算公式为（其中常数是距震中100公里处接收到的0级地震的地震波的最大振幅，是指我们关注的这次地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅）.地震的能量（单位：焦耳）是指当地震发生时，以地震波的形式放出的能量.已知，其中为地震震级.下列说法正确的是（    ） A．若地震震级增加1级，则最大振幅增加到原来的10倍 B．若地震震级增加2级，则放出的能量增加到原来的20倍 C．若最大振幅增加到原来的10倍，则放出的能量增加到原来的倍 D．若最大振幅增加到原来的100倍，则放出的能量也增加到原来的100倍 例4．（24-25高三下·青海玉树·开学考试·多选）Cobb-Douglas生产函数是宏观经济学和微观经济学中最常用的生产函数之一，函数的数学形式为，其中是总产出，是资本存量，是劳动力，是技术参数，是资本和劳动的产出弹性.当不变时，下列说法正确的是（    ） A．若与均变为原来的倍，且，则变为原来的倍 B．若与均变为原来的倍，且则最少可变为原来的倍 C．若与均变为原来的倍，且，则最少可变为原来的倍 D．若均不变，则函数的增长速度越来越慢 例5．（2026·宁夏银川·模拟预测）在冷链物流中，某蔬菜的保鲜时间（单位：小时）与贮藏温度（单位：℃）之间满足：（其中，为常数）.若该蔬菜在贮藏温度为的环境下保鲜时间为小时，在的环境下保鲜时间为小时.若该蔬菜运输总物流时间为小时，为保障运输安全，要求保鲜时间不少于运输时长的倍，则该蔬菜在物流过程中的贮藏温度的最大整数数值为________.（参考数据：，，） 例6．（2025·云南·模拟预测）马赫数是飞行器的运动速度与音速的比值．在不考虑空气阻力的前提下，某飞行器的最大速度（单位：）与燃料的质量（单位：）和飞行器（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是．已知质量为的飞行器所处高空的音速为，若燃料的质量分别为和时，最大速度对应的马赫数分别为1和11，则___________． 变式1．（2026·吉林·二模）一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度（单位：）关于时间（单位：）的函数解析式为（为参数）.已知刚开始退潮时水面高度为，若从到，水面高度下降了，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 变式2．（2026·北京通州·一模）在深度学习模型训练中，模型的训练损失值会随训练轮次增加而逐渐下降．当损失值低于初始损失值的时就要对模型进行调整，假设某深度学习模型的训练损失值（为初始损失值，t为训练轮次，k为衰减系数），已知训练到第10轮时（当时），训练损失值降至初始损失值的，则训练到第几轮就要对模型调整（参考数据）（   ） A．24 B．35 C．47 D．100 变式3．（25-26高三下·陕西西安·开学考试·多选）蜥蜴的体温与阳光照射的关系式近似为（k为参数），其中为蜥蜴的体温（单位：℃），t为太阳落山后的时间（单位：min）.已知太阳刚落山时，蜥蜴的体温为39℃，下列结论正确的是（    ） A．太阳落山后，蜥蜴的体温始终高于15℃ B．太阳落山后的5min内，蜥蜴的体温始终高于28℃ C．从到，蜥蜴的体温下降了6℃ D．存在太阳落山后的a时刻，使得从到，蜥蜴的体温下降15℃ 变式4．（2026·河南南阳·模拟预测·多选）在物理学中，声音的强弱叫做响度，单位为宋（sone），响度级为响度的相对量，它反映了人耳依据声压和频率对声音做出的主观响度感受，单位为方（phon），实验发现，响度级LN与响度的关系式为，则（    ）（参考数据：） A．响度级每增加10方，响度约增加一倍 B．响度级为40方，响度为1宋 C．当响度为2宋时，响度级约为45方 D．当响度为8宋时，响度级约为70方 变式5．（2025·四川眉山·模拟预测）某工厂生产某零件，2025年8月共生产该零件1万件，根据市场需求，计划这之后每月的产量在前一个月的产量的基础上增加20%，则2025年10月该工厂这种零件的产量为______万件，2026年2月该工厂这种零件的产量______（填“能”或“不能”）超过3万件.（参考数据：，） 变式6．（2026·上海奉贤·模拟预测）1798年，人口学家马尔萨斯假设：单位时间内的人口增长量与人口数成正比，进而建立马尔萨斯人口增长模型.19世纪中叶的生物学家们发现，由于人类生存条件的限制，存在人口最大瞬时增长率，当达到时，人口增长率会随着的增长而下降，因此需要改进马尔萨斯的假设．他们假设：①是随着时间连续变化的函数；②存在最大人口数，人口数达到时，；③仅与和有关；④，那么在这些条件下建立的人口增长模型___________．（用含有、、的式子表示） 2 学科网（北京）股份有限公司 $