导数的应用：函数极值问题训练-2026届高考数学三轮冲刺

**基本信息** 以导数与函数单调性关系为核心，构建“求导→判号→定极值”三阶解题体系，覆盖基础判断、参数讨论及跨知识综合应用，逻辑链条完整。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|单选1-4、填空12|求导→解方程→符号判断|导数几何意义→单调性→极值点定义| |综合应用|单选5-8、多选9-10|导函数图象分析、极值点与方程根关系|导数符号变化→函数增减趋势→极值存在条件| |拓展提升|填空11/13、解答14-19|参数分类讨论、极值大小证明|含参函数导数零点→单调性分段→极值范围确定|

2026届高考数学三轮冲刺专题练： 导数的应用--函数极值问题 一、单选题 1．已知a为函数f（x）=x3–12x的极小值点，则a= A．–4 B．–2 C．4 D．2 2．函数的极值点个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．函数的极值点为（    ） A．3 B． C． D． 4．函数的极值点为（    ） A． B． C． D． 5．已知，是函数两个极值点，则（    ） A． B． C． D． 6．已知可导函数的部分图象如图所示，为函数的导函数，下列结论不一定成立的是（    ）    A． B． C． D． 7．等比数列中的，是函数的极值点，，则（   ） A．1 B． C． D． 8．若函数在时有极小值，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知是函数的导函数，的图象如图，则下列关于函数的说法正确的是（    ）    A．在上单调递减 B．在处取得极小值 C． D．在处取得极小值 10．（多选）已知函数在处有极值，则（ ） A．在上单调递增 B．的极大值为 C．直线是曲线的切线 D． 三、填空题 11．设函数，给出下列四个结论： ①当时，函数有三个极值点； ②当时，函数有三个极值点； ③，是函数的极小值点； ④，不是函数的极大值点． 其中，所有正确结论的序号是 ． 12．若是函数的极值点，则 13．已知函数既有极大值又有极小值，且在区间上单调，则的取值范围是 . 四、解答题 14．已知函数的图象在点处的切线方程为. (1)求a，b的值； (2)求的单调区间与极值. 15．设函数，为f（x）的导函数． （1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值； （2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零点均在集合中，求f（x）的极小值； （3）若，且f（x）的极大值为M，求证:M≤． 16．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程． (2)若为函数的极小值点，求a的取值范围． 17．已知函数，. (1)当时，求在上的值域； (2)若的极大值为4，求实数的值. 18．定义函数，其中． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)证明：在区间上，有且只有两个不同的极值点． 19．已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性. (3)若存在极大值，且极大值不大于，求实数的取值范围. 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B B C C A B ACD ACD 1．D 【详解】试题分析：，令得或，易得在上单调递减，在上单调递增，故的极小值点为2，即，故选D. 【考点】函数的导数与极值点 【名师点睛】本题考查函数的极值点．在可导函数中，函数的极值点是方程的解，但是极大值点还是极小值点，需要通过这个点两边的导数的正负性来判断，在附近，如果时，，时，则是极小值点，如果时，，时，，则是极大值点. 2．B 【分析】对分段函数中的每一段的函数分别探究其单调性情况，再进行综合考虑即得. 【详解】当时，， 此时函数在上单调递减，在上单调递增，故此时函数有一个极小值点为2； 当时，，因恒成立，故函数在上单调递减， 结合函数在上单调递减，可知0不是函数的极值点. 综上，函数的极值点只有1个. 故选：B. 3．B 【分析】求导，运用导函数正负得到单调性，得到极值点． 【详解】由已知，得的定义域为，且， 令，得（负根舍去）, 当时，, 当时，， 当时，取得极小值，故的极小值点为，无极大值点． 故选：B． 4．B 【分析】运用导数正负研究单调性，再得到极值点即可. 【详解】， 令，得，此时函数单调递减；令，得，此时函数单调递增. 所以的极小值点为. 故选：B. 5．C 【分析】求出函数导数，解方程得出极值点，计算可判断选项. 【详解】，令，解得， 所以，故AB不正确； ，故C正确D错误. 故选：C 6．C 【分析】根据图象，以及导数的几何意义，即可判断选项. 【详解】A.由导数的几何意义可知，，由图可知，，所以，故A成立； B.，故B成立； C.由图可知，，，但不确定与的大小关系，故C不一定成立. D.由图可知，函数在上单调递增，且增长速度越来越快，所以，故D成立. 故选：C 7．A 【分析】先根据函数极值的情况确定的值，再根据等比数列的性质进行计算即可. 【详解】由求导得. 由或； 由. 所以函数在和上单调递增，在上单调递减. 所以函数的极大值点为，极小值点为. 由题意可知，所以. 故选：A 8．B 【分析】先求出，再根据极值的定义列等式求出和，然后检验此时在时是否有极小值，即可确定和的值，进而得到. 【详解】，因为在时有极小值， 所以，即，解得， 此时， 或时，，时，， 在时有极小值成立，所以，，. 故选：B. 9．ACD 【分析】结合导函数图象，根据导数正负得函数的单调性，从而得出极值．由此判断各选项． 【详解】由已知，时，（只有），因此在上单调递减，AC正确； ，且两侧的导数都是负数，所以不是极值，B错误； 由，时，，单调递减，时，，单调递增， 所以是极小值，D正确． 故选：ACD 10．ACD 【分析】首先利用已知条件求出，然后根据函数的单调性、极值、函数值、导数的几何意义等知识点对选项逐一判断即可. 【详解】因为，在处有极值， 所以，解得：； 当时，，， 所以当或时，；当时，； 所以在，上单调递减，在上单调递增； 对于A，当时，，则在上单调递增，A正确； 对于B，的极大值为，B错误； 对于C，令，解得：或，又， 所以在处的切线为，C正确； 对于D，，D正确. 故选：ACD. 11．②④ 【分析】取特殊值，结合函数图象可判断①③；作出函数图象，数形结合可判断②；讨论的取值范围，结合函数图象，可判断④. 【详解】对于①，不妨取，此时， 作出函数图象如图： 此时函数有2个极值点，故①错误； 对于②，当时，，作出函数的大致图象如图： 在，上单调递减，在，上单调递增， 此时函数有3个极值点：，②正确； 对于③，由①的分析可知，时，是函数的极大值点，③错误； 对于④，由以上分析可知当时，， 且为的对称轴， 此时为函数的极小值点， 当时，，此时在上单调递减， 在上也单调递减，在上单调递增， 不是函数的极大值点， 故不是函数的极大值点，④正确. 故答案为：②④. 【点睛】方法点睛：题目中分段函数涉及的函数是比较常见的函数，故可作出函数大致图象，数形结合，再结合函数极值点的概念进行判断，即可解决问题. 12． 【分析】由题意得即可求解，再代入即可求解. 【详解】由题意有， 所以， 因为是函数极值点，所以，得， 当时，， 当单调递增，当单调递减， 当单调递增， 所以是函数的极小值点，符合题意； 所以. 故答案为：. 13． 【分析】由题可得既有极大值又有极小值，求导确定导函数的根列不等式组即可得的取值范围，再根据函数的单调性确定函数在区间上单调递减或在区间上单调递增时，列不等关系即可求得的取值范围. 【详解】由题意得，且既有极大值又有极小值， 故有两个不相等的实数根， 即，解得或. 设， 若在区间上单调递减，则需满足，解得. 若在区间上单调递增，则或 解得无解或. 综上，的取值范围是. 故答案为：. 14．(1)，. (2)递减区间为，递增区间为，有极小值，无极大值. 【分析】（1）先根据导数的运算法则求出；再根据切点、切线和导数的几何意义之间的关系列出方程组即可求解. （2）令可求出函数的单调增区间，令可求出函数的单调减区间，进而可得到函数的极值. 【详解】（1）由可得： ，， 则. 由直线方程可得：直线斜率为：. 因为函数的图象在点处的切线方程为， 所以，解得：. 故，. （2）由（1）可得，. 令，得； 令，得； 则函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以当时，函数有极小值. 故函数的递减区间为，递增区间为，有极小值，无极大值. 15．（1）； （2）的极小值为 （3）见解析. 【分析】（1）由题意得到关于a的方程，解方程即可确定a的值； （2）由题意首先确定a,b,c的值从而确定函数的解析式，然后求解其导函数，由导函数即可确定函数的极小值. （3）由题意首先确定函数的极大值M的表达式，然后可用如下方法证明题中的不等式： 解法一：由函数的解析式结合不等式的性质进行放缩即可证得题中的不等式； 解法二：由题意构造函数，求得函数在定义域内的最大值， 因为，所以． 当时，． 令，则． 令，得．列表如下： + 0 – 极大值 所以当时，取得极大值，且是最大值，故． 所以当时，，因此． 【详解】（1）因为，所以． 因为，所以，解得． （2）因为， 所以， 从而．令，得或． 因为，都在集合中，且， 所以． 此时，． 令，得或．列表如下： 1 + 0 – 0 + 极大值 极小值 所以的极小值为． （3）因为，所以， ． 因为，所以， 则有2个不同的零点，设为． 由，得． 列表如下： + 0 – 0 + 极大值 极小值 所以的极大值． 解法一： ．因此． 解法二： 因为，所以． 当时，． 令，则． 令，得．列表如下： + 0 – 极大值 所以当时，取得极大值，且是最大值，故． 所以当时，，因此． 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力． 16．(1) (2) 【分析】（1）利用导数的几何意义求解切线斜率，再根据点斜式求直线方程； （2）按分别讨论在0左右两侧值的正负而得解； 【详解】（1），，， 所以曲线在点处的切线方程为． （2）， ①若，则，单调递增，无极值，不符合题意． ②若，则当时，，，所以不可能为极小值点，不符合题意． ③若，令，则， 当时，，即在上单调递增，当时，，即在上单调递减， 则，又，当时，． 若，则， 当时，，当时，，所以为函数的极小值点，符合题意． 若，因为在上单调递增，的值从增到0， 所以直线与曲线在上的图象有公共点，即存在使得， 当时，，即， 所以存在，使得当时，， 当时，，此时为函数的极小值点，符合题意． 综上，． 17．(1) (2)3 【分析】（1）求导函数，从而可确定函数在闭区间上的单调性，通过比较端点处函数值与极值，从而可得函数的最值，即可得函数值域； （2）根据极值的概念对函数求导之后，确定函数单调性及极值情况，即可求得实数的值. 【详解】（1）时，，，令，得或， ∴在单调递增，单调递减，单调递增 又，，， ∴的值域为. （2），令，解得：或， 当时，，单调递增，无极值，舍； 当时，或，在和单调递增，在单调递减， 在时取得极大值，又，不符合题意，舍去； 当时，或，在和单调递增，在单调递减， 在时取得极大值，故，解得. 综上得，. 18．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求出当的导数的值，根据导数的几何意义求解； （2）有2个不同的极值点，即意味着在时有2个零点，据此分类讨论求解. 【详解】（1）当时，，则， 所以， 故所求切线方程为．即； （2）由题意得， 当时，． 函数，， 所以在R上单调递增，并且当 趋于时趋于，当x趋于时y趋于， 所以存在唯一实数，使得， 又当时，， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故是在区间上唯一的一个极值点； 同理可证，存在唯一的，使得，此时， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 故是函数在上唯一的一个极值点； 又，不是函数的极值点， 所以在区间上，有且只有两个不同的极值点． 综上，所求的切线方程为. 19．(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）根据导函数的几何意义，求在函数图形上一点的切线方程. （2）根据函数单调性与导函数的关系，对参数进行分类讨论，求出各类别中导函数的正负，求出函数单调区间. （3）根据对函数单调性的讨论情况，找到极大值点，求出极大值，列出极大值不等式，求出参数范围. 【详解】（1）当时，，， 则，，所以切线方程为，化简得. （2）由可得，则，即函数定义域为， 当时，恒成立，所以在上单调递增. 当时，令，即，解得，因为定义域为， 所以，由，可得, 所以在上单调递增，在上单调递减， 综上所述： 当时， 在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. （3）由（2）可知当时函数无极值点，当时函数在处有极大值， 可得，代入得，化简得， 令，则， 因为，所以，在上单调递增， 因为，所以解得， 所以实数的取值范围是. www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $