上海市金山中学2026届高三下学期数学素养检测5

2026届金山中学高三下素养检测5 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考 生应在答题纸相应位置直接填写结果。 1.已知集合A={x-3≤x≤2}，B={xx≥且A∈B,则实数a的收值范固是 2.抛物线x=)y,则其淮线方程为一 3.已知正实数a、b满足a+4b=1,则b的最大值为 4.己知(1+x)°=1-2C,+4C5-8C+16C-32C,则实数x= 5.设发数z满足z2=3+4i（i是虚数单位)，则：的模为 6.已知空间向量a=(1,-1,0),b=(0,1,1),c=(1,2,m)共面，则实数m= 7.方程l0g3(x2-1)=2+l0g3(x-1)的解为x= 8.现从5名男生和3名女生中随机选取3人参加数学建棋竞赛，作女生甲被选小的条件下，分有2名男 生被选中们概米为 9.某样体中的何位成员使用移动支付的概米都为p,各成员的支付方式相互立，设X为该样体的10位. 成员使H移动支付的人数，D[X]=2.4,P(X=4)<P(X=6),则p= 10.心知例台的上底半径为1，下底半径为2，若岗台.上.、下底而的而积和等岗的侧而而积，则岗台 的丹线与底而所成角的大小为（用反二角函数表小）· 1.丽天外出茧然勺撑雨伞，时常却总免不了淋湿衣籼、裤脚、背包等，热爱探究数学问题的小明想通过 数学建模的方法研究如何撑伞可以让淋湿的积尽量小.为了简化问题小明 做山下列假设： 假设1：小明把人假设为身向、肩完分别为170c,40cm的矩形”纸片人”； 假设2：受风的影响，雨滴卜落轨迹视为与水平地而所成角为60°的直线： 似设3：伞州(OT长为60cm,可绕矩形"纸片人”上点O旋转： 假设4：伞为被伞柄0T垂直半分的线段AB,AB=120cm. 如图，作知形“纸片人”上身恰好不被淋湿时，求其"裤脚"被淋湿（阴影)部分的而积 cm2（结界 精确到0.1cm2): 12.已知在底而半徐为2且向为10的例柱休的表而上行三个动点A、B、C,则AB.AC的敏小们为 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑， 第1贞共5贞 13.上海市实验学校艺术节举行弹钢琴比赛，现有21位选手报名参赛，初赛成绩各不相同，取前10名参 加决赛，小明同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道21名同学成 绩的( ). A.平均数 B.中位数 C.众数 D.方差 14.己知等比数列{an}的公比为4，且4>0，则“9>0”是“{4n}是递增数列的（ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 15.设A,4,,4,是空间中给定的n个不同的点，则使立(M)=0成立的点M的个数为( A.1 B.n C.无穷多个 D.前面的说法都有可能 16.在平面直角坐标系xOy巾，将数y=f(x)的图象绕坐标原点逆时针方向旋转α(0°<a≤90)后，所 得到的曲线仍然是某个函数的图象，则称y=f(x)为“α旋转函数”.现有以下4个命题，其中所有的真 命题为( ①存在“90°旋转函数”： ②“70°旋转函数”一定是“80°旋转函数”； ③若g(x)=ax+二为“45°旋转函数”，则a=1: @若()-为45旋转南数，则心≤6≤0. A.①③④ B.①②④ C.①④ D.①③ 三、解答题（本大题共有5题，满分78分)】 17.某市为了统计市内小微企业的经营发展情况，市税务局提供了1000家小微企业的月收入数据.企业 月收入（单位：万元）以[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)分组的频率 分布直方图如图所示。 频率/组距 0.025 0.020 0.010 0.005 1020304050607080企业月收入/万元 第2页共5页 (1)求这1000家小微企业的月收入的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）： (2)若采用分层随机抽样的方式从月收入在[50,60)，[60,70)，[70,80)内的企业中抽取6家进行问卷调 查，再从抽取的6家企业中随机抽取3家企业作进一步访谈，记抽取的3家企业中月收入在[50,60)内的 企业数为X,求随机变量X的分布列与数学期望. I8.如图，已知四棱锥S-ABCD的底而为菱形，∠BAD= 34S=C3. (1)求证：AC⊥平面BDS: (2)若AB=2,BS=√5，DS=1,求四棱锥S-ABCD的体积. 第3页共5页 19.己知函数f(x)=23 sinxcosx+sin2x-cos2x. (1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间： (2)在△ABC中，f(A)=2,b=3,C=2,若∠A的平分线交BC于D,求AD的长. 20.已知椭圆G的方程为弋 行+卡=1(a>b>0,F、B分别为椭圆G的左、右焦点。双曲线G的实轴为 椭圆C的长轴，C,的虚轴为椭圆C的短轴.过F作直线1交椭圆于A、B两点. (1)当△FAB的周长为8，椭圆C的焦距为2时，求曲线C及C,的方程： (2)当a=2,b=1时，己知椭圆C的上顶点为E,P是C上的一个动点，若△EF,P是等腰三角形，且EF, 是该三角形的腰，求点P的坐标： (3)当a=√2，b=1时，是不存在椭圆C,的切线I,其与双山线C,的左、右两支分别交于点M、N,使得 ME⊥NE？若存在，求出所有满足要求的直线1的方程：若不存在，请说明理山. 第4页共5页 21.设m>0,若对任总的x,x2∈D,且x<x2,函数y=f(x)与y=g(x)满足关系 V(x)-f(x,≥mg(x)-g(x,》,则称函数y=f)是函数y=g(x)在区间D上的m级控制函数. (1)判断函数f()=x是香是函数g(x)=x2在区间，2]上的1级控制函数，并说明理由： （2)若函数0)-hx是西数国=e*在区同[：] 上的m级控制函数，求实数m的最大值： (3)若函数y=f(x)是函数g(x)=x2-2x-1在区间(L,+0)上的2026级控制函数，且函数y=f(x)在区间 (1,+∞)上存在两个零点a,b,求两零点之积ab的取值范围. 第5页共5页 2026届金山中学高三下素养检测5 一、填空题 1.已知集合A={x3≤x≤2}，B={x之a小且A≤B,则实数a的取值范围是 【答案】(-0，-3] 【解析】集合A={x-3≤x≤2}，B={xk之a且AcB,则a≤-3. 2.抛物线x2=。y,则其准线方程为 【答案】y=8 【解析】因为抛物线x=y的焦点在y轴正半轴上，2p=,即L7 28 所以抛物线广一的准线方程为)少=令 3.已知正实数a、b满足a+4b=1,则ab的最大值为 【答*】后 当且仅当a=46”即a=号b=号时取等，所以b的最大值为石 8 4.已知1+x)°=1-2Cg+4C-8C+16C-32C3,则实数x=一 【答案】-2 【解析】因为1-2C,+4C?-8C+16C;-32C =C××(-2)°+Cg×14×(-2)'+Cx13×(-2)}2+Cx12×(-2'+C×'×(-2)+C×1°x(-2)°=(1-2)°， 所以(1+x)°=(1-2)°，故x=-2. 5.设复数z满足z2=3+4i（i是虚数单位)，则z的模为 【答案】√5 【解析】由复数性质，1z2曰zP3+4i=5,即川zP=5,|z=√5 6.已知空间向量a=(1,-1,0),b=(0,l,1),c=(1,2,m)共面，则实数m= 【答笨】3 第页共14页 x=1 【解析】设c=xa+b,即(1,2，m)=x(1,-1,0)+y(0,1,1),故{-x+y=2,解得m=y=3. m=y 7.:方程l093(x2-1)=2+l1og3(x-1)的解为为x= 【然案】8 【解析】llog(x2-1)=2+log(x-)得log,(x2-1)=log「9(x-1)1,所以 x2-1=9x- x-1>0 D，解行x=8. 8.现从5名男生和3名女生中随机选取3人参加数学建模竞赛，在女生甲被选中的条件下，另行2名男 生被选中的概率为 【答类】号 【解析】思路一：设事件A为“女生甲被选中”，事件B为“选取的3人包含2名男生和1名女生”，所求概 率为条件概率P(BA). 1.总基木事件数：从8人中任选3人的组合数为C。=56: 2.半件A的基本件数：先确定选女牛甲，再从剩余7人选2人，即CC=21,枚P(A)=头-3 568 3.事件AB(女生甲被选中且另外2人均为男生)的基木事件数：先选女生甲，再从5名男生中选2人， 即GG=10,版P(4n-80 5 4代入条件概*公式P(BlA)=A, 得P(eA)=2签=10 3-21 P 思路二：缩小样木空间法 心知女生甲心被选中，仅耑从剩余的5名另生、2名女生共7人中再选2人，要求2人均为男生： 1.该条件下样本空问的基本半件总数为C?=21: 2.符合要求的基：木事件数为从5名男生中选2人的组合数C=10; 因此所求概*为 1 9.某样体中的每位成员使用移动支付的概米都为，各成员的支付方式相互孙立，设X为该样休的10位 成员中使州移动支付的人数，D[X]=2.4,(X=4)<P(X=6),则P=· 第2灾共14页 【答案】0.6 【解析】山题意知，该群体的10位成员使用移动支付的概率分布符合二项分布， 所以D[X]=10p(1-p)=2.4,所以p=0.6或p=0.4. 由P(x=4)<P(X=6),得Cp(I-p)°<Cp(1-p)°，即(1-p}'<p2,所以p>0.5,所以p=0.6. 10.已知圆台的上底半径为1，下底半径为2，若圆台上、下底面的面积和等于圆台的侧面面积，则圆台 的母线与底面所成角的大小为 (用反三角函数表示). 【答案】arccos- 3 析】设圆台的母线长为1，由题意可得π+4π=x+21=3d,解得/亡 作出圆台的轴截面如图所示，则∠BAD即为圆台的母线与底面所成角的平面角， 且BC=AD=1ECD=2,AB=4 作DN⊥AB,垂足为N,则AN=4,2-l, 2 在Rt△ADN中，coS∠BAD=4N_3 AD5' 所以圆台的母线与底面所成角的大小为acos子 11,雨天外出虽然有撑雨伞，时常却总免不了淋湿衣袖、裤脚、背包等，热爱探究数学问题的小明想通过 数学建模的方法研究如何撑伞可以让淋湿的面积尽量小.为了简化问题小明 做出下列假设： 假设1：小明把人假设为身高、肩宽分别为170cm,40cm的矩形"纸片人"： 假设2：受风的影响，雨滴下洛轨迹视为与水平地面所成角为60°的直线： 假设3：伞柄OT长为60cm,可绕矩形"纸片人"上点O旋转； 假设4：伞而为被伞柄OT垂直平分的线段AB,AB=120cm. 如图，在矩形“纸片人”上身恰好不被淋湿时，求其"裤脚"被淋湿（阴影)部分的面积cm2(结果 精确到0.1cm2): 【答案】65.7cm2 【解析】如图所示，过A作对边的垂线，垂足为点C,过点D作对边的垂线，垂足为点E,连接OA,OB, 由题意AB=120,OT⊥AB, 因为T为AB得中点，所以AT=BT=60, 第3页共14页 又0T=60,所以0A=0B=60N2,∠0AB=年， 义∠0=号oH=40, 由正弦定理得，OH OA sin∠HA0 sin∠AHo' 所以sin∠HMO=OH:sin∠AH0-6 QA 6 又∠HM0<3,所以cos∠H0=3c， M DF 6 cos∠a4c=aor径-∠BMl-sn∠BMH, 6 所以DE=AC=AB:cos LBAC=20(V5+V⑤)， 所以DF=hM+Mn-DN=5m+on-2SDE=四-40N5, 3 3 所以阴影郁分面积为0r-2Drx9-5Dg飞6576m 2 2 12.已知在底面半径为2且高为10的圆柱体的表面上有三个动点A、B、C,则AB.AC的最小值为 【答案】-27 【解析】如图：过点A、B、C分别作与圆柱底面平行的平面截圆柱得圆O,O,O2, 设点A在圆O,O2上的射影点为B2,C:,点B在圆O上的射影点为B,点C在圆O上的射影点为C, 则AB·AC=(AB+AB)(AC+AC) B =AB·AC+AB,AC+AB·AC+AB,·AC=AB·AC+AB·AC 由|B,C2日AB,I+|AC2=10, 则AB,·AC=AB,HAC AB+AC: -25, 当且仅当|AB2曰AC,=5时取等， 如图在圆O所在平面，取点A为圆O与x轴负半轴交点，建立平面直角坐标系. (-2,0),B (2cosa,2sina),C(2cos B,2sin B), 第4页共14页 B=(2cosa+2,2sina),AC =(2cos B+2,2sin B), 则AB·AC=(2cosa+2)(2cosB+2)+2sina.2sinB B =4cosa cos B+4sin a sin B+4cosa+4cos B+4 =4cos(a-B)+4cosa+4cos B+4 -8w2）8me生2me） w)-o9）-amfe-a2 当o(生-l,cor二）时，等号成立 故AB.AC≥-2-25=-27， 所以AB.AC的最小值为-27. 二、单选题 13.上海市实验学校艺术节举行弹钢琴比赛，现有21位选手报名参赛，初赛成绩各不相同，取前10名参 加决赛，小明引问学已经知道了白己的成绩，为了判断白已是否能进入决赛，他还需要知道21名同学成 绩的( A.平均数 B.中位数 C.众数 D.方差 【答案】B 【解析】根据题意，21位选手成绩的中位数是第11名的成绩，取前10名参加决賽，小明同学己经知道了 自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道21名同学成绩的中位数.故选：B. 14.已知等比数列{an}的公比为g,且a,>0,则“q>0”是“{an}是递增数列”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【解折】当a=g=方时，则a-a,-)-”=》 <0,则数列{an}为递减数列， 当{an}是递增数列时，a1-an=a4g”-a,g1=ag”'(g-)>0,因为a>0,所以g>1,则可得9>0， 所以“q>0”是“{an}是递增数列的必要不充分条件， 故选：B 第5页共14页 15.设4，小，，4，是空问给定的n个不同的点，侧使∑(M)=0成立.的点M的个数为（ fal A.1 B. C.无穷多个 D.前而的说法都竹可能 【答案】A 【解析】设A(,),M(出2)， 出2（丽）=0补2(-x-y名--=0， 所以(k-=02y-=02(6-)=0, 所以 22x22y22z, n(n+(++D 所以满足条件的点M的个数为1个.枚选：A. 16.在平而直角坐标系xO少中，将函数y=f(x)的图象绕坐标原点逆时针方向旋戟(0°<“≤90)后，所 得到的出线仍然足朵个函数的图象，则称y=f(x)为“α旋转函数”.现有以下4个命题，其中所有的真 命题为( ） (①存在“90°旋转函数"： ②“70°旋转函数·定是“80°旋转函数”： ②松g(x)=ar+上为“45°旋转响数，则a=1, ④若A()-仁为45”旋转函数，则-e≤h≤0. Λ.①③④ B.①②④ C.①@ D.①③ 【答案】A 【保析】出题意， 对于①，如y=x,逆时针旋转90°后函数为y=一x,①正确： 对于②，如倾斜角为10°的直线，旋转70°后是倾斜角为80°函数，旋转80°后是垂直于x轴的一条直线， 不是函数，∴.“70°旋戟函数不一定是“80°旋转数”，②惜误： 对丁@，在8()=+中，函数灯45”旋转两数 .函数逆时针旋转45°后，不作垂直于x轴的直线，使得直线与函数有两个及以上交点， ∴不亦在倾斜角为45°的直线y=x+c(c∈R),使其与阴数g(x)行两个及以上.交点， 第6页共14页 即倾斜角为45°的直线y=x+c(c∈R)与函数g(x)有至多1个交点， 直曲联立 g(x)=ax+ x,解得(a-1)x2-cx+1=0, y=x+c 当a-1=0,即a=1时，-cx+1=0,至多-解，符合题意， 当a-1≠0，即a≠1时，为一元二次方程，△=c2-4(a-1), 对任意a,都存在c,使得△>0，即方程有不止一个解， 故不合题意，舍去， ∴a=1,③正确： 对于国。在()-仁中，函数为45”旋转函数 ∴.函数逆时针旋转45°后，不存在垂直于x轴的直线，使得直线与函数有两个及以上交点， ∴.不存在倾斜角为45°的直线y=x+(d∈R),使其与函数h(x)有两个及以上交点， 即倾斜角为45°的直线y=x+d(d∈R)与函数h(x)有至多1个交点， x+答甲d--x至多有1架， 在m()-仁-x中，函数为单调函数。 m(x)-be'-bxe()1. e2x 为使为使函数为单调函数，其导数需恒为非正或恒为非负， ·mg=- 2-1=-1<0, ÷m)=b1-1s0恒成立，m()- e 一x单调递减， ex 即e+b(x-1)≥0恒成立， 当b=0时，e>0,符合题意， 当b≠0时，在n(x)=e+b(x-1)中，n(x)=e+b, 当n(x)=0时，解得x=ln(-b), .b<0, 当n(x)<0即x<n(-b)时，函数单调递减， 第7页共14页 当n(x)>0即x>ln(-b)时，函数单调递增， ∴.n(x)在x=ln(-b)处取得最小值， n(x)n=n(n(-b)=c-+b[in(-b)-]=b[ln(-b)-2]≥0 b<0 解得：-e2≤b<0, 综上，-c2≤b≤0，④正确. 综上，故选A. 三、解答题 17.某市为了统计市内小微企业的经营发展情况，市税务局提供了1000家小微企业的月收入数据.企业 月收入（单位：万元）以[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)分组的频率 分布直方图如图所示. 频率/组距 0.025 0.020 x 0.010 0.005 1020304050607080企业月收入J万元 (1)求这1000家小微企业的月收入的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)： (2)若采用分层随机抽样的方式从月收入在[50,60)，[60,70)，[70,80)内的企业中抽取6家进行问卷调 查，再从抽取的6家企业屮随机抽取3家企业作进一步访谈，记抽取的3家企业中月收入在[50,60)内的 企业数为X,求随机变量X的分布列与数学期望 【答案】(1)25（万元）：(2)[x]-月 【解析】(1)由频率分布直方图巾各小矩形的面积和为1知： (0.005+0.02×2+0.025+x+0.01+0.005)×10=1,解得x=0.015. 所以月收入在[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)内的频举分别为 0.05,0.2,0.2,0.25,0.15,0.1,0.05, 所以这1000家小微企业的月收入的平均数约为： 第8页共14页 0.05×15+0.2×25+0.2×35+0.25×45+0.15×55+0.1×65+0.05×75=42.5（万元). (2)因为月收入在[50,60)，[60,70)，[70,80)内的企业的比例为0.15：0.1：0.05=3：2：1， 所以抽取的6家企业中月收入在[50,60)，[60,70)，[70,80)内的企业数分别为3,2,1. 所以从这6家企业中随机抽取3家企业，其中月收入在[50,60)内的企业数X的所有可能取值为0,1,2,3， PK=0等名K-答-品x=2刘-答-易Px=答0 C8201 (0123 所以X的分布列为： 1991 20202020 所以数学期望为E[X]=0+1 20+2x9 9 13 +3× 20 202 18.如图，己知四棱锥S-AB(CD的底面为菱形，∠BAD=花 ,AS=CS. (I)求证：AC⊥平面BDS: (2)若AB=2,BS=V5,DS=1,，求四棱锥S-ABCD的体积. 【答案】(1)见解析；(2)1 【解析】(I)设AC与BD相交于点O, 因为底面ABCD为菱形，所以AC⊥BD,且O为AC、BD中点. 又因为AS=CS,所以SO⊥AC,SO∩BD=O,SO、BDc平面BDS, 所以AC⊥平面BDS. (2)因为底面ABCD是菱形，∠BAD-子AB=2,所以△4BD是等边三角形， 则BD=AB=2. 在△BDS中，BS=V5,DS=1,BD=2,满足BS2+DS2=BD2, 根据勾股定理逆定理可知∠BSD=90°，即SD⊥SB. 由)知4C⊥平面B0s,所以长n专wAC, ⑧w=8x1=9,4c=26 2 1 则VD=3X 2×23=1. 32 19.已知函数f(x)=2V3 sinxcosx-+sinx-cosx. 第9页共14页 (1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间： (2)在△ABC中，(A)=2,b=3,c=2,若∠A的平分线交BC于D,求AD的长. 【答表】①最小正阅期为，单调港抛区饲为[名++]k∈2：2)6 【解折】（)闲为/)=26 io+snx-cos2x=V5sn2x-cos2x=2sn2x-君引. 所以)的最小正周期为T=2=元， 2 由-子+2m≤2x-名受+2eZ,得到-名+m≤x≤骨+低eZ, 6 2 6 所以了问的单调遥端区间为[名，号+，依e2, (2)因为（④=2，则2s如2A-君）=2，即sm21-君)-1，所以2A-若受+2m,ke2, 62 解得A=于+低，keZ,又A(0,列，所以A=背，又∠A的平分线交BC于D,b=3,c=2, 3 出5ac=Sam+5m,即csn4=ADs∠BD+b:A0 DinCAD.. 得到x6×5-4D,解得4D=65 2 4 5 20.已知椭圆C的方程为号+茶=>b>0,片、5分别为特测G的在、右东点.双曲线G的实铺为 椭圆C,的长轴，C,的虚轴为椭圆C的短轴.过F作直线I交椭圆于A、B两点. (1)当△FAB的周长为8，椭圆C的焦距为2时，求山线C及C:的方程： (2)当a=2,b=1I时，已知椭圆C的上顶点为E,P是C,上的一个动点，若△EF,P是等腰三角形，且EF 是该三角形的腰，求点P的坐标： (3)当=√2，b=1时，是否存在椭圆C的切线1，其与双曲线C,的左、右两支分别交于点M、N,使得 M⊥NF？若存在，求出所有满足要求的直线I的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】④)G苦+号=1，G三 -=1: 43 43 (3)存在，：y=土1. 【解折】(D由题意，在C若+会=(0>60中，。8的周长为8， 第10页共14页 C.4=4B+BF+AF=4F+BF+BF+4F=8, AF+AF=2a,BFl+BFI=2a, B Ca5s=A+BF+BF+Af=4a=8，解得：a=2, [2c=2 b=13 椭圆G的焦距为2，{a2=b2+c2,解得 a>b>0 c=1 在双曲线C,中，实轴为椭圆C的长轴，虚轴为椭圆C,的短轴， 43 2D电题意，在c花+a>6>0)中，a=26 「a2=b2+c2 c>0 ，解得：c=5, G:tpab E0.),F(5,0),lE=5-0+(0-=2, ,△EF,P是等腰三角形，且EF是该三角形的腰， ∴①若EF=EP=2,以点E为圆心2为半径作圆，与椭圆有3个交点， x2 [42 4v2 则4+=1 X,= X2= ,解得 3 或{ 3 或 x=0 x2+(0-10=4 2=3 3=-1 =3 ②若EF引=F,川=2，则以点F为圆心2为半径作圆，与椭圆有2个交点， 一个为点E,一个为点P,由对称性可知P(O,-), 第11页共14页 (3)由题意，存在， 在G亭茶-06>0中，。56i G皆， a=b2+c2 c>0 ，解得：c=1,F(-10),5(,0), 在双曲线C,中，实轴为椭圆C,的长轴，虚轴为椭圆C,的短轴， 6号- 假设存在直线：y=x+m满足题意，切点为9， 货+y1海02r++2a2-20. y=kx+m 联立 M △=16k2m2-41+2k2)）(2m2-2）=0,解得m2=1+2k2, y=kx+m 联立 5-r-18-2xk-46r-2m-2-0, 4km 设交点M(x,)N(x,2),则 x+x-1-2取 3= -2m2-2' 1-2k2 ∴ME=(x+l,),M=(x2-12), ME⊥NF2, .(:+1)(2-1)+2=0,即(：+1(：2-1)+(+m)(s,+m)=0, 整理，得1+k2)xx2+x2-x+km(x+x2)+m2-1=0, 4km 12 其中x2-x=x+x》-4x出= 4. -2m2-2 1-2k2 1-2k3 =2V2m+2-4_220+2k2)+2-4 4 1-2k2 1-2k鬥 1-2k2 0是+0*加 4km “1-2k+m-1=0, 化简，整理，解得m2=1, 第12页共14页 结合m2=1+2k2,解得 m=1 k=0’ ∴存在椭例C的切线，共与双曲线C的上、两支分别交小点M、N,使址⊥F2, 满足求的肖线1的方程为：y=士1. 21.设m>0,若对任意的，∈D,且x<x2,数y=f(x)与y=g(x)满足关系 f(x)-f(x≥mg(x)-g(x儿，则称函数y=f(x)是函数y=g(x)X问D上的m级控制函数. (1)判断数f()=x是否是数g(x)=x2在区间L,2].上.的1级控刷函数，并说明理： (2)若函数fx)=nx足函数g()=e这 []上的级标制函煮，求实数m的显人简： (3)若函数y=f()是函数g(x)=x2-2x-1在区问(1，+∞)的2026级控制函数，月函数y=f()在区问 (1,+o)上作两个季点ab,求两零点之积ah的取值范闱. 【答案】(1)不是：(2)e;(3)(3,3+22) 【解析】(1)由于1f(0)-f(2)=1,Ig(0)-g(2)=3, 枚1f()-f(2)g()-g(2)川. 所以数f(x)=x不是函数g(x)=x2在区间[山，2].上的1级控制函数. (2)巾函数f(x)=Inx是函数g(x)=e·区间 .e 上的m级控制函数， e lmx-lnl之me-e, .<x2,n<Inx,e>e, 从jn2-nx之m(e4-e), 即a与+me之l+me作[很]小上恒酸立。 令)=nx+me,则4()≥x)在[日e]I:hi成立。 即y=h()在 上为增数， 做2≥0作[9】 上恒成立 即到=me≥0， 第13页共14页 记p()=e x>0,则p()=ex-D x2 故在[小上单调递减。在上单训造说， 从而p(x)n=p()=e,故实数m的最大值为c. (3)因为函数y=f(x)在区问(L,+∞)上存在两个零点a,b, 不妨设1<a<b,且f(a)=fb)=0, 因为函数y=f)是g(x)=x2-2x-在区间（仙，+o).上的2026级控制函数， 所以f(a)-f(b≥2026g(a)-g(b,即0≥2026g(a)-g(b, 所以g(a)=g(),即a2-2a-l=b2-2b-. 又函数y=x2-2x-1在(1，+o)上单调递增，故有a2-2a-1=-(b-2b-1, 从而a2-2a-1+b2-2b-1=0,即(a-1)2+(b-1)2=4. 令a=1+2cas0,b1+2sn0,0e(得引 ab=(1+2cos)(1+2sin0)=1+2(cos0+sin0)+4sin0cos0. 令1=cos0+sin0,则1=v5sn0+4到e, 从而ab=1+21+20-)=2r2+21-1∈(3,3+22)， 即ab的取值范围是(3,3+2√2). 第14页共14页