精品解析：河南省平顶山市第四十四中学2025-2026学年第二学期学业水平诊断性评价 八年级数学

平顶山第44中学2025—2026学年第二学期学业水平诊断性评价八年级数学 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．根据定义依次对各个选项进行判断即可． 【详解】解：．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意； ．该图形不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意； ．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； ．该图形既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意． 2. 用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”，应先假设这个三角形中（ ） A. 有两个角是直角 B. 有两个角是钝角 C. 有两个角是锐角 D. 一个角是钝角，一个角是直角 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：熟记反证法的步骤，然后进行判断． 解：用反证法证明“一个三角形中不能有两个角是直角”，应先假设这个三角形中有两个角是直角．故选A． 点评：解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是： （1）假设结论不成立； （2）从假设出发推出矛盾； （3）假设不成立，则结论成立． 在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 3. 等腰三角形的两边长分别为4和8，则该三角形的周长是（ ） A. 16 B. 20 C. 16或20 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】分当腰长为8和当腰长为4两种情况讨论，结合三角形三边关系求解即可． 【详解】解：根据题意， ①当腰长为8时，三角形三边分别为8，8，4，，能组成三角形，则周长； ②当腰长为4时，三角形三边分别为8，4，4，，不能组成三角形； 综上，则该三角形的周长是． 4. 已知a＜3，则不等式（a﹣3）x＜a﹣3的解集是（　　） A. x＞1 B. x＜1 C. x＞﹣1 D. x＜﹣1 【答案】A 【解析】 【详解】因为a＜3， 所以a﹣3＜0． 两边同时除以a﹣3得： x＞1． 故选A． 5. 在联欢晚会上，有三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在的（ ） A. 三边中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边上高的交点 D. 三条垂直平分线的交点 【答案】D 【解析】 【分析】游戏公平要求凳子到三角形三个顶点的距离相等，根据线段垂直平分线的性质判断对应交点即可． 【详解】解：∵ 游戏公平需要凳子到三个顶点、、的距离相等， 又∵ 三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等， ∴ 凳子应放置在三边垂直平分线的交点处， 故选D． 6. 在平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，已知点的对应点为，点的对应点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了图形的平移变换，注意左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加．直接利用点的平移变化规律求解即可． 【详解】解：∵点横坐标从到，说明是向右移动了，纵坐标从2到，说明是向下移动了， 故线段是由线段经过向右移动4个单位，向下移动5个单位得到的， ∵点B的对应点的坐标为， ∴点的坐标为，即． 故选：A． 7. 已知关于x的分式方程无解，则m的值是（ ） A. B. 1 C. 或2 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】由分式方程解法，先去分母得到 ，分类讨论求解整式方程，再由分式方程无解的条件列方程求解即可得到答案． 【详解】解：， ，则 ， 若，即时，整式方程无解，则分式方程无解； 若，即时，整式方程解为， 当 ，即时，则分式方程分母为0，分式方程无解； 综上所述，的值是或． 8. 小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：分别对应下列六个字：你、爱、中、数、学、国，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A. 你爱数学 B. 你爱学 C. 爱中国 D. 中国爱你 【答案】D 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式继续分解即可． 【详解】解： ， ∴结果呈现的密码信息可能是“中国爱你”， 故选：D． 【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 9. 若关于x的不等式组只有3个整数解，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解．先求出每个不等式的解集，根据已知进行得出m的范围即可． 【详解】解：∵， ∴解不等式组得， 又∵关于x的不等式组只有个整数解， ∴， ∴， 故选：D． 10. 如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的等边绕O点顺时针旋转i个，得到等边．当时，顶点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是旋转的旋转，等边三角形的性质，直角三角形的性质以及勾股定理；以O为圆心，为半径作得到将边长为1的正六边形绕点O顺时针旋转i个，即把绕点O顺时针旋转i个，与重合，利用直角三角形的性质结合勾股定理求解的坐标，从而可得答案． 【详解】解：如图以O为圆心，为半径作， 将边长为1的正六边形绕点O顺时针旋转i个， 即把绕点O顺时针旋转i个， A旋转后对应点依次为，，……， ∵1周， ∴绕点O顺时针旋转8次回到原位置， ∵， ∴与重合， 如图：作轴于点， ∴， 在中，，， ∴，， ∴坐标为； 即的坐标为； 故选：A． 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 已知是关于的一元一次不等式，则的值为__________． 【答案】﹣2 【解析】 【分析】利用一元一次不等式的定义判断即可确定出m的值． 【详解】依题意得：|m|−1＝1且m-2≠0， 解得m＝-2． 故答案为：-2． 【点睛】此题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键． 12. 如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过O点作MN∥BC，分别交AB、AC于M、N点，则△AMN的周长为___________． 【答案】14． 【解析】 【分析】根据角平分线的定义可得∠ABO=∠OBC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠OBC=∠BOM，从而得到∠ABO=∠BOM，根据等角对等边的性质可得BM=OM，同理可得CN=ON，然后求出△AMN的周长=AB+AC，代入数据进行计算即可． 【详解】解：∵OB平分∠ABC， ∴∠ABO=∠OBC， ∵MN∥BC， ∴∠OBC=∠BOM， ∴∠ABO=∠BOM， ∴BM=OM， 同理可得CN=ON， ∴△AMN的周长=AM+MO+ON+AN=AM+BM+CN+AN=AB+AC， ∵AB=8，AC=6， ∴△AMN的周长=8+6=14． 故答案是：14． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及平行线的性质，用到的知识点是等角对等边，两直线平行，内错角相等，熟记性质是解题的关键． 13. 若一个多边形的外角和是其内角和的，则这个多边形的边数是_________． 【答案】8##八 【解析】 【分析】本题考查的是多边形的内角和，根据多边形的内角和的公式和多边形的外角和公式，解方程即可求出n的值． 【详解】解：设这个多边形的边数为n，则根据多边形内角和与外角和公式可得方程 ， 解得， 故答案为：8． 14. 如图，将绕点O逆时针旋转得到，，若恰好经过点A，且，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由旋转的性质得出，，，从而得到，再求出，由三角形内角和定理求得度数，作于点，在和中，利用直角三角形的性质结合勾股定理即可求解． 【详解】解：由旋转的性质得：，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 作于点， 在中，，， ∴，， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，直角三角形的性质和勾股定理．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 15. 在中，，的垂直平分线与所在直线相交所得的锐角为，则底角为______． 【答案】或##或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形两锐角互余，分分两种情况：当为锐角三角形时和当为钝角三角形时，分别画出图形解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：分两种情况： ①当为锐角三角形时，如图， ∵是垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②当为钝角三角形时，如图， ∵是垂直平分线， ∴.， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，底角为或， 故答案为：或． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 先化简，再求值：，其中m的值是两边长分别为2和3的三角形的第三边长，且m是整数． 【答案】或 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简求值、三角形三边关系、分式有意义的条件等知识点．根据分式的加减法和除法法则得到化简结果，根据三角形三边关系、分式有意义的条件、m是整数得到m的值，代入化简结果计算即可． 【详解】解：原式 ∵，即，m为整数，且使原式有意义 ∴或4， 当时，原式， 当时，原式 17. 已知方程组的解为正数， 求（1）a的取值范围； （2）化简． 【答案】（1）；（2）5a+1． 【解析】 【分析】（1）首先解方程组求得方程组的解，在根据条件得到不等式组，即可求得a的范围； （2）根据正数的绝对值是正数，负数的绝对值是它的相反数即可去掉绝对值符号，化简． 【详解】解：（1）解方程组得：， 根据题意得：， 解得：. （2）∵4a+5＞0，a-4＜0， ∴． 【点睛】本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式及绝对值的性质，根据题意列出关于a的不等式组是解题的关键． 18. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系，解答下列问题： （1）将绕点A逆时针旋转，画出旋转后的，并写出点的坐标； （2）与关于原点O成中心对称，在图中画出，并写出点的坐标； （3）求四边形的面积． 【答案】（1）画图见解析； （2）画图见解析； （3）16 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质作图，即可得出答案． （2）根据中心对称的性质作图，即可得出答案． （3）利用割补法计算即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 由图可得，点的坐标为； 【小问2详解】 解：如图，即为所求． 由图可得，点的坐标为； 【小问3详解】 解：四边形的面积为． 19. 如图，已知直线经过点，，直线与直线相交于点M，与x轴交于点D，点M的横坐标为． （1）根据图象，直接写出当时，x的取值范围是什么？ （2）求直线的表达式和a的值； （3）若点P在直线上，且，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）， （3）或 【解析】 【分析】本题考查一次函数解析式及一次函数的性质，正确理解题意是解题的关键： （1）根据图象可知时，在的下方，得出答案； （2）将点，代入，得：，求解得出直线的表达式为，进而求出点M的坐标为，把代入， 求解即可得出答案； （3）设把代入得，，求出，进而得出，根据题意得出，求解即可． 【小问1详解】 解：由图象可知，当时， x的取值范围为； 【小问2详解】 将点，代入， 得：， 解得：， ∴直线的表达式为， 把代入 得， ∴点M的坐标为， 把代入， 得． 【小问3详解】 设， 把代入得，， ∴， ∴， ， 解得或． ∴或 20. 红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．某商店在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用4500元购进甲种灯笼与用6750元购进乙种灯笼的数量相同，已知乙种灯笼每对进价比甲种灯笼每对进价多15元．经市场调查发现，乙种灯笼每对售价60元时，每天可售出90对，售价每提高1元，则每天少售出2对，物价部门规定其销售单价不高于每对70元，设乙种灯笼每对的销售单价为元，该商店一天通过乙种灯笼获得利润元． （1）求甲、乙两种灯笼每对的进价； （2）当乙种灯笼每对的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）甲种灯笼每对的单价为30元，乙种灯笼每对的单价为45元 （2）当乙种灯笼每对的销售单价为70元时，一天获得利润最大，最大利润是1750元 【解析】 【分析】本题属于分式方程和二次函数的应用题综合．根据数量关系列出方程和函数解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）设甲种灯笼每对的进价为元，则乙种灯笼每对的进价为元，根据用4500元购进甲种灯笼与用6750元购进乙种灯笼的数量相同，列分式方程可解； （2）利用总利润等于每对灯笼的利润乘以卖出的灯笼的实际数量，可以列出函数的解析式，由函数为开口向下的二次函数，可知有最大值，结合问题的实际意义，可得答案． 【小问1详解】 解：设甲种灯笼每对的进价为元，则乙种灯笼每对的进价为元， 由题意得：， 解得， 经检验，是原方程的根，且符合题意， ∴， 答：甲种灯笼每对的单价为30元，乙种灯笼每对的单价为45元； 【小问2详解】 解：设该商店一天通过乙种灯笼获得利润元，乙种灯笼每对的销售单价为元， 则 ∵， ∴函数有最大值，该二次函数图象的对称轴为：， ∴时，随的增大而增大， ∵物价部门规定其销售单价不高于每对70元， ∴， ∴当时，（元） 答：当乙种灯笼每对的销售单价为70元时，一天获得利润最大，最大利润是1750元． 21. 如图，在中，平分的外角，，垂足为点G，，垂足为点H，垂直平分于点E． （1）求证：； （2）若，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）通过证明，即可求证； （2）证明为等腰直角三角形，进而得到为等腰直角三角形，得到即可得证． 【小问1详解】 证明：∵平分的外角，，， ∴，， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：如图， ∵，， ∴， 由（1）知， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 22. 深圳百合外国语学校八年级某数学学习小组在研究一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系课题时，对函数的图象和性质做了探究．下面是该学习小组的探究过程，请补充完整： （1）列表：表格是y与x的几组对应值，请将表格补充完整： x －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 … y a －1 0 1 2 b 2 1 0 … 表格中a的值为 ，b的值为 ． （2）如图，在平面直角坐标系中描点并画出此函数的图象： （3）请观察函数的图象，回答下列问题： ①不等式的解集为 ； ②若，为该函数图象上不同的两点，则m＝ ； ③定义，例如，，则函数的最大值为 ． 【答案】（1），3 （2）见解析 （3）①或；②；③ 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式，函数图象点的坐标的求法、函数图象的画法以及看函数图象，熟练掌握函数图象点的坐标的求法、函数图象的画法以及看函数图象是解决本题关键． （1）把，1分别代入即可得到答案； （2）描出表中以各对对应值为坐标的部分点，然后连线； （3）设，，在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象根据函数图象和性质解决． 【小问1详解】 ， ， 故答案为：，3； 【小问2详解】 函数图象如下： 【小问3详解】 ①观察图象可得，当或时，，即， ∴不等式的解集为：或， 故答案为：或； ②把，代入，得， 当时，有， 解得：或， ∴ 故答案为：； ③设，， 在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象如下： 当时，有， 解得：或3， 当时，， ∴ 此时，的最大值是， ∴的最大值是， 当时，， ∴， 此时，的最大值是， ∴的最大值是， 当时，， ∴ 此时，的最大值是， ∴的最大值是， 综上可得，的最大值是 故答案为：． 23. 【问题背景】（1）如图1，点E、F分别在正方形的边、上，，把绕点逆时针旋转至，可使与重合，由，得，，即点、、共线，易证________，故、、之间的数量关系为_________． 【迁移应用】（2）如图2，四边形中，，，点、分别在边、上，，若，都不是直角，且，试探究、、之间的数量关系； 【联系拓展】（3）如图3，在中，，，点、均在边上，且，猜想、、满足的等量关系，并证明． 【答案】（1），；（2）；（3），证明见解析. 【解析】 【分析】（1）把绕点A逆时针旋转至，然后利用证明，由此可得． （2）把绕点A逆时针旋转至，然后利用证明，由此可得． （3）把旋转到的位置，连接，先根据证明，由此可得，．又由可得．因此是直角三角形，由此可得，因此． 【详解】（1）∵，， ∴把绕点A逆时针旋转90°至，可使与重合，如图1， ∵， ∴，点F，D、G共线， 则，， ， 即， 在和中，， ∴， ∴； 故答案为： （2），理由如下：如图， ∵，， ∴把绕点逆时针旋转至，可使与重合， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，点F、D、G共线 在和中，， ∴， ∴，即：， （3）， 理由是：把旋转到的位置，连接，则，． ∴； ∵，， ∴， 又∵， ∴， 则在和中，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，正方形的性质．通过旋转变换构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平顶山第44中学2025—2026学年第二学期学业水平诊断性评价八年级数学 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”，应先假设这个三角形中（ ） A. 有两个角是直角 B. 有两个角是钝角 C. 有两个角是锐角 D. 一个角是钝角，一个角是直角 3. 等腰三角形的两边长分别为4和8，则该三角形的周长是（ ） A. 16 B. 20 C. 16或20 D. 12 4. 已知a＜3，则不等式（a﹣3）x＜a﹣3的解集是（　　） A. x＞1 B. x＜1 C. x＞﹣1 D. x＜﹣1 5. 在联欢晚会上，有三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在的（ ） A. 三边中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边上高的交点 D. 三条垂直平分线的交点 6. 在平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，已知点的对应点为，点的对应点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于x的分式方程无解，则m的值是（ ） A. B. 1 C. 或2 D. 或 8. 小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：分别对应下列六个字：你、爱、中、数、学、国，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A. 你爱数学 B. 你爱学 C. 爱中国 D. 中国爱你 9. 若关于x的不等式组只有3个整数解，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的等边绕O点顺时针旋转i个，得到等边．当时，顶点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 已知是关于的一元一次不等式，则的值为__________． 12. 如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过O点作MN∥BC，分别交AB、AC于M、N点，则△AMN的周长为___________． 13. 若一个多边形的外角和是其内角和的，则这个多边形的边数是_________． 14. 如图，将绕点O逆时针旋转得到，，若恰好经过点A，且，，则________． 15. 在中，，的垂直平分线与所在直线相交所得的锐角为，则底角为______． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 先化简，再求值：，其中m的值是两边长分别为2和3的三角形的第三边长，且m是整数． 17. 已知方程组的解为正数， 求（1）a的取值范围； （2）化简． 18. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系，解答下列问题： （1）将绕点A逆时针旋转，画出旋转后的，并写出点的坐标； （2）与关于原点O成中心对称，在图中画出，并写出点的坐标； （3）求四边形的面积． 19. 如图，已知直线经过点，，直线与直线相交于点M，与x轴交于点D，点M的横坐标为． （1）根据图象，直接写出当时，x的取值范围是什么？ （2）求直线的表达式和a的值； （3）若点P在直线上，且，求点P的坐标． 20. 红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．某商店在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用4500元购进甲种灯笼与用6750元购进乙种灯笼的数量相同，已知乙种灯笼每对进价比甲种灯笼每对进价多15元．经市场调查发现，乙种灯笼每对售价60元时，每天可售出90对，售价每提高1元，则每天少售出2对，物价部门规定其销售单价不高于每对70元，设乙种灯笼每对的销售单价为元，该商店一天通过乙种灯笼获得利润元． （1）求甲、乙两种灯笼每对的进价； （2）当乙种灯笼每对的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？ 21. 如图，在中，平分的外角，，垂足为点G，，垂足为点H，垂直平分于点E． （1）求证：； （2）若，求证：． 22. 深圳百合外国语学校八年级某数学学习小组在研究一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系课题时，对函数的图象和性质做了探究．下面是该学习小组的探究过程，请补充完整： （1）列表：表格是y与x的几组对应值，请将表格补充完整： x －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 … y a －1 0 1 2 b 2 1 0 … 表格中a的值为 ，b的值为 ． （2）如图，在平面直角坐标系中描点并画出此函数的图象： （3）请观察函数的图象，回答下列问题： ①不等式的解集为 ； ②若，为该函数图象上不同的两点，则m＝ ； ③定义，例如，，则函数的最大值为 ． 23. 【问题背景】（1）如图1，点E、F分别在正方形的边、上，，把绕点逆时针旋转至，可使与重合，由，得，，即点、、共线，易证________，故、、之间的数量关系为_________． 【迁移应用】（2）如图2，四边形中，，，点、分别在边、上，，若，都不是直角，且，试探究、、之间的数量关系； 【联系拓展】（3）如图3，在中，，，点、均在边上，且，猜想、、满足的等量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $