河南平顶山市第十四中学2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷

2024-2025学年河南省平顶山十四中八年级（下）期中数学试卷 一、单选题（共30分） 1．（3分）2025年春节假期，历史文化类景区和博物馆类景区的旅游热度同比增长超过50%，这表明越来越多的游客选择在寒假期间走进博物馆，其文字上方的图案是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）已知a＞b，则下列不等式中错误的是（　　） A．a+2＞b+2 B．a﹣5＜b﹣5 C．﹣a＜﹣b D．4a＞4b 3．（3分）下面式子从左边到右边的变形中是因式分解的是（　　） A．x2﹣x﹣2＝x（x﹣1）﹣2 B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 C．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3） D．x﹣1＝x（1﹣） 4．（3分）下列命题中，其逆命题不成立的是（　　） A．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 B．全等三角形的对应角相等 C．等边三角形的三条边相等 D．两直线平行，同位角相等． 5．（3分）如图，直线y＝kx+b交坐标轴于A（﹣2，0），B（0，3）两点（　　） A．x＞3 B．﹣2＜x＜3 C．x＜﹣2 D．x＞﹣2 6．（3分）若关于x的不等式组的整数解共有4个，则m的取值范围是（　　） A．6＜m＜7 B．6＜m≤7 C．6≤m＜7 D．3≤m＜4 7．（3分）如图，第一象限内有两点P（m﹣4，n），Q（m，n﹣3），将线段PQ平移，则点P平移后的对应点的坐标是（　　） A．（﹣2，0） B．（0，3） C．（0，3）或（﹣4，0） D．（0，3）或（﹣2，0） 8．（3分）如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，AC＝AD，动点E从点B出发，在整个运动过程中，△BCE的面积S与运动时间t（秒），则四边形ABCD的面积是（　　） A．144 B．134 C．124 D．114 二、填空题（共15分） 9．（3分）如果x2+6x+k能被完全平方公式因式分解，那么k＝　 　 ． 10．（3分）某品牌护眼仪进价200元，标价320元出售，商店规定可以打折销售，那么这种商品最多可以打 　 　 折． 11．（3分）将一副三角尺如图所示叠放在一起，点A、C、D在同一直线上，AE与BC交于点F，则AF＝ 　 　 cm． 12．（3分）运算程序如图所示，规定：从“输入一个x值”到“结果是否大于18”为一次程序操作，如果程序操作恰好进行了2次后停止　 　 ． 13．（3分）如图，点P是在正△ABC内一点．PA＝6，PB＝8，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AP′，连接P′P、P′C　 　 ． 三、解答题（共75分） 14．（8分）解不等式：﹣1≤，把它的解集表示在数轴上． 15．（10分）把下列各式因式分解： （1）4x2﹣16y2； （2）2x3﹣8x2+8x． 16．（8分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系 （1）将△ABC向右平移6个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1； （2）画出△ABC关于点O的中心对称图形△A2B2C2； （3）若将△A1B1C1绕某一点旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标：　 　 ． 17．（8分）如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB＝AC 18．（9分）观察下面的等式：32﹣12＝8×1，52﹣32＝8×2，72﹣52＝8×3，92﹣72＝8×4，… （1）写出192﹣172的结果； （2）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）； （3）请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的． 19．（10分）学习不仅要知其然，更要知其所以然，追本溯源可以帮助我们更好的理解和运用相关定理或结论．请你证明：直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，并写出证明过程． 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，　 　 ． 求证：　 　 ． 证明：　 　 ． 20．（10分）为了增强学生体质，平顶山市第十四中学坚持“五育”并举，大力倡导学生在大课间开展打羽毛球活动；购买甲种品牌羽毛球15个和乙种品牌羽毛10个共需325元． （1）请你计算购买一个甲种品牌羽毛球和一个乙种品牌羽毛球各需要多少元？ （2）经体育老师们研究，若购买甲乙两种品牌羽毛球共花费1800元，甲种品牌羽毛球数量不低于乙种品牌羽毛球数量的5倍且不超过乙种品牌羽毛球数量的16倍 21．（12分）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，∠AOB＝120°，点M在OA上运动，点N在OB上运动，且∠MPN与∠AOB互补． （1）试判断△PMN的形状，并给出证明； （2）OM+ON的值是否为定值？若是，请求出这个定值，若不是； （3）请直接写出四边形PMON的面积． 2024-2025学年河南省平顶山十四中八年级（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B C B D B C A 一、单选题（共30分） 1．（3分）2025年春节假期，历史文化类景区和博物馆类景区的旅游热度同比增长超过50%，这表明越来越多的游客选择在寒假期间走进博物馆，其文字上方的图案是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据中心对称图形的定义逐项判断即可． 【解答】解：A、选项图形不能找到这样的一个点，不是中心对称图形； B、选项图形不能找到这样的一个点，不是中心对称图形； C、选项图形不能找到这样的一个点，不是中心对称图形； D、选项图形能找到这样的一个点，是中心对称图形． 故选：D． 2．（3分）已知a＞b，则下列不等式中错误的是（　　） A．a+2＞b+2 B．a﹣5＜b﹣5 C．﹣a＜﹣b D．4a＞4b 【分析】根据不等式的基本性质分别进行判定即可得出答案． 【解答】解：A、在不等式a＞b的两边同时加2，即a+2＞b+6，故此选项不符合题意； B、在不等式a＞b的两边同时减去5，即a﹣5＞b﹣3，故此选项符合题意； C、在不等式a＞b的两边同时乘以﹣1，即﹣a＜﹣b，故此选项不符合题意； D、在不等式a＞b的两边同时乘以4，即3a＞4b，故此选项不符合题意． 故选：B． 3．（3分）下面式子从左边到右边的变形中是因式分解的是（　　） A．x2﹣x﹣2＝x（x﹣1）﹣2 B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 C．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3） D．x﹣1＝x（1﹣） 【分析】根据因式分解的定义（把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解，也叫分解因式）判断即可． 【解答】解：A、不是因式分解； B、不是因式分解； C、是因式分解； D、不是因式分解； 故选：C． 4．（3分）下列命题中，其逆命题不成立的是（　　） A．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 B．全等三角形的对应角相等 C．等边三角形的三条边相等 D．两直线平行，同位角相等． 【分析】先写出各个命题的逆命题，根据垂直平分线的判定、全等三角形的判定、等边三角形的判定、平行线的判定定理判断即可． 【解答】解：A、线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等的逆命题是到这条线段两个端点的距离相等的点在线段垂直平分线上，不符合题意；  B、全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的两个三角形全等，符合题意； C、等边三角形三边相等的逆命题是三边相等的三角形是等边三角形，不符合题意； D．两直线平行，两直线平行，不符合题意． 故选：B． 5．（3分）如图，直线y＝kx+b交坐标轴于A（﹣2，0），B（0，3）两点（　　） A．x＞3 B．﹣2＜x＜3 C．x＜﹣2 D．x＞﹣2 【分析】看在x轴上方的函数图象所对应的自变量的取值即可． 【解答】解：∵直线y＝kx+b交x轴于A（﹣2，0）， ∴不等式kx+b＞7的解集是x＞﹣2， 故选：D． 6．（3分）若关于x的不等式组的整数解共有4个，则m的取值范围是（　　） A．6＜m＜7 B．6＜m≤7 C．6≤m＜7 D．3≤m＜4 【分析】首先解不等式组，利用m表示出不等式组的解集，然后根据不等式组只有4个整数解即可求得m的范围． 【解答】解：， 解不等式①得：x＜m， 解不等式②得：x≥3， ∴不等式组的解集为：4≤x＜m， ∵不等式组有4个整数解， ∴不等式组的整数解是3，8，5，6， ∴2＜m≤7． 故选：B． 7．（3分）如图，第一象限内有两点P（m﹣4，n），Q（m，n﹣3），将线段PQ平移，则点P平移后的对应点的坐标是（　　） A．（﹣2，0） B．（0，3） C．（0，3）或（﹣4，0） D．（0，3）或（﹣2，0） 【分析】设平移后点P、Q的对应点分别是P′、Q′．分两种情况进行讨论：①P′在y轴上，Q′在x轴上；②P′在x轴上，Q′在y轴上． 【解答】解：设平移后点P、Q的对应点分别是P′． 分两种情况： ①P′在y轴上，Q′在x轴上， 则P′横坐标为0，Q′纵坐标为0， ∵2﹣（n﹣3）＝﹣n+3， ∴n﹣n+8＝3， ∴点P平移后的对应点的坐标是（0，5）； ②P′在x轴上，Q′在y轴上， 则P′纵坐标为0，Q′横坐标为0， ∵8﹣m＝﹣m， ∴m﹣4﹣m＝﹣4， ∴点P平移后的对应点的坐标是（﹣8，0）； 综上可知，点P平移后的对应点的坐标是（0，6）． 故选：C． 8．（3分）如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，AC＝AD，动点E从点B出发，在整个运动过程中，△BCE的面积S与运动时间t（秒），则四边形ABCD的面积是（　　） A．144 B．134 C．124 D．114 【分析】从图2看，AB＝6m，AD＝16m﹣6m＝10m＝AC，过点A作AH⊥CD交于点H，在Rt△ADH中AD＝10m，AB＝6m＝CH＝DH，则，当点P在点D处时，，解得m2＝2，则四边形ABCD的面积＝，即可求解． 【解答】解：从图2来看，AB＝6m， 过点A作AH⊥CD交于点H， ∵AC＝AD， ∴， 在Rt△ADH中，AD＝10m， ∴， 当点P在点D处时，， 解得m6＝2， 则四边形ABCD的面积＝， 故选：A． 二、填空题（共15分） 9．（3分）如果x2+6x+k能被完全平方公式因式分解，那么k＝　9　 ． 【分析】根据完全平方公式的表现形式即可求得答案． 【解答】解：如果x2+6x+k能被完全平方公式因式分解， 则k＝72＝9， 故答案为：4． 10．（3分）某品牌护眼仪进价200元，标价320元出售，商店规定可以打折销售，那么这种商品最多可以打 　7.5　 折． 【分析】设这种商品可以打x折，根据其利润率不能低于20%，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【解答】解：设这种商品可以打x折， 根据题意得：320×0.1x﹣200≥200×20%， 解得：x≥6.5， 即这种商品最多可以打7.6折， 故答案为：7.5． 11．（3分）将一副三角尺如图所示叠放在一起，点A、C、D在同一直线上，AE与BC交于点F，则AF＝ 　5　 cm． 【分析】根据含30°角的直角三角形的性质得出AC的长，再根据平行线的性质推出AC＝CF，最后根据勾股定理求出AF的长即可． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠B＝30°， ∴AC＝cm， 由题意可知，BC∥DE， ∴∠AFC＝∠E＝45°， ∴∠CAF＝∠AFC＝45°， ∴CF＝AC＝5cm， ∴AF＝＝5， 故答案为：5cm． 12．（3分）运算程序如图所示，规定：从“输入一个x值”到“结果是否大于18”为一次程序操作，如果程序操作恰好进行了2次后停止　9　 ． 【分析】根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．由程序操作恰好进行了2次后停止，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，即可求解． 【解答】解：由题意得：， 解得：， ∴满足条件的x的最大整数值为9， 故答案为：9． 13．（3分）如图，点P是在正△ABC内一点．PA＝6，PB＝8，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AP′，连接P′P、P′C　　 ． 【分析】由旋转的性质可证△APP′是等边三角形，过点P作PD⊥AP′于点D，证明△ABP≌△ACP′（SAS），得到PB＝CP′＝8，利用勾股定理逆定理，得出∠CP′P＝90°，再根据四边形APCP′＝S△APP′+S△CP′P求解． 【解答】解：由旋转的性质可知，∠PAP′＝60°， ∴△APP′是等边三角形， ∴∠AP′P＝60°，PP′＝AP＝6， 如图，过点P作PD⊥AP′于点D， ∴，AD＝DP′＝3， ∴， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°＝∠PAP′，AB＝AC， ∴∠BAP＝∠CAP′， 在△ABP和△ACP′中， ， ∴△ABP≌△ACP′（SAS）， ∴PB＝CP′＝8， ∵PP′2＝62＝36，CP′3＝82＝64，PC6＝102＝100， ∴PP′2+CP′3＝PC2， ∴∠CP′P＝90°， ∴， ∴四边形APCP′的面积为， 故答案为：． 三、解答题（共75分） 14．（8分）解不等式：﹣1≤，把它的解集表示在数轴上． 【分析】不等式去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，求出解集，表示在数轴上即可． 【解答】解：﹣4≤， 2（x+1）﹣6≤6（2﹣x）， 2x+5﹣6≤6﹣2x， 2x+3x≤5+6﹣2， 2x≤10， x≤2， 其解集在数轴上表示如下： ． 15．（10分）把下列各式因式分解： （1）4x2﹣16y2； （2）2x3﹣8x2+8x． 【分析】（1）先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解． 【解答】解：（1）原式＝4（x2﹣4y2） ＝4（x+5y）（x﹣2y）； （2）原式＝2x（x3﹣4x+4） ＝5x（x﹣2）2． 16．（8分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系 （1）将△ABC向右平移6个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1； （2）画出△ABC关于点O的中心对称图形△A2B2C2； （3）若将△A1B1C1绕某一点旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标：　（3，0）　 ． 【分析】（1）先根据平移的定义分别画出点A1，B1，C1，再顺次连接即可得； （2）先根据中心对称的定义分别画出点A2，B2，C2，再顺次连接即可得； （3）先根据平移的性质、中心对称的性质求出点A1、A2、B1、B2、C1、C2的坐标，再求出它们的中点的坐标判断出△A1B1C1与△A2B2C2是关于中点的中心对称图形，由此即可得． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C3即为所求． （2）如图，△A2B2C4即为所求． （3）由图可知，点A、B，5），1），2）， ∴A1（﹣3+2，5）、A2（5，﹣5）、B1（﹣2+6，1）、B5（4，﹣1）、C4（﹣1+6，7）、C2（1，﹣5）， 即A1（3，7）、A2（3，﹣4）、B1（2，7）、B2（4，﹣8）、C1（5，2）、C2（1，﹣4）， ∴A1A2、B3B2、C1C7的中点的坐标均为（3，0）， ∴△A4B1C1与△A3B2C2是以点（8，0）为对称中心的中心对称图形， 则旋转中心的坐标为（3，2）， 故答案为：（3，0）． 17．（8分）如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB＝AC 【分析】要证明线段相等，只要过点A作BC的垂线，利用三线合一得到P为DE及BC的中点，线段相减即可得证． 【解答】证明：如图，过点A作AP⊥BC于P． ∵AB＝AC， ∴BP＝PC； ∵AD＝AE， ∴DP＝PE， ∴BP﹣DP＝PC﹣PE， ∴BD＝CE． 18．（9分）观察下面的等式：32﹣12＝8×1，52﹣32＝8×2，72﹣52＝8×3，92﹣72＝8×4，… （1）写出192﹣172的结果； （2）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）； （3）请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的． 【分析】（1）根据题目中的例子，可以写出192﹣172的结果； （2）根据题目中给出的式子，可以得到（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n； （3）将（2）中等号左边的式子利用平方差公式计算即可． 【解答】解：（1）∵17＝2×9﹣3， ∴192﹣172＝7×9＝72； （2）由题意可得， （2n+5）2﹣（2n﹣6）2＝8n； （3）∵（3n+1）2﹣（5n﹣1）2 ＝[（2n+1）+（2n﹣8）][（2n+1）﹣（3n﹣1）] ＝（2n+7+2n﹣1）（4n+1﹣2n+2） ＝4n×2 ＝4n， ∴（2n+1）7﹣（2n﹣1）2＝8n正确． 19．（10分）学习不仅要知其然，更要知其所以然，追本溯源可以帮助我们更好的理解和运用相关定理或结论．请你证明：直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，并写出证明过程． 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，　∠BAC＝30°　 ． 求证：BC＝AB ． 证明：　见解析　 ． 【分析】根据题目即可填空，通过构造等边三角形，利用等边三角形的性质即可证明结论． 【解答】已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°． 求证：BC＝AB． 证明：如图，延长BC到D，连接AD， ∵BC＝CD，AC⊥BC， ∴AB＝AD， ∵∠ACB＝90°，∠A＝30°， ∴∠B＝90°﹣30°＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴AB＝BD， ∵BC＝CD＝BD， ∴BC＝AB． 故答案为：∠BAC＝30°，BC＝，见解析． 20．（10分）为了增强学生体质，平顶山市第十四中学坚持“五育”并举，大力倡导学生在大课间开展打羽毛球活动；购买甲种品牌羽毛球15个和乙种品牌羽毛10个共需325元． （1）请你计算购买一个甲种品牌羽毛球和一个乙种品牌羽毛球各需要多少元？ （2）经体育老师们研究，若购买甲乙两种品牌羽毛球共花费1800元，甲种品牌羽毛球数量不低于乙种品牌羽毛球数量的5倍且不超过乙种品牌羽毛球数量的16倍 【分析】（1）设购买一个甲种品牌羽毛球需要x元，一个乙种品牌羽毛球需要y元，根据购买甲种品牌羽毛球12个和乙种品牌羽毛球6个共需240元；购买甲种品牌羽毛球15个和乙种品牌羽毛10个共需325元；列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购买m个甲种品牌羽毛球，则购买（180﹣m）个乙种品牌羽毛球，根据甲种品牌羽毛球数量不低于乙种品牌羽毛球数量的5倍且不超过乙种品牌羽毛球数量的16倍，列出关于m的一元一次不等式组，解之取符合题意的正整数解，即可得出结论． 【解答】解：（1）设购买一个甲种品牌羽毛球需要x元，一个乙种品牌羽毛球需要y元， 由题意得：， 解得：， 答：购买一个甲种品牌羽毛球需要15元，一个乙种品牌羽毛球需要10元； （2）设购买m个甲种品牌羽毛球，则购买，即（180﹣， 由题意得：， 解得：≤m≤， 又∵m，（180﹣， ∴m可以为106，108，112， ∴共有6种购买方案． 21．（12分）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，∠AOB＝120°，点M在OA上运动，点N在OB上运动，且∠MPN与∠AOB互补． （1）试判断△PMN的形状，并给出证明； （2）OM+ON的值是否为定值？若是，请求出这个定值，若不是； （3）请直接写出四边形PMON的面积． 【分析】（1）△PMN是等边三角形，证明△PEM≌△PFN（ASA），得出PM＝PN，则可得出结论． （2）结论：OM+ON＝OP，证明△POE≌△POF（HL），推出OE＝OF，由△PEM≌△PFN，推出EM＝FN，推出OM+ON＝OE+EM+OF﹣BF＝2OE＝OP． （3）四边形PMON的面积是定值．Y3△PEM≌△PFN，推出S△PEM＝S△PNF，推出S四边形PMON＝S四边形PEOF＝定值． 【解答】解：（1）△PMN是等边三角形． 理由：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F． ∵∠PEO＝∠PFO＝90°， ∴∠EPF+∠AOB＝180°， ∵∠MPN+∠AOB＝180°，∠AOB＝120° ∴∠EPF＝∠MPN＝60°， ∴∠EPM＝∠FPN， ∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E， ∴PE＝PF， 在△PEM和△PFN中， ， ∴△PEM≌△PFN（ASA）， ∴PM＝PN， ∵∠MPN＝60°， ∴△PMN是等边三角形． （2）结论：OM+ON＝6是定值． 理由：在Rt△POE和Rt△POF中， ， ∴△POE≌△POF（HL）， ∴OE＝OF， ∵△PEM≌△PFN， ∴EM＝FN， ∴OM+ON＝OE+EM+OF﹣NF＝2OE， ∵∠PEO＝90°，∠POE＝60°， ∴∠OPE＝30°， ∴OP＝6OE， ∴OM+ON＝OP＝6； （3）四边形PMON的面积是定值． 理由：∵△PEM≌△PFN ∴S△PEM＝S△PNF， ∴S四边形PMON＝S四边形PEOF＝定值． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/3/26 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