湖南省株洲市2025-2026学年高二下学期期末考试数学自编试卷（人教A版）

**基本信息** 覆盖高二数学核心模块，梯度设计合理，综合题突出逻辑推理与数学建模，适配期末检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|直线斜率、等比数列、充要条件|基础巩固，考察抽象能力与运算能力| |多选题|3/18|统计（决定系数、独立性检验）、概率独立事件|能力提升，体现数据分析与推理意识| |填空题|3/15|导数切线、函数单调性、奇偶性|聚焦数学抽象与直观想象| |解答题|5/77|解三角形、概率分布列、抛物线综合、立体几何、函数证明|创新应用，16题结合社会情境培养模型观念，19题证明考察逻辑推理与数学表达|

湖南省株洲市2025-2026学年高二下学期期末考试自编试卷 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知斜率为的直线经过点，，则（   ） A． B． C．1 D．0 2．已知等比数列中，，，则公比为（    ） A． B．2 C． D．4 3．“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．设，且⊥，则（    ） A．8 B．-8 C．5 D．-5 5．设某医院仓库中有10盒同样规格的光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的.且甲、乙、丙三厂生产该种光片的次品率依次为，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张光片，则取得的光片是次品的概率为（    ） A．0.08 B．0.09 C．0.1 D．0.15 6．已知数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 7．已知定义在上的函数满足：，且，则的解集为（ ） A． B． C． D． 8．设曲线在处的切线与轴交点的横坐标为，则的值为（   ） A． B． C． D．1 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分） 9．下列说法正确的是（   ） A．决定系数越大，表示残差平方和越大，即模型的拟合效果越差 B．经验回归方程相对于点的残差为 C．根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得到，则依据的独立性检验，可以认为“x与y没有关联” D．样本相关系数r的绝对值越接近1，成对样本数据的线性相关程度越强 10．一个袋中有大小、形状完全相同的3个球，颜色分别为红、黄、蓝.从袋中无放回地依次取出2个球，记“第一次取到红球”为事件，“第二次取到黄球”为事件，则（    ） A． B． C．，相互独立 D． 11．下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为______． 13．已知函数在上单调递增，则的取值范围是_____． 14．已知奇函数满足，当时，，则______． 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．在中，内角所对的边分别为. (1)求； (2)若，求的面积的最大值. 16．某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力．每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有，参加过计算机培训的有．假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响. (1)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率； (2)任选3名下岗人员，记为3人中参加过培训的人数，求的分布列和期望. 17．已知是抛物线的焦点，在点处的切线交轴于点，过点的直线与交于两点. (1)求的方程； (2)比较与的大小，并说明理由； (3)过点的直线与交于两点，，线段的延长线分别交于点，，试判断直线是否过定点，如果是，请求出该定点的坐标，如果不是，请说明理由. 18．如图，在四棱锥中，平面，，，，，点，分别是棱，上的动点. (1)若是棱的中点，求二面角的大小； (2)请判断下列条件：①直线与平面所成角的正切值为；②中哪一个条件可以推断出平面（无需说明理由），并用你的选择证明该结论. 19．已知函数. (1)若函数为增函数，求的取值范围； (2)已知. （i）证明：； （ii）若，证明：. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省株洲市2025-2026学年高二下学期期末考试自编试卷 数学试题（解析版） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D D B C A A BD ABD 题号 11 答案 BCD 1．B 【分析】应用斜率的两点式列方程求参数值. 【详解】由题设，可得. 故选：B 2．C 【分析】直接使用已知条件及公比的性质得到结论. 【详解】. 故选：C. 3．D 【分析】求出直线平行的充要条件为，结合充分条件、必要条件的定义即可得解. 【详解】若，则有，所以或， 当时，，故，重合； 当时，，满足条件， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件， 故选：D． 4．D 【分析】根据向量垂直关系得到方程，求出答案. 【详解】由题意得，解得. 故选：D 5．B 【分析】以，分别表示取得的这盒 X 光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，表示取得的 X 光片为次品，再由条件概率及全概率公式求解. 【详解】以，分别表示取得的这盒 X 光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，表示取得的 X 光片为次品， ，， 由全概率公式得 . 故选：B 6．C 【分析】利用裂项相消法求数列的和即可. 【详解】解：， 所以. 故选：C. 7．A 【分析】令，利用导数可判断其单调性，从而可解不等式. 【详解】设，则， 故为上的增函数， 而可化为即， 故即，所以不等式的解集为， 故选：A. 8．A 【分析】求导，由导数的几何意义求出切线方程，故，结合对数运算法则得到答案. 【详解】由，可得， 所以曲线在处的切线方程是， 令得，所以 . 故选：A． 9．BD 【分析】对于A，由决定系数的定义可作出判断；B选项，，B正确；C选项，零假设为：x与y相互独立，由卡方值大于6.635得到不成立，得到结论；D选项，由相关系数的定义作出判断. 【详解】对于A，决定系数越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，故A不正确. 对于B，残差为，故B正确， 对于C，零假设为：x与y相互独立，即x与y没有关联， 由可知依据的独立性检验， 所以有充分证据推断不成立，可以认为“x与y有关联”，选项C不正确. 对于D，当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强，选项D正确. 故选：BD 10．ABD 【分析】根据给定条件，利用条件概率公式及古典概型公式计算可判断ABD；利用相互独立事件的意义判断C. 【详解】对于A，由题，，故A正确； 对于B，因为，，所以，故B正确； 对于C，因为，，，所以不互相独立，故C错误； 对于D，因为，所以，故D正确. 故选：ABD. 11．BCD 【解析】利用指数和幂函数的单调性可判断A，利用与比较大小即可判断B；构造函数求导判断单调性，比较与即可判断C；构造函数，求导判断单调性，比较与的大小即可判断D，进而可得正确选项. 【详解】对于选项A ：因为幂函数在单调递增，，所以 因为指数函数在上单调递减，所以， 所以，故选项A不正确； 对于选项B：因为，，所以， 所以，即，故选项B正确； 对于选项C：令，则 所以在上递减，所以，即，故选项C正确； 对于选项D：令，则， 所以在上递增，在上递减，而, 所以，即， 所以，即，所以，故选项D正确， 综上正确答案为BCD. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是构造函数，通过函数的单调性比较两个函数值的大小即可判断不等式是否成立，对于看结构要想到构造函数求导判断单调性，比较与，对于这个不容易想到构造函数，比较与的大小即可. 12． 【分析】利用导数的几何意义求出曲线在点处的切线的斜率，再由条件列方程求a的值. 【详解】由题得，所以， 所以曲线在点处的切线斜率为3， 又曲线在点处的切线与直线垂直， 所以，解得． 故答案为：. 13． 【分析】结合指数函数及二次函数，列出不等式组求解即可. 【详解】解：因为在上单调递增， 所以得． 所以实数的取值范围是. 故答案为： 14．1 【分析】由题意可求出函数的周期，进而求出参数a的值，结合函数奇偶性以及周期性，即可求得答案. 【详解】因为函数满足，故， 即是以4为周期的函数； 由奇函数的自变量x可取0，则， 结合当时，，得， 故，则，故当时，， 则 ， 故答案为：1 15．(1) (2) 【分析】（1）根据题意利用倍角公式以及正弦定理即可得结果； （2）利用余弦定理结合基本不等式可得，即可得面积最大值. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得，则， 且，所以. （2）由余弦定理可得，即， 可得，即， 当且仅当时，等号成立， 所以的面积的最大值为. 16．(1)0.9 (2)分布列见详解， 【分析】（1）根据独立事件概率的乘法公式结合对立事件运算求解；（2）根据题意结合二项分布的概率和期望运算求解. 【详解】（1）任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A，“该人参加过计算机培训”为事件B， 由题意可知：事件A与B事件独立，，则， 任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率， 故任选1名下岗人员，该人参加过培训的概率 （2）由题意结合（1）可知：3人中参加过培训的人数服从二项分布，则， ，， ，， 的分布列： 0 1 2 3 0.001 0.027 0.243 0.729 的期望. 17．(1) (2)，理由见解析 (3)是， 【分析】（1）利用已知点坐标代入抛物线方程求参数. （2）通过导数求切线方程确定点G，结合抛物线的几何性质或代数计算比较距离平方与乘积. （3）参数化过焦点的直线，利用抛物线的对称性或代数运算判断直线是否过定点. 【详解】（1）（1）已知点在上， 所以，即，解得， 所以的方程为. （2）抛物线方程可化为，则，当时，切线斜率， 由点斜式可得过点的切线方程为，即， 令，可得，所以. 由，可得，所以. 如图（1），设直线的方程为， 联立得得， 所以. 因为， 所以， 所以. （3）易知.由题意知直线的斜率必存在，故设直线， 联立得消去得，所以. 直线的方程为，将代入，得， 由，所以， 同理可得. 所以直线的斜率， 由直线的点斜式方程可得直线， 将代入， 得， 所以直线过定点. 18．(1)； (2)条件②，证明见解析 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量解决二面角的大小； （2）若选择①，过作的垂线，垂足为，易得是直线与平面所成角，得到是的中点，利用空间向量证明与平面不平行；若选择②，通过线面平行的判定定理即可证明 【详解】（1）以为原点，，，分别为轴，轴，轴建立如图所示坐标系， 则，，，，，， 则，，，， 设平面的法向量，平面的法向量， 由，得，当时，， 则， 由，得，当时，， 则， 因为， 故二面角的大小为； （2）条件②可以推断平面； 以下证明条件①不可以，条件②可以， 若选择条件①， 因为在线段上，所以，所以， 过作的垂线，垂足为，易得是直线与平面所成角， 所以，解得， 所以 由（1）可得，， 设平面的法向量， 由，得，当时，， 则， 所以，则与不垂直，即与平面不平行; 若选择条件②， 如图，连接，相交于点，连结， 在梯形中，有，， 根据三角形的相似得， 又因为，故， 又平面，平面， 所以平面 19．(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）分析可得原题意等价于对恒成立，构建，利用导数求最值结合恒成立问题运算求解； （2）（i）取，根据题意分析可得，构建，结合导数证明即可； （ii）根据题意分析可得，，，构建，结合导数证明，即可得结果. 【详解】（1）∵，则， 若是增函数，则，且，可得， 故原题意等价于对恒成立， 构建，则， 令，解得；令，解得； 则在上递增，在递减， 故，∴的取值范围为. （2）（i）由（1）可知：当时，单调递增， ∵，则，即， 整理得， 构建，则， 令，解得；令，解得； 则在上递减，在递增， 故， 即，当且仅当时等号成立， 令，可得， 综上； （ii）∵，则， 可知有两个不同实数根，由（1）知， 可得， 同理可得， 构建，则， 当时，；当时，； 当时，； 且，故对恒成立，故在上单调递减， ∵，则，即， 且，则，故， 可得； 又∵，由（i）可得，即， 则， 且，则，可得； 综上所述：. 可得，则 故. 【点睛】方法定睛：利用导数证明不等式的基本步骤 (1)作差或变形． (2)构造新的函数h(x)． (3)利用导数研究h(x)的单调性或最值． (4)根据单调性及最值，得到所证不等式． 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 学科网（北京）股份有限公司 $