精品解析：湖南省株洲市渌口区第五中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题

渌口区五中2024年下学期期末考试 高二数学 试卷总分100分，考试时间75分钟 命题人：周春晓 审题人：李兰娟 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 满足1×2＋2×3＋3×4n×(n＋1)＝3n2－3n＋2的自然数n等于（ ） A. 1 B. 1或2 C. 1，2，3 D. 1，2，3，4 2. 椭圆的焦距为（ ） A 2 B. 3 C. D. 4 3. 数列的通项公式为，则“”是“为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 4. 双曲线的离心率为，则实数m的值为（　　） A. B. 2 C. D. 3 5. 等差数列中，，，则数列的前项和取得最大值时的值为 A. 504 B. 505 C. 506 D. 507 6. 已知函数，若对任意，有， 则（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆的离心率(，1)，则实数m的取值范围是 A. (0，) B. (，+∞) C. (0，)∪(，+∞) D. (，1)∪(1，) 8. 在平面直角坐标系中，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则圆面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变 B. 设有一个线性回归方程，变量增加1个单位时，平均增加5个单位 C. 设具有相关关系的两个变量的相关系数为，则越接近于，和之间的线性相关程度越强 D. 在一个列联表中，由计算得的值，则的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大 10. 已知双曲线的两个焦点分别为，且满足条件，可以解得双曲线的方程为，则条件可以是（ ） A. 实轴长为4 B. 双曲线为等轴双曲线 C. 离心率为 D. 渐近线方程为 11. 在棱长为2正方体中，点满足，其中，，则（ ） A. 当时， B. 当时，三棱锥的体积为 C. 当时，平面 D. 当时，到平面的距离为 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 数列满足，则的最大值为_____. 13. 已知函数，若，则实数的取值范围为__________. 14. 定义，那么以下说法正确的有（填序号）______． A． B．除了以外，都是奇数 C．对于任意的n， D．以，，为三边三角形是直角三角形 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知椭圆的中心在原点，焦点为，，且长轴长为4. （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆相交于A，两点，求弦长. 16. 已知直线被圆截得的弦长为． （1）求圆C的方程； （2）若直线l的方程为，试确定直线l与圆C的位置关系． 17. 已知数列满足：，且．记数列为，记数列为. （1）求证：是等差数列，并求通项公式； （2）记，求数列的前项和． 18 已知函数，其中. （1）若曲线在处的切线与直线垂直，求a的值及切线方程； （2）若函数在定义域内单调递减，求a的取值范围. 19. 2020年国庆节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”.某路桥公司为掌握国庆节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了3日上午9:20~10:40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费站点，它们通过该收费站点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段9:20~9:40记作、9:40~10:00记作，10:00~10:20记作，10:20~10:40记作，例如：10点04分，记作时刻64. （1）估计这600辆车在9:20~10:40时间内通过该收费站点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车随机抽取4辆，设抽到的4辆车中，在9:20~10:00之间通过的车辆数为X，求X的分布列； （3）根据大数据分析，车辆在每天通过该收费站点的时刻T服从正态分布，其中可用3日数据中的600辆车在9:20~10:40之间通过该收费站点的时刻的平均值近似代替，用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）.假如4日全天共有1000辆车通过该收费站点，估计在9:46~10:40之间通过的车辆数（结果保留到整数）. 附：若随机变量T服从正态分布，则，，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 渌口区五中2024年下学期期末考试 高二数学 试卷总分100分，考试时间75分钟 命题人：周春晓 审题人：李兰娟 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 满足1×2＋2×3＋3×4n×(n＋1)＝3n2－3n＋2的自然数n等于（ ） A. 1 B. 1或2 C. 1，2，3 D. 1，2，3，4 【答案】C 【解析】 【分析】将分别代入等式进行检验可得答案. 【详解】当时，左边，右边，等式成立； 当时，左边，右边，等式成立； 当时，左边，右边，等式成立， 当时，左边，右边，等式不成立. 故选：C 2. 椭圆的焦距为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆方程直接求解. 【详解】由椭圆方程可知焦距. 故选：D 3. 数列的通项公式为，则“”是“为递增数列”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据以及充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可 【详解】由题意得数列为递增数列等价于对任意恒成立， 即对任意恒成立， 因为，且可以无限接近于0，所以， 所以“”是“为递增数列”的必要不充分条件， 故选：B 4. 双曲线的离心率为，则实数m的值为（　　） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由双曲线方程求得a，b，进而由离心率求解． 【详解】解：由双曲线， 得a2＝m，b2＝4， ∴a，c， 则e， 解得m＝2． 故选：B． 5. 等差数列中，，，则数列的前项和取得最大值时的值为 A. 504 B. 505 C. 506 D. 507 【答案】B 【解析】 【分析】先根据已知求得数列的公差，再利用等差数列正负交界法求数列的前项和取得最大值时的值. 【详解】∵数列为等差数列，，∴数列的公差， ∴，令，得. 又，∴取最大值时的值为505. 故选B 【点睛】本题主要考查等差数列的基本量的计算和等差数列的通项的求法，考查等差数列前n项和最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力. 6. 已知函数，若对任意，有， 则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据，可得x=1是的极小值点，即，可得a，b的关系，对与的作差，可得，构造，即可求得的极大值，化简整理，即可得答案. 【详解】由题意得， 因为，所以在x=1处取得最小值，即为x=1是的极小值点， 所以，即， 所以， 令，则， 令，解得， 当时，，所以为增函数， 当时，，所以为减函数， 所以， 所以，即. 故选：A 【点睛】解题的关键是熟练掌握利用导函数求解函数极值，判断单调性的方法，并灵活应用，比较两式大小，常用作差法或作商法，难点在于构造并求极大值，属中档题. 7. 已知椭圆的离心率(，1)，则实数m的取值范围是 A. (0，) B. (，+∞) C. (0，)∪(，+∞) D. (，1)∪(1，) 【答案】C 【解析】 【分析】由椭圆离心率的范围可得的范围，再分别讨论椭圆的焦点在x轴和y轴两种情况求解即可. 【详解】椭圆的标准方程为． 又， 所以． 当椭圆的焦点在x轴上时，，，则 ； 当椭圆的焦点在y轴上时，，，则． 所以实数m的取值范围是(0，)∪(，+∞)． 故选C． 【点睛】本题主要考查了由椭圆的离心率求参数范围，注意讨论椭圆的焦点在哪个轴上，属于易错题型. 8. 在平面直角坐标系中，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则圆面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：设直线因为，表示点到直线的距离，所以圆心的轨迹为以为焦点，为准线的抛物线，圆的半径最小值为，圆面积的最小值为．故本题的正确选项为A. 考点：抛物线定义. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变 B. 设有一个线性回归方程，变量增加1个单位时，平均增加5个单位 C. 设具有相关关系的两个变量的相关系数为，则越接近于，和之间的线性相关程度越强 D. 在一个列联表中，由计算得的值，则的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大 【答案】AD 【解析】 【分析】利用方差的性质判断A的正误；利用回归直线的性质判断B，相关系数判断C，独立检验判断D． 【详解】将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变，满足方差的性质，A正确； 设有一个线性回归方程，变量x增加1个单位时，平均减少5个单位；所以B不正确； 设具有相关关系的两个变量x，y的相关系数为r，则越接近于0，x和y之间的线性相关程度越弱，所以C 不正确； 在一个2×2列联表中，由计算得的值，则的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大，所以D正确； 故选：AD． 【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，涉及相关系数，回归直线方程以及方差的性质独立检验思想的应用，是基础题． 10. 已知双曲线的两个焦点分别为，且满足条件，可以解得双曲线的方程为，则条件可以是（ ） A. 实轴长为4 B. 双曲线为等轴双曲线 C. 离心率为 D. 渐近线方程为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据双曲线实轴、离心率、渐近线方程等性质逐项分析即可. 【详解】设该双曲线标准方程为，则. 对于A选项，若实轴长为4，则，，符合题意； 对于B选项，若该双曲线为等轴双曲线，则，又，， 可解得，符合题意； 对于C选项，由双曲线的离心率大于1知，不合题意； 对于D选项，若渐近线方程为，则，结合，可解得，符合题意， 故选：ABD. 11. 在棱长为2的正方体中，点满足，其中，，则（ ） A. 当时， B. 当时，三棱锥的体积为 C. 当时，平面 D. 当时，到平面的距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由线面垂直的性质定理即可判断A，由棱锥的体积公式代入计算，即可判断B，由面面平行的性质定理即可判断C，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，即可判断D 【详解】 当时，，根据正方体结构特征，易知平面平面，所以，故A正确. 当时，.易知到平面的距离为定值2. 因为，所以，故B错误. 当时，，根据正方体结构特征，易证面面面，所以面，故C正确. 当时，，即为的中点， 以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则， 所以平面的法向量为，， 所以到平面的距离，故D正确. 故选：ACD 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 数列满足，则的最大值为_____. 【答案】26 【解析】 【分析】由题可知当时，为递增数列，可求出其最大值，当时，为递减数列，也可求出其最大值，从而可求出的最大值 【详解】当且时，由通项公式可知，数列递增，此时最大值为； 当且时，由通项公式可知，数列递减，最大值为. 综上可知，当时，最大值为26. 故答案为：26 【点睛】此题考查由数列的通项公式求数列的最大项，考查数列的单调性，属于基础题. 13. 已知函数，若，则实数取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据导数确定函数的单调性，即可得，解一元二次不等式即可. 【详解】因为恒成立，所以函数在上单调递增，若，则，解得. 故答案为： 14. 定义，那么以下说法正确的有（填序号）______． A． B．除了以外，都是奇数 C．对于任意的n， D．以，，为三边的三角形是直角三角形 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据递推公式得出数列的项判断A，D，判断奇偶判断B，裂项相消判断C. 【详解】A：计算可得：，，，．所以A错误 B：注意到显然都是整数，从而必然是偶数，从而必然是奇数，B正确 C：首先可以注意到，从而， 从而， 从而，所以， 所以， 所以 ，C正确． D：，，从而命题D成立. 故答案为：BCD． 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知椭圆的中心在原点，焦点为，，且长轴长为4. （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆相交于A，两点，求弦长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知直接可得； （2）联立方程组求出A，两点坐标，再由两点间距离公式可得. 【小问1详解】 ∵椭圆的中心在原点，焦点为，且长轴长为4， ，，， 故椭圆方程为； 【小问2详解】 设，联立解得和， ， ∴弦长. 16. 已知直线被圆截得的弦长为． （1）求圆C的方程； （2）若直线l的方程为，试确定直线l与圆C的位置关系． 【答案】（1）； （2）相交. 【解析】 【分析】（1）根据圆弦长公式，结合点到直线距离公式进行求解即可； （2）根据直线方程的特征求出直线l所过的定点，结合该点到圆心的距离与圆半径大小关系进行求解即可. 【小问1详解】 由题可得圆的圆心C的坐标为，半径为． ∵圆心C到直线的距离为， 直线被圆C截得的弦长为， ∴，解得或1． ∵，∴， 故圆C的方程为； 【小问2详解】 ∵l的方程可化为， ∴ 解得即l恒过定点． ∵圆心， ∴点A在圆C内，从而直线l与圆C恒相交． 17. 已知数列满足：，且．记数列为，记数列为. （1）求证：是等差数列，并求的通项公式； （2）记，求数列的前项和． 【答案】（1）证明见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合等差数列的定义和通项公式运算求解； （2）根据题意结合等比数列的定义和通项公式可得，再利用裂项相消法运算求和. 【小问1详解】 为奇数时，则， 此时为偶数，则， 等式两边取以2为底对数，便有， 所以， 故的偶数项是以2为首项，2为公差的等差数列， 即是以2为首项，2为公差的等差数列，所以. 【小问2详解】 为偶数时，则，即， 此时为奇数，， 则， 所以，且， 故的奇数项是以4为首项，4为公比的等比数列， 即以4为首项，4为公比的等比数列，则. 可得， 所以 ， 即. 18. 已知函数，其中. （1）若曲线在处的切线与直线垂直，求a的值及切线方程； （2）若函数在定义域内单调递减，求a的取值范围. 【答案】（1）2， （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数求出切线的斜率，得出切线方程. （2）由已知得出对恒成立，所以，令，借助导数求得出结果. 【小问1详解】 由题可知，则，解得. 切点为，切线为 【小问2详解】 ∵在上是减函数， ∴对恒成立，所以， 令，则，由得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，故只需 故a的取值范围. 19. 2020年国庆节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”.某路桥公司为掌握国庆节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了3日上午9:20~10:40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费站点，它们通过该收费站点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段9:20~9:40记作、9:40~10:00记作，10:00~10:20记作，10:20~10:40记作，例如：10点04分，记作时刻64. （1）估计这600辆车在9:20~10:40时间内通过该收费站点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车随机抽取4辆，设抽到的4辆车中，在9:20~10:00之间通过的车辆数为X，求X的分布列； （3）根据大数据分析，车辆在每天通过该收费站点的时刻T服从正态分布，其中可用3日数据中的600辆车在9:20~10:40之间通过该收费站点的时刻的平均值近似代替，用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）.假如4日全天共有1000辆车通过该收费站点，估计在9:46~10:40之间通过的车辆数（结果保留到整数）. 附：若随机变量T服从正态分布，则，，. 【答案】（1）10∶04 （2）分布列见解析 （3）819 【解析】 【分析】（1）利用平均数公式求解； （2）易知在10:00前通过的车辆数为，则X的可能的取值为0，1，2，3，4，分别求得其概率，列出分布列； （3）由（1）得，求得，进而得到，从而9:46~10:40之间通过的车辆数求解. 【小问1详解】 解：这600辆车在9:20~10:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值为： ，即10∶04； 【小问2详解】 由频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的10辆车中，在10:00前通过的车辆数就是位于时间分组中在20，60这一区间内的车辆数， 即， 所以X的可能的取值为0，1，2，3，4. 所以，，， ，. 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 【小问3详解】 由（1）得， 所以， 估计在9:46~10:40之间通过的车辆数也就是在46，100通过的车辆数， 由，得 ， 所以估计在之间通过的车辆数为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $