精品解析：广东省汕头市潮阳区金堡中学2025—2026学年度第二学期九年级数学科第一次月考监测

2025—2026学年度第二学期 九年级数学科第一次月考监测 注：试卷满分120分，考试时间120分钟． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 在1，0，2，四个数中，最小的数是（ ） A. 1 B. 0 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查有理数的大小比较，通过比较数的大小，负数小于零和正数，得到是最小的数即可． 【详解】解：∵， ∴最小的数是． 故选：D． 2. 2025年安徽省油菜秋种面积约735万亩，其中735万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据科学记数法的表示方法解题即可． 【详解】解：735万． 3. 如图，一个几何体由5个大小相同、棱长为1的小正方体搭成，下列说法正确的是（　　）． A. 主视图的面积为4 B. 左视图的面积为4 C. 俯视图的面积为3 D. 三种视图的面积都是4 【答案】A 【解析】 【分析】根据三视图的绘制，首先画出三视图再计算其面积. 【详解】解：A．主视图的面积为4，此选项正确； B．左视图的面积为3，此选项错误； C．俯视图的面积为4，此选项错误； D．由以上选项知此选项错误； 故选A． 【点睛】本题主要考查三视图的画法，关键在于正面方向. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了去括号，二次根式的减法运算，同底数幂的除法，完全平方公式，掌握这些知识是解题的关键．运用去括号法则、二次根式的减法运算法则、指数运算法则和完全平方公式．通过逐一验证每个选项的计算是否正确， 【详解】解：A、，A错误． B、和不是同类二次根式，， B错误． C、， C正确． D、， D错误． 故选C 5. 如图，点在直线上，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂直的定义，平角的定义，掌握这些是解题的关键． 由垂直求得的度数，再根据平角定义，计算的度数即可． 【详解】解：点在直线上，， ， ， ， ． 故选B． 6. 如图，在平行四边形中，E是线段上一点，连接与相交于点F，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质． 证明，再结合平行四边形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∵平行四边形， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 7. 如图，点A，B，C在上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，掌握一条弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的一半是解题的关键． 直接运用圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 8. 在同一平面直角坐标系中，函数（为常数，且）和的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的性质．分和两种情况分类讨论即可确定正确的选项． 【详解】解：时，一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第一、三象限，无选项符合； 时，一次函数的图象经过第二、三、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第二、四象限，选项D符合． 故选：D． 9. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列分式方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设规定时间为天，再分别表示出慢马和快马的用时，通过快马速度是慢马的倍，即可列出正确方程． 【详解】解：设规定时间为天，则慢马用时为天、快马用时为天，则． 10. 如图，已知二次函数的图象与轴交于，顶点是，则以下结论：①；②；③若，则或；④．其中正确的是（ ） A. ①②③④ B. ②③④ C. ②③ D. ①④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图形与系数关系、抛物线与x轴的交点以及特殊值对函数值的影响等知识点，①由抛物线的开口方向、对称轴以及与y轴的交点，可得a、b、c的符号，进而可得的符号，结论①错误；②由抛物线与x轴交于，顶点是，可判断出抛物线与x轴的另一个交点为，当时，，结论②正确；③由题意可知对称轴为：直线，即，得，把，代入并化简得：，解得或，可判断出结论③正确；④把代入并计算可得，由对称轴可得，所以，由可得，再计算的值，可判断④错误． 【详解】解：①∵抛物线开口向上，对称轴在y轴左边，与y轴交于负半轴， ∴， ∴，故结论①错误； ②∵二次函数的图象与x轴交于，顶点是， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∵抛物线开口向上， ∴当时，，故结论②正确； ③由题意可知对称轴为：直线， ∴， ∴ 把，代入得：， ∴， 解得或， ∴当，则或，故结论③正确； ④把，代入得：， ∴， ∵ ∴， ∵抛物线与x轴的另一个交点为， ∴， ∴， ∴，故④错误． 故选：C． 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 使有意义的x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，关键在于根据题意推出，然后正确的解不等式即可． 根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，即可解答． 【详解】解：∵有意义， ∴， 即． 故答案为：． 12. 若，是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，一元二次方程根与系数的关系，准确的计算是解决本题的关键． 利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再代入表达式计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ． 故答案为：7． 13. 如图，为的内切圆，切点分别为，已知，则的半径为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了三角形内切圆，切线的性质，勾股定理等知识﹒ 连接证明四边形为正方形﹒设的半径为r，则﹒根据切线长定理得到，在中，根据勾股定理得到方程，解方程，舍去不合题意解即可﹒ 【详解】解：如图，连接﹒ ∵为切线， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴矩形为正方形﹒ 设的半径为r，则﹒ ∵为的内切圆， ∴， ∴在中，根据勾股定理得， 解得（舍去）﹒ ∴的半径为1﹒ 故答案为：1 14. 已知方程组的解满足，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，先利用加减消元法求出，再由得到，解方程即可． 【详解】解： 得：， 即， 把代入得：， 解得， 故答案为：． 15. 如图，在等边三角形中，，点D在上，，E是边上的动点，连接，以为斜边作等腰直角三角形，当的长为整数时，的面积为________． 【答案】1或或4 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形和直角三角形的性质，动点问题．解题的关键是添加辅助线和确定的取值范围．过点D作于点G，连接，利用“直角三角形30度角所对的直角边是斜边的一半”求出的长度，再利用勾股定理求出、的长度，然后确定的取值范围，继而确定的整数值，最后求出的面积． 【详解】解：如图，过点D作于点G，连接， 在等边三角形中，，， ， ，， ， ，， ， ， 由题意知，当点E在点G处时，的长最小，当点E在点B处时，的长最大， ， ，，的长为整数， 的长为2或3或4， 是以为斜边的等腰直角三角形， ， ， 的面积为1或或4． 故答案为：1或或4． 三、计算题（本大题3小题，16小题8分，17小题6分，18小题7分，共21分） 16. 计算与解方程组 （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值、指数幂、负整数指数幂的法则把算式中各部分计算出来，再根据运算法则进行计算； （2）用加减消元法解二元一次方程组． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 得：， 解得：， 把代入到①得：， 解得， 原方程组的解为． 17. 先化简，再求值，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 18. 海南简称琼，由于盛产椰树，故又有椰岛之称．这个海岸线长达一千五百多公里的中国第二大岛，与东南亚多国接邻.海南岛的风味菜式非常丰富，不止一味，其中以四大名菜最为著名.海南四大名菜为文昌鸡、加积鸭、东山羊和和乐蟹.为更好地提升服务质量，2024年11月，海口市某旅行社随机调查了接待的部分游客对四大名菜的喜好情况（每人限选一种），根据统计得到的数据，绘制了不完整的扇形统计图（图1）和条形统计图（图2）． 请根据统计图中提供的信息，解答下面的问题： （1）本次随机调查的游客总人数为 人，扇形统计图中n的值为 ； （2）请补全条形统计图； （3）该旅行社推出每人可免费品尝两种不同的四大名菜的活动，某游客从上述四大名菜中随机选择两种，请用画树状图或列表的方法求选到“加积鸭”和“和乐蟹”的概率． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的应用，用列表法或画树状图法求概率，熟练掌握用列表法和画树状图法求概率的方法是解题的关键． （1）根据条形统计图和条形统计图中的数据计算即可： （2）根据数据补全条形统计图即可； （3）先列表或画树状图，再根据表格或树状图中的信息求出概率即可． 【小问1详解】 解：， ， ∴， 故答案为：， ； 【小问2详解】 解：（人）， 补全条形统计图如下： 【小问3详解】 解：用A、B、C、D分别表示文昌鸡、加积鸭、东山羊和和乐蟹，画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中选到C、D的结果有两种， . 四、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与轴交于点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求的面积； （3）结合图象，请直接写出不等式的解集． 【答案】（1）， （2） （3）或． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式． （1）根据待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）求出点C坐标得到线段长，根据代入数据计算即可； （3）根据两个函数图象的位置及交点坐标，可直接写出不等式的解集． 【小问1详解】 解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点， ． 解得，． 反比例函数解析式为． 在一次函数的图象上， 解得 一次函数解析式为：． 【小问2详解】 解：在一次函数中，令，则， ． ． 【小问3详解】 解：根据两个函数图象的位置及交点坐标，可直接写出不等式的解集为：或． 20. 暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底A处出发，先步行到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度，A，B，C，D在同一平面内． （1）求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）； （2）求缆车的行驶路线的长（结果取整数）．（参考数据：，，；，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用---坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）过点作于，根据正弦的定义求出； （2）过点作于，根据矩形的性质求出，进而求出，再根据正弦的定义计算即可． 【小问1详解】 解：如图，过点作于， 在中，，m， 则m， 答：小明一家步行上升的垂直高度约为； 【小问2详解】 解：如图，过点作于， 则四边形为矩形， ， ， ， 在中，， 则， 答： 缆车的行驶路线的长约为． 21. 如图，是的直径，是延长线上的一点，点在上，，交的延长线于点，交于点，且点是的中点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据同圆中，等弧所对的圆周角相等得出，根据等边对等角得出，推得，根据内错角相等，两直线平行得出，根据两直线平行，同位角相等得出，即可证明； （2）设半径为，根据勾股定理可得，据此列出方程，解方程求出即可求得答案． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵点是的中点， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 又于点， ∴于点， ∵是的半径， ∴为的切线； 【小问2详解】 解：设半径为r，则，， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角性质，等边对等角，平行线的判定和性质，勾股定理，切线的判定．熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 五、解答题（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某公司计划购进一批新能源汽车，通过调查，将获取的相关数据整理如下表： 购买数量（单位：辆） 总费用（单位：万元） 甲型汽车 乙型汽车 2 1 60 3 4 115 （1）求甲、乙两种型号的汽车每辆分别为多少万元？ （2）若该公司计划正好用150万元购进甲、乙两种型号的汽车若干辆（两种型号汽车均购买），请直接写出该公司的购买方案． 【答案】（1）甲万元，乙万元 （2）共有种购买方案： 方案：甲辆，乙辆 方案：甲辆，乙辆 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键． （1）设甲型汽车的单价是x万元，乙型汽车的单价是y万元，根据“总价单价数量”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可得出答案； （2）设购买m辆甲型汽车，n辆乙型汽车，根据“总价单价数量”，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各购买方案． 【小问1详解】 解：设甲型汽车的单价是x万元，乙型汽车的单价是y万元， 根据题意得：， 解得：， 答：甲型汽车的单价是25万元，乙型汽车的单价是10万元； 【小问2详解】 解：设购买m辆甲型汽车，n辆乙型汽车， 根据题意得：， ∴，，， 又∵m，n均为正整数， ∴或， ∴该公司共有2种购买方案， 方案1：购买4辆甲型汽车，5辆乙型汽车； 方案2：购买2辆甲型汽车，10辆乙型汽车． 23. 如图，在平面直角坐标系中，过点的抛物线．分别交轴于两点（点在点的左侧），交轴于点． （1）求抛物线的函数表达式． （2）若点是抛物线对称轴上一点，当的周长取得最小值时，求点的坐标及的周长． （3）当，两点满足：，，且时，若符合条件的点的个数有2个，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）点的坐标为，的周长为 （3）的取值范围为 【解析】 【分析】(1)将点P的坐标代入抛物线表达式，即可求解； (2)求出抛物线的对称轴，抛物线与轴的交点两点的坐标，根据对称性可得两点关于对称轴对称，连接，交对称轴于点，连接，此时取得最小值，即可求出的周长，然后求出直线的函数表达式，进而即可得点的坐标； (3)分别求出、、，当时，根据勾股定理可得，化简可得关于的一元二次方程，由符合条件的点的个数有2个可得，解不等式结合已知条件即可求解． 【小问1详解】 解：在抛物线上， 解得：， 抛物线的函数表达式为：； 【小问2详解】 ， 抛物线的对称轴为直线， 由，得，， ，， 由得，， ， ∴由勾股定理得，， ， 两点关于对称轴对称， 连接，交对称轴于点，连接，如图， ， ，由两点之间，线段最短，此时取得最小值，即为的长， 是定值， 的周长此时最小为， 设直线的函数表达式为， ，解得， ， 当时，， 点的坐标为； 【小问3详解】 解：， ，， ， ， ， 整理得：， 符合条件的点的个数有2个， ， ， 解得：， ， 的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了抛物线的图象和性质的综合应用，勾股定理，求一次函数解析式，根的判别式，最短距离等知识点，熟练掌握其性质并能灵活运用是解决此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期 九年级数学科第一次月考监测 注：试卷满分120分，考试时间120分钟． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 在1，0，2，四个数中，最小的数是（ ） A. 1 B. 0 C. 2 D. 2. 2025年安徽省油菜秋种面积约735万亩，其中735万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，一个几何体由5个大小相同、棱长为1的小正方体搭成，下列说法正确的是（　　）． A. 主视图的面积为4 B. 左视图的面积为4 C. 俯视图的面积为3 D. 三种视图的面积都是4 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点在直线上，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平行四边形中，E是线段上一点，连接与相交于点F，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点A，B，C在上，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 在同一平面直角坐标系中，函数（为常数，且）和的图象大致是（ ） A. B. C. D. 9. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列分式方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知二次函数的图象与轴交于，顶点是，则以下结论：①；②；③若，则或；④．其中正确的是（ ） A. ①②③④ B. ②③④ C. ②③ D. ①④ 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 使有意义的x的取值范围是______． 12. 若，是方程的两个实数根，则的值为______． 13. 如图，为的内切圆，切点分别为，已知，则的半径为__________． 14. 已知方程组的解满足，则_____． 15. 如图，在等边三角形中，，点D在上，，E是边上的动点，连接，以为斜边作等腰直角三角形，当的长为整数时，的面积为________． 三、计算题（本大题3小题，16小题8分，17小题6分，18小题7分，共21分） 16. 计算与解方程组 （1）； （2） 17. 先化简，再求值，其中． 18. 海南简称琼，由于盛产椰树，故又有椰岛之称．这个海岸线长达一千五百多公里的中国第二大岛，与东南亚多国接邻.海南岛的风味菜式非常丰富，不止一味，其中以四大名菜最为著名.海南四大名菜为文昌鸡、加积鸭、东山羊和和乐蟹.为更好地提升服务质量，2024年11月，海口市某旅行社随机调查了接待的部分游客对四大名菜的喜好情况（每人限选一种），根据统计得到的数据，绘制了不完整的扇形统计图（图1）和条形统计图（图2）． 请根据统计图中提供的信息，解答下面的问题： （1）本次随机调查的游客总人数为 人，扇形统计图中n的值为 ； （2）请补全条形统计图； （3）该旅行社推出每人可免费品尝两种不同的四大名菜的活动，某游客从上述四大名菜中随机选择两种，请用画树状图或列表的方法求选到“加积鸭”和“和乐蟹”的概率． 四、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与轴交于点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求的面积； （3）结合图象，请直接写出不等式的解集． 20. 暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底A处出发，先步行到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度，A，B，C，D在同一平面内． （1）求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）； （2）求缆车的行驶路线的长（结果取整数）．（参考数据：，，；，，） 21. 如图，是的直径，是延长线上的一点，点在上，，交的延长线于点，交于点，且点是的中点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长度． 五、解答题（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某公司计划购进一批新能源汽车，通过调查，将获取的相关数据整理如下表： 购买数量（单位：辆） 总费用（单位：万元） 甲型汽车 乙型汽车 2 1 60 3 4 115 （1）求甲、乙两种型号的汽车每辆分别为多少万元？ （2）若该公司计划正好用150万元购进甲、乙两种型号的汽车若干辆（两种型号汽车均购买），请直接写出该公司的购买方案． 23. 如图，在平面直角坐标系中，过点的抛物线．分别交轴于两点（点在点的左侧），交轴于点． （1）求抛物线的函数表达式． （2）若点是抛物线对称轴上一点，当的周长取得最小值时，求点的坐标及的周长． （3）当，两点满足：，，且时，若符合条件的点的个数有2个，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $