精品解析：广东省 汕头市潮阳区龙港初级中学2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

数学科试题 （全卷满分120分，考试用时120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 用配方法解一元二次方程，变形正确的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列汽车标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B. C. D. 3. 一个布袋里装有2个红球、3个黄球和5个白球，除颜色外其它都相同，搅匀后任意摸出一个球，是白球的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示的几何体是由七个相同的小正方体组合而成的，它的俯视图是 （ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，则（ ） A. B. 2 C. D. 6. 如图，点A，B，C，D，E都在⊙O上，∠BAC＝15°，∠BOD＝70°，则∠CED的度数是（ ） A. 15° B. 20° C. 25° D. 55° 7. 设、是抛物线上的两点，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正方形网格中：、的顶点都在正方形网格的格点上，，则的度数为（ ） A 30° B. 45° C. 60° D. 75° 9. 如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图像顶点为P（1，m），经过点A（2，1）；有以下结论：①a<0；②abc＞0；③4a+2b+c＝1；④x>1时，y随x的增大而减小；⑤对于任意实数t，总有at2+bt≤a+b，其中正确的有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 10. 如图，在平面直角坐标系中，四边形的边与轴的正半轴重合，，轴，对角线交于点．已知的面积为4.若反比例函数的图象恰好经过点，则的值为（ ） A B. C. D. 12 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 点与点关于原点对称，则________． 12. 已知函数是反比例函数，且图象在第二、四象限内，则值是______． 13. 已知抛物线与轴没有交点，则的取值范围是_____． 14. 如图，正方形ABCD的边长为4，分别以B、D为圆心，正方形的边长为半径画圆，则图中的阴影部分面积为_____．（结果保留π） 15. 如图，在四边形中，，点E在线段上运动，点F在线段上，，则线段的最小值为__________． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分．） 16. 计算：． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 万科广场已成为人们周末休闲娱乐的重要场所，从一楼到二楼有一自动扶梯（如图1），图2是侧面示意图，已知自动扶梯的坡度（或坡比），米，是二楼楼顶，，点B在上且在自动扶梯顶端C的正上方，若，在自动扶梯底端A处测得B点仰角为40°，求二楼的层高．（精确到0．1米，参考数据：） 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分．） 19. 某校为了解学生参加“第二课堂”社团活动的情况，对报名参加A：足球，B：象棋，C：羽毛球，D：舞蹈这四项社团活动的学生（每人必选且只能选修一项）中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图1中A所占扇形的圆心角为． 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次被调查的学生共有_______人．并将条形统计图补充完整； （2）若该校共有1000学生加入“第二课堂”社团活动，请你估计这1000名学生中有多少人参加了羽毛球社团； （3）在象棋社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，现决定从这四人中任选两名参加市级象棋大赛、用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率． 20. 如图，在中，AB>AD． （1）用尺规完成以下基本作图：在AB上截取AE，使得AE=AD；作∠BCD的平分线交AB于点F．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图形中，连接DE交CF于点P，猜想△CDP按角分类的类型，并证明你的结论． 21. 大鹏童装店销售某款童装每件售价60元，每星期可卖100件，为了促销，该店决定降价销售，经市场调查反应：每降价1元，每星期可多卖出10件，已知该款童装每件成本30元，设该款童装每件售价元每星期销售量为件． （1）求与之间的函数关系式； （2）若商店按每件售价不超过45元来销售，当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少？ （3）若该店每星期想要获得不低于3910元的利润，则每星期至少要销售该童装多少件？ 五、解答题（三）（本大题共3小题，每小题10分，共30分．） 22. 如图，中，，是的中点，经过点作外接圆的切线交于点，过点作交的延长线于点，连接交于点，平分． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，请求出的值． 23. （1）【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE． （2）【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出的值． （3）【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．连接BD，CE． ①求的值； ②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值． 24. 如图，抛物线经过点，，连接，点是第一象限内抛物线上一动点． （1）求抛物线的表达式； （2）过点作轴的垂线，交于点，当以，，为顶点的三角形是直角三角形时，请求出点的坐标； （3）点与点关于轴对称，连接，，，当点运动到什么位置时，的面积最大？求面积的最大值及此时点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学科试题 （全卷满分120分，考试用时120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 用配方法解一元二次方程，变形正确是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据完全平方公式和等式的性质进行配方即可． 【详解】解： 故选：B． 【点睛】本题考查了配方法，其一般步骤为：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 2. 下列汽车标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，正确记忆轴对称图形是沿着某条直线对折，图形两部分能够完全重合的图形，中心对称图形是绕某点，旋转度后与自身重合的图形是解题关键． 根据中心对称和轴对称的概念得出结论即可． 【详解】解：A、沿着某条直线对折，图形两部分能够完全重合的图形，是轴对称图形，旋转180度后不能与自身重合，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、沿着某条直线对折，图形两部分能够完全重合的图形，是轴对称图形，旋转180度后能与自身重合，是中心对称图形，故本选项符合题意； C、沿着某条直线对折，图形两部分能够完全重合的图形，是轴对称图形，旋转180度后不能与自身重合，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、沿着某条直线对折，图形两部分不能够完全重合的图形，不是轴对称图形，旋转180度后能与自身重合，是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：B． 3. 一个布袋里装有2个红球、3个黄球和5个白球，除颜色外其它都相同，搅匀后任意摸出一个球，是白球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据概率公式解答即可. 【详解】袋子里装有2个红球、3个黄球和5个白球共10个球，从中摸出一个球是白球的概率为：． 故选A. 【点睛】本题考查了随机事件概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝ ． 4. 如图所示的几何体是由七个相同的小正方体组合而成的，它的俯视图是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据俯视图的定义即可判断． 【详解】解：如图所示的几何体的俯视图是D． 故选：D． 【点睛】此题考查几何体的三视图，理解三视图的定义是正确解题的关键． 5. 如图，在中，，，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理，可得AB与BC的关系，根据正弦函数的定义，可得答案． 【详解】∵∠C=90°， ∴， ∴， ，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，先利用勾股定理得出AB与AC的关系，再利用正弦函数的定义． 6. 如图，点A，B，C，D，E都在⊙O上，∠BAC＝15°，∠BOD＝70°，则∠CED的度数是（ ） A. 15° B. 20° C. 25° D. 55° 【答案】B 【解析】 【分析】首先连接BE，由圆周角定理即可得∠BEC的度数、∠BED的度数，然后由圆周角定理，再根据角的和差即可得解． 【详解】：解：连接BE， ∵∠BOD＝70°， ∴∠BED＝∠BOD＝35°， ∵∠BEC＝∠BAC＝15°， ∴∠CED＝∠BED−∠BEC＝35°−15°＝20°， 故选：B． 【点睛】此题考查了圆周角定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键． 7. 设、是抛物线上的两点，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点坐标特征，先根据已知条件求出二次函数的图象开口方向和对称轴，再根据点A、B的横坐标的大小即可判断出与的大小关系． 【详解】解：∵ ∴抛物线的开口向下，的对称轴是直线， ∴离对称轴越近越大， ∵， ∴． 故选：A． 8. 如图，在正方形网格中：、的顶点都在正方形网格的格点上，，则的度数为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 【答案】B 【解析】 【分析】利用相似三角形的性质，证明，可得结论． 【详解】解：， ， ， 故选：． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题关键是证明． 9. 如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图像顶点为P（1，m），经过点A（2，1）；有以下结论：①a<0；②abc＞0；③4a+2b+c＝1；④x>1时，y随x的增大而减小；⑤对于任意实数t，总有at2+bt≤a+b，其中正确的有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】①根据抛物线的开口方向向下即可判定；②先运用二次函数图像的性质确定a、b、c的正负即可解答；③将点A的坐标代入即可解答；④根据函数图像即可解答；⑤运用作差法判定即可． 【详解】解：①由抛物线的开口方向向下，则a＜0，故①正确； ②∵抛物线的顶点为P（1，m） ∴，b=-2a ∵a＜0 ∴b＞0 ∵抛物线与y轴的交点在正半轴 ∴c＞0 ∴abc＜0，故②错误； ③∵抛物线经过点A（2，1） ∴1＝a·22+2b+c，即4a+2b+c＝1，故③正确； ④∵抛物线的顶点为P（1，m），且开口方向向下 ∴x>1时，y随x的增大而减小，即④正确； ⑤∵a＜0 ∴at2+bt-（a+b） = at2-2at-a+2a = at2-2at+a =a（t2-2t+1） = a（t-1）2≤0 ∴at2+bt≤a+b，则⑤正确 综上，正确的共有4个． 故答案为C． 【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，灵活运用二次函数图像的性质以及掌握数形结合思想成为解答本题的关键． 10. 如图，在平面直角坐标系中，四边形的边与轴的正半轴重合，，轴，对角线交于点．已知的面积为4.若反比例函数的图象恰好经过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】过点M作ME⊥x轴于点E，则有ME∥BD，，进而可得、，然后根据相似三角形的面积比与相似比的关系可进行求解． 【详解】解：过点M作ME⊥x轴于点E，如图所示： ∵轴， ∴ME∥BD， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵的面积为4， ∴， ∵， ∴， 由题可知△OMB、△OBD的高是相同的，则有， ∴， ∵ME∥BD， ∴， ∴， ∴， 由反比例函数k的几何意义可得：， ∵， ∴； 故选B． 【点睛】本题主要考查反比例函数k的几何意义及相似三角形的性质与判定，熟练掌握反比例函数k的几何意义及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 点与点关于原点对称，则________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，即可求出答案． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， 则． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键． 12. 已知函数是反比例函数，且图象在第二、四象限内，则的值是______． 【答案】-3 【解析】 【分析】直接利用反比例函数的定义结合反比例函数图象分布得出，且，进而得出答案． 【详解】解：函数是反比例函数，且图象在第二、四象限内， ，且， 解得：． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的定义、反比例函数的性质，正确掌握反比例函数的性质是解题关键． 13. 已知抛物线与轴没有交点，则取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点问题， 抛物线与轴没有交点，则，进而求解，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 【详解】解：若抛物线与轴没有交点， ∴， 解得， 故答案为：． 14. 如图，正方形ABCD的边长为4，分别以B、D为圆心，正方形的边长为半径画圆，则图中的阴影部分面积为_____．（结果保留π） 【答案】8π﹣16 【解析】 【分析】由图可知，阴影部分的面积是两个圆心角为90°，且半径为4的扇形的面积与正方形的面积的差，可据此求出阴影部分的面积． 【详解】解：由题意可得出：S阴影＝2S扇形﹣S正方形＝2×﹣42＝8π﹣16， 故答案为:8π﹣16． 【点睛】本题考查了扇形的面积，正方形的性质，得出S阴影=2S扇形-S正方形是解题关键． 15. 如图，在四边形中，，点E在线段上运动，点F在线段上，，则线段的最小值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】设的中点为O，以为直径画圆，连接，设与的交点为点，证明，可知点F在以为直径的半圆上运动，当点F运动到与的交点时，线段有最小值，据此求解即可． 【详解】解：设的中点为O，以为直径画圆，连接，设与的交点为点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点F在以为直径的半圆上运动， ∴当点F运动到与的交点时，线段有最小值， ∵， ∴，， ∴， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，圆周角定理的推论，勾股定理等知识，根据题意分析得到点F的运动轨迹是解题的关键． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分．） 16. 计算：． 【答案】4 【解析】 【分析】根据二次根式的化简，负指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，以及绝对值的性质分别化简后再计算二次根式的加减法． 【详解】解： ． 【点睛】此题考查二次根式的运算法则，正确掌握二次根式的化简，零指数幂的定义，负整数指数幂，熟记特殊角的三角函数值，以及绝对值的性质是解题的关键． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把前面两个分式的分子和分母都分解因式，再把除法变成乘法后约分，接着计算分式减法化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 18. 万科广场已成为人们周末休闲娱乐的重要场所，从一楼到二楼有一自动扶梯（如图1），图2是侧面示意图，已知自动扶梯的坡度（或坡比），米，是二楼楼顶，，点B在上且在自动扶梯顶端C的正上方，若，在自动扶梯底端A处测得B点仰角为40°，求二楼的层高．（精确到0．1米，参考数据：） 【答案】米 【解析】 【分析】如图所示，延长交于D，先解求出米，米，再解，求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，延长交于D， ∵，， ∴，即， ∵自动扶梯的坡度（或坡比）， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴米（负值舍去）， ∴米， 在中，， ∴米， ∴米， ∴二楼的层高约为米． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分．） 19. 某校为了解学生参加“第二课堂”社团活动的情况，对报名参加A：足球，B：象棋，C：羽毛球，D：舞蹈这四项社团活动的学生（每人必选且只能选修一项）中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图1中A所占扇形的圆心角为． 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次被调查的学生共有_______人．并将条形统计图补充完整； （2）若该校共有1000学生加入“第二课堂”社团活动，请你估计这1000名学生中有多少人参加了羽毛球社团； （3）在象棋社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，现决定从这四人中任选两名参加市级象棋大赛、用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率． 【答案】（1）200，图见解析 （2）这名学生中有人参加了羽毛球社团； （3） 【解析】 【分析】本题考查的是概率，统计图的应用，熟练掌握统计图和树状图或列表法求概率是解题的关键． （1）根据扇形统计图得出足球所占的比，再用即可确定总人数，用调查总人数减去各个社团人数即可，然后补全统计图即可； （2）用1000乘以羽毛球人数所占的百分比即可求解； （3）根据题意利用列表法或树状图法求概率即可． 【小问1详解】 解：类有人，所占扇形的圆心角为， 这次被调查的学生共有：（人）； 故答案为； ∴项目对应人数为：（人）； 补充如图． 【小问2详解】 （人） 答：这名学生中有人参加了羽毛球社团； 【小问3详解】 画树状图得： 共有种等可能的情况，恰好选中甲、乙两位同学的有种， （选中甲、乙）． 20. 如图，在中，AB>AD． （1）用尺规完成以下基本作图：在AB上截取AE，使得AE=AD；作∠BCD的平分线交AB于点F．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图形中，连接DE交CF于点P，猜想△CDP按角分类的类型，并证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2）直角三角形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）直接利用角平分线的作法得出符合题意的答案； （2）先证明∠ADE=∠CDE，再利用平行线的性质“同旁内角互补”，得出∠CPD=90即可得出答案． 【详解】解：（1）解：如图所示：E，F即为所求； （2）△CDP是直角三角形． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC，AD∥BC． ∴∠CDE=∠AED，∠ADC+∠BCD=180°， ∵AD=AE， ∴∠ADE=∠AED． ∴∠CED=∠ADE=∠ADC． ∵CP平分∠BCD， ∴∠DCP=∠BCD， ∴∠CDE+∠DCP=90°． ∴∠CPD=90°． ∴△CDP是直角三角形． 【点睛】本题主要考查了基本作图以及平行四边形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 21. 大鹏童装店销售某款童装每件售价60元，每星期可卖100件，为了促销，该店决定降价销售，经市场调查反应：每降价1元，每星期可多卖出10件，已知该款童装每件成本30元，设该款童装每件售价元每星期销售量为件． （1）求与之间的函数关系式； （2）若商店按每件售价不超过45元来销售，当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少？ （3）若该店每星期想要获得不低于3910元的利润，则每星期至少要销售该童装多少件？ 【答案】（1） （2）每件售价为45元时，每星期的销售利润最大，最大利润3750元 （3）每星期至少要销售该款童装170件 【解析】 【分析】（1）根据售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系即可得到结论． （2）设每星期利润为W元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题． （3）列出不等式先求出售价的范围，即可解决问题． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 设每星期利润为元， ， 当时，随的增大而增大， 时，最大值， 当每件售价为45元时，每星期的销售利润最大，最大利润3750元； 【小问3详解】 ①由题意：， 解得：或47， 当每件童装售价定为53元或47元时，该店一星期可获得3910元的利润． ②由题意：， 解得：， ． ， 每星期至少要销售该款童装170件． 【点睛】本题考查二次函数的应用，一元二次不等式，解题的关键是构建二次函数解决最值问题． 五、解答题（三）（本大题共3小题，每小题10分，共30分．） 22. 如图，中，，是的中点，经过点作外接圆的切线交于点，过点作交的延长线于点，连接交于点，平分． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，请求出的值． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了圆的综合题，熟练掌握圆的切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据切线的定义证得，然后由角平分线的性质即可证得； （2）根据全等直角三角形的判定定理HL证得；然后由全等三角形的对应角相等和等腰三角形“三线合一”的性质即可证得； （3）由相似三角形的对应边成比例求得，然后在中利用正切三角函数的定义即可求的值． 【小问1详解】 证明：， 是外接圆的直径， 又是外接圆的切线， ， 又，平分， ． 【小问2详解】 证明：在和 中， 为的高线 ； 【小问3详解】 解：=，理由如下： ， ， 又 ，是的中点 ． 23. （1）【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE． （2）【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出的值． （3）【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．连接BD，CE． ①求的值； ②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值． 【答案】（1）见解析 （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）证明△BAD≌△CAE，从而得出结论； （2）证明△BAD∽△CAE，进而得出结果； （3）①先证明△ABC∽△ADE，再证得△CAE∽△BAD，进而得出结果； ②在①的基础上得出∠ACE＝∠ABD，进而∠BFC＝∠BAC，进一步得出结果． 【小问1详解】 证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°， ∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝CE； 【小问2详解】 解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ，∠DAE＝∠BAC＝45°， ∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴△BAD∽△CAE， ； 【小问3详解】 解：①，∠ABC＝∠ADE＝90°， ∴△ABC∽△ADE， ∴∠BAC＝∠DAE，， ∴∠CAE＝∠BAD， ∴△CAE∽△BAD， ； ②由①得：△CAE∽△BAD， ∴∠ACE＝∠ABD， ∵∠AGC＝∠BGF， ∴∠BFC＝∠BAC， ∴sin∠BFC． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形． 24. 如图，抛物线经过点，，连接，点是第一象限内抛物线上一动点． （1）求抛物线表达式； （2）过点作轴的垂线，交于点，当以，，为顶点的三角形是直角三角形时，请求出点的坐标； （3）点与点关于轴对称，连接，，，当点运动到什么位置时，的面积最大？求面积的最大值及此时点的坐标． 【答案】（1） （2）存在，点P的坐标为或 （3）面积的最大值是8，点P的坐标是． 【解析】 【分析】（1）把点，，代入解析式，即可求解； （2）分两种情况讨论：当时，当时，即可求解； （3）设的延长线交与点N，求出直线的表达式为：，然后设点，则），得，再根据二次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点，， 把点，代入解析式得： ， 解得， ∴二次函数的解析式为：； 【小问2详解】 解：设， 当时，则有轴，如图， ∴点P的纵坐标为2， ∴， 解得：（舍去）或， ∴； 当时，过点P作轴，垂足为M，如图， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴=， 即， 解得：（舍）或， ∴， 综上所述，当以为顶点的三角形是直角三角形时，点P的坐标为或； 【小问3详解】 解：设的延长线交与点N， ∵，点C与点B关于x轴对称， ∴， 设直线的表达式为：， 把A，C代入得： ， 解得， ∴直线的表达式为：， 设点，则）， ∴ ∴， ∵， ∴有最大值，且， ∴当时，的面积最大，最大面积是8， 此时，， 综上所述，面积的最大值是8，点P的坐标是． 【点睛】本题主要考查了二次函数与三角形的综合题，待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质，并利用数形结合和分类讨论思想解答是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$