精品解析：天津市津南区小站第一中学2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试卷

2026年小站一中高二下期中考试数学试卷 一、选择题 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合交集的概念直接求解即可. 【详解】因为集合，， 所以， 故选：B 2. 对变量，由观测数据得散点图1：对变量，由观测数据得散点图2，由这两个散点图可以推断（ ） A. 与正相关，与正相关 B. 与正相关，与负相关 C. 与负相关，与负相关 D. 与负相关，与正相关 【答案】D 【解析】 【详解】观察图1，增大时，整体逐渐减小，因此与负相关； 观察图2，增大时，整体逐渐增大，因此与正相关. 3. “”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分必要条件的概念即对数函数的定义域即可判断. 【详解】当时不能推出，而可以推出，所以是必要不充分条件. 故选：C. 4. 下列说法错误的是（ ） A. 农作物的产量与施肥量之间具有相关关系 B. 两个模型中残差平方和越小的模型拟合效果越好 C. 线性相关系数|r|越接近1，成对样本数据的线性相关程度越弱 D. 甲､乙两个模型的分别为0.88和0.94，则乙模型的拟合效果好 【答案】C 【解析】 【分析】利用相关关系的定义判断选项A的真假，利用回归分析的知识判断选项BCD的真假. 【详解】A. 农作物的产量与施肥量之间具有相关关系，所以该选项正确； B. 两个模型中残差平方和越小的模型拟合效果越好，所以该选项正确； C. 线性相关系数|r|越接近1，成对样本数据的线性相关程度越强，所以该选项错误； D. 甲､乙两个模型的分别为0.88和0.94，则乙模型的拟合效果好，所以该选项正确. 故选：C 5. 下列求导运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本初等函数的求导公式及导数的四则运算法则，对四个选项一一验证即可. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确. 故选：D 6. 已知的展开式共有6项，则展开式中各项二项式系数的和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得，从而得到二项式系数和； 【详解】解：因为的展开式共有6项，所以， 所以展开式中各项二项式系数的和为， 故选：A 7. 甲､乙两家工厂加工一批同种规格的零件，甲厂加工的次品率为，乙厂加工的次品率为，加工出来的零件混放在一起.已知甲､乙两家工厂加工的零件数分别占总数的.现从中任取一个零件，则取到次品的概率为（ ） A. 0.0008 B. 0.029 C. 0.031 D. 0.2483 【答案】B 【解析】 【分析】假设两家工厂生产的零件总数为，分别结算两厂生产的次品数，求和后可得到取到次品的概率. 【详解】解：根据题意，假设两家工厂生产的零件总数为，则甲工厂生产的零件数为，乙工厂生产的零件数为，甲工厂生产的次品数为，乙工厂生产的次品数为，则一共有次品， 则任取一个零件是次品的概率为0.029，正确， 故选：B. 8. 已知随机变量X的分布列如下表： X 0 1 P a b 若，则（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求得，由分布列的性质，求得，结合数学期望与方差的计算公式，即可求解. 【详解】由随机变量的分布列，可得，可得， 又由，可得， 所以， 则. 故选：A. 9. 已知函数满足函数恰有5个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画出的图象， 因为与，与的图象关于轴对称， 且与交于原点，要使恰有5个零点， 与的图象必需有两个交点，求出与相切时的值可得答案. 【详解】因为，所以， ，因为函数恰有5个零点， 所以的图象恰有5个交点，画出的图象，由图象可得， 因为与，与的图象关于轴对称， 且与交于原点，要恰有5个零点， 则与，与的图象必有两个交点， 当与的图象相切时，设切点， 此时切线的斜率为，可得，得，所以切点， 即，交点， 所以要使函数恰有5个零点，则. 故选：A. 二、填空题 10. 已知X是离散型随机变量，且，若随机变量，则___________，___________. 【答案】 ①. 7 ②. 2 【解析】 【分析】根据随机变量的期望与方差的性质，即可求解. 【详解】由题意，随机变量满足， 因为随机变量，可得，. 故答案为：；. 11. 曲线在点处的切线方程为___________. 【答案】 【解析】 【分析】求导得，进而得切线的斜率，再根据点斜式方程求解即可. 【详解】求导得，故切线的斜率为， 故切线方程为， 即． 故答案为： 12. 已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.8，两个路口连续遇到红灯的概率为0.4，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件概率公式计算即可. 【详解】设事件：第一个路口遇到红灯，事件：第二个路口遇到红灯， 则，， ， 故答案为：. 13. 的展开式中的常数项为_______． 【答案】 【解析】 【分析】求得展开式的通项，结合通项确定的值，代入即可求解. 【详解】由题意，二项式展开式的通项为， 令，可得， 所以展开式的常数项为. 故答案为：. 14. 在天津的新高考改革中，考生除参加语文､数学､英语的统一考试外，还需从思想政治､历史､地理､物理､化学､生物科中任选科参加高考，则不同的选考方法共有种___________.若某同学计划从思想政治､历史中至少选一科参加高考，则该生不同的选考方法共有___________种.(用数字作答) 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用组合数可直接计算求得任选科的选法种数；首先确定思想政治和历史均未被选择的选法种数，采用间接法可求得结果. 【详解】从思想政治､历史､地理､物理､化学､生物科中任选科，共有种选法； 若思想政治和历史均未被选择，则共有种选法，则从思想政治和历史中至少选一科的选法种数为种. 故答案为：；. 15. 已知函数，则的极小值为___________；若函数，对于任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是___________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）利用导数可求得函数的极小值； （2）由题意可得出，分、、三种情况讨论，根据题意可得出关于的不等式，进而可求得的取值范围. 【详解】由，得， 令，得， 列表如下： 递减 极小值 递增 所以，函数的极小值为； （2），，使得，即，. ①当时，函数单调递增，， ，即； ②当时，函数单调递减，， ，即； ③当时，，不符合题意. 综上：. 故答案为：；. 三、解答题 16. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）求在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1）递增区间为、，递减区间为 （2）， 【解析】 【分析】（1）利用函数的单调性与导数的关系可求得函数的增区间和减区间； （2）分析函数在区间上的单调性，进而可求得函数在区间上的最大值和最小值. 【小问1详解】 解：，所以，. 由，解得或； 由，解得， 所以的递增区间为、，递减区间为. 【小问2详解】 解：由（1）可知，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以，，， 又因为，，所以， 由（1）知是的极大值点，是的极小值点， 所以极大值，极小值， 又，，，. 17. 为调查某商品一天的销售量及其价格是否具有线性相关关系，某市发改委随机选取五个超市的销售情况进行统计，数据如下表： 价格（元） 8 10 12 销售量（件） 11 10 8 6 5 通过分析，发现商品的销售量y与价格x具有线性相关关系. （1）根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程；（保留两位小数） （2）根据（1）所得的经验回归方程，若使销售量为12件，估计价格是多少，（结果保留两位小数） 附：在经验回归方程中， 【答案】（1）； （2）预测销售量为12件时的售价是7.58元. 【解析】 【分析】（1）根据所给数据求出，，即可得出回归直线方程； （2）根据回归方程，求出预测值即可. 【小问1详解】 由题意知，， ，， 线性回归方程是； 【小问2详解】 令， 可得， 预测销售量为12件时的售价是7.58元. 18. 《中华人民共和国民法典》被称为“社会生活的百科全书”，是新中国第一部以法典命名的法律，在法律体系中居于基础性地位，也是市场经济的基本法.为了增强学生的法律意识，了解法律知识，某大学为此举行了《中华人民共和国民法典》知识竞赛，该校某专业的100名大一学生参加了学校举行的测试，若把分数不低于90分的成绩称为优秀，整理得如下列联表： 性别 竞赛成绩 合计 优秀 不优秀 男 5 60 65 女 7 28 35 合计 12 88 100 参考数据： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参考公式： （1）依据的独立性检验，能否认为该校此专业大一学生的性别与测试成绩有关联； （2）若从获优秀的学生中随机抽取3人进行座谈，记X为抽到男生的人数，求随机变量X的分布列和数学期望. 【答案】（1）该校此专业大一学生的性别与测试成绩没有关联；（2）分布列见解析，数学期望. 【解析】 【分析】（1）假设：性别与测试成绩之间没有关联，计算，结合题意，分析即可得答案. （2）X可能取的值为0，1，2，3，分别计算各个取值对应的概率，列出分布列，求得期望即可 【详解】解：（1）假设：性别与测试成绩之间没有关联. 根据列联表中的数据，经计算得到 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此，可以认为成立，即该校此专业大一学生的性别与测试成绩没有关联. （2）X服从超几何分布，X可能取的值为0，1，2，3 ， ， 随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以期望 19. 已知甲､乙两个企业招聘员工的笔试环节都设有三个题目.若某毕业生参加甲企业的笔试时，答对每个题目的概率均为；参加乙企业的笔试时，答对每个题目的概率依次为，，，且该毕业生是否能答对每个题目是相互独立的. （1）求该毕业生参加甲企业的笔试时恰好答对两个题目的概率； （2）用X表示该毕业生参加乙企业的笔试时答对题目的个数，求随机变量X的分布列和数学期望. 【答案】（1）；（2）分布列答案见解析，数学期望：. 【解析】 【分析】（1）根据毕业生参加甲企业的笔试时，答对每个题目的概率均为，利用独立重复试验求解. （2）易得X的可能取值为0，1，2，3，再分别求得其相应概率，列出分布列，然后求期望. 【详解】（1）设“该毕业生参加甲企业的笔试时恰好答对两个题目”为事件A，则 . （2）X的可能取值为0，1，2，3. ， ， ， ， 分布列为： X 0 1 2 3 P . 20. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若的最大值为，求a的值； （3）若对于任意的，当时，都有不等式成立，求a的取值范围. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）求出和，写出切线方程； （2）求出导函数，对a讨论，利用单调性求出最大值，进而求出a的值； （3）对分离变量后转化为，构造函数，根据单调性，分离参数，即可求出a的取值范围. 【详解】（1）当时，. 所以. 所以，曲线在点处的切线方程为，即. （2）. （i）当时，在上恒成立， 所以在区间上单调递增，无最大值. （ii）当时，令，解得，令，解得. 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减. 所以，. 令，解得. （3）因为，所以，不等式可化为，即 设，所以，原不等式可化为. 故h在上单调递减. 因为， 所以，在上恒成立. 即在上恒成立. 因为， 所以，当时，. 所以，a的取值范围是. 【点睛】导数的应用主要有： （1）利用导函数几何意义求切线方程； （2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）； （3）利用导数求参数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年小站一中高二下期中考试数学试卷 一、选择题 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 对变量，由观测数据得散点图1：对变量，由观测数据得散点图2，由这两个散点图可以推断（ ） A. 与正相关，与正相关 B. 与正相关，与负相关 C. 与负相关，与负相关 D. 与负相关，与正相关 3. “”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 下列说法错误的是（ ） A. 农作物的产量与施肥量之间具有相关关系 B. 两个模型中残差平方和越小的模型拟合效果越好 C. 线性相关系数|r|越接近1，成对样本数据的线性相关程度越弱 D. 甲､乙两个模型的分别为0.88和0.94，则乙模型的拟合效果好 5. 下列求导运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知的展开式共有6项，则展开式中各项二项式系数的和为（ ） A. B. C. D. 7. 甲､乙两家工厂加工一批同种规格的零件，甲厂加工的次品率为，乙厂加工的次品率为，加工出来的零件混放在一起.已知甲､乙两家工厂加工的零件数分别占总数的.现从中任取一个零件，则取到次品的概率为（ ） A. 0.0008 B. 0.029 C. 0.031 D. 0.2483 8. 已知随机变量X的分布列如下表： X 0 1 P a b 若，则（ ） A. B. C. 0 D. 9. 已知函数满足函数恰有5个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 10. 已知X是离散型随机变量，且，若随机变量，则___________，___________. 11. 曲线在点处的切线方程为___________. 12. 已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.8，两个路口连续遇到红灯的概率为0.4，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为___________. 13. 的展开式中的常数项为_______． 14. 在天津的新高考改革中，考生除参加语文､数学､英语的统一考试外，还需从思想政治､历史､地理､物理､化学､生物科中任选科参加高考，则不同的选考方法共有种___________.若某同学计划从思想政治､历史中至少选一科参加高考，则该生不同的选考方法共有___________种.(用数字作答) 15. 已知函数，则的极小值为___________；若函数，对于任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是___________. 三、解答题 16. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）求在区间上的最大值和最小值. 17. 为调查某商品一天的销售量及其价格是否具有线性相关关系，某市发改委随机选取五个超市的销售情况进行统计，数据如下表： 价格（元） 8 10 12 销售量（件） 11 10 8 6 5 通过分析，发现商品的销售量y与价格x具有线性相关关系. （1）根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程；（保留两位小数） （2）根据（1）所得的经验回归方程，若使销售量为12件，估计价格是多少，（结果保留两位小数） 附：在经验回归方程中， 18. 《中华人民共和国民法典》被称为“社会生活的百科全书”，是新中国第一部以法典命名的法律，在法律体系中居于基础性地位，也是市场经济的基本法.为了增强学生的法律意识，了解法律知识，某大学为此举行了《中华人民共和国民法典》知识竞赛，该校某专业的100名大一学生参加了学校举行的测试，若把分数不低于90分的成绩称为优秀，整理得如下列联表： 性别 竞赛成绩 合计 优秀 不优秀 男 5 60 65 女 7 28 35 合计 12 88 100 参考数据： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参考公式： （1）依据的独立性检验，能否认为该校此专业大一学生的性别与测试成绩有关联； （2）若从获优秀的学生中随机抽取3人进行座谈，记X为抽到男生的人数，求随机变量X的分布列和数学期望. 19. 已知甲､乙两个企业招聘员工的笔试环节都设有三个题目.若某毕业生参加甲企业的笔试时，答对每个题目的概率均为；参加乙企业的笔试时，答对每个题目的概率依次为，，，且该毕业生是否能答对每个题目是相互独立的. （1）求该毕业生参加甲企业的笔试时恰好答对两个题目的概率； （2）用X表示该毕业生参加乙企业的笔试时答对题目的个数，求随机变量X的分布列和数学期望. 20. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若的最大值为，求a的值； （3）若对于任意的，当时，都有不等式成立，求a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $