精品解析：天津市小站第一中学2025-2026学年高二数学下学期第一次阶段检测卷

2025～2026学年高二数学下学期第一次阶段检测卷 一、选择题：本题共9小题，每小题4分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列说法中正确的有（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则（ ） A. 在上单调递减 B. 的极大值点为0 C. 的极大值为1 D. 有3个零点 3. 函数的导函数图象如左图所示，则该函数图象可能是（ ） A. B. C. D. 4. 学校食堂的一个窗口共卖3种菜，甲、乙、丙、丁、戊5名同学每人从中选一种，则选法的可能方式共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 5. 甲、乙、丙三位教师指导六名学生a、b、c、d、e、f参加全国高中数学联赛，若每位教师至少指导一名学生，其中甲指导三名学生，则共有（ ）种分配方案 A. 90 B. 120 C. 150 D. 240 6. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 若将4名志愿者分配到3个服务点参加抗疫工作，每人只去1个服务点，每个服务点至少安排1人，则不同的安排方法共有（ ） A. 36种 B. 48种 C. 96种 D. 108种 9. 已知定义在上的函数的导函数为，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、填空（本题共6小题，每小题4分，共24分） 10. 函数的导数为___________ 11. 已知直线与曲线在处的切线垂直，则________． 12. 4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有______种报名方法．4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有______种可能的结果． 13. 有编号分别为1，2，3，4的4个红球和4个黑球，从中取出2个，则取出的球同色的所有可能的结果有________种；（用数字作答）若从中取出的球编号互不相同的概率为________； 14. 若函数在区间上是单调减函数，则实数的取值范围是_______． 15. 已知，，若存在，，使得成立，则实数的取值范围是___________. 三、解答题：本题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 从包含甲、乙2人的8人中选4人参加米接力赛，求在下列条件下，各有多少种不同的排法？（结果用数字作答） （1）甲、乙2人都被选中且必须跑中间两棒； （2）甲、乙2人只有1人被选中且不能跑中间两棒； （3）甲、乙2人都被选中且必须跑相邻两棒； （4）甲、乙2人都被选中且不能相邻两棒． 17. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间． 18. 已知函数． （1）设是函数的极值点，求a的值； （2）当时，证明：． 19. 已知函数 （1）求当时，函数在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间； （3）已知函数在上的最大值为13，求a的值. 20. 已知函数. （1）若，求的零点； （2）若，讨论的单调性； （3）若，为自然对数的底数，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年高二数学下学期第一次阶段检测卷 一、选择题：本题共9小题，每小题4分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列说法中正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据初等函数的导数公式依次计算各选项即可判断. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选：B 2. 已知函数，则（ ） A. 在上单调递减 B. 的极大值点为0 C. 的极大值为1 D. 有3个零点 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数求出函数的单调区间和极值，再结合函数的零点，依次判断选项即可. 【详解】，， 当，，为减函数， 当，，为增函数， 当，，为减函数. 对选项A，，为减函数，，为增函数，故A错误. 对选项B、C，当时，函数取得极小值为， 当时，函数取得极大值为，故B错误，C正确. 对选项D，令，解得，， 所以函数有两个零点，故D错误. 故选：C 3. 函数的导函数图象如左图所示，则该函数图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据的图像，先判断和，进而得到的单调区间，逐一验证即可求解. 【详解】由图可知：当或时，，所以的单调减区间为， 当或时，，所以的单调增区间为， 故选：B. 4. 学校食堂的一个窗口共卖3种菜，甲、乙、丙、丁、戊5名同学每人从中选一种，则选法的可能方式共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合分步乘法计数原理运算求解. 【详解】因为每名同学均有3个选择，且互不干扰， 所以选法的可能方式共有种. 故选：A. 5. 甲、乙、丙三位教师指导六名学生a、b、c、d、e、f参加全国高中数学联赛，若每位教师至少指导一名学生，其中甲指导三名学生，则共有（ ）种分配方案 A. 90 B. 120 C. 150 D. 240 【答案】B 【解析】 【分析】先选名学生分配给甲，再将剩余人分成两组分配给乙、丙，由分步乘法计数原理可得. 【详解】第一步，从六名学生中选名，分配给甲指导，有种不同的方法， 第二步，将剩余名学生分成两组，分配给乙、丙指导，有种不同的方法， 根据分步乘法计数原理，不同的分配方案共有种. 故选：B. 6. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求，取，可求，再求，，再由导数的几何意义及点斜式求切线方程. 【详解】由，得， 所以，得， 所以，，，， 故所求切线方程为，即. 故选：A. 7. 已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据在上单调递增，将问题转化为在恒成立即可求解． 【详解】， 若在上单调递增，则在恒成立， 即， 令，其对称轴为，所以的最大值为， 故只需．即． 故选：D． 8. 若将4名志愿者分配到3个服务点参加抗疫工作，每人只去1个服务点，每个服务点至少安排1人，则不同的安排方法共有（ ） A. 36种 B. 48种 C. 96种 D. 108种 【答案】A 【解析】 【分析】利用分组分配方法求解即可. 【详解】将4个人分成3个组有种方法， 再将3个组分配到3个服务点有种方法， 故选:A. 9. 已知定义在上的函数的导函数为，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，求导分析，可得在上单调递减，不等式可等价转化为，根据单调性可得答案． 【详解】令， ， ， 在上单调递减， 又， ， 不等式可化为， ， 故选：B. 二、填空（本题共6小题，每小题4分，共24分） 10. 函数的导数为___________ 【答案】 【解析】 【详解】 函数， 求导得. 11. 已知直线与曲线在处的切线垂直，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先对曲线求导得到在处的切线斜率，再利用两直线垂直时斜率乘积为的关系求出参数的值. 【详解】，则曲线在处的切线的斜率， 由切线垂直得：，即． 故答案为： 12. 4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有______种报名方法．4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有______种可能的结果． 【答案】 ①. 81 ②. 64 【解析】 【分析】由乘法计数原理逐空计算即可； 【详解】要完成的是“4名同学每人从三个项目中选一项报名”这件事， 因为每人必报一项，4名同学都报完才算完成，于是按人分步，且分为四步． 又每人可在三项中选一项，选法为3种， 所以共有种报名方法． 要完成的是“三个项目冠军的获取”这件事， 因为每项冠军只能由一人获得，三项冠军都有得主，这件事才算完成，于是应以“确定三项冠军得主”为线索进行分步， 而每项冠军是4人中的某一人，有4种可能的情况， 于是共有种可能的结果． 故答案为：81；64 13. 有编号分别为1，2，3，4的4个红球和4个黑球，从中取出2个，则取出的球同色的所有可能的结果有________种；（用数字作答）若从中取出的球编号互不相同的概率为________； 【答案】 ①. 12 ②. 【解析】 【分析】根据“取出的球同色”包含取出2个红球或取出2个黑球两种情况求解第一空；对于第二空，先讨论取出的编号相同的情况，再根据总结果数计算编号互不相同的结果数，进而根据古典概型计算概率即可. 【详解】由题知“取出的球同色”包含两种情况：取出2个红球或取出2个黑球， 所以有种结果； 从8个球（4红4黑）中任意取2个，总结果数为种， 其中，取出“编号相同的2个球”即（红1黑1）、（红2黑2）、（红3黑3）、（红4黑4），共4种， 所以编号互不相同的结果数：种， 所以若从中取出的球编号互不相同的概率为. 故答案为：12；. 14. 若函数在区间上是单调减函数，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据导函数求出的单调减区间为，由题意得出，然后求解即可. 【详解】定义域为，，令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因为在区间上是单调减函数，所以， 所以，所以，所以实数的取值范围为. 故答案为：. 15. 已知，，若存在，，使得成立，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数判断函数的单调性，可求得函数的最小值，结合二次函数的单调性可求得当时，，将原命题等价转化为存在，即可求解. 【详解】依题意，， 由，得，所以在是单调递减； 由，得，所以在是单调递增； 所以当时，取得极小值，即最小值； 因为函数在上单调递减，所以； 因为存在，，使得成立， 所以原命题等价于存在，， 即存在，，又，所以. 故答案为：. 三、解答题：本题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 从包含甲、乙2人的8人中选4人参加米接力赛，求在下列条件下，各有多少种不同的排法？（结果用数字作答） （1）甲、乙2人都被选中且必须跑中间两棒； （2）甲、乙2人只有1人被选中且不能跑中间两棒； （3）甲、乙2人都被选中且必须跑相邻两棒； （4）甲、乙2人都被选中且不能相邻两棒． 【答案】（1）60 （2）480 （3）180 （4）180 【解析】 【分析】（1）先固定甲、乙在中间两棒的顺序，再从剩余6人选2人排在首尾两棒即可； （2）先选甲、乙中的1人并安排在首尾棒，再从剩余6人中选3人排列剩余3棒即可； （3）先将甲、乙捆绑成一个整体并确定相邻位置，再排列整体内部顺序，最后从剩余6人中选2人排列剩余位置即可； （4）先从剩余6人中选2人排列，再将甲、乙插入其形成的空位中即可. 【小问1详解】 先排甲、乙在第2、3棒，有种排法；再从剩下6人中选2人跑第1、4棒，有种排法， 所以共有种排法. 【小问2详解】 先从甲、乙中选1人，有种选法；再安排他跑第1或第4棒，有种排法； 最后从剩下6人中选3人排剩下的3棒，有种排法， 所以共有种排法. 【小问3详解】 先把甲、乙看成一个整体，相邻的位置有三种，整体内部有种排法； 再从剩下6人中选2人排剩下的2棒，有种排法，所以共有种排法. 【小问4详解】 先从除甲、乙外的6人中选2人进行排列，有种排法，此时形成3个空位； 再将甲、乙两人插入空位中，有种排法，所以共有种排法. 17. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间． 【答案】（1） （2）当时，的单调递增区间为，无递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为 【解析】 【分析】（1）先代入确定函数，再求导确定切线斜率，最后结合点斜式方程即可写出切线方程； （2）先对函数求导，再根据的范围讨论导数的正负，从而确定单调区间. 【小问1详解】 当时，，所以，即切点坐标为， 又因为，所以， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 因为， 所以当时，因为，所以恒成立， 所以在上单调递增； 当时，由，得， 由，得， 综上，当时，的单调递增区间为，无递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 18. 已知函数． （1）设是函数的极值点，求a的值； （2）当时，证明：． 【答案】（1） （2） 当时，​，原不等式为 ，即只需证明. 构造函数， ，当时，，故， 因此在上单调递增，所以 即，原不等式得证. 【解析】 【分析】（1）先对函数求导，利用极值点处导数为0的性质代入求解，并验证该点是极值点，得到的取值； （2）代入后化简原不等式，将问题转化为证明时恒成立，通过构造函数求下确界完成证明. 【小问1详解】 函数的定义域为，​ ， 因为是的极值点，所以，即，解得，  验证：当​时，​， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 即是的极值点，故. 【小问2详解】 略 19. 已知函数 （1）求当时，函数在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间； （3）已知函数在上的最大值为13，求a的值. 【答案】（1） （2）答案见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）求导，求，，结合导数的几何意义求切线方程； （2）求导，判断的符号，进而可得函数的单调区间； （3）根据（2）可得函数在内的单调性，可知函数在上的最大值为，代入求解即可. 【小问1详解】 若，则，且， 可得，且，即切点坐标为，切线斜率， 所以所求切线方程为，即. 【小问2详解】 因为函数的定义域为，且， 令，解得或；令，解得； 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问3详解】 因为，由（1）可知函数在内单调递增，在内单调递减， 则函数在上的最大值为，解得. 20. 已知函数. （1）若，求的零点； （2）若，讨论的单调性； （3）若，为自然对数的底数，证明：. 【答案】（1）； （2）当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在是单调递减.； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （3）因，要证， 只需证，即， 令，， 因此只需证即可. ， 再令，则 因，所以，得，即， 所以在上单调递增，且，. 由零点存在性定理，存在唯一，使得，即. 所以在有唯一零点，且当，当， 所以在上单调递减，在上单调递增， 且，. 所以对，都有成立. 所以，成立. 【解析】 【分析】（1）根据零点的定义直接求解可得； （2）利用导数的正负判断函数的单调性； （3）要证的不等式转化为，再构造函数用导数证明可得. 【小问1详解】 若，则，得或（舍），所以. 所以的零点为. 【小问2详解】 若，，函数的定义为， 所以，令，得或， 即或. ①时，即， 当时，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. ②当，即时， 当时，，；当时，，. 所以函数在是单调递减. ③当时，即，当时，，； 当时，，所以； 当时，，所以. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在是单调递减.； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $